【暑假預(yù)習(xí)】第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)-章末檢測-2025年新高一數(shù)學(xué)暑假提升講練 （人教A版）

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

要求的。

1.已知函數(shù)/'(1)=1唱任7),則函數(shù)/(工)的定義域?yàn)?)

A.(^o,0)<J(l,-K?)B.(0,1]

C.(0,1)D.

2.己知。=log52,2''=3,則log/5=()

A.—I-bB.—+C.-D.一

abab

2

3.已知=?-〃是奇函數(shù)，則。=()

5-1

A.1B.—1C.；D.—

22

Q'+3t<

4.若函數(shù)/")二,42I"的定義域和值域的交集為空集，則。的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)

5.若實(shí)數(shù)&b滿足e&2g=1,則曲的最大值為()

A.—B.gC.--D.—

16248

一x+a+1,&,a,

6.已知”1,函數(shù)/(x)=(則/*)的值域?yàn)?)

log“>4,

A.RB.(0,+oo)C.[1,+co)D.[a,a)

7.已知函數(shù)=p-3|,若關(guān)于x的方程[/(力了-2q3+3=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則〃，的取值范

圍是()

A.(e,一石)<>(石，+8)B.(-8,-石"(6,2)

C.(6+可D.(x/3,2)

8.已知函數(shù)/(力=27^工+卜-||-4恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—2,1]B.(—3,1]C.(-3,-2)D.(—2,0)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)f(x)=f+2x+l,g(x)=3.31A(x)=log2(x+1),當(dāng)xe(3,y)時(shí),對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行

比較,下列結(jié)論中，,用的是()

A./(力的增長速度最快,的增長速度最慢

B.g(x)的增長速度最快,/仆)的增長速度最慢

C.g(x)的增長速度最快,〃力的增長速度最慢

D./(K)的增長速度最快,的增長速度最慢

10.已知事函數(shù)〃x)=("?-l)/'(meR),則下列說法正確的是()

A.m-3

B.函數(shù)/(可為偶函數(shù)

C.不等式/(")<2x+8的解集為(-2,4)

陶(二年「二。…,且.)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

D.若函數(shù)g(x)='

(1,2)

11.已知定義在R上的函數(shù)“力在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減,且滿足〃4+x)+f(x)=2/(-2),

./-(2+x)+/(2-x)=0,則下列說法正確的是()

A./(-2)=0B./(2025)>0

1

C./(log29)>/(3)D.j<0

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)函數(shù)/(.1)=:：警3°。則〃_6)+/(log312)=.

■

13.一種藥在病人血液中的量低于lOOOmg,病人就有危險(xiǎn).現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥3000mg,如果

藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，那么最遲應(yīng)在_____h內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥(精確到O.lh,

參考數(shù)據(jù)：lg3?0.48,lg5?0.7).

14.已知函數(shù)/%)=喂巖=的對(duì)稱中心是(〃3)，若正數(shù)〃?，〃滿足2〃"/=b,貝1)3+8川+2"?的最

小值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(1)求/_6^3+"(6-2尸-log?5?適4的值;

(2)若Ig3=a,lg5=匕,用表示log」.

16.(15分)已知，〃>0J("是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=ln(x+/n)+x.

⑴求加的值；

(2)求/(力在(-8,0)上的解析式;

⑶解不等式〃x)<e.

17.(15分)近年來，“國潮”不斷涌現(xiàn)，涉及影視劇，文藝演出，音樂，美術(shù)，建筑，家具，服裝等各

個(gè)方面.百度與人民網(wǎng)研究院聯(lián)合發(fā)布的報(bào)告顯示，近十年來“國潮”關(guān)注度增長了528%"國潮"的興

起，體現(xiàn)了國人審美的變化，也體現(xiàn)了年輕人正視世界的信心和更強(qiáng)的文化自信.若預(yù)計(jì)年利潤低于10%

時(shí)，則該廠就要考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是該廠近幾年來年利潤)：(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變

化的一組數(shù)據(jù)：(年利潤率=,二%%.)

年投資成本x

???

年份2019202020212022

年投資成本

461018???

X

年利潤)1234???

給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①y=x+b；@y=/?.0,a>0,?1)@y=logrt(A+b)(a>0,tz1)

(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述My之間的關(guān)系，并求出其解析式；

(2)試判斷當(dāng)該廠年利潤不低于6百萬元時(shí);該廠是否要考慮轉(zhuǎn)型.

18.(17分)已知二次函數(shù)/(幻=液+加+c的兩個(gè)零點(diǎn)分別是t和3.

⑴求氏c的值;

(2)判斷函數(shù)/(x)在［2,+00)上的單調(diào)性，并用定義法證明；

(3)求函數(shù)在［7,4］內(nèi)的值域.

19.(17分)取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理.該定理

表明：對(duì)于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)/(力，在其定義域內(nèi)存在一點(diǎn)小，使得〃/)=%，則

稱/為函數(shù)/*)的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”.若/(/(%))=.%，則稱/為/(X)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.

已知函數(shù)/若。>0

⑴已知g(x)=〃x)+l,若g。)只有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”,求。的值;

(2涵數(shù)JQ)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”組成的集合分別記為A和8,即A={x\f(x)=x}iB={x|/(/(x))=x］.

證明：AqB；

(3)討論/(x)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案

題號(hào)12345678910

答案AABBDCDCACDBC

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零列不等式求解即可.

【詳解】要使函數(shù)“X)有意義，

則工2_%>0,解得x<0或x>l,

所以函數(shù)/("的定義域?yàn)?-8,0)=(1,+8).

故選：A

2.A

【分析】先利用對(duì)數(shù)的換底公式得，=log25,^=log23,最后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.

a

【詳解】由題意有〃=1。屎2=警1=]=n1TogN,2=3n〃=log23,

log,5log25a

所以log,15=log,3+log,5=b+一，

a

故選：A.

3.B

【分析】利用奇函數(shù)的定義列式求解.

【詳解】函數(shù)r〃的定義域?yàn)椋」?｝，由人幻為奇函數(shù)，得/(工)+/(-幻=0,

故選：B

4.B

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)先求出定義域，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的及二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域，即可求解.

【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋麆?4勾，

當(dāng)工工0時(shí)，〃"=2'+3?3,4],

要使得定義域和值域的交集為空集，則0vaK3,

又OvxWa時(shí)，/(x)=(x-2)2,

若。之2,則"2)=0,此時(shí)顯然不滿足題意，

若0<〃<2,則/")在(。，可上單調(diào)遞減，/(x)e[(?-2)\4),

故f(x)w[(a—2)2,4)J(3,4],

所以—2)，解得ovavi.

故選；B.

5.D

【分析1由指數(shù)運(yùn)算可得。+勸=1,再由二次函數(shù)可得必的最大值.

【詳解】因?yàn)橐?^=1，所以e“+2j=e"即。+乃=1,

故(出=〃(1-29=—2(/)—；)當(dāng)且僅當(dāng)力=；時(shí)等號(hào)成立，

故面的最大值為J，

X

故選：D.

6.C

【分析】計(jì)算分段函數(shù)/*)在每一段上的值域，求并集可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)時(shí)，/(x)=T+a+l,/。)在(一可上為減函數(shù)，

所以/(x)N/(a)=-a+a+l=l.

當(dāng)工>“時(shí)，/(x)=logux,

因?yàn)椤?gt;1,所以在(〃,”)上為增函數(shù)，

所以/@)>/(a)=log"=L

綜上得，/*)的值域?yàn)榭?內(nèi)).

故選：C.

7.D

【分析】作出/(工)=|2,-3|的圖象，由題意知/=/(1)=|2'-3|有兩個(gè)根再結(jié)合二次方程有兩個(gè)不同的根

△)0即可求得機(jī)的范圍.

【詳解】令/=/&)=|2,-3|,則令S(/)=*-2〃7/+3,即s(f)=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

則5(/)要有兩個(gè)解乙出，

.3/

../V..

-3-2-1O\123々

由圖知，*r,,O<r,<3,0<r2<3.

△=(2〃?)~-4x3>0,得，〃〈一6或小>途.

則「迦士亞巨二〃世府二5，

2

2222

令4=in-\lnr-3,0<m-Jm-3<3?得〃？>\/m-3?則機(jī)>43，/2=in+\lfn-3,0<m+\]fn-3<3?

得3-機(jī)>-3，m<2.

則、萬<〃?<2.

故選：D.

8.C

【分析】將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，則可得函數(shù)g(x)=2?^與函數(shù)

g)=4-卜-1|二|：一”":恰有3個(gè)交點(diǎn)，再將兩函數(shù)圖象畫出，分析圖象即可得解.

[3+x,x<I

【詳解】令〃x)=2j—卜一1|一4=0,則=4-0_1|,

5T>]

則函數(shù)g(x)=26^與函數(shù)4(x)=4-|x-l|二.';恰有3個(gè)交點(diǎn),

J?49)I

則如下圖所示：

則函數(shù)g(x)=2y/x-a與y=5-X有一橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn),

即有g(shù)(l)<〃(l),即2)[二<4,解得一3<。41；

函數(shù)g(x)=2x/T工與y=3+x有兩個(gè)橫坐標(biāo)小于1的交點(diǎn),

令？［x-a=3+x,有f+2x+9+4a=0,

則△=2?—4（9+4。）=-32-16?>0,解得?<-2,

綜上所述，。?-3,-2).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，從而可借助圖象，數(shù)形

結(jié)合解答問題.

9.ACD

【分析】做出三個(gè)函數(shù)/(X)=K+2X+1,g(x)=33,/?(x)=log式x+1)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.

【詳解】做出三個(gè)函數(shù)f(x)=Y+2x+l,g(x)=3-3\%(工)=1暇(1+1)的圖象,

通過圖象可知三個(gè)函數(shù)/(x)=f+2x+l,g(x)=33,/?(x)=log2(x+l)+，

當(dāng)了e(3,+oo)時(shí),g(x)=33增長速度最快，〃(力=log2(x+l)的增長速度最慢,

故B正確，ACD錯(cuò)誤.

故選：ACD.

10.BC

【分析】根據(jù)條件得=即可判斷選項(xiàng)A的正誤，對(duì)于B,利用奇偶函數(shù)的判斷方法，即可求

解：對(duì)于C,利用一元二次不等式的解法，即可求解；對(duì)于D,根據(jù)條件得《?。、八，即可求解.

【詳解】由事函數(shù)的定義，知/"1=1,解得機(jī)=2,所以/(工)二工2,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,易知/(x)=d的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又f(T)=(T)2=j2=f⑴,得函數(shù)/(X)為偶函數(shù),所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,由/(x)<2x+8,得f-2x-8v0,解得-2<x<4,所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)gx=1fn,八在R上單調(diào)遞增，

log(1(x+l)+2-a,x>0

a>1

必有?.o、八，解得1<。42,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤?

logul+2-i/>0

故選：BC.

11.ABD

【分析】推導(dǎo)出/(x)=/(x+8),在等式1(2+力+〃2-力=0中,令x=0可求得"2)的值,在等式

/(4+x)+/(x)=2/(—2)中，令/=-2可求得〃—2)的值，可判斷A選項(xiàng)；由函數(shù)的周期性結(jié)合函數(shù)

/")在［0,2］上的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與市稱性可知，函數(shù)/(x)在區(qū)間［2,4］上單調(diào)

遞減，可判斷C選項(xiàng)；在等式/(2+工)+/(2-力=0中，令工=1,可得出/。)+/(3)=0,再由

/*)>?(；)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)椤?+x)+/(X)=2/(-2),所以f(8+x)+f(4+x)=2〃—2),

所以f(x)=/(x+8).

因?yàn)?(2+x)+/(2-x)=。，取工=(),得/(2)=0.

因?yàn)?(4+x)+/(x)=2/(—2),取1=一2,得/(2)+/(—2)=2/(—2),

又f(2)=0,所以f(-2)=/(2)=0,故A正確;

由f(%)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減,得/⑴>〃2)=0,

又f(x)=/(x+8),J§L2025=8x253+1,所以/(2025)"(1)>0,故B正確;

因?yàn)?(2+x)+/(2—x)=0,所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

因?yàn)楹瘮?shù)/")在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，所以/(M在區(qū)間［2.4］上單調(diào)遞減，

因?yàn)?3<9<2,則3<1鳴9<4,所以/(1嗎9)</(3),故C錯(cuò)誤；

由，(2十人)十/(2一人)=0,取4=1,得/(1)+/(3)=(),

又“3)>噌>所以/⑴+電)=_〃3)+名)<0,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)八1)的圖象關(guān)于直線x=〃和x=b對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為丁二2|〃-小

(2)若函數(shù)/3的圖象關(guān)于點(diǎn)(4。)和點(diǎn)作。)對(duì)稱，則函數(shù)/(%)的周期為7=2,-小

(3)若函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=〃和點(diǎn)伍0)對(duì)稱，則函數(shù)/‘(X)的周期為r=業(yè)一凡

12.7

【分析】根據(jù)分段函數(shù)先求〃-6),結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式再求/(log/2)即可求解.

【詳解】由題意有:/(-6)=l+log3(3+6)=l+log39=l+2=3,

/(108312)=3陛/27=3麻"x3T=］2xg=4,

所以〃-6)+〃嘎312)=3+4=7

故答案為：7.

13.4.8

【詳解】設(shè)最遲應(yīng)在x小時(shí)內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥,

依題意，可得3000(1-0.2)、1000,

1

得X<

-S3-

og5-

又因?yàn)?/p>

乂口log刀,-=Ig5-lg4=-31g-5——-2?4.8',

???最遲應(yīng)在4.8h內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.

14.10

【分析】根據(jù)題意分析/(力的對(duì)稱中心可得力的值，即可得〃?)=1,乂由

-4-8/n+2y/2n=-+4m+4m+,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得結(jié)果.

mm

3?2'+4?2-“32+22T

【詳解】根據(jù)題意/(力=

2'+42"2'+22T

加土、3-22-v+2r的卜?、32+22-X3,2』+2

則伺/(2-x)=之?"，所以〃力+/(2-、)=亍/7+亍三彳

故f(x)的對(duì)稱中心為(1,2),可得b=2；

又正數(shù)"八"滿足2mn2-b,即可得""?？=1；

所以'+Srn+2\/2n=—+4m+4機(jī)+,2〃+\!ln>5->—■4m-4m?\2n-

ntmVm

=5^32mn2=5x2=10：

當(dāng)且僅當(dāng)'?=4〃，=&〃時(shí)，即〃?=上〃=0時(shí)，等號(hào)成立

in2

此時(shí)，+8〃7+2&〃的最小值是10.

m

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)解析式求得對(duì)稱中心，得出〃〃『=1,再由基本不等式的推廣

計(jì)算可得結(jié)果.

15.(I)1-73；(2)

a+b

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求值；

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換底公式，即可求解.

【詳解】(I)R3_6,081'3+7(^-2r-log,5.log.4

二(2中-3+(2-?-里.昱

L]Ig2Ig5

=22-3+2-6-些

1g2

=4-3+2-V3-2=l-x/3

10

(2)Joa2二愴2二環(huán)上Jgl0-lg5-1-b.

15lg15lg(3-5)Ig3+lg5a+b

16.⑴〃2=1

(2)/(x)=-ln(-x+l)4-x

(3)(-oo,e-l)

【分析】(1)根據(jù)時(shí)R上的奇函數(shù)，利用/(0)=0即可求，取：

(2)根據(jù)函數(shù)”X)為奇函數(shù)，即可求在(9,0)上的解析式；

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/(e-l)=e即可解不等式.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(。)=0,

故livn=0,解得〃?=1.

(2)令xe(f,0),貝lj-xe(0,+co),所以/(-x)=ln(-x+

因?yàn)?(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(力=-〃-力，

則f(x)=Tn(r+l)+MxvO),即在(—,0)上的解析式為/(x)=-ln(T+l)+x.

(3)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=ln(x+l)+x,易得f(x)在[0,+oo)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?")是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(“在R上單調(diào)遞增.

又f(e-l)=e,所以f(x)<e的解集為(-oo,e-l).

17.(I)選擇③來描述*y之間的關(guān)系,函數(shù)解析式為y=iog2(】-2)；

(2)該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.

【分析】(1)利用表格中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算判斷，確定函數(shù)關(guān)系.

(2)利用(1)中結(jié)論，求出年利潤率判斷得解.

【詳解】(1)點(diǎn)(4,1),(6,2)不同在函數(shù)y=x+〃的圖象上，①不符合要求；

將(4,1),(6,2)代入y=b?優(yōu),得

當(dāng)工=10時(shí)，y=8,不符合要求;

log?(4+Z?)=1

將(4,1),(6⑵代入y=log。(x+6),得-晨…”解得2=2

>'=log,(x-2),當(dāng)x=10時(shí)，y=3；當(dāng)x=18時(shí)，y=4,符合題意，

所以選擇③來描述X，》之間的關(guān)系，函數(shù)解析式為)，=1。歷。-2).

(2)由(1)知，y=log2(x-2),當(dāng))，之6時(shí)，log2(x-2)>6,解得x266,

當(dāng)‘=366時(shí)的年利潤率所以該廠要考慮轉(zhuǎn)型.

⑵/V)在⑵+8)上單調(diào)遞增，證明見解析:

⑶1-4,51.

【分析】(I)應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值：

(2)由單調(diào)性定義，令應(yīng)用作差法比較/(X)J(W)的大小，即可證;

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域即可.

—1+3=-Z?b=-2

【詳解】(1)由題意得,解得

-Ix3=cc=-3

(2)/(%)在⑵物)上單調(diào)遞增,證明如下:

由(1)知/(x)=W一24一3,令司>/之2,

所以/(七)一/(石)=(X；-2玉-3)一但一2公-3)=(%)+x2)(X1-X2)-2(X,-X2)

=(占+工2—2)(芭一w)，

而升+X2-2>0小一42>。，則/(X)7(W)>0,所以/(%)>.〃王)，

綜上，/*)在［2,+8)上單調(diào)遞增.

(3)由/(1)=/一2"—3=(*—1)2—4,