空間幾何體的結(jié)構(gòu)、直觀圖、表面積與體積【10大重點(diǎn)題型】解析版-2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版必修第二冊(cè)）

空間幾何體的結(jié)構(gòu)、直觀圖、表面積與體積

【10大重點(diǎn)題型】

題型歸納

題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征■題型2組合體的結(jié)構(gòu)特彳工

題型3空間幾何體中最短路徑問題題型4立體圖形的直觀圖

題型5空間幾何體的表面積重點(diǎn)題型歸納題型6空間幾何體的體積

題型7球的截面問題'題型8空間幾何體的外接球問題

題型9空間幾何體的內(nèi)切球問題?題型10空間幾何體的截面問題

題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.（24-25高一下?江蘇鹽城?期中）下列關(guān)于空間幾何體的論述，正確的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.有兩個(gè)平面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.連接圓柱上下底面圓周上任意兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線

D.圓臺(tái)的軸截面不可能為直角梯形

【答案】D

【解題思路】作出滿足選項(xiàng)條件的幾何體即可判斷A和B考慮連線是否平行于旋轉(zhuǎn)軸可判斷C：根據(jù)圓臺(tái)

的定義，即可判斷D.

【解答過程】

圖1圖2

對(duì)FA,如圖1,利用兩個(gè)底面全等的斜棱柱拼接何成的幾何體滿足A中條件，但該幾何體不是棱柱，故A

1/44

錯(cuò)誤:

對(duì)FB,如圖2,該多面體有兩個(gè)平面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形，但該兒何體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)干C,連接圓柱上下底面圓周上任意兩點(diǎn)，只有連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,圓臺(tái)的軸截面是指過圓臺(tái)軸的平面截取幾何體得到的截面，其形狀為等腰梯形，

這是因?yàn)閳A臺(tái)是由圓錐被平行于底面的平面截得，軸截面包含上下底面的直徑和母線，形成對(duì)稱的等腰梯

形，

故圓臺(tái)的軸截面始終是等腰梯形，不可能為直角梯形，故D正確.

故選：D.

2.（24-25高一下?山西?期中）下列說法正確的是（）

A.各側(cè)棱都相等的楂錐為正棱錐

B.有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是柱臺(tái)

C.直角二角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

D.用任意一個(gè)平面去截球得到的截面一定是一個(gè)圓面

【答案】D

【解題思路】根據(jù)正棱錐的概念判斷A,根據(jù)棱臺(tái)的概念判斷B,根據(jù)圓錐的概念判斷C,根據(jù)球的截面形

狀判斷D.

【解答過程】各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，A錯(cuò)誤：

有兩個(gè)面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面體不一定是楂臺(tái)，

只有當(dāng)梯形的腰延長后交于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)多面體才是楂臺(tái)，B錯(cuò)誤；

直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是兩個(gè)圓錐的組合體，C錯(cuò)誤；

用任意一個(gè)平面去截球得到的截面一定是一個(gè)圓面，D正確.

故選：D.

3.（24-25高一下?河北邢臺(tái)?期中）下列命題正確的是（）

A.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面

B.所有面都是三角形的兒何體一定是三棱錐

C.所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱

D.棱臺(tái)的所有側(cè)樓所在直線一定交于同一點(diǎn)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)柱體，錐體，臺(tái)體的定義和結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.

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【解答過程】對(duì)于A,正六棱柱中兩個(gè)互相平行的平面可能是側(cè)面，則A錯(cuò)誤；

府于B,止八面體的所有面都是三角形，則B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,底面是菱形的直四棱柱的所有側(cè)面都是全等的矩形，則C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,由樓臺(tái)的定義可知棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在直線一定交于同一點(diǎn)，則D正確.

故透:D.

4.（24-25高一下?河北邯鄲?期中）下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.所有棱長都相等的直四棱柱是正方體

B.正三棱錐的每個(gè)面都是正三角形

C.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐

D.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意，舉出反例可得AB錯(cuò)誤，由圓柱、圓錐的定義綜合分析可知D正確，C錯(cuò)誤.

【解答過程】對(duì)于A,底面是菱形的直四棱柱，其側(cè)棱長與底面邊長相等時(shí)，

該直四棱柱的所有棱長都相等，但不是正方體，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：正三棱錐的底面為正三角形，側(cè)面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形，

且能保證頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影在底面正三角形的中心即可，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓

錐，

以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐組合而成的幾何

體，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，即D正

確；

故選：D.

5.（24-25高一下?廣東?期中）下列命題中為真命題的是（）

A.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形

B.用任意一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為楂臺(tái)

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所

圍成的多面體是棱柱

D.五棱錐共有6個(gè)頂點(diǎn)，11條棱

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【答案】C

【解題思路】利用圓臺(tái)、棱臺(tái)、棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即得.

【解答過程】對(duì)于A,圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)的一部分，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,用平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由棱柱的定義知，C正確:

對(duì)于D,五棱錐共有6個(gè)頂點(diǎn)，10條棱，D錯(cuò)誤.

故選：C.

題型2m八年的「特征

6.（24-25高一下?廣東深圳?期中）如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎(jiǎng)杯，該幾何體由（）

A.一個(gè)球、一個(gè)四棱柱、一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成

B.一個(gè)球、一個(gè)長方體、一人棱臺(tái)構(gòu)成

C.一個(gè)球、一個(gè)四楂臺(tái)、一人圓臺(tái)構(gòu)成

D.一個(gè)球、一個(gè)五棱柱、一個(gè)樓臺(tái)構(gòu)成

【答案】B

【解題思路】根據(jù)組合體基本構(gòu)成即可得答案.

【解答過程】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)球、一個(gè)長方體、一個(gè)棱臺(tái)構(gòu)成.

故選：B.

7.（24-25高一下?河北邢臺(tái)?期中）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體微去

八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.該幾何體有6個(gè)面是正方形

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B.該幾何體有8個(gè)面是正三角形

C.該兒何體恰有26條棱

D.該幾何體的表面積比原正方體的表面積小

【答案】C

【解題思路】根據(jù)截取的幾何體形狀可判斷AB正確，再根據(jù)正方體每個(gè)表面的棱長可判斷C錯(cuò)誤,

【解答過程】對(duì)于A,B,因?yàn)檎襟w截去八個(gè)正三棱錐，所以比原正方體多出八個(gè)正三角形，

原來的六個(gè)表面還是正方形，所以A,B正確.

對(duì)于C,因?yàn)樵襟w每個(gè)表面均有四條棱，所以該幾何體共有24條棱，C不正確.

對(duì)于D,不妨取正方體的棱長為2,截去的每個(gè)正三棱錐的側(cè)面面積為3x^x1x1=,,

而它的底面積是邊長為近的正三角形，其面積為TX（V2）2x當(dāng)=苧v|,

即截去的每個(gè)正三棱錐的側(cè)面面積比它的底面面積大，所以D正確.

故選：C.

8.（24-25高一下?北京朝陽?期中）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為

長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是

由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正

多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為I.則該半正多面體的棱長為

()

1

D.

3

【答案】B

【解題思路】利用多面體棱長與正方體的棱長的關(guān)系列方程即口:求解

【解答過程】如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為x,^\AB=BE=x,

延長與FE交于點(diǎn)G,延長交正方體棱于H,

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由半正多面體對(duì)稱性可知，ABGE為等腰直角三角形,

...BG=GE=CH=爭，:.GH=2X務(wù)+x=(V7+l)x=1

9.（24-25高一?全國?課堂例題）指出下圖中的空間圖形是由哪些簡單空間圖形割補(bǔ)而成的.

【答案】答案見解析

【解題思路】由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得.

【解答過程】左圖中的空間圖形是由一個(gè)六棱柱挖去一個(gè)圓柱所成的.

右圖中的空間圖形可以看作是由一個(gè)長方體割去一個(gè)四楂柱所成的，

也可以看作是由一個(gè)長方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的.

10.（24-25高一下?廣東廣州?期中）多面體的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)八棱數(shù)E與面數(shù)F滿足

V^F-E=2的數(shù)學(xué)關(guān)系.請(qǐng)運(yùn)用歐拉定理解決以下問題:

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（正方體）

（1）碳6O（C6o）的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由正五邊形面和正六邊形面共32個(gè)面構(gòu)成的凸多面體，60個(gè)碳原子處于多

面體的60個(gè)頂點(diǎn)位置，求32個(gè)面中正六邊形面的個(gè)數(shù)；

（2）規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲率等于2軟與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的

面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用孤度制表示），多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正

方體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是與，所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為211—3x5=1,故其總曲率為

8乂5=4m證明：任何簡單多面體的總曲率是常數(shù)；

（3）如果一個(gè)正多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多

面體叫做正多面體.設(shè)某個(gè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)為m,每個(gè)面的邊數(shù)為小求為滿足的關(guān)系

式；并據(jù)此說明正多面體僅有以下五種：正四面體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體.

【答案】⑴20

（2）證明見解析

（3）答案見解析

【解題思路】（1）由已知，正五邊形的個(gè)數(shù)為％,正六邊形的個(gè)數(shù)為y,則g（5"+6y）190,解出、即可;

（2）設(shè)多面體有F個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號(hào)，分別為L2,「J號(hào)，得到多面體的頂點(diǎn)數(shù)，進(jìn)而得所

有多邊形內(nèi)角之和，算出總曲率為常數(shù)，即可證明：

（3）由題意得=M=代入V+r-E=2,可得^+;二打也因此5+又機(jī)之3,共3,

列出分別說明，即得答案.

【解答過程】（1）由題意可知V=60,F=32,由/+尸一￡=2可得￡=90,

設(shè)正五邊形的個(gè)數(shù)為％,正六邊形的個(gè)數(shù)為y,則x+y=32,

因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面，所以足球烯表面的棱數(shù)E=1（5x+6y）=90,

聯(lián)立二（5\+6丫）：90,解得味，即32個(gè)面中正六邊形面的個(gè)數(shù)是20.

x+y=32-NU

（2）設(shè)多面體有F個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號(hào)，分別為L2,…,F號(hào)，

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設(shè)第i號(hào)(1<i<F)多邊形有條邊，多面體有E=&+&；??+以條棱,

由題意，多面體共有U=2-F+E=2—尸+婦駕二包個(gè)頂點(diǎn),

?號(hào)多邊形內(nèi)角之和(耳一2)n,所有多邊形內(nèi)角之和n(Ei+E2+…+￡>)-2nF,

故總曲率為2nV-[TT(EJ+%+…+E/)-2nF]=2n(2—F+"+"；——[n(Fi+%+…+EF)-2TTF]

=4n.

則任何簡單多面體的總曲率是常數(shù)：

(3)由某個(gè)正多面體每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)為m,每個(gè)面的邊數(shù)為小可知2E=rz/=niV,

于是卜=和<=拳將其代入V+~一E=2,

所以華+f一￡=2,所以5+；打卷，

因此又心g2

故所有五組正整數(shù)解為f方鹿或器：我X1黑：梟

當(dāng)年二時(shí),E=6,則尸=午=4,此時(shí)正多面體為正四面體，

當(dāng)｛々::時(shí)，F(xiàn)=12,則/=彳=6,此時(shí)正多面體為正六面體，

當(dāng)｛彳:。時(shí)，E=30,MF=^=12,此時(shí)正多面體為正十二面體，

當(dāng)時(shí),￡=12,則F=?=8,此時(shí)正多面體為正八面體，

當(dāng)"胃時(shí),E=30,則/=千=20,此時(shí)正多面體為正二十面體，

所以正多面體僅有正四面體、正方體、正八面體、正十二面體和正二十面體共五種.

題型3、■^■泰詢御

11.(24-25高一下?福建福州?期中)已知正三棱柱48。一4%。1的底面邊長為2,高為5,一質(zhì)點(diǎn)從力點(diǎn)出

發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)4點(diǎn)的最短路線長為()

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B

A.x/61B.10C.5V5D.13

【答案】D

【解題思路】根據(jù)側(cè)面展開圖可得最短距離.

【解答過程】由已知，需繞三棱柱的側(cè)面繞行兩周,

則將三棱柱沿月心展開，并沿底邊獷大2倍，

則展開圖是以2x3x2=12為底，5為高的矩形,

則最短路徑即為其對(duì)角線長為V122+52=13,

故選:D.

12.（24-25高一下?山東青島?期末）如圖，圓錐的母線長為3,底面半徑為1,一只螞蟻從點(diǎn)P處沿著該圓

錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)夕處，則螞蟻爬行的最短路線長為（）

A.V3B.3C.2V3D.373

【答案】D

【解題思路】畫出圓錐的側(cè)面展開圖，則螞蟻爬行的最短距離為PP,在中，解三角形即可.

【解答過程】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，

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s

一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)P的最短距離為PP',

設(shè)/SPP=a,圓錐底面周長為2m所以圓弧PP的長為2m

所以"拳

在aSPP中，由SP=SP，，得PP'=JSP2+（SP）2—2sp?SP?cosa=J32+32-2x3x3x（=3

后

故選：D.

13.（24-25高一下?湖北武漢,期中）如圖，一個(gè)矩形邊長為1和4,繞它的長為4的邊旋轉(zhuǎn)一周后所得如圖

的一開口容器（下表面密封），P是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蚊位于外壁小處，內(nèi)壁P處有一米粒，若這只螞蚊

要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)P處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（）

A.Vn2+36B.Vn2+16C.V4n2+36D.V4TE2+1

【答案】A

【解題思路】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)對(duì)稱性，求出/Q+PQ的最小值就是力E的長，求解即可.

【解答過程】解：依題意可得圓柱的底面半徑丁=1,高h(yuǎn)=4

將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形4?。。，其中=mAD=4,

問題轉(zhuǎn)化為在C。上找一點(diǎn)Q,使AQ+PQ最短，

作P關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接力E,令A(yù)E與CD交于點(diǎn)Q,

則得力Q+PQ的最小值就是為力f+（4+2/={2+36.

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14.（24-25高一下?河北邢臺(tái)?期中）正三棱柱ABC—Ai/Ci的底面邊長為1,高為4,在棱5Bi，CG上分別

任取點(diǎn)E,凡則力E+EF+尸%的最小值為.

【答案】5

【解題思路】把正三棱柱的側(cè)面沿力4剪開展在同一平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)間線段最短求得答案.

【解答過程】將正三棱柱的側(cè)面沿剪開展在同一平面內(nèi)，連接A4/,如圖，

四邊形A4&4是矩形,且縱=4/4=3,

所以AE+EF+FAi>AAi=序+*=5.

故答案為：5.

15.（24?25高一下,廣東廣州?期中）某工廠生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如圖所示，零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺(tái)。1

。2，在軸截面48C0中，AB=AD=BC=4cm,CD=2AB.

⑴求圓臺(tái)。1。2的高；

（2）求圓臺(tái)。1。2軸截面的面積；

（3）若一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到4。的中點(diǎn)，求所經(jīng)過的最短路程.

【答案】（1）28cm；

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⑵12Kcm2：

（3）10cm.

【解題思路】（1）作BE_LCO交CO于E,利用勾股定理求解即可；

（2）利用梯形的面積公式求解；

（3）把空間圖形展開為平面圖形，先求出圓心角，再利用兩點(diǎn)間的距離最短即可求解.

【解答過程】（1）如圖1,作交CO于￡

則0］。2=BE=V42-22=2V3cm,則圓臺(tái)的高為2>/5cm.

（2）圓臺(tái)的軸截面面積為：1x（4+8）x2>/3=12V3cm2.

（3）把圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐可得大圓錐的母線長為8cm,底面半徑為4cm,

圓儺側(cè)面展開圖的圓心角為6二*二心

設(shè)4）的中點(diǎn)為P,連接CP（如圖2）,

圖2

可得々COP=1,0C=8cm,OP=4+2=6(cm),

則CP=V62+82=10cm,

所以沿著該圓臺(tái)表面從點(diǎn)C到力。中點(diǎn)的最短距離為10cm.

題型4

16.（24-25高一下?福建三明?期中）一水平放置的平面四邊形048C的直觀圖04877如圖所示，其中。4=

ere=2,0cl十軸，。夕iw軸,所cy/y軸，則四邊形OABC的面積為（）

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A.當(dāng)B.6C.|D.125/2

【答案】D

【解題思路】結(jié)合圖形可得A夕=4,求出四邊形O4SL面積后可得四邊形。48c的面積.

【解答過程】設(shè)y軸與48交點(diǎn)為。,因?yàn)?0軸,4所軸，所以0￡，〃4夕，

因?yàn)锽C7/V軸，所以四邊形。刃￡。為平行四邊形,故DB'=O'C'=2.

又〃。y=45°,結(jié)合4夕_L乂軸，得。4=O'A'=2,故4⑶=4.

所以四邊形面積為gx(2+4)X2=6,

因?yàn)樗倪呅巍?489面積是四邊形0河。的面積的乎，

4

所以四邊形OABC的面積為12&.

故選：D.

17.(24-25高一下?天津?期中)如圖，用斜二測畫法畫水平放置的四邊形/4CQ,其直觀圖為等腰梯形

CD',若AB=6,CD'=4,則下列說法正確的是()

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D.四邊形的面積為10立

【答案】D

【解題思路】根據(jù)斜二測畫法求出原四邊形各邊的長度，并確定四邊形4BCD為直角梯形，進(jìn)而得到其周長

和面積，即可得.

【解答過程】由題設(shè)加X安2=魚，A錯(cuò)：

由斜二測畫法知，AB=A'B'=6,CD=CD'=4,AD=2A,D'=ZA/2,

易知原四邊形A8CD為直角梯形，ADA.AB,AB//CD,

所以8c=y/AD^+（AB-CDY=V8T4=273,

四邊形的周長為10+2K+2vL面積為^x2無X（4+6）=10VLB、C錯(cuò)，D對(duì).

故選：D.

18.（24-25高?下?海南海口?期口）如圖所示，△43C是水平放置的的斜二測直觀圖，其中0C=

00=2。'8=2,則以下說法正確的是（）

A.△48C是鈍角三角形B.△力BC的面積是△4斤。'的面積的2倍

C.△力8C是等邊三角形D.△4?。的周長是4+4企

【答案】D

【解題思路】根據(jù)斜二測畫法，求得高，并還原圖形，對(duì)應(yīng)表示出各邊長，利用三角形的性質(zhì)、面積以及

周長公式，可得答案.

【解答過程】由題意,過B'作B'DUAC',垂足為。,如下圖:

則夕。=3'0'sin450=孝，

根據(jù)斜二測畫法還原圖形，可得下圖:

14/44

則4。=4。'，CO=CO',80=280,BOA.ACf

易知△ABC為等腰三角形，故A錯(cuò)誤；C錯(cuò)誤；

由△AB'C'的面積SAABC，=1?4。?B'Df=1x4x^=V2,

△,4BC的面積SA.BCM?力。?8。=Jx4x2=4,則S4.c=2?！鰽BC，故B錯(cuò)誤；

△ABC的周長力8+AC+BC=AC+y/AO2+BO^+y/CO2+BO^=4+4\泛，故D正確.

故選：D.

19.（24-25高一下?四川廣元?期中）如圖，△ABC是水平放置的△A8C的直觀圖，若8c=4（7=1,

AS〃片軸，4C//V軸，則△4BC的周長為.

【答案】2+V2+V6

【解題思路】得到=V2,將直觀圖還原為原圖，求出48=41,AC=24。=2,BC=限,由此即可得解.

【解答過程】由題意8c=4。=1,所以NC'AB'=乙CBA=45°,可得△ABC為直角三角形，

所以4萬=

根據(jù)題意，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，

可得△4?。為直角三角形，其中48=?,AC=24C=2,

由勾股定理得BC=7AB2+心=V6,

所以△ABC的周長為2+品+瓜

15/44

故答案為：2+V2+V6.

20.(24-25高一下?安徽合肥?期中)如圖，△ABC是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖.

(1)畫出它的原圖形；

(2)若40=2,△48C的面積是烏，求原圖形4MC邊.上的高和原圖形的面積.

【答案】(1)圖形見解析

(2)V6,V6

【解題思路】(1)利用直觀圖與原圖形的關(guān)系作圖即可得：

(2)利用直觀圖的性質(zhì)計(jì)算可得原圖形對(duì)應(yīng)邊長，即可計(jì)算原圖形的高與面積.

【解答過程】(1)畫出平面直角坐標(biāo)系不。、，在工軸上取。4=0,4,即C4=C4,

在圖①中，過作》。〃曠軸,交M軸于D，,在X軸上取0D=。。,

過點(diǎn)。作08〃y軸，并使。8=20萬，

連接力8,BC,則△48。即為△48C原來的圖形，如圖②所示：

(2)由(1)知，原圖形中，8。_LAC于點(diǎn)。，則為原圖形中4c邊上的高,

且BD=2B'D',

16/44

則△ABC的面積=\A，C，xBE=B'E'=號(hào)

在直角三角形夕ED中，B'D1=>I2B'E'=所以8O=2BD=歷,

所以S4.BC=5力。xBD—\/6.

故原圖形中4c邊上的高為伉，原圖形的面積為遙.

題型5空間幾何體的表面積

21.（24-25高一下?廣東佛山?期中）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其體積為12n,則該圓錐的側(cè)面積為

（）

A.6TTB.9nC.12nD.15TT

【答案】D

【解題思路】由圓錐體積可得圓錐的高，進(jìn)而可得圓錐母線長，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可求解.

【解答過程】設(shè)圓錐的高為八，母線長為1，

因?yàn)閳A錐的底面半徑為3,其體積為12m

所以12TT=gnx32x九，解得h=4,

所以，=,32+42=5,故圓錐的側(cè)面積為:x2nx3x5=15n.

故選：D.

22.（24-25高一下?重慶?期中）如圖，某實(shí)心零部件的形狀是正四棱臺(tái)，已知AB=8cm,從道1=20cm,

樓臺(tái)的高為8cm,現(xiàn)需要對(duì)該零部件的表面進(jìn)行防腐處理，若每平方厘米的防腐處理費(fèi)用為0.5元，則該零

C.390元D.347.5元

【答案】B

【解題思路】首先根據(jù)已知條件求出側(cè)面的高，然后求出側(cè)面的面積，然后求出該四棱臺(tái)的總的表面枳,

進(jìn)而可求出該零部件的防腐處理費(fèi)用.

【解答過程】因?yàn)檎睦馀_(tái)4miCiDi_4BCD中,48=8cm,4Pl=20cm,高為8cm,

17/44

則側(cè)面的斜高為h=182+（竽）2=10cm.

所以SBCCI8]=5x（BC+8[G）xh=140cm2.

所以該四棱臺(tái)的表面積為S=82+202+4X140=1024cm2,

又每平方厘米的防腐處理費(fèi)用為0.5元，

所以該部件的防腐處理費(fèi)用是1024x0.5=512元.

故選：B.

23.（24-25高一下?云南楚雄?期中）中國冶煉鑄鐵的技術(shù)起源于春秋時(shí)期，并在戰(zhàn)國時(shí)期取得了顯著的進(jìn)

步，推動(dòng)了當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展.現(xiàn)將一個(gè)體積為等cm3的實(shí)心鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)圓臺(tái)狀的實(shí)心鐵錠（不

考慮損耗），若該圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的2倍，高為2cm,則該圓臺(tái)的表面積為（）

A.（3+3傷）ncn?B.（5+5V10）ncm2

C.（5+3VTo）ncm7D.（5+3V5）ncni7

【答案】D

【解題思路】先求出圓臺(tái)的上下底面的半徑，求出母線長后可求表面積.

【解答過程】如圖所示，設(shè)圓臺(tái)較大的底面半徑為。m=2r,較小的底面半徑為。28=八

則上'=1（7rr2+4nr2+2nr2）x2=等，解得r=1cm.

過點(diǎn)B作8Bi_L0M，垂足為Bi，則母線，=J4用+8解=V12+22=遙

S網(wǎng)臺(tái)=n（r2+4r2+rZ+2r7）=（l2+4xl2+lxV5+2xlxV5）n=（5+3x/5）ncm2.

故選:D.

24.（24-25高一下?河北石家莊?期中）已知正方體48。0一必當(dāng)。道1的校長為I,除面48CD外，該正方體

其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M-E/G”的表面枳是.

18/44

【答案】書丑

【解題思路】由題意得出四棱錐M-EFG”的底面EFG”是邊長為當(dāng)?shù)恼叫?，四個(gè)側(cè)面都是邊長為日的等

邊三角形，進(jìn)一步結(jié)合棱錐的表面積公式即可求解.

【解答過程】如圖所示：

由題意可得，底面四邊形"GH為邊長為孝的正方形，其面積S“GH=俘）2=最

設(shè)/為E尸中點(diǎn)，。為正方形E7P”中心，則"0=去E0=1,

顯然M01E。，所以正四棱錐M—EFGH的側(cè)棱ME=多同理用/=警

乂即=冬所以正四棱錐M-EFGH的四個(gè)側(cè)面都是邊長為孝的等邊三角形，

設(shè)四棱錐M-EFG/7的表面積是S,

則5=（孝）2+4乂卜俘）2乂苧=竽.

故答案為：竽.

25.（24-25高一下?廣東廣州?期中）如圖，圓錐P。的底面直徑和高均是2cm,過P。上的一點(diǎn)。'作平行于底

面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱.

19/44

⑴若。是，。的中點(diǎn)，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面枳和體枳；

（2）當(dāng)0。為何值時(shí)，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大？并求出這個(gè)最大值.

【答案】⑴表面積（遍+2）m體積即；

（2）0。，=1,Ti.

【解題思路】（1）根據(jù)圓錐，圓柱的側(cè)面積，表面枳和體積公式即可求出.

（2）設(shè)。。=心用工的函數(shù)表達(dá)式表示出圓柱的側(cè)面積，再利用基本不等式即可求出其最大值.

【脩答過程】（I）設(shè)圓柱的底面半徑為r,由三角形中位線定理知，r=1,圓柱母線長。。=1,

而圓錐的母線長為，=V22T12=慈,因此圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積為

圓錐的表面積加上圓柱的側(cè)面積，即S=n?#+冗.1.遮+2冗*?1=（遮+2）TT,

圓錐挖去圓柱剩下兒何體的體積等于圓錐的體積減去圓柱的體積，

BPV=?I2?2—H?（1）2-1=加.

（2）設(shè)00'=%,則警=,解得丁=1一9，

因此被挖去的圓柱的側(cè)面積為S，=2irrx=TTX（2-x）<7Td+尸）2_口，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

所以。0,=1時(shí)，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大值為迅

題型6

26.（24?25高一下?云南德宏?期中）已知正三棱臺(tái)的上底邊長為舊，下底邊長為46，側(cè)棱長為5,則該

正三棱臺(tái)的體積為（）

A.63V3B.63C.2173D.21

【答案】C

【解題思路】直接運(yùn)用三角形面積公式，結(jié)合正三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)、棱臺(tái)體積公式進(jìn)行求解即可.

20/44

【解答過程】如圖所示，0'，。分別是上，下底面的中心，連接。。'，。'夕，0B,

在平面8。。，⑶內(nèi)作BE18。于E,

因?yàn)檎馀_(tái)的上底邊長為遙，下底邊長為46，

所以上底面面積為:xV3XV3X乎，

，24

上底面三角形外接圓半徑為夕0,=TX事=1，

下底面面積為:X4>/3X4A/3X哼=12技

下底面三角形外接圓半徑為80=4x塔=4,

于是該正三棱臺(tái)的高為VBB2—BE2=752-（4-1）2=4,

因此該正三樓臺(tái)的體積為gX（平+抨義126+12舊）X4=21V3,

故選:C.

27.（24-25高一下,福建漳州?期中）正四棱臺(tái)上、下底面邊長分別為四和2vL所有頂點(diǎn)都在半徑為西的

球面上，則該四棱臺(tái)的體積是（）

A.14B.12C.斗或12D.?或14

?5O

【答案】D

【解題思路】分球心在棱臺(tái)上、下底面之間，和球心在下底面下方兩種情況，利用球心到上、下底面中心

的距離，上、下底面外接圓半徑，和球的半徑之間的關(guān)系，求出棱臺(tái)的高即可得解.

【解答過程】記正四棱臺(tái)ABCD-Ai/CiDi的上、下底面對(duì)角線的交點(diǎn)分別為。1，。2,球心為0,

由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知，。1，。2，。三點(diǎn)共線，

易知41cl=2,AC=4,0C=0cl=倔?！?1,。2c=2,

當(dāng)球心在棱臺(tái)上、下底面之間時(shí)，如圖所示，

則棱臺(tái)的高力=。1。2=。。1+。。2=V5—1+V5—4=3,

所以該棱臺(tái)的體積，=32+H+VTTfi）x3=14.

21/44

當(dāng)球心在下底面下方時(shí)，如圖所示，

則棱臺(tái)的高h(yuǎn)=。1。2=。。1—。。2=V5-1-V5-4=1,

所以該棱臺(tái)的體積V=a2+8+V2V8）xl=y.

綜上，該棱臺(tái)的體積為14或?.

故選：D.

28.（24-25高一下?天津靜海?期中）小明同學(xué)的早餐是一個(gè)饅頭和一塊火腿腸，饅頭可以看作一個(gè)底面直

徑為8cm的半球，火腿腸可以看作是由一平面將一圓柱截去一部分所得，其數(shù)據(jù)如圖所示，題該饅頭和火腿

c128n”256n

B.—,63TTC.竿，36nD.——,367T

J

【答案】B

【解題思路】根據(jù)球的體積以及圓柱的體積計(jì)算，可得答案.

3

【解答過程】饅頭的體積為Jx*X7TX《）=早

火腿的體積為4x-rix32+(10—4)XTTX32X1=36H+27TT=637T.

故選：B.

29.（24-25高一下?山東濟(jì)寧期中）如圖，在直三棱杜ABC—小B]C]中，E是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)

22/44

A），。是44i的中點(diǎn)，則三棱錐D—BiCiE的體積與三棱柱4BC-%BiCi的體積之比是

【答案】2:9

2

【解題思路】根據(jù)SMWE=s矩形4BB14—Sf]/?1O—SA.DE—S&r/7%,求得59叫=5s△岫々,再根據(jù)二棱

錐的換底性可得Vg-AAiBi=匕4-481cl=3匕4??。-4々（71，由此可得答案.

【解答過程】?:S.DE=S矩形力38"1-SAA[B]D—SaADE—S^EBBi，

Z?是40的二等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)力），。是441的中點(diǎn)，

12SS&ADE—》&4481，S^EBBi—=5s△m向，

又,5矩形<88送1=2s△"]為，

1122

:?S&B1DE=2s一5s△相四一一/”^1班=尹入44但1，

22212

X

?',Vci_DEBi=§匕7]_"[8]-#4_4]B]C]=3ABC-AXBXCX-ABC-AXBXCV

.??三楂錐。一/CiE的體積與三楂柱4BC—4181cl的體積之比為29

故答案為：2:9.

30.（24-25高一下?重慶萬州?期中）如圖所示，幾何體的上部是一個(gè)正四棱錐P一4BCD,下部是一個(gè)正方

體，其中正四棱錐P—力BCD的高為3VL△尸。。是等邊三角形￡。=6..

（1）求該幾何體的表面積;

（2）求該幾何體的體積.

23/44

【答案】（1）3673+180

（2）F=36V2+216

【解題思路】（1）設(shè)M是CD的中點(diǎn)，連接PM,進(jìn)而可證明PM1CD,從而可計(jì)算正四棱錐的側(cè)面積與正

方體的五個(gè)面積：

（2）根據(jù)錐體與正方體體積求解即可.

【解答過程】（1）設(shè)M是CD的中點(diǎn)，連接PM.

因?yàn)椤鱌C。是邊長為6的正三角形，

所以PM1CD,且PM=76?-32=3瓜,

所以該幾何體的表面積S=（|x6x3V3）X4+62X4+62=3673+180.

(2)連接4&8D,設(shè)交點(diǎn)為0,連接PO,則PO是四棱錐P—A8CD的高,

則P。=3VL所以PpvscD=1x62x372=36Vl

?5

又正方體的體積為6x6x6=216,

所以該幾何體的體積V=3672+216.

31.（24-25高一下?浙江?期中）已知正四面體內(nèi)接于球0,球0半徑為3,E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作

24/44

球。的截面，求截面圓半徑的最小值（）

A.1B.V3C.V5D.V6

【答案】D

【解題思路】令正四面體的棱長為m由正四面體外接球的相關(guān)幾何關(guān)系列方程求得。=2傷，再由截面圓

半徑最小，只需。E垂直于截面圓，求該截面圓的半徑最小值.

【解答過程】如下圖示，。。=3,令正四面體的棱長為a,則底面半徑r=：x^a=爭，

所以。P=J（苧a）—（gx孚a）一一（苧a）=3,

所以Ji。?—J9-g6=3,則|層=9+6J9_ga2+9—1a2,

所以十-18=6J9-1Q2,則。4-36。2+324=324—12次，可得M=24,

要使截面圓半徑最小，只需?！甏怪庇诮孛鎴A，而。E=19—那+（/a）?=Jg—la2=V3,

所以截面圓半徑為A/9—CE2=y/6.

32.（24-25高一下?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）己知過球面上三點(diǎn)4,B,C的截面到球心。的距離等于

球半徑的一半，且4B=8C=CA=2,則球的表面積（）

【答案】D

【解題思路】由48=8（?=乙4=2,求得△ABC的外接圓半徑為r,再由爐一（抑）=1,求得球的半徑,

即可求解球。的表面積.

【解答過程】因?yàn)?18=8C=C4=2,焉=2幾

所以△A8C的外接圓半徑為r=竽.

2

設(shè)球半徑為R,則產(chǎn)一^/?）=右

25/44

所以R=g,

J

V=4nR2=

故選:D.

33.（24-25高一下?江蘇無錫?期中）在等腰梯形ABC。中，已知AD〃BC,AD=AB=DC=^BC=1,^ABD

沿直線8。翻折成△48D,則當(dāng)三棱錐4-BCD的體積最大時(shí)，以4。為直徑的球被平面48。所截的截面面

積為（）

A—R—Q-[）—

人?6o,4J3/2

【答案】B

【解題思路】苜先證明BD_LCO,當(dāng)平面4801平面BCZ）時(shí)，三棱錐4—8C。的體積最大，由面面垂直的性

質(zhì)得到CD1平面4BD,求出械面圓的半徑，即可得解.

【解答過程】依題意/B="=抑7=1,所以梯形的高的=]12一（芋1=冬

所以sinC=/=容則C=T，又BD=小2+22一2x1x2x吟=W，

所以+c/）2=8。2,即8DJ.CD,

當(dāng)平面48。JL平面8。。時(shí)?，三棱錐4—BCD的體積最大，

又平面ABDn平面8CD=8D,CDu平面BCD,所以CD1平面48D.

AC的中點(diǎn)。為球心，取4。的中點(diǎn)E,則0E為△ACD的中位線，

所以。E//CD,OEJL平面ABD.

以4c為直徑的球被平面A8D所載的截面為圓面，

由以上分析可知點(diǎn)E為該圓的圓心，其半杼r=A'E=\A'D=I

26/44

該圓面面積為n尹=J

故選：B.

34.（24-25高一下?河北?期中）若平面a截球。所得截面圓的半徑為1,且球心。到截面的距離為遙，則球。

的表面積為，

【答案】24n

【解題思路】求出球的半徑后可求其表面積.

【解答過程】因?yàn)槠矫鎍截球。所得截面圓的半徑為1,且球心。到截面的距離為遙，

故球的半徑R=故+5=瓜,故球。的表面積為4xnx6=24u,

故答案為:24m

35.（24-25高一下?云南昆明?期中）祖唯是我國南北朝時(shí)期偉人的數(shù)學(xué)家.祖咂在解決球體體積時(shí)，提出

了著名的祖眶原理：“察勢既同，則積不容異”，意思是“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這

兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等“，如圖①所示.如圖②

是一個(gè)半徑為3的球體，平面48C與球相交，截面為圓8,延長80,交球于點(diǎn)。，則80垂直于圓8（8。

垂直于圓8內(nèi)的所有直線），BO=1.

圖①圖②

（1）求圓錐DB的表面積和體積；

（2）如圖平面力8。上方與球體之間的部分叫球冠，請(qǐng)利用祖晅原理求球冠的體積.

【答案】（l）8n+88m等

Q郡

【解題思路】（1）根據(jù)勾股定理求出圓錐高和母線，從而求其表面積和體積；

（2）如圖構(gòu)造一個(gè)與半球同底等高的圓柱，內(nèi)部挖去一個(gè)倒裝的等底等高的圓錐.取同一高度〃的截

面.令球冠截面半徑為H，面積為Si，圓錐截面半徑為立，所以球冠的截面與上圖（2）的截面面積相同,

根據(jù)祖晅原理兩者體積相等，根據(jù)V球冠=V圓柱-V圓臺(tái)求解.

【解答過程】（1）因?yàn)镽=3,OB=1,

27/44

設(shè)WB=r,則r=V/?2—OB2=2夜，

圓錐高80=4,母線長=\lBD2+r2=2通,

SDB=nr(r+1)=2V2TT(2V2+2-/6)=8zr4-8V3TT>

1,1c“32TT

%=尹72%=FX8x4=—.

（2）如圖構(gòu)造一個(gè)與半球同底等高的圓柱，

內(nèi)部挖去一個(gè)倒裝的等底等高的圓錐.

取同一高度〃的截面.令球冠截面半徑為廠1，面積為Si，圓錐截面半徑為方，

面積為$2-丁1=面2—九2,Si=〃（/?2—F）.11-=h=$2=Tl/l2,

S1+$2=RR2,

所以球冠的截面與上圖（2）的截面面積相同，根據(jù)祖陶原理兩者體積相等.

所以P球冠=卜圓柱一V圓臺(tái).

依題意圓柱的高為2,半徑為3.圓臺(tái)的上底面半徑為3,下底面半徑為上，

因?yàn)?即為球冠的底面積，所以八=2四

由S[+$2=IT/?2,得S2=nr1=TIR2—nr；=9?r—87r=〃，所以上=1

所以V球冠=柱一匕閱臺(tái)=187r-1（97T+7l+37T）X2=y7T.

題型8空間幾何體的外接球問題

36.（24-25高一下?福建泉州?期中）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直.角三角形的三棱錐稱之為鱉脯.如

圖，已知在鱉脯4一8。。中，滿足CD1平面A80,且CD=AD=5,BD=3,48=4,則此鱉脯外接球的

表面積為（）

D

28/44

A.25TTB.50nC.IOOTTD.200K

【答案】B

【解題思路】由題意畫出圖形，然后補(bǔ)形為長方體，求出長方體的對(duì)角線長，即可得到外接球的半徑，代

入球的表面枳公式得答案.

【解答過程】由40=5,BD=3,AB=4,：.AD2=BD2+AB2,即有8D148,

又CD1平面力8。，所以48,BD,兩兩互相垂直，該瞥喘如圖所示：

B3