八年級數學寒假講義：分式方程（教師版）

可化為一元二次方程的分式方程

知識結構

模塊一：分式方程及其解法

⑥）知識精講

1、分式方程的概念

分母中含有未知數的方程叫做分式方程.

2、解分式方程的方法

通過去分母把分式方程轉化為整式方程，再求解.

3、增根的概念

分式方程在化整式方程求解過程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母為0,那

么這個解就是方程的增根.

4、解分式方程的一般步驟

（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去分母，化成整式方程；

（2）解這個整式方程，求出整式方程的根；

（3）檢驗.有兩種方法：①將求得的整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于

0,則這個根為增根，方程無解；如果最簡公分母不等于0,則這個根為原方程的根，從而

解出原方程的解：②直接代入原方程中，看其是否成立.如果成立，則這個根為原方程的根，

從而解出原方程的解；如果不成立，則這個根為增根，方程無解.

5、分式方程組的概念

由兩個或兩個以上的分式方程構成的方程組叫做分式方程組.

6、解分式方程組的方法

找出分式方程組中相同的分式進行換元，將分式方程組轉化為整式方程組，解方程組，然后

進行檢驗.

⑥例題解析

［例］】在=l（.r+l）+-（x-l）=4；--=1；2+2112=7；_1（3%一7）中，分式

332xxxx

方程有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【難度】★

【答案】B

【解析】根據分式方程的定義，分母中含有未知數的方程是分式方程，（1）（2）兩個方程分

母中不含未知數，（5）不是方程，（3）（4）滿足定義，故選B.

【總結】考查分式方程的定義，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母.

【例2】分式方程一的最簡公分母是

.V+XX-Xx--1

【難度】★

【答案】V-X.

【解析】分式方程中三個分母位置上分別為丁+x,r-x,A-2-1,分解因式的結果分別

為A（X-1）,（x+l）（x-l）,由此可得方程的最簡公分母為X（X+1）（X-1）=V-X.

【總結】考查分式方程的最簡公分母，將每個分母因式分解，取相同因式的最高次數乘積即

為分式方程的最簡公分母.

【例3】直接寫出下列分式方程的根:

【難度】★

【答案】（I）x=2；（2）無解；（3）無解；（4）x=0.

【解析】（1）根據等式性質，兩邊同時加上分式部分，即得x=2,

檢驗得x=2是原分式方程的根；

（2）根據等式性質，兩邊同時加上分式部分，即得x=l,檢驗得x=l為方程的增根,

即方程無解；

(3)約分得x+l=2,解得x=l,檢驗得x=l為方程的增根，即方程無解.：

(4)約分得x+l=l，解得x=0,檢驗得x=0是原分式方程的根.

【總結】考查根據等式的性質求解簡單的分式方程，注意求解結果是否是增根.

【例4】用換元法解方程6(/+，?|+5(工+』］-38=(),設)，=%+」，則方程變為()

A.6v2+5y-38=0B.6y2+5y-40=0

C.6/+5v-26=0D.6y2+5y-50=0

【難度】★

【答案】D

［解析Jy=x+-，則有x2+—=-2=)，2-2,原方程即為6(/一2)+5)，-38=0,

展開整理即為6曠+5)，—50=0,故選D.

【總結】考查分式方程中換元法的應用，注意含有未知數部分的恒等變形轉化.

【例5】解方程：

336

3x-l4x+2

x4.r

3x+2"+2

x2-x-22x+2x-2

【難度】★★

【答案】(1)x,=-,x,=-9；(2)x=0,^=--：(3)無解.

317

【解析】(1)方程兩邊同乘4(3］一20+2),得4(x+2)—(3x—l)(x+2)=8(3x—1),整理得

3-十25人-18=0,解得x=［,f=-9,經檢驗，x,=1,9=一9都是原方程E勺根；

(2)方程兩邊同乘(3x+2)(5.r+2),得x(5x+2)=4x(3x+2),整理得7丁+6》=0,

解得：苔=0，經檢驗，x,=0,巧=-9都是原方程的根：

77

(3)方程兩邊同乘2(1+1)(工一2),得6+(工+3)(工-2)=2(1+1),整理得x2-x-2=0>

解得：％=-1,毛=2,經檢驗，5=-1,七=2都是原方程的增根，即原方程無解.

【例6】解方程：

,，\1-3x-x2

（1）——=2+----；

1-X1-A2

/八4x,22

X--42-xX+2

/,、32x1,

（3）----+—；——+-----=1.

2x+l4/-12-4%

【難度】★★

【答案】（1）x=-—；（2）x=6；（3）x=—.

34

【解析】（1）方程兩邊同乘l-x2,得1+工=2（1-/）+3]_/，整理得3f_2x-l=0,

解得：玉=一：，匕=】，經檢驗，毛=1是原方程的增根，即原方程的根為1=-；;

（2）方程兩邊同乘4,M4x=x2-4-2（x+2）+2（X-2）,整理得f—4x—12=0,

解得：A=6,七=-2,經檢驗，七=-2是原方程的增根，即原方程的根為x=6；

（3）兩邊同乘2（4d—1）,得6（2x—l）+4x—（Zt+1）=2（4￡—1）,整理得

8f-14x+5=0,解得：x,=l,x,=-,經檢驗，內=」是原方程的增根，

,2-412

即原方程的根為

4

【總結】考查分式方程的解法，注意檢驗所求是否為增根.

【例7】已知關于x的方程上吆=,加一3有增根,求加的值.

x-lx^+x-2

【難度】★★

【答案】"?=12或m=3.

【解析】分式方程兩邊同乘V+x—2,得（％+2）2=機-3,分式方程有增根，由/+工一2=0,

解得；為=1,勺=2,即為原分式方程的增根，代入相應整式方程得切-3=9或

，〃一3=0,解得〃2=12或"？=3.

【總結】考查分式方程的增根，代入相應的整式方程可使得方程成立且使得分式分母為0

的未知數的值.

【例8】已知關于x的方程上三=絲二—1無解，求利的值.

x-55-x

【難度】★★

【答案】m=3.

【解析】分式方程兩邊同乘工-5,得7-x=x-〃L(X-5),整理解得：x=〃z+2,因為原

分式方程無解，則相應解應為分式方程的增根，即得X=〃7+2=5,解得〃?=3.

【總結】考查分式方程的無解，即由相應整式方程求得的解是分式方程的增根.

【例9】已知關于x的方程9-3=0的根是負數，求〃的取值范圍.

x+\

【難度】★★

【答案】av3且awl.

【解析】分式方程兩邊同乘x+1,得。+x-3(x+l)=0,整理解得：x=F，方程的根是

負數，則有x=g〈O,得a<3,同時分式方程的根不能為相應增根，即％=巴口。-1,

22

得由此即得a<3且。工1.

【總結】考查分式方程的解滿足條件的求解.，注意方程的解不能為相應的增根.

【例10］解方程：(!)X2+3A-^-=8；(2)2(X+，］+5=0.

X2+3XIX)21X)

【難度】★★

【答案】(1)%=一5,々=2,=-1>x4=-2；(2)玉=1,x2=2>七=(.

【解析】(1)令f+3工=?,原方程即為〃-0=8,兩邊同乘。整理得/一&/-20=0,

a

解得：4=10,a2=—2；由f+3x=10,解得：9=-5,x2=2：

由f+3x=-2,解得：X)=-1,x2=-2；

經檢驗，x,=-5,9=2,七=-1,匕=-2都是原方程的根；

(2)令x+'=a,原方程即為，/一2〃+5=0,解得q=2,a)=2：

x22

由x+'=2,整理得X，—2x+1=0,解得：x=x>=l；

x

由x+■!*=*,整理得2d—5x+2=0,解得玉=2,x2=—；

x22

經檢驗，x,=l,々=2,都是原方程的根.

【總結】考查用換元法求解具有特殊形式的分式方程，注意對方法的總結.

【例11】解方程：⑴5(r+1)+6(：+1)=>：(2)—+4=—(---).

x+1x2+l9x233x

【難度】★★

，乂士”一、、._3+后.._3->/17

【口案1(1)%—,Xj-；

22

(2)?=3+V2T,x2=3-V2T,』=-2,x4=6.

【解析】(1)令上丑=〃，原方程即為54+9=17,兩邊同乘〃整理得5/—174+6=0,

x+la

解得：4=2,.,=3；由口=2,整理得5/一2X+3=0,方程無解；

由——-=3?整理得x2—3工一2=0,解得：X]=3+=-~~;

x+122

經檢驗，玉=±亞，工,=三痘都是原方程的根；

2'2

/C、Ax4niiiW"x16(x4、8,8rg.joprt2810

(2)令-----a,則力一+—=-----+—=?"+—,原方程即為tr+-=一

3x9xx)3333

整理得3/-10。+8=0,解得：q=2,=—；

由土一9=2,整理得V-Gx-lZnO,解得：=3+721,X2=3->/2I；

3x

丫44.

由----=—,整理得f一4工-12=0,解得：％=-2,x=6；

3x32

經檢驗，玉=3+后，9=3-，五，w=—2,之=6都是原方程的根.

【總結】考查用換元法求解有特殊形式的分式方程.

=33x+—!—=20

x+yx-y)1

【例12】解方程組：（1）(2)

53

=82x---=-5

x+yx-y

【難度】★★

x=5

x=0

【答案】（1）<(2)6?

y=l

ii4〃+/)=4n=1

【解析】(1)令'=〃，-=b,原方程組即為「.「。，解得：",

x+yx-y[5"3O=8[/?=-!

由此可得一!一二1—=-l，由此得「+''=〔解得:x=0

x+yx-y[x-y=-l.V=l

經檢驗，是原分式方程的根;

）'=1

⑵令51e原方程組即為f《3丫一+ZJ=；2…0’解得：仁Y=55'由此可得：六1=5,

[x=5[x=5

解得：）,=9,6,經檢驗，6是原分式方程的根?

5y=-y=-

■5I5

【總結】考查利用換元法求分式方程組的解，注意解完之后要檢驗.

【例13】解方程組:

/1、2534x+11x+21

（1）----+-----=------+-----；(2)-----=-----------

x+8x+9x+\5x+6x+2x+7x+3x+6

【難度】★★

【答案】（I）玉=6,占=一至；（2）x=--.

42

2(x+15)-3(x+8)4(x+9)-5(x+6)

【解析】（I）對分式方程移項通分得

(x+8)(x+15)(x+6)(.r+9)

-x+6一x+6

展開即得

幺+233+120x2+15x+54

由此即得一%+6=0或Y+23x+120=x2+i5X+54,

解得：x.=6,經檢驗，％=6,為=-史都是原分式方程的根;

'4'4

（2）對分式方程變形得1------—=1--!.....-,

x+2x+7x+3J+6

由此得一!一+—!一=一!一十—!一，兩邊分別通分即得，2X+9=,2X+9,

x+2x+7x+3x+6A-+9x+14x~+9x+18

兩邊分母不同，則必有2x+9=0,解得工=—2,經檢驗，x=-2是原分式方程的根.

22

【總結】考查特殊形式分式方程的解法，注意相應分母的關系，分組兩邊分別通分計算.

【例14】解方程：一-X2-2=0.

x~+5

【難度】★★

【答案】X,=1?Xj=-1.

【解析】令丁+5=4,見有f=a-5,原方程即為9+〃-5-2=0,

a

兩邊同乘。整理，得7。+6=0,解得：3=1,a>=6；

由寸+5=1,方程無解；由x?+5=6,解得：Aj=1?%,=-1；

經檢驗，％=1,9=-1都是原方程的根.

【總結】考查川換元法解分式方程，注意取值范圍和增根.

【例15］。為何值時，關于工的方程也丑=。無解？

x+1

【難度】★★

【答案】4或4=0.

2

【解析】分式方程兩邊同乘x+1,得：2a+l=a(x+l),展開移項得ar=a+l,

當〃=0時，方程無解；當時，x=—,方程無解，即得不=也=-1,

aa

解得。=」：

2

綜上，a=——或a=0.

2

【總結】考查分式方程的無解，即由相應整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考慮未

知項系數為。的情況.

【例16］已知關于x的方程」_+七三+學蟲=0只有一個解，求女的值及這個解.

x-2xx2-2x

【難度】★★★

71

【答案】k=——時，x=x=—或攵=T時，x=l或&=一8時，x=-\.

21-2

【解析】方程兩邊同乘f-2x,得/+(1-2『+21+&=(),展開整理得：2f-23+〃+4=0,

分式方程可能產生增根，即當相應整式方程有兩解時，分式方程僅有一解，由此需進行

分類討論：

①當整式方程有兩相等實數根時.，△=(-2>-4x2仕+4)=0,解得：k=《

此時方程為2W—2x+'=0,解得：%=乂='，此時分式方程只有一個解，符合題意；

②當整式方程有一根為分式方程增根x=0時，此時有2+4=0,解得：k=-A,

此時方程為2f一2x=0,解得：X)=0,x2=1,此時分式方程只有一個解戈=1,

符合題意；

③當整式方程有?根為分式方程增根x=2時，此時有2x2?-2x2+A+4=0,

解得：攵=一8,此時力程為2丁—2工一4=0,解得：X1=2,X,=-1,

此時分式方程只有一個解x=-l,符合題意；

綜上，上=-二或Z=T或2=-8.

2

【總結】考查分式方程只有一個解的情況，方程為二次方程時，注意包含方程有一個根為分

式方程的增根的情形.

【例17］解關于x的方程：2(7+與)一3。+3=1

XX

【難度】★★★

【答案】芭=2,￡.

【解析】令x+」=a,則有+2,原方程即為2(/-2)-3a=l,

XXX)

展開整理得2.2—3々-5=0,解得：J=—1,勺一二；

由x+'=T,整理得V+x+l=0,方程無解；

x

由x+，=2,整理得2/一51+2=0,解得：X,=2,x2=-；

x22

經檢驗，玉=2,巧=g都是原方程的根.

【總結】考查用換元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后進行檢驗.

【例18］解關于x的方程二=5-幺絲0(a+g0).

h+xa-x

【難度】★★★

【答案】a-ba-4b

X'=-5

【解析】令二=k,原方程即為&=5-±,兩邊同乘k整理，得公-5%+4=0,

b+xk

解得：仁=1,A,=4；由―-=1,又。+人工0,可解得：x=-.....;

b+x2

由匕=4,又a+〃工0,可解得：v=￡zz^.

b+x5

經檢驗，x1=—,%,=@二也都是原方程的根.

2~5

【總結】考查用換元法求解有特殊形式的分式方程.

【例19】已知方程("+片-1)2+」_:+2/=1有實數根，求實數。的取值范圍.

(X+4).

【難度】★★★

【答案】一』工々工，月."=0.

22

2

【解析】展開得/(x+a)2-2ar-2/+1+=1丁+2/=1,根據等式性質移項得

(…)’

2

a2(x+a)~-2ax+——--=0,即為a(x+a\-=0,由此得a(x+a)———=0,

(x+4x+ax+a

移項得a(x+=x,展開整理得ax2+(2(『一1卜+"=0,

當〃=0時，方程有實數根x=0是分式方程的增根，應舍去；

當〃工0時，方程為一元二次方程，此時根據韋達定理可得

%+%=-絲1='-24,可知內、乂不可能同時為-，，分式方程有實數根,

aa

則相應的整式方程應滿足A=(2cr-l)2-4?./=T/+整0,得一;w〃4g；

綜上，實數〃的取值范圍為：-且。=0.

22

【總結】考杳分式方程有實數根的情形，對分式方程整理變形滿足相應的條件即可.

模塊二分式方程應用題

⑥）知識精講

I、列方程（組）解應用題時，如何找“相等關系”

（1）利用題目中的關鍵語句尋找相等關系；

（2）利用公式、定理尋找相等關系；

（3）從生活、生產實際經驗中尋找相等關系.

例題解析

【例20】要在規定口期內完成一項工程，如甲隊單獨做，剛好按期完成；如乙隊單獨做，則

要超過規定時間3天才能完成；甲、乙兩隊合作2天，剩下的工程由乙隊單獨做，則愀好按

期完成.那么求規定日期為“天的方程是（）.

_23「2x+2,c2x,

A.-+—=1B.—=--C.-1------=1D.-1-----=1

xx+3xx+3xx+3xx+3

【難度】★

【答案】D

【解析】設工作總量為“1”，則甲工作量+乙工作量=1，根據工作總量=工作效率X工作天

數，乙工作天數為x天，由此可知選D.

【總結】考查工程問題中的單位“1”，注意分清對應的工作效率和工作時間.

【例21】某車間加工300個零件，在加工80個以后，改進了操作方法，每天能多加工15

個，一共用6天完成了任務.如果設改進操作后每天加工x個零件，那么下列根據題意

列出的方程中，錯誤的是()

?80300-80,300-80,

A.----+-------=6Bn?-------=o

x-15xx-15

QH80

C.(6-—^)x+8O=3OOD,X,300-8015

o-

X

【難度】★

【答案】B

【解^析】略

【總結】考查根據題意列方程的應用，根據工作量和工作效率、工作時間之間的相互關系進

行列方程的應用.

【例22】甲、乙兩個工程隊合做一項工程，6天可以完成.如果單獨工作，甲隊比乙隊少用

5天完成.兩隊單獨工作各需多少天完成？

【難度】★★

【答案】甲單獨需10天完成，乙單獨需15天完成.

【解析】設甲單獨需用/天完成，則乙單獨需用（x+5）天完成，

2

依題意可得—--1=1,整理得x—7x—30=0,解得：x1=-3>x,=10?

\x^+5J

經檢驗，與=-3,馬=10都是原方程的根，但芭=-3不合題意應舍去，即得x=10,

即甲單獨需10天完成，乙單獨需10+5=15天完成.

【總結】考查工程問題中的列方程解應用題，把工作總量當作單位“1”解題.

【例23】登山比賽時，小明上山時的速度為。米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和卜

山的路徑是一樣的，求小明在全程中的平均速度？

【難度】★★

【答案】二竺.

a+b

【解析】設小明上山的路程為四,則整個過程中小明總行程為2sm,

根據平均速度=總行程?總時間，即得平均速度】，=上一=當.

一s+?一sa+b

ab

【總結】考查平均速度的求取，平均速度==總行程?總時間，與行程遠近無關，注意平均

速度的求法.

【例24】甲、乙兩人分別從相距9千米的A、3兩地同時出發，相向而行，1小時后相遇.相

遇后，各自繼續以原有的速度前進，已知甲到8地比乙到4地早27分鐘，求兩人的速

度各是多少？

【難度】★★★

【答案】甲速度為5初乙速度為4。〃//?.

【解析】設甲速度為所"，則乙速度為（9-力切?/〃，27rnin=^/2,

依題意可得-=—>整理得x2+31x-180=0,解得：x=-36>=5,

9-xx20

經檢驗，Xj=—36＞々=5都是原方程的根，但內=-36不合題意應舍去，即得x=5.

即甲速度為'乙速度為9-5=4Am/〃.

【總結】考查行程問題中的列方程解應用題，根據相遇問題的基本關系一個條件作設一個條

件列式進行求解.

【例25】甲、乙兩輛車同時從4地出發開往距A地240千米的8地，結果甲車比乙車早到

了60分鐘；第二次，乙車提速30千米/時，結果比甲車早到了20分鐘，求第一次甲、

乙兩車的速度各是多少？

【難度】★★★

【答案】甲速度為80初?"?，乙速度為60包?/〃.

【解析】設甲車人力到達B地，6()min=\h,20min=-/z,

3

依題意可得羋一""二？。，整理得3f+2x—33=0,解得玉=-1,X2=3,

x-1"I3

3

經檢驗，百=-弓，G=3都是原方程的根，但百=-日不合題意應舍去，即得x=3,

可得甲速度為生=^km/h,乙速度為空=60kn"h.

33+1

【總結】考查行程問題中的列方程解應用題，根據行程同題的基本等量關系一個條件作設一

個條件列式進行求解，注意本題中用時間作設速度列式解題更方便.

【例26】某服裝廠接到一宗生產13萬套衣服的業務，在生產了4萬套后，接到了買方急需

貨物的通知，為滿足買方的要求，該廠改進了操作方法，每月能多生產1萬套，一共5

個月完成了這宗業務.求改進操作方案后每月能生產多少萬套衣服？

【難度】★★★

【答案】3萬套.

【解析】設改進操作方案后每月能生產x萬套衣服，則改進之前每月生產(x-l)萬套，

依題意可得二匚+生1=5,整理得5f-&+9=0,解得：x.=-,x,=3,

x-1x5

經檢驗，x.=|,9=3都是原方程的根，但％不合題意應舍去，即得：x=3,

即改進操作方案后每月能生產3萬套衣服.

【總結】考查工作總量問題，一個條件作設一個條件列式進行求解.

隨堂檢測

【習題1】已知方程：（1）三2=1；（2）—=2；（3）；（4）叵一x=3,

x-2x-\Vx）2

其中是分式方程的有.

【難度】★

【答案】（I）、（2）、（3）.

【解析】根據分式方程的定義，分母中含有未知數的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）滿足

條件，（4）方程中不含有分式，故答案為（1）、（2）、（3）.

【總結】考查分式方程的定義，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母.

【習題2】當x取何值時，分式方程上+_L=1的最簡公分母的值等于（）？

x-\x-2

【難度】★

【答案】=1或X=2.

【解析】分式方程的最簡公分母為（工-1）"-2）,最簡公分母值為0,即（x-l）（x-2）=0,

解得：4=1或工=2.

【總結】考查分式方程的最簡公分母，將每個分母因式分解，取相同因式的最高次數乘積即

為分式方程的最簡公分母.

【習題3】分式方程*二+2幻+岑二2=]|,如果設三0=）,,那么原方程可以化為關

廠―1X-+2.rr-1

于y的整式方程為.

【難度】★

【答案】8/-lly+3=0.

【解析】￡啟=），，則芍二上二=,，原方程即為8y+3=11,整理化作關于y的整式方

x~-1x~+2xyy

程即為8_y2—]]），+3=0.

【總結】考查利用換元法對復雜形式的分式方程進行轉化，注意最終要化成整式方程的形式.

【習題4】解方程:

,I、6x153

（1）———=1+---+----；

x2-\\-xx+1

（2）—--^-=—；

x-2x--4x+2

/c、4x-3x-45

（3）+-----------------.

x-5\2-xx~-17x+60

【難度】★★

【答案】（1）x=9；（2）x=-5；（3）X]=2,x2=9.

【解析】⑴方程兩邊同賣f—l,得6X=X2_I_5（X+1）+3（X-1）,整理得X2-81-9=0,

解得：內=-1，占=9，經檢驗，5=-1是原方程的增根，即原方程的根為x=9；

（2）方程兩邊同乘犬-4,得（x+2『-16=x-2,整理得丁+3,.1（）=0,

解得：A=2,七=-5,經檢驗，玉=2是原方程的增根，即原方程的根為x=-5；

⑶兩邊同乘丁-17工+60,得4（12）-（工-3）（1-5）=工-45,整理得/-15+18=0,

解得“"$=2,七=9,經檢驗，x,=2,超=9都是原方程的根.

【總結】考查分式方程的解法，注意檢驗所求是否為增根.

【習題5】解方程：——十三土2=31.

x+1x3

【難度】★★

【答案】x,=l->/7,^=1+77.

71

【解析】令一一=〃，原原程即為。+±=3!,整理即為3a2-10a+6=0,

x+\a3

5+"5-y/l

解得:

6/1-3

由二5+不,解得：X=I—y/l；由X=Z.,解得：X=1+出；

A+13x+\3

經檢驗王=1-后，々=1+后都是原分式方程的根?

【總結】考查利用換元法解分式方程.

---3---+----1--=-1-3

3x+2y4x-y12

【習題6】解方程組

46

3x+2yy-4.v

【難度】★★

10

x=—

【答案】1；.

i11

【解析】令一!—=。，一!一=》，原方程組即為"+”二

,解得：、

3x+2y4x-y

b=

10

=--

由此可得3x+2「4去分母得產+2:4,解得一II

1二！4x-y=3

4x-y3

10

X=-

經檢驗，11是原分式方程的根.

7

y=一

III

【總結】考查用換元法解有特殊形式的分式方程組，注意驗根.

【習題7】若分式方程2-竽1=產生增根，求機的值.

x+\x~+xx

【難度】★★

【答案】〃?=—2或/〃=1.

【解析】方程兩邊同乘/+X，得2/_。〃+1)=(%+1)2,展開整理得/一2工一，〃一2二0,

分式方程產生增根，即當相應整式方程有兩解時，分式方程僅有一解，由此需進行分類

討論：

①整式方程有一根為分式方程增根x=0時，此時有-“7-2=0,解得：〃?=-2；

②整式方程有一根為分式方程增根x=T時，此時有(-1)2-2乂(-1)一切-2=0,

解得："7=1；

綜上，—2或〃2=1.

【總結】考查分式方程有增根的情況，即對應的整式方程有一個根為分式方程的增根.

【習題8】甲、乙兩地間鐵路長400千米,現將火車的行駛速度每小時比原來提高了45千米，

因此，火車由甲地到乙地的行駛時間縮短了2小時.求火車原來的速度.

【難度】★★

【答案】75kmih.

【解析】設火車原來的速度為耳7〃/〃，

依題意可得理---=2,整理得丁+45工-9000=0,解得：X,=-120,&=75,

xx+45

經檢驗，玉二720,天二75都是原方程的根，但玉=720不合題意應舍去，即得x=75,

即可得火車原來速度為15kmih.

【總結】考查行程問題中的列方程解應用題，根據行程問題的基本等量關系一個條件作設一

個條件列式進行求解.

【習題9】某市為了美化環境，計劃在一定的時間內完成綠化面積200萬畝的任務，后來市

政府調整了原定計劃，不但綠化面積要在原計劃的基礎上增加20%,而且要提前1年

完成任務.經測算，要完成新的計劃，平均每年的綠化面積必須比原計劃多20萬方，

求原計劃平均每年的綠化面積.

【難度】★★★

【答案】原計劃平均每年綠化面積40萬畝.

【解析】設原計劃平均每年的綠化面積為x萬畝，則新計劃每年(x+20)萬畝，

依題意可得剪20°x(1+20%)=],整理得/+604/000=0,

xx+20

解得：x,=-100,毛=4()，

經檢驗，內=-100,&=4()都是原方程的根，但％=-10()不合題意應舍去，即得x=4O,

即原計劃平均每年的綠化面積為40萬畝.

【總結】考查工作量的問題，根據相應的等量關系式列方程求解.

【習題10]解方程：1(A-4)2=-12(-1V+-!-)+^

124尸3x3

【難度】★★★

【答案】百=1+近，x2=l-x/7,芻=3+后，x4=3-715

【解析】方程兩邊同乘12展開得丁-84+]6=-當-史+16,

XX

根據等式的性質移項變形得+12=0,

因式分解得：fx---2Yx---61=0,由此可得無一9一2=0或彳一9一6=0；

IX八XJXX

由犬一自一2=0,整理得/一2工一6=0,解得：X,=l+x/7,X2=l-V7；

x

由工一9一6=0,整理得丁一6刀一6=0,解得：玉=3+嫗，X2=3-Vl5；

X

經檢驗，Xj=1+77,X2=l-幣,鼻=3+而，&=3-岳都是原方程的根.

【總結】考查用整體思想先對分式方程變形，然后求解分式方程的根，注意對方法的總結.

5.r-96x-84192x-2\

【習題II】解方程:--------------1-----------=-----------------F-----------

x-19x-9x-6x-8

【難度】★★★

【答案】x=—

14

1,I,535

【解析】對分式方程變形得5

x—19x—9X—6x—8

1155

根據等式的性質可變形得

.￥-19-7^9-7^8-7^6*

1010

兩邊分別通分即得

x2-28x4-171x2-I4.r+48

107

由此可得/28x1171=/1公卜48,解得；x=—

14

經檢驗，］=世是原分式方程的根.

14

【總結】考查特殊形式分式方程的解法，注意相應分母的關系，分組兩邊分別通分計算.

【習題12］已知關于x的方程」一+，_=,勿+2有增根,求公

x—1x—2x*—3x+2

【難度】★★★

【答案】。=一3或4=—2.

2

【解析】方程兩邊同乘x2-3x4-2,得工-2+。(工-1)=2。+2,展開整理得(a+l)x=3〃+4,

當〃+1工0,即"-1時，得工=在上，分式方程可能產生增根，由此進行分類討論:

4+1

①整式方程根為分式方程增根x=i時，此時有網9=1,解得〃=-3；

4+12

②整式方程有一根為分式方程增根x=2時，此時有細三=2,解得。=-2；

a+\

3

綜上，a=—或4=一2.

2

【總結】考查分式方程有增根的情況，即對應的整式方程根為分式方程的增根.

【習題13]已知：關于x的方程9+（42一7工一2￡+2〃+12=0只有一個實數根，求&

XX

【難度】★★★

【答案】a=2或。=4.

4

【解析】整理原方程得（/+0[-7（工+3）+12=0,因式分解得（l+色_3Mx+0-4）=0,

由此可得1+0一3=0或1+且一4=0,分別整理得：x2-3x+a=0^x2-4x+a=0,

xx

兩方程根的判別式分別為劣=9-4a,4=16-4。.

因為方程僅有?實數根，所以9-4〃=0或16-4。=0，

解得：a=2或〃=4.

4

【總結】考查分式方程的根與對應整式方程的根相結合的問題，根據實際題目進行問題的分

析轉化，解決問題.

課后作業

【作業1】下列哪個分式方程（）的根是x=2.

A.----=2B.—---=2C.—-1=0D.-^=^—

xx+1x+1xJ+1x-2x-2

【難度】★

【答案】C

【解析】根據分式方程解的定義，代入C選項使得方程左右兩邊相等且有意義，故選C.

【總結】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右兩邊相等即可.

【作業2】用換元法解方程組；；二時‘如果設-----------=〃‘-----------那

么原方程組可以化為二元一次方程組

【難度】★

5”-6v=1

【答案】—

x>'+1w=I-2v

【解析】略

【總結】考查用換元法對有特殊形式的分式方程組換元.

【作業3】已知方程3（/十二）+5+3-4=0,若設x+」=y,則原方程化為（）.

x'XX

A.3/+5.y-4=0B.3y2+y-IO=O；

C.3y2-5），+2=0D.3/+5y+2=0

【難度】★

【答案】B