2026年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：一元二次方程及其應(yīng)用（學(xué)案）

一元二次方程及其應(yīng)用

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識(shí)體系

考點(diǎn)梳理

1.一元二次方程的相關(guān)概念

(1)概念：只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是①的整式方程

(2)一般形式：ax2+hx+c=,h,c為常數(shù)，a?0)

2.一元二次方程的解法

解法適用情況或步驟

2

直接開(kāi)⑴當(dāng)方程缺少一次項(xiàng)時(shí)，即方程or+c=0(存0fcic<0)；

平方法(2)形如(X+m)2=八(論0)的方程

⑴常數(shù)項(xiàng)為。，即方程ax2+bx=0(存0)；

因式分

(2)一元二次方程的一邊為0，而另一邊是易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積

解法

注：方程求解過(guò)程中，等式兩邊不能同時(shí)約去含有相同未知數(shù)的因式

適用于所有一元二次方程，求根公式為③(從-4。企0)

公式法

步驟：(1)使用求根公式時(shí)要先把原一元二次方程化為一般形式，方程的

右邊一定要化為0;

(2)判斷b2-4加、的正負(fù)：若爐-4〃c?④0,則原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；若

b2-⑤0,則原方程有實(shí)數(shù)解

注：將《,。，c代入公式時(shí)應(yīng)注意其符號(hào)

適用于：(1)二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程；

(2)各項(xiàng)的系數(shù)比較小且便于配方的情況

步驟：以2f-8/4=0為例

⑴變形：將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-4x+2=0；

配方法

(2)移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得.F-4x=-2；

(3)配方：方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2-4/4二-2

+4,即(x-2)2=2；

⑷求解：用直接開(kāi)平方法求解，得r=2+魚(yú)，&=2-企

3.一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

⑴根的判別式：〃-叫做一元二次方程加+"+c=0(存0)的根的判別式

⑵一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：

①〃.4*>0Q方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

②〃-44c=00方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

③方2-4"<()0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

⑶根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程加+云+c=()(存012-4碇川)的兩實(shí)數(shù)根

分另！J為,X2,則即+X2=--/XI-X2=-

aa

4.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

⑴變化率二邕暨X100%;

基礎(chǔ)量

平均

(2)設(shè)a為原來(lái)量，當(dāng)機(jī)為平均增長(zhǎng)率，增長(zhǎng)次數(shù)為2,b為增長(zhǎng)后的量時(shí),

變化

率問(wèn)則⑥二b；

題(3)設(shè)a為原來(lái)量，當(dāng)帽為平均下降率，下降次數(shù)為2力為下降后的量時(shí),

貝!J⑦=b

(1)利潤(rùn)=售價(jià)-成本；

利潤(rùn)Q)利潤(rùn)率=翌x100%;

?J成本

問(wèn)題人

⑶每每問(wèn)題：?jiǎn)蝺r(jià)每漲。元，少賣(mài)〃件若漲價(jià)y元，則少賣(mài)的數(shù)量為就

練考點(diǎn)

1.若關(guān)于X的方程(％-3).^-8A-10=0是一元二次方程，則k的取值范圍

是

2.解方程：f-3x+2=0.

3.一元二次方程x2-x+4=0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

4.關(guān)于x的一元二次方程1-+3=0的一個(gè)根是1,則該方程的另一個(gè)根

為一.

5.為了滿足師生的閱讀需求，某校園圖書(shū)館的藏書(shū)從2022年至2024年兩年內(nèi)由

5萬(wàn)冊(cè)增加到7.2萬(wàn)冊(cè)，則這兩年藏書(shū)的年平均增長(zhǎng)率為.

6.某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元.調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為2900元

時(shí)，平均每天能售出8臺(tái).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若銷(xiāo)售價(jià)每降低50元，則平均每天能多售

出4臺(tái).

⑴若銷(xiāo)售價(jià)降低1元,則平均每天能多售出臺(tái)；

⑵已知商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷(xiāo)售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)

大元,可列方程為.

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1一元二次方程及其解法

例1（人教九上習(xí)題改編）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)5。-3)2=45；(2)f+4x=12；

⑶，4x+3=0；(4)/+3x+1=0.

變式1用配方法解一元二次方程3/+6x?1=0時(shí)，將它化為(x+4=b的形

式，貝(J。+b的值為()

A.-B.-C.2D.-

333

考點(diǎn)2一元二次方程根的判別式

例2已知關(guān)于x的一元二次方程(Z-2)f+4x-1=(),請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)若原方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是；

⑵若原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是；

⑶若原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則攵的取值范圍是；

(4)若原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

易錯(cuò)警示

本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽略“一元二次方程中二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”這個(gè)條件.

變式2若方程(x-1)2=〃z+2無(wú)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為()

A.m<-2B.m<-2C.m>-2D.m>-2B

變式3(2023廣州)已知關(guān)于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

-I)2-(JT^fc)2的化簡(jiǎn)結(jié)果是()

A.-1B.1C.-}-2kD.2攵-3

考點(diǎn)3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例3(人教九上習(xí)題改編)設(shè)山，M是方程r-6x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則：

喏+/一;

(2)%1+%2=；

(3)%1%2+%1%2=.

變式4若一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的兩根互為相反數(shù)，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)滿足條

件的方程：.

考點(diǎn)4一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

例4根據(jù)市場(chǎng)需求，某公司的業(yè)務(wù)規(guī)模快速擴(kuò)大，如圖是該公司用來(lái)生產(chǎn)一種

無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的矩形原料，該矩形原料的長(zhǎng)為20cm,寬為16cm.

⑴隨著技術(shù)逐年更新，該矩形原料的成本不斷下降，前年一張矩形原料的成本是

50元，今年一張矩形原料的成本是32元，求這種矩形原料成本的年平均下降率；

4I_U

例4題圖

⑵將該矩形原料的四角剪去四個(gè)相同的小正方形，然后把剩余部分(陰影部分)

沿虛線折起可做成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.若該無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的底面積為140

cm2,求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)；

⑶若該無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器的成本是50元/個(gè)，如果以100元/個(gè)銷(xiāo)售,每天可以售

出200個(gè)，為盡可能大地讓利購(gòu)買(mǎi)者，同時(shí)減少產(chǎn)品庫(kù)存積壓，公司決定降低售

價(jià)，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，銷(xiāo)售數(shù)量就增加20個(gè)，則當(dāng)該公司將

銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為16000元？

真題及變式

命迤點(diǎn)1一元二次方程及具解法

1.若x=1是方程x2-々=0的根，貝!J。.

2.若一元二次方程/+for+c=0（b,c為常數(shù)）的兩根xi,無(wú)2滿足-3<xi<-1,1

<X2<3,則符合條件的一個(gè)方程為.

命題點(diǎn)2一元二次方程根的判別式

3.若關(guān)于x的一元二次方程f+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根則c=.

命邈點(diǎn)3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

4.已知xi陽(yáng)是一元二次方程f-2犬二0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論?錯(cuò)?誤的是（）

A.XI#X2B.xf-Zri=0C.xi+X2=2D.x^xi=2

4.1變思維——結(jié)合兩根關(guān)系求系數(shù)

若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+〃=0兩根為》,E,且上十三二3,則P的值

X1x2

為（）

C.-6D.6

新考法

5.［數(shù)學(xué)文化］我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載咽中方形”問(wèn)題：“今有

圓田一段，中間有個(gè)方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊

三步無(wú)疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一.”其大意為：有一塊圓形的田，中間有

一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊

到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)如果你能求出正方形邊長(zhǎng)和圓的直徑，那么你的計(jì)算水

平就是第一了.如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是.

第5題圖

6.［綜合與實(shí)踐］

【主題】探究日歷中的奧秘.

【素材】2024年10月1日是我國(guó)成立75周年紀(jì)念日,本月日歷如圖所示.

步驟一：在本月的日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示）；

步驟二：設(shè)這四個(gè)數(shù)從小到大依次為a,h,c,

【觀察】小方框中的4個(gè)數(shù)。c,d,總存在著某種數(shù)量關(guān)系

【猜想與應(yīng)用】⑴請(qǐng)用含a的式子表示b,c,d\

⑵若圈出的4個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為128,求這個(gè)最大數(shù).

0

第6題圖

考點(diǎn)精講

-b±lb2-4ac

①2②#③氏二一

三-tv---@<⑤N

⑥q(1+m)2⑦。(1-tri)2

練考點(diǎn)

1.#3

2.解：/=/?2-4〃c=(-3戶4x1x2=1,

.3+x^l—p.3-VT

?-X=--QyiX=——,

.,j=2或x=1；

一題多解法

U-l)U-2)=0,

x-1=0或x-2=0,

解得x=1或X=2.

22

3.D［解析］'：a=\,b=-1,c=4t：.A=Z?-4ac=(-1)-4x1x4=-15<0,

???方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

4.3【解析】=1,c=3,且汨“2二工，由題可知，xi=1,.32=3,即另一個(gè)

a

根為3.

5.20%

6(展；(2)(2900-x-2500)(8+||)=5000

高頻考點(diǎn)

例1解：⑴等式兩邊同除以5，得(x-3y=9,

開(kāi)平方，得X-3二±3,

解得X1=6,X2=0；

(2)等式兩邊同加上4,得f+4x+4=16,

即(x+2戶=16,

.?其+2=±4,

**.A|=2,X2=-6；

⑶原方程可變形為Q-3)(x-1)=0z

「.x-3=0或x-1=0,

??A|—3)X2=1/

(4),.Y/=1,8=3,c=1,

：.A=b2-4ac=32-4xlxl=5,

-b±lb2-4ac-3+75

??A——

2a2r

-3+\/5-3-遍

/.A|=----2---',X2=----2----.

變式1B【解析】?「3W+6x-1=0,.e.3X2+6x=1,x2+2x-,則x2+2x+1

3

2

=；+1,即(x+1)=；,^a-I,b=^t：.a+/?=;.

例2⑴泛-2目后2【解析】由題意得，42-4x(/：-2)x(-1)>0，且％-2r0,

解得后-2且厚2.

(2火二-2【解析】由題意得，42-4x(Z?2)x(-1)=0,且攵-2加，解得攵二-

2.

(3派>?2且后2【解析】由題意得,42-4x(4-2)x(-1)>0,且z-2邦,解得

k>-2且原2.

(4)k<-2【解析】由題意得，42-4x(^-2)x(-1)<0,且&-2r0,解得k<-

2.

變式2A［解析］,?方程(x-l)2=m+2無(wú)實(shí)數(shù)根,「.m+2<0,：.m<-2.

變式3A【解析】???關(guān)于x的方程9?(2%?2)x+F-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.?./

=［-(2k-2)］2-4x1x(3-1)>0,整理得-81+8C0，，右1,-1W0,2-k>0,

?--l)2-(=?(％-1)-(27)二-1.

例3(1)3［解析】'."x2-6x+2=0,/.xi+X2=-2=6,x\xi=-=2,+—=

aaXix2

^^=3.

"2

(2)32【解析］由⑴得xi+及=6,x\xi=2,+腐=Q+X2)2-2x\X2=36-4

=32.

(3)12【解析】由⑴得Xl+%2=6,X\X2=2".瓷X2+X慮=X2X|(X|+X2)=2x6=12.

變式4/-4=o(答案不唯一)【解析】設(shè)所求方程式好+版+c=0,?「方程的

兩根互為相反數(shù)b=x\+X2=0,-=C=Xl-X2<0，.二所求方程為r+c

aa

=0(c<0)，.二滿足條件的方程可以為x2-4=0(答案不唯一).

例4解：(1)設(shè)這種矩形原料成本的年平均下降率為R,

由題意得50(1-幻2=32,

解得xi=1.8(舍去),X2=0.2=20%.

答：這種矩形原料成本的年平均下降率為20%；

⑵設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)是犬cm,則長(zhǎng)方體容器底面的長(zhǎng)為(20-2x)cm,寬

為(16-2x)cm,

由題意得(20-2x)(16-2x)=140,

解得xi=3,足=15,

,.當(dāng)x=15時(shí)，16-2x<0,15不符合題意，舍去,

答：剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為3cm；

⑶設(shè)該公司將銷(xiāo)售單價(jià)定為x元，

由題意得(x-50)1200+20(100-x)］=16000z

整理，得x2-160x+6300=0,

解得Xi=70,X2