2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷01【測(cè)試范圍：蘇教版必修第二冊(cè)第9~12章】（全解全析）

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷01（江蘇專用）

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足（l-i”=2+i,則』在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法，求出復(fù)數(shù)z,再求共扼復(fù)數(shù)，然后判定所在象限.

【詳解】由題意知，N==!=2-li,則三=!-土,

1-12222

（\3、

故復(fù)數(shù)［在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在笫四象限.

I/乙）

2.己知△48。中，〃=b=aB=60\那么角［等于（）

A.45°或135，B.30°或15()C.45D.30°

【答案】C

【分析】利用正弦定理求解.

【詳解】在^ABC中，a=6,b=&B=60,

a_b

由正弦定理得:

sinAsinB

..asinB&xsin6041

r則lllsmA=------=-------7=-----=—,

b452

因?yàn)椤?lt;方，所以4<8,貝iJ/=45°,

故選：C

3.已知平面向量￡=（-1"）花=（3,2左一2）,若叫2Z+B）,則六=（）

1/15

【答案】B

【詳解】由于21+5=(1,44—2),由蘇/(25+B)得一1?(4女一2)-1,％=0,解得左二|.

4.已知cos(a-￡)=1,貝lJsin(2a+1)=()

646

A.1B.--C.1D.」

8888

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得到sin(2a+,=cos(2a-9=cos[2(a-1)],結(jié)合余弦的倍角公

式，即可求解.

.辰”、I./cn.7C.兀1__n..兀、1_2/兀、.r/、2,7

【詳解】由sin(2a+-)=cos[(2a+—)——]=cos(2a——)=cos[2(cr——)]=2cos'(a——)-1=2x(-)--1=一一.

66236648

5.如圖，在aOCB中，/是邊8c的中點(diǎn)，。是邊08上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，設(shè)方則反=

5-5-

A.2a--bB.2a+-b

33

4-4-

C.2a—bD.-21+一。

33

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算和三角形法則可以得到.

【詳解】＜1是邊8c的中點(diǎn)，=前，

，無二8+萬=方+加=方+煙-西=2方-麗，

——1—

???。是邊OE1二靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn),

:.7^=15d+OC^-^OB+(2OA-OB]=2OA-^OB,

又況二萬,9=5，.,?友=22一;九

故選：C

6.在8c中，內(nèi)角人叢^的對(duì)邊分別為名兒仁公由0十人=？^^^?^^^^^,則△力8c一定為()

2/15

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【分析】先利用二倍角的余弦公式對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去半角形式，化簡(jiǎn)后等式中含有邊和角的混合形式,

所以考慮利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦形式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式對(duì)等式中的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，整理后得到角

之間的關(guān)系,進(jìn)而判斷二角形的形狀.

A

［詳解］在LABC中,asinC+b=26cos：—+4cos8,

2

I+cos』

則izsinC+b=2bx----------+acosB,即。sinC=bcosA+acosB,

2

則sinJsinC=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）,即得sinJsinC=sinC,

由于Ce（0,7c）,sinCw0,故sin/=l,結(jié)合力e（（U）,可得力=|,

即公出?。一定為直角三角形，

7.已知正方形44。。的邊長(zhǎng)為4,七為邊CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段4E上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作8。的垂線，交BC

邊于M,則耐.而的最小值為（）

A.-6B.-----C.-D.6

44

【答案】C

【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算把得到嬴.而=應(yīng)己而+樂而+4，若而=2亞且,數(shù)形結(jié)

合求得（而?匠+近?匠）即可得.

【詳解】由配?麗=（荻+詬）?（而+麗）=優(yōu)?而+而?麗+直屁+而?麗=砒?麗+詬屁+4,

若方=4下且0W2W1,則旗=/1沅，且|月口二|而|=4,I施1=2石,

__________21

又BC,AE=NDAE,CD,AE=n-ZDEA,且cosZDAE=-y^,cosZDEA=,

所以沅.而+近星=萬比.施+-麗.荏=8A/J/12COSZEUE-4VOCOSZD"

2

=1622-42=16(2-1)2-^,

當(dāng)見=:時(shí)，（南?匠+演.麗）

84

-----------115

所以用￡0。=一一+4=—.

44

故選：C

3/15

AB

則下列結(jié)論不可能成立的是()

=tanp,ai4=tan(6a-2/7),

cosa

A.a=30°B.a=70°C.6=50°D.6=80。

【答案】C

【分析】由題設(shè)結(jié)合三角恒等變換公式可得好+f+中格Z,…容一,進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)分

析求解即可.

a.、aa.aa.aa.a

…~cos2'——sin"—cos-----sin—cos—+sin—cos—+sin—

cosa2222222

【詳解】由tan/3=~^2

I—sinct.~?aaa.aa.a

sinal_2sin—COS—cos——sin—cos-----sin—

2222)22

,ana

1+tan-xtan—+tan—

=----------=---------------=tan+a

,ana4

1-tan-1-tan-tan—

242

則"瀉+小屹

cosacosa(l+sina)_cosa(l+sina)_1+sina

由

l-sina(1-sina)(l+sina)l-sin?acosa

kjr

則ton(6a-24)=tan,即￡=6a—24+4?北飽wZ,則夕=2a+-1-,k2eZ,

綜上所述，夕=￡+■wZ,且/?=2a+W，k2^Z.

結(jié)合選項(xiàng)，當(dāng)a=30。，〃=60。時(shí)，滿足上述兩個(gè)式子;

當(dāng)a:70。，〃=80°時(shí)，滿足上述兩個(gè)式子;

當(dāng)產(chǎn)=50。時(shí)，由/=色+1+勺兀可知a=10。，此時(shí)不滿足/=2a+絲，k2eZ.

423

故選:C

4/15

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求?全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知馬=2+i，4=l-2i,則()

A.㈤=卜|B.\z.+z2\=y/w

c.|z仔zhklRD.平2=平2

【答案】ABC

【分析】利用復(fù)數(shù)模的意義、乘法運(yùn)算，結(jié)合共扼復(fù)數(shù)的意義逐項(xiàng)計(jì)算判斷.

2222

【詳解】對(duì)于A,|z,|=V2+1=V5,|Z2|=71+(-2)=45,區(qū)|="|,A正確：

對(duì)干B,z,+z2=3-i,則匕+z21=53?+(-I)?=M,B正確；

對(duì)「C,z)z2=(2+i)(l-2i)=4-3i,則|4馬|一J4?+(-3鏟一5人||句|，C正確:

-—~

對(duì)于D,z,z2=(2+i)(l+2i)=5i,z,z,=(2-i)(l-2i)=-5i,zxz2^zxz2tD錯(cuò)誤.

故選：ABC

10.已知向量2=(3,2)3=(-1,2)，則下列結(jié)論正確的是()

A.|昨逐

B.與5同向的單位向量為一

\JJ/

C.5在G上的投影向量為(一"|)

D.若。與5+的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)義的取值范圍是(-13,內(nèi))

【答案】AB

【分析】對(duì)于A,利用向量的模的坐標(biāo)公式計(jì)算即得：對(duì)于B,利用單位向量的定義計(jì)算可判斷：對(duì)于C,

利用向量投影向量的坐標(biāo)公式求解判斷：對(duì)于D,利用兩向量夾角為銳角的充要條件列方程組求解可判斷?

【詳解】對(duì)于A,|B|=J(-l)2+2?=后,故A正確；

對(duì)于B,與B共線的單位向量？=嘀=±-與注~.同向?yàn)椴肥郑酰蔅正確；

5/15

—?—?J1/。勺、

對(duì)于C3在G上的投影向量為W|cos，lg畝付y=w(3,2)=[GRj,故C錯(cuò)誤;

對(duì)FD,因G+4=(3,2)+〃T,2)=(3_/l,2/l+2),則由(3+/^)=3(3-/1)+2(2/1+2)=2+13,

_2+13>0

由晨與G+助的夾角為銳角，可得：2八，解得2>-13且義。0,故D錯(cuò)誤.

3(24+2)H2(3—X)

故選：AB.

11.已知ZU8C的面積為，角/、B、C的對(duì)邊分別是。、b、c,tan5=-^——,c2-b2=ab,則()

21+sinC

A.4-8=三B.C=2B

2

C.c=2D.8c邊的中線長(zhǎng)為應(yīng)還

2

【答案】ABD

【分析】利用條件也.=77菽化簡(jiǎn)判斷A,根據(jù)正弦定理及三角恒等變換判斷B,根據(jù)正弦定理求。判

斷3根據(jù)余弦定理求出中線長(zhǎng)判斷D.

_、“.e、iccosCsinB

【評(píng)解】因?yàn)?2g=4^=1

所以cosAcosC=sin4sinC+sinB，即cos(5+C)=sinB,

所以cos(兀-A)=-cos4=sin8,由sin4>0可知cos/l<0,即4為鈍角,

乂-cos%=sin(4-5,所以sin(4-5=sin5,

又4-^津?yàn)殇J角，所以力-?=8,故A正確；

因?yàn)閏?-b2=ab，由正弦定理可得sin?C-sin2B=sinAsinB，

所以(sinC+sin5)(sinC-sin5)=sinJsinB,

由和差化積公式可得4sin-----cos-----cos-----sin-----=sinAsinB,

2222

即sin(C+8)sin(C_8)=sin/lsinB,HPsinJsin(C-5)=sinAsinB,

由sin/l>0可得sin(C-8)=sin8,所以C-B=8或C—4+8=萬(舍去)，

即。=24,故B正確；

由AB可知，A+B+C=B+三+B+2B=n,所以8=色，故。=馬,4=把,

2848

6/15

因?yàn)镾=』HsinC='，所以"=」一=JI,

22sinC

由正弦定理，（2R『sin4sin8=&,B|J（2/?）2sin+j^sinB=2R2sin2B=^2R2=V?,

解價(jià)=1,所以c=2RsinC=2xJ^=&',故C錯(cuò)誤;

2

由。2-從="可知y=2-正，

設(shè)8c邊的中線長(zhǎng)為小，則”/=從+/@丫一2上?兒05。=2-啦+馬亞一0乂巫=”跡，

⑴2424

所以〃?=正還，故D正確.

2

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量滿足同=43=(2,2),若向量。在向量5方向上的投影向量的坐標(biāo)為(1,1),則|I+B|二

【答案】472

由題意可得計(jì)石=(W，進(jìn)而求得限8=4,利叫G-E|=J(G+盯可求解.

【分析】

db

由題意可得訐/=(1川，乂B=(2,2),麻=2?+22=8,

【詳解】

所以呼.（2,2）=（1,1）,

O

所以2.4=],所以"石=4,又同=4,

O

所以忖+6=#+肛=J/+2萬萬+戶=J16+2x4+8=4虛.

故答案為：45/2.

13.若復(fù)數(shù)z滿足|z-l-2i|=l(i為虛數(shù)單位)，則|z|的最大值為

【答案】75+1/1+V5

【分析】設(shè)z=x+MCr,yeR),即可得到點(diǎn)"/)在以(1,2)為圓心，|為半徑的圓上，求出坐標(biāo)原點(diǎn)到圓心

7/15

的距離，即可求出|z|的最大值.

【詳解】設(shè)N=x+yia，ywR）,因?yàn)閨"l-2i|=l,W5/（x-1）2+（^-2）2=1,

所以（4-1『+（歹-2）2=1,

所以點(diǎn)（國(guó)力在以。,2）為圓心，I為半徑的圓上，而目=々77表示點(diǎn)（xj）到原點(diǎn)（。，0）的距離，

又、/（0一1）2+（0一2）2=6,所以忖的最大值為逐+1.

故答案為：A/5+1

14.已知〃?,〃wR，若（6+〃）852%+（〃7-3〃911￥2機(jī)-1對(duì)任意實(shí)數(shù)3恒成立，則加+〃的最小值是.

【答案】-8

【分析】利用余弦的二倍角公式得（〃?+〃）（1-2副2"+（〃?-3〃屈仙2〃?-1對(duì)任意實(shí)數(shù)工恒成立，再令

/=sinx,/e[-l,l],將問題轉(zhuǎn)化為（加+冷（2/T）K〃（1-4，）+1在小卜1,1]上恒成立，最后根據(jù)f求得

m+W>-8,并說明〃】+〃=-8,〃=0時(shí)，可以取到即可.

【詳解】因?yàn)閏os2x=l-Zsin?彳，

所以（冽+〃）（1-2sii?x）+（刑-3〃）sinxim-l對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,

所以，（加+〃）（252%-5m.丫）《〃（1-4$2）+1對(duì)任意實(shí)數(shù)丫恒成立，

令1=sinx,/w[-1,1],

所以（m+M（2*-f）?〃（"4f）+l在叱卜山上恒成立,

取1=■!■時(shí)，一（〃?+〃）?41,即

48

當(dāng)陽+〃=—8,〃=0時(shí)，（枕+〃）（2/一）工〃（1-4，）+1等價(jià)于—8（2/一）41,即40恒成立，

所以m+〃的最小值為-8.

故答案為：-8

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知向量值=（2cosa,l）,6=（2tana,V2）.

8/15

⑴若試求銳角。的值;

（2）若21行，且a《goj,求cosa-：71的值.

4

2cosa

【詳解】（1）因?yàn)镚〃萬，所以）tana=&，所以?cos?a=sina，

即&sii?a+sina-五二0,解得sina=也或sina=-0（舍去），

2

又。足銳角，故"?（6分）

(2)因?yàn)椴还な?4=0,U4cosatana+x/2=0，4sina=-41?-'1^sina=

4

V14

因?yàn)閍wpOj,所以cosa=---

4

=cosacoS^+sinasin^=^x^/_、份y/l—1

從而cosa-f，=丁⑴分）

I4J4442

16.（15分）

已知z為兔數(shù)，z+2i和三均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2-1

⑴求z；

（2）若復(fù)數(shù)z是方程x2+mx+n=0（〃?,weR）的一個(gè)解，求〃l〃的值.

⑶若4=z-+-|---7二i在第四象限，求加的取值范圍.

m+2

【答案】⑴z=4-2i

（2）.7/-/?=-28

（3）|-2,-u1,-

\r）\4）

【分析】（1）設(shè)2=。+及（41?1＜）,依據(jù)題設(shè)，建立方程求出。力，即可求得Z；

（2）代入z可得（4-2i『+（4-2i）〃?+〃=0,求得加，〃，進(jìn)而得到答案；

[9口＞0

（3）先求出與=%?+空J(rèn)i,再根據(jù)題意建立不等式組小一:求解即可.

w-1w+22m-3八

-----＜0

m+2

【詳解】(1)設(shè)N=a+6i(a,6eR),則z+2i=a+(2+b)i為實(shí)數(shù)，所以6=-2.

z_(6/-2i)(2+i)_(2a+2)+(a—4)i

2^1-(2-i)(2+i)-丁為實(shí)數(shù),所以。=4,

9/15

所以z=4—2i.（4分）

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z是方程F+ntx+n=。(〃?,〃wR)的一個(gè)解,

代人可得（4一2if+（4—2i）m+〃=0,

12+4m+n=0

整理可得〈-6-2〃,=。'解得…8,〃=20,

所以m-n=-28.（9分）

1乙=4+J2-74m-32m-3.

（3）z=z+----1=------+

]rn—\m+2—1+2Jm-1-m+2

—>0

m-\（4加一

由4在笫四象限，得

2<0（2/7/-3）（/??+2）＜0

m+2

33

解得一2Vme,或

42

故陽的取值范圍為12,1卜［1,

U-(15分)

17.（15分）

如圖，在直角梯形048。中，04'CB,0At0C,0A=2BC=20C,M為AB上靠近A的三等分點(diǎn),0M交AC

于為線段8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴用6i和反表示麗:

⑵求深

(3)設(shè)麗=九3+4歷，求，"的取值范圍.

【詳解】⑴依題意無二為，擊=7次，

23

.?.說F=；(麗一叫=；(反+函—那=；反+：況_：況=；反_；鞏

.?.m7=O4+Zi7=a4+|-dc--o?|=-51+-oc；(4分)

136J63

(2)因QW交4C「N,由(I)知麗=/麗=/-0A+-0c\=-0A+-0C,

、63/63

10/15

由其起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，言+:=1,則f=。，

637

\ON\ON

所以麗=6兩，所以昌=6,即M=6；(9分)

MNMN

(3)由已知?dú)v=1+而=反+,方，

2

因。是線段8C上動(dòng)點(diǎn)，貝I］令麗=

礪=宓+〃歷=2@_網(wǎng)+〃戶+畫=(%+〃x)a+(〃T再,

//-2=12=//-1

又無，而不共線，則有，1,得43,（12分）

Z+z/x=-u=------

2/2+2x

133

H^O<x<—=>l<x+l<—=>1<//<—,

所以4?〃=〃（〃_1）=（〃_31_：在〃￡1,|上遞增，

333

所以〃二l,(，〃)mm=0,〃=5，(，")max=I，故九〃的取值范圍是。口..(15分)

18.（17分）

某養(yǎng)殖公司有一處矩形養(yǎng)殖池力4C。，如圖所示，力4=40米，BC=20百米，為了便于冬天給養(yǎng)殖池內(nèi)的

水加溫，該公司計(jì)劃在養(yǎng)殖池內(nèi)鋪設(shè)三條加溫帶EF,OF,考慮到整體規(guī)劃，要求。是邊力片的中點(diǎn),

點(diǎn)E在邊3C上，點(diǎn)尸在邊力。上，MZ.EOF-,設(shè)乙BOE=a.

(1)試將AOE/的周長(zhǎng)/表示成。的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)lana=g時(shí)，求加溫帶的長(zhǎng)；

(3)為增加夜間水卜照明亮度，決定在兩條加溫帶OE和。尸上安裝智能照明裝置，經(jīng)核算，兩條加溫帶每米

增加智能照明裝置的費(fèi)用均為500元，試問如何設(shè)計(jì)才能使新加裝的智能照明裝置的費(fèi)用最低？并求出最

低費(fèi)用.

11/15

【詳解】（1）在口以8。石，RtA4。產(chǎn)中，由NBOE=NAFO=a,

得0E=-^_OF=-^-

cosasina

又RSEO/中，由勾股定理得E.=JOE2+O尸2=+(3_20

,(cosaj\sinasinacosa

因』O￡+O必+￡/=至+至+^—=20（1爐出0?0^）,

cosasinasinacosasinacosa

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)D時(shí),此時(shí)。的值最小，。=?，當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)。的值最大，。=￡，

63

所以函數(shù)關(guān)系式為/=2°。+曰na-cosa）,定義域?yàn)镽,：］.（5分）

sinacosa!_63

（2）由（1）知七尸二匚~———，tana=,

sinacosa2

EU.sinacosatana2

因此sina?cosa=——；-------=——；----=-,

sin'a+cos*atan~a+15

于是石尸=5（）.（9分）

（3）依題意，要使費(fèi)用最低，只需OE+Ob最小即可,

由（1）得，。￡+0尸=2。（一。+一0。』笈

sinacosaL63

,2-]

設(shè)$ina+cosa=/,則sinacosa=-------

2

八.“20/40/

OE+OF=———=——

/2-1t2-

2

rz.（n.「兀兀］小5兀,兀，7兒

‘二宿””力由叫，＞得/a+m（12分）

.5兀.7C71

sin—=sin—+—

12(64；

.771.itn花nn.itV6+V2

sin—=sin=sin—cos—4-cos—sin—

12U43434~4~

于是墾近,

2

令/［）="；，函數(shù)/〃）="；在（0,+。）上為增函數(shù),

則當(dāng)，坨時(shí),。。+。尸最小,且最小值為4。&,此時(shí)t，

所以當(dāng)8￡=力尸=20米時(shí)，照明裝置費(fèi)用最低，最低費(fèi)用C=50（）（。￡+0尸）=2（）（）（）0底元（17分）

19.(17分)

12/15

若△力8。內(nèi)一點(diǎn)尸滿足/尸48=NP8C=N尸。=夕，則稱點(diǎn)尸為△48C的布洛卡點(diǎn)，。為的布洛卡

角.如圖，己知。中，BC=a,AC=b,/〃=c,點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)，。為△力BC的布洛卡角.

(1)若人=。，且滿足a=6,求/力8c的大小.

PA

⑵若△48。為銳角三角形.

<i)證明：—!—=——■——十——!——+——!——

tan0tanZ.BACtanZ.ABCtanZ.ACB

3)若P8平分Z"C,證明：b2=ac.

【答案】⑴?

6

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(I)先判斷△PC8與△P84相似，進(jìn)而得到。=百,、，應(yīng)用余弦定理求出cos/48c的值即可;

(2)(i)在△力8c內(nèi)，三次應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得:

22:

一1+」a+b+c

，針對(duì)。分別在A"8、△P8C和力內(nèi)，三次應(yīng)用余弦

tanZBACian46Clan4c64s八的

定理以及三角形的面積公式，且晨^=5/卷+5“用+&.,表示出三角形的面積，由余弦定理形式相加，

再化筒恪理小」一：'+"即可得證；(仃)得出/+〃+°2與S/8c的等量關(guān)系，再利用余弦定理

tan夕4S“BC

和三角形的面枳公式，PB平分N4BC,將S?Bc=；msin20代入，化簡(jiǎn)整理即可得證.

【詳解】(I)若6=。，即得N4BC=/ACB,

點(diǎn)P滿足4PAB=4PBC="CA=0,貝IJ4PCB=4PBA,

在APC8和△尸歷1中，NPCB=ZPBA,NPAB=NPBC=B,

PR

所以APCB與相似，H—=6

PA

所以《2=~=百，即a=百c,

ABc

由余弦定理得：cosZABC=a-C-~b-,且“=戊，b=c,

2ac

13/15

得cosNABC=3"+"”=立

且0<4〈兀，

26招2

所以=（4分）

6

(2)(i)在△/i?。內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形的面積公式得: