2026年高考數(shù)學(xué)一輪培優(yōu)練習(xí)（新高考）復(fù)數(shù)（學(xué)生版+解析）

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

§5.5復(fù)數(shù)

【考情分析?探規(guī)律】

考點(diǎn)3年考情(2021-2024)命題趨勢(shì)

2023?全國(guó)甲卷、2022?浙江卷

考點(diǎn)1復(fù)數(shù)相等2022?全國(guó)乙卷、2022?全國(guó)乙卷

通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)；

2021?全國(guó)乙卷

理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何

2024?全國(guó)甲卷、2024?全國(guó)甲卷

意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含

2023?北京卷、2023?全國(guó)乙卷、2023,全

義：掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了

考點(diǎn)2共輒系數(shù)國(guó)新I卷、2022?全國(guó)甲卷2022?全國(guó)

解復(fù)數(shù)加1、減運(yùn)算的幾何意義；

甲卷、2022?全國(guó)新I卷

本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)

2021?全國(guó)乙卷、2021?新I卷全國(guó)

容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、

2024?全國(guó)新H卷、2023?全國(guó)乙卷

考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的模共疾復(fù)數(shù)、模長(zhǎng)運(yùn)算、幾何意

2022?全國(guó)甲卷、2022.北京卷

義，題型較為簡(jiǎn)單。

考點(diǎn)4復(fù)數(shù)的幾何2023?全國(guó)新H卷、2023?北京卷

意義2021?全國(guó)新H卷

【知識(shí)梳理】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a十〃i(“，。仁R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，共中_是復(fù)數(shù)的實(shí)部，_是

復(fù)數(shù)的虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+/水a(chǎn),Z?eR)

實(shí)數(shù)(b二0),

復(fù)數(shù)

虛數(shù)(b三0)(當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等：

a+〃i=c+di=(a,b,c,d@R).

(4)共扼復(fù)數(shù)：

歷與c+di互為共軌復(fù)數(shù)=(a,",c,”WR).

(5)復(fù)數(shù)的模：

向量)的模叫做復(fù)數(shù)z=o+bi的模或絕對(duì)值，記作_或,即|z|=|a+Z?i|=

22

Ja+b(atZ?eR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)一

(1)復(fù)數(shù)z=〃+Aim，Z?GR)-*復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(mb).

一一對(duì)應(yīng)

⑵復(fù)數(shù)z=a+Ai(m0￡R)"平面向量限.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,R),貝lj

①加法：z\+z2=(〃+/?i)+(c+di)=;

②減法：zi-Z2=(a+〃i)—(c+di)=;

③乘法：zi?Z2=(〃+Z?i)?(c+di)=;

④除法：紅=筆=；［曾+若哪(c+公。).

2222

z2c+山(c+di)(c-di)c+dc+d

⑵幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即場(chǎng)

=0Z1H-OZ2?7>\7.2~~07,2—0Z1.

點(diǎn)撥】

Li的乘方具有周期性

i"=l,i4w+1=i,i4,,+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4”+l+i4〃+2+i4“+3=o,〃￡N*.

01+i1-i

2.(㈤2=±力，K，而

3.復(fù)數(shù)的模與共扼復(fù)數(shù)的關(guān)系Z?Z=|Z|2=|ZF.

【隨堂訓(xùn)【練】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=〃+/?im，中，虛部為萬(wàn).()

(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)

的向量的模.()

2.(2024.新課標(biāo)全國(guó)〃)已知z=-l-i,則|z|等于()

A.OB.lC.V2D.2

3.已知復(fù)數(shù)z=i'(l+i),則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.復(fù)數(shù)作的共挽復(fù)數(shù)是__________.

1—2

「1云福商莪'i

11.熟記與復(fù)數(shù)有關(guān)的常用結(jié)論

i

I(l)(l±i)2=±2i；^=i；盤(pán)=一1

I1-11+1

\(2)i4n=1,i4,,+'=i,i4M+2=-l,i4”+3=-i(〃wN").

j(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2,|zrz2|=|z#|z2|,=*0=|Z|".

\(4MW|z|W「2表示以原點(diǎn)。為圓心，以門(mén)和r2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

：|z—(4+例)|=?>0)表示以3,〃)為圓心，，?為半徑的圓.

\2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)

!(1)利用復(fù)數(shù)相等a+〃i=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,d￡R的前提條件.

；(2)兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小.

【必練核心題型】

題型一復(fù)數(shù)的概念

【典例】1.(2024?白山模擬)復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3,則z的虛部為()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【典例】2.已知復(fù)數(shù)z=，〃2—1+Q〃+i2>i〃％eR）表示純虛數(shù)，則〃7等于（）

A.lB.-lC.1或一1D.2

【典例】3.（2025?晉中模擬）已知復(fù)數(shù)z=l-2i是方程％2+公+方=0（a,b￡R）的根,

則以十㈤等于（）

A.V5B.4C.VHD.V29

【變式訓(xùn)練】

變式1.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，正確的是（）

A.復(fù)數(shù)i是最小的純虛數(shù)

D.在更數(shù)范圍內(nèi)，模為1的夏數(shù)共有1,—1,i和一i四個(gè)

C.i與一i是一對(duì)共猊復(fù)數(shù)

D.虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

變式2.（2025?南通模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足z?=-3+4i,則|z|等于（）

A.1B.5C.V5D.2

變式3.已知復(fù)數(shù)z滿足4z（l+z）=l5+8i,則z的實(shí)部為.

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【典例】1.（2024?新課標(biāo)全國(guó)I）若」;=l+i,則z等于（）

z—1

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.l+i

【典例】2.設(shè)復(fù)數(shù)z=（詈），則z等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

【典例】3.已知復(fù)數(shù)z滿足變=2i,貝

Z-I------------------

【變式訓(xùn)練】

變式1.（2023?新高考全國(guó)I）已知2=懸，則2—5等于（）

A.—iB.iC.OD.l

變式2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,—1）,則蕓=________.

變式3.已知i為虛數(shù)單位，貝Ji+i?+i3+…+[2（儂=.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

【典例】1.已知復(fù)數(shù)z=（a-l）-2ai（aWR）,且|z|=5,若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

位于第二象限，則。等于（）

A.-2B.一9C.2D.9

【典例】2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)heR）.且|z一i|=|z+2—i|,貝lj|z

—3+V5i|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【變式訓(xùn)練】

變式1.（2025?南充模擬）當(dāng)1＜小＜2時(shí)，復(fù)數(shù)〃Ll+（〃z—2）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1,貝此一”的最小值為（）

A.lB.V5-1C.而+1D.3

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：40分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共30分）

1.已知a,b￡R,a—3i=S—i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=l,b=~3B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=—3D.〃=l,b=3

2.（2025?曲靖模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3+2i,—2+3i充應(yīng)的向量分別是耐，OB,其中O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量四對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.l+iB.5-i

C.5—3iD.—5+i

3.已知復(fù)數(shù)z=，^（i為虛數(shù)單位），則（）

A.z的實(shí)部為2

B.|z|-V5

C.z=2-i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

4.已知復(fù)數(shù)z=〃-7/〃+6+（"P-36）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)in的值為（）

A.±6B.1或6C.-6D.1

5.（2025?固原模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足2z+--=z+i,則z等于（）

1+1

A.-2—iB.2—iC.—2+iD.2+i

6.已知復(fù)數(shù)z滿足l<|z—（1一i）|W2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為

A.71B.2兀C.3兀D.4兀

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.（2025?徐州模擬）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-］日），則（）

A.|z|=1B.z+z=1

C.z2+z+l=0D.Z2026=Z

8.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z=-2+i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

B.若z滿足z?i=-l+2i,則5的虛部為1

C.若z是方程f+3=0的根，則z=±V5i

D.若z滿足|z—1+2i|=2，則|z|的最大值為遙+魚(yú)

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2025?遼陽(yáng)模擬）若復(fù)數(shù)z=等+|3—4i|,則|z|=.

10.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足①②的復(fù)數(shù)z=.

??=z；R.

四、解答題（共28分）

11.（13分）己知復(fù)數(shù)Z―/+”?-2+（/〃-1）i（/〃￡R）,其中i為虛數(shù)單位.

（1）若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；（6分）

（2）若〃?=2,設(shè)言=〃+/（〃，（￡R）,試求的值.（7分）

12.（15分）已知x=-l+i是方程^+辦+力=0（。，底R(shí)）的一個(gè)根.

（1）求實(shí)數(shù)mb的值；（7分）

（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測(cè)方程的另一個(gè)根，并給予證明.（8分）

【尖子拔高訓(xùn)練】每小題5分，共10分

13.已知復(fù)數(shù)Z|,Z2和Z滿足同=同=1,若|ZLZ2|=|Z|T|=|Z2-z|,則|z|的最大值為()

A.2V3B.3C.V3D.1

14.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+歷(a,Z?￡R)對(duì)應(yīng)向量被(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)|U2|=r,以射

線Qx為始邊，向量被所在射線為終邊，旋轉(zhuǎn)的角為4則z=r(cosO+isin〃)，法國(guó)數(shù)

學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：zi=Mcos6]+isin6i)，Z2=/2(cos優(yōu)+isin02)，則ZiZ2=

功力[cos(6i+%)+isin(4+仇)],由棣莫弗定理可以推導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:[/(cos0+isin如"

=&cos〃0+isin/M.已知z=(V5+i)t則閉=；若復(fù)數(shù)g滿足①"一1=0(〃

￡N"),則稱復(fù)數(shù)①為〃次單位根，若復(fù)數(shù)①是6次單位根，且切陣R,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足

條件的口=

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

§5.5復(fù)數(shù)

【考情分析?探規(guī)律】

考點(diǎn)3年考情（202L2024）命題趨勢(shì)

2023?全國(guó)甲卷、2022?浙江卷

考點(diǎn)1復(fù):數(shù)相等2022?全國(guó)乙卷、2022,全國(guó)乙卷

通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)；

2021?全國(guó)乙卷

理解更數(shù)的代數(shù)表示及其幾何

2024?全國(guó)甲卷、2024?全國(guó)甲卷

意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含

2023?北京卷、2023?全國(guó)乙卷、2023?全

義；掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了

考點(diǎn)2共規(guī)復(fù)數(shù)國(guó)新I卷、2022?全國(guó)甲卷2022?全國(guó)

解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義：

甲卷、2022?全國(guó)新I卷

本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)

2021?全國(guó)乙卷、2021?新I卷全國(guó)

容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、

2024?全國(guó)新II卷、2023?全國(guó)乙卷

考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的模共扼復(fù)數(shù)、模長(zhǎng)運(yùn)算、幾何意

2022?全國(guó)甲卷、2022.北京卷

義，題型較為簡(jiǎn)單。

考點(diǎn)4復(fù)數(shù)的幾何2023?全國(guó)新H卷、2023?北京卷

意義2021?全國(guó)新『卷

【知識(shí)梳理】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如〃+歷(。，人WR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中且是復(fù)數(shù)的實(shí)部，幺是

復(fù)數(shù)的虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+〃i(a,Z?WR)

(實(shí)數(shù)S=o),

復(fù)數(shù)<一

|虛數(shù)(b三0)(當(dāng)a:0時(shí)為純虛數(shù)).

(3)復(fù)數(shù)相等：

藥=c+dioa=c且b=d(a,b,c,dR).

(4)共規(guī)復(fù)數(shù)：

a+Z?i與c+di互為共軌復(fù)數(shù)oq=c,/?=—</(〃,b,c,dWR).

(5)復(fù)數(shù)的模：

向量被的模叫做復(fù)數(shù)z=a+物的模或絕對(duì)值，記作。或山土3，即|4=|。+加=

卜+爐儂，人WR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一一對(duì)應(yīng)一

(1)復(fù)數(shù)z=〃+Aim，Z?GR)-*復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(mb).

一一對(duì)應(yīng)

⑵復(fù)數(shù)z=a+Ai(m0￡R)"平面向量限.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,R),貝lj

①加法：ziQz2=(a+/i)+(c4~di)=(a+c)+(7?+d)i；

②減法：zi-Z2=(a+〃i)—(c+di)=(a-c)+(〃-d)i；

③乘法：zi?Z2=(a+Z?i)?(c+di)=(ac—權(quán)Z)+(ad+bc)i；

④除法：紅=筆=+若哪(公。).

；［曾2222c+

z2c+山(c+di)(c-di)c+dc+d

⑵幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即場(chǎng)

=0Z1H-OZ2?7>\7.2~~07,2—0Z1.

點(diǎn)撥】

Li的乘方具有周期性

i"=l,i4w+1=i,i4,,+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4”+l+i4〃+2+i4“+3=o,〃￡N*.

01+i1-i

2.(㈤2=±力，K，而

3.復(fù)數(shù)的模與共扼復(fù)數(shù)的關(guān)系Z?Z=|Z|2=|ZF.

【隨堂訓(xùn)【練】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=〃+/?im，中，虛部為萬(wàn).()

(2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()

(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)

的向量的模.()

【答案】(1)X(2)X⑶J(4)7

【解析】(1)虛部為b;(2)虛數(shù)不可以比較大小.

2.(2024?新課標(biāo)全國(guó)〃)已知z=-l-i,則|z|等于()

A.OB.lC.V2D.2

【答案】C

【解析】若z=-l—i,

則|z|=J(T)2+(-1)2=&.

3.已知復(fù)數(shù)Z=P(l+i),則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】Z-i3(l+i)--i[l+i)-l-i,Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,一1)，位于第四象限.

4.復(fù)數(shù)上;的共規(guī)復(fù)數(shù)是__________.

1—2

【答案】-2+i

【解析】告=,\]廣)2T故其共樂(lè)復(fù)數(shù)是一2+i.

1-2(-2+i)(-2-i)

L熟記與復(fù)數(shù)有關(guān)的常用結(jié)論

(l)(l±i)2=±2i；言=1^=-i.

(2)i4,,=L產(chǎn)+i=i,i4w+2=-l,i4"+3=-i(〃￡N").

(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2,|ZI?Z2|=|Z4|Z2|,|引=魯，0=|Z|”.

gi(221

(4,W|z|W-2表示以原點(diǎn)。為圓心，以內(nèi)和r2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

j|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.

!2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)

I

，⑴利用復(fù)數(shù)相等〃+bi=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,d￡R的前提條件.

\(2)兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小.

【必練核心題型】

題型一復(fù)數(shù)的概念

【典例】1.(2024?白山模擬)復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3,則z的虛部為()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【答案】D

【解析】由z=i+2i2+3P可得z=-2—2i,故z的虛部為一2.

【典例】2.已知復(fù)數(shù)z=〃?2—1I(〃7Ii2)?i(〃zWR)表示純虛數(shù)，則〃2等于()

A.lB.-lC.1或一1D.2

【答案】B

【解析】因?yàn)閦=m2—H-(m+i2)-i=m2—l+(m—l)i,

若復(fù)數(shù)z表示純虛數(shù)，貝07n2-1=0,解得加=一］.

"I—1不0,

【典例】3.(2025?晉中模擬)已知復(fù)數(shù)z=l-2i是方程f+aLH?=0m，〃WR)的根,

則m+例等于()

A.V5B.4C.VHD.V29

【答案】D

【解析】由題意得，z=l+2i是方程W+at+b=0(。"WR)的一個(gè)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得l+2i+l—2i=-〃，(l+2i)(l-2i)=。,

故a=-2,Z?=l-4i2=1+4=5,

故|a+/?i|=|—2+5i|=^4+25=V29.

:【解題技巧】

丁■?■?■?■???■?■?■,????■???????■?????■?■???■?■???■?■???■???■?????■?■?????■???■?■??,????????■???■,?,??■?■???■?■???■?■?■,■?????■,■???■????

I解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的常用方法

\(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+加m，8￡R),則

\該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a,虛部為b.

\

j(2)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z=4+〃i￡RQ〃=0(a,〃￡R)；②z￡RQz=2;?zeR<=>r^O.

\(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件

i

\①z=〃+Z?i是純虛數(shù)<=>〃=0且bWO(a，8￡R)；

[②z是純虛數(shù)=z+5=0(z#0)；③z是純虛數(shù)=z2<0.

i

i(4)復(fù)數(shù)z=a+/?i(a,Z?￡R)的共朝復(fù)數(shù)為5=。一加，貝ijz?5=|zF=|團(tuán)？，即團(tuán)=|團(tuán)=^/7忍

【變式訓(xùn)練】

變式1.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，正確的是()

A.復(fù)數(shù)i是最小的純虛數(shù)

B.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，模為1的復(fù)數(shù)共有1,-1,i和一i四個(gè)

C.i與一i是一對(duì)共細(xì)復(fù)數(shù)

D.虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

【答案】C

【解析】虛數(shù)不能比大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于復(fù)數(shù)2="+勿(〃"GR),但凡滿足/+序

=1,其模均為1,顯然不僅四個(gè)，比如〃=：,b=苧時(shí)，|z|=l,故B錯(cuò)誤；由共朝復(fù)

數(shù)的定義可知C正確；原點(diǎn)(0,0)也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.

變式2.(2025?南通模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z2=-3+4i,則團(tuán)等于()

A.1B.5C.V5D.2

【答案】C

【解析】設(shè)z=〃+〃im，力￡R),

則/=/—〃+2曲，又z?=-3+4i,

Q2—62=_3Q=l一(a=-1,

所以'解得或

、2Q6=4,%=2Vb=-2,

貝ijz=1+2i或z=-1—2i

所以|z|=Jl+4=V^.

變式3.己知復(fù)數(shù)z滿足4z（l+z）=15+8i,則z的實(shí)部為

【答案】一之

【解析】設(shè)z=a+Z?i（a,〃七R）,則革=〃一bi,

由45(1+z)=15+8i,得4(“一加)+4(o2+/)=15+8i,

由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得

4a+4(。2+}2)=15a=

/Tr

—4b=8,b=-2,

故z的實(shí)部為一條

題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【典例】1.（2024?新課標(biāo)全國(guó)I）若六=l+i,則z等于（)

A.-1B.-14-i

C.l-iD.l+i

【答案】C

【解析】因?yàn)榱?/p>

=1+六=1+"

所以z=1+^=1—i.

2025

【典例】2.設(shè)復(fù)數(shù)z=（署），則Z等于（）

A.lB.-lC.iD.-i

【答案】C

.14-21_(l+2i)：2~H)_5i

【解析】V

2-i55

?__;2025_;4X506+l

??Z-1—1—1

【典例】3.已知復(fù)數(shù)z滿足金=2「貝ijz-2=

ZT-------------

【答案】5

【解析】因?yàn)檠?2i,

所以z—3=2i(z—i)=2+2iz,

所以z=5

l-2i

所以，=1-2i,則z,5=(l+2i)(l-2i)=5.

「1贏莪石i

i復(fù)數(shù)四則運(yùn)算問(wèn)題的解題策略

復(fù)數(shù)的在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)運(yùn)用法則（實(shí)部與實(shí)部相加減，虛

加減法部與虛部相加減）計(jì)算

復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i

乘法的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并

復(fù)數(shù)的除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共貌復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫(xiě)成最簡(jiǎn)形

除法式，這里的父母買(mǎi)數(shù)化可類比分母含根式的分母有埋化

【變式訓(xùn)練】

變式1.（2023?新高考全國(guó)I）已知z=W；,則z-5等于（）

A.-iB.iC.OD.l

【答案】A

【解析】因?yàn)?-i,

2+2i-2(l+i)(l-i)

=子=—,所以2=1i,即z—z=-i.

變式2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）,則三=

Z-1--------

【答案】2i

【解析】由題意得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),

故z=2—i,z=2+i,

+i_2+i+i_2+2i_2(l+i)2_2(l+i)2一,

-

改口2-i-lil-i)(14-i)2'

變式3.已知i為虛數(shù)單位，則i+i2+i3+-+i2025=.

【答案】i

【解析】i+i2+i3+i4=0,

則i+i2+i3+…+i2O25=5O6XO+i=i.

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

【典例】1.已知復(fù)數(shù)2=3—1)-2ai(〃￡R),且|z|=5,若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

位于第二象限，則。等于()

A.-2B.--C.2D.-

55

【答案】A

【解析】由題意|Z|=J(Q-1)2+(-2Q)2=5,

得5/—2〃-24=0,解得a=—2或,

因?yàn)閆在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，

所以「71二°做〃<°，故。=一2.

l-2tz>0,

【典例】2.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+Z?i(a,8￡R),且|z-i|=|z+2—i|,則|z

—3+V5i|的最小值為()

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】方法一由|z—i|=|z+2—i|，得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)(一

2,1)的距寓相等，則點(diǎn)Z在直線X=-1上.

|z—3+V5i|表示點(diǎn)Z與點(diǎn)(3,—V5)的距離，過(guò)點(diǎn)(3,—V5)作直線x=-1的垂線，垂足

為P(圖略)，當(dāng)點(diǎn)Z與點(diǎn)尸重合時(shí)，Iz—3+g”取得最小值4.

方法二因?yàn)閦=a+hi(G,力￡R),

則z—i=a+(b—\)i,

z+2-i=(a+2)+(b-l)i,

由|z一i|=|z+2—i|,可得Ja2+(b_1)2=］伽+2)2+(匕一i)2,

解得。=-1,WJz=—1+Z?i,

所以z—3+V5i=-4+@+V5)i,

因此|z—3+V5i|=J(-4)2+(b+V5)224,

當(dāng)且僅當(dāng)6=一百時(shí)，等號(hào)成立，

故|z-3+VSi|的最小值為4.

「1麗莪石’i

\復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

:——對(duì)應(yīng).

；(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量次相互聯(lián)系、---對(duì)應(yīng)，即z=4+bi(a》￡R)

一一對(duì)應(yīng)__

jZ(a,b)^OZ.

j(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)

:系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.

【變式訓(xùn)練】

變式1.(2025?南充模擬)當(dāng)lv"z<2時(shí)，復(fù)數(shù)〃2—1+(〃7—2)1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】由\<m<2,可得產(chǎn)一忖2

im—z<u,

所以復(fù)數(shù)〃?一1+(〃7—2?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)2(〃7—1,"L2)位于第四象限.

變式2.已知復(fù)數(shù)z滿足|Z—2|=1,則|Z—i|的最小值為()

A.lB.V5-1C.V5+1D.3

【答案】B

【解析】設(shè)z=x+y\(x,y￡R),

因?yàn)閨2_2|=卜_2+刈=丁(久―2)2+丫2=],

所以(x—2)2+9=1,即二在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓C:(x-2)2+y2=l,如圖

又|z—i|=|x+()，—l)i|=[M+(y-，

所以|z—i|表示圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)A(0,1)的距離，所以上一i|min=C4-1=遍一1.

【限時(shí)訓(xùn)練】(限時(shí)：40分鐘)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)

1.已知a,b￡R,a—3i=S—i)i(i為虛數(shù)單位)，貝立)

A.6?—19h——3B.a=-1,b=3

C.a=-1,Z?=—3D.a=1,b=3

【答案】A

【解析】因?yàn)?i=(Z?-i)i=1+歷，所以〃=1,b=-3.

2.（2025?曲靖模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3+2i,—2+3i充應(yīng)的向量分別是耐，OB,其中O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.l+iB.5—i

C.5-3iD.-5+i

【答案】D

【解析】由題設(shè)萬(wàn)5=（3,2）,OB=（-2,3）,

則而=礪一瓦?=（一5,1）,

所以向量荏對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+i.

3.已知復(fù)數(shù)z=W（i為虛數(shù)單位），則（）

A.z的實(shí)部為2

B.|z|=V5

C.z=2~i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

【答案】B

【解析】2=牙=—（2+i）i=l—2i,故實(shí)部為1,0=6，5=l+2i,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)為（1,-2），位于第四象限.

4.已知復(fù)數(shù)z=m2—7/??+6+（m2—36）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.±6B.1或6C.-6D.1

【答案】D

【解析】由題意得m2—7m+6=0且〃P-36H0,則in=1.

5.（2025?固原模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足2z+六=2+「則z等于（）

A.-2-iB.2-iC.-2+iD.2+i

【答案】A

【解析】依題意，設(shè)z=a+bi（a,b￡R）,貝修=a一歷,

因?yàn)轭?4(1)=2-2i,

(l+i)(D

所以由2，+--=z+i,

可得2(a-bi)+2-2i=a+M+i,

,,,,,P12Q+2=Q,

則(2〃+2)—(2/?+2)i=〃+S+l)i,所以

l-(2b+2)=6+l,

(=-2

解得a’所以z=-2—i.

b=-1,

6.已知復(fù)數(shù)z滿足1W|z—(1一i)|W2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為

()

A.兀B.2KC.3兀D.4K

【答案】C

【解析】令z=a+萬(wàn)(a-￡R)則lW|(a-l)+(b+l)i|W2所以iWg—lF+S+lpWd,

即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積是圓心為(1,一1),半徑分別為1,2的兩個(gè)同心圓的面積

差，所以所求區(qū)域的面積為4兀一兀=3兀

二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)

7.(2025?徐州模擬)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1號(hào))，貝小)

A.|z|=lB.z+z=1

C.z2+z+l=OD.Z2026=Z

【答案】ACD

【解析】由題可知「二W+凈，憶尸JdJ+gjn，故A正確；

z=—1,z+2=—1,故B錯(cuò)誤；

/=(一]+爭(zhēng))=i—yi=—1—yi,所以d+z+l=—1+1=0,故C正確；

z3=22-2=(-1-yi)-(-1+yi)=l,

所以22026=22025.2=(Z3)675.2=2，故D正確.

8.下列說(shuō)法正確的是()

A.若z=-2+i,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

B.若z滿足zi=-l+2i,則2的虛部為1

C.若z是方程f+3=0的根，則2=±百1

D.若2滿足|z—I+2i|=2，則|z|的最大值為6+企

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,z=-2+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（一2,1），位于第二象限，故A正

確;

對(duì)于B,因?yàn)閦-i=-l+2i,所以z=*W=S^=2+i,貝壇=2—i,所以2的虛部

1I2

為一1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,方程x24-3=0的根為±V5i,故C正確；

對(duì)于D,設(shè)z=x+yi（x,yGR）,若z滿足憶一1+2i|=2,即|（工一1）+。+2川=2,所以

J（x—l）2+（y+2）2=2,即。-l）2+（y+2）2=4,則點(diǎn)（x,y）在以（1,一2）為圓心，2為

半徑的圓上，又圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為］12+（_2）2=遙,所以團(tuán)的最大值為遙+2,

故D錯(cuò)誤.

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2