高考數學 解析幾何 直線與圓、圓與圓的位置關系 （學生版）

直線與圓、圓與圓的位置關系

激活思維

1.（教材經典題改編）圓（X—1）2+。+2）2=6與直線2x+y—5=o的位置關系

是（）

A.相切B.相離

C.相交過圓心D.相交但直線不過圓心

2.（教材經典題改編）已知直線x+小），-2=0與圓f+V=4相交于A,8兩

點，則弦A8的長度是（）

A.3/B.2s

C.2D.1

3.（教材經典題改編）（多選）已知圓Ci：x2+y2=4,圓。2：r+y2—8x—6y+

16=0,則下列說法正確的是（）

A.圓G與圓C2相交B.圓。與圓C2外切

C.兩圓的圓心距為5D.兩圓的圓心距為3

4.（教材經典題改編）圓f+），2—4x=0在點P（l,小）處的切線方程為

5.已知圓Oi：1+）?=5與圓。2：F+y2—4y=0交于A,B兩點,則

\AB\=.

聚焦知識

1.直線與圓的位置關系

22

設直線/：Ar+Bv+C=O（A+B^O）,圓C：（1一〃）2+°，一份2=戶。＞0）,d

為圓心①，加到直線/的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方

程的判別式為1.

方法位置關系幾何法代數法

相交d___________rA________0___

相切d___________rA________0___

相離d___________rA________（_）__

2.圓與圓的位置關系

設圓。1：（/—〃l）2+（y—/?l）2=r?S>0）,圓。2：（工一〃2）2+。，一比）2=匹6>0）.

方法幾何法：圓心距d與ri,n.代數法：兩圓方程聯立組成

位置的關系方程組的解的情況

外離—________解

外切—________實數解

相交i一________實數解

內切d=___________（n豐n）一組實數解

內含0d1八—n|（門W9）無解

3.幾個常用結論

（1）圓的切線方程的常用結論

①過圓f+./nr2上一點PCro,.V0）的圓的切線方程為

②過圓（?￥—。）2+6—與2=戶上一點尸我0,沖）的圓的切線方程為（九0—〃）（/一〃）

+（yo-b）（y—b）=r2.

③過圓1+.儼=/夕I、一點歷（xo,yo）作圓的兩條切線，則兩切點所在直線1勺方

程為xox+）夢=r.

（2）圓Ci：1+）2+。/+￡；1），+尸1=0與圓G：『+），2+￡）以+￡>2），+尸2=0相

交時，公共弦所在直線的方程為（。1-/>2）.丫+（E1—氏）），+尸I一尸2=0.

題型突破思維拓展

舉題說法

目涮1直線與圓的位置關系

例1（2021?新高考II卷）（多選）已知直線/：ax-\~by—r=0與圓C：f+）?

=產,點AQ,切，則下列說法正確的是（）

A.若點4在圓C上，則/與圓。相切

B.若點A在圓C內，則/與圓。相離

C.若點A在圓。外，則/與圓C相離

D.若點八在直線/上，貝I"與圓C相切

?總結提燎A

判斷直線與圓的位置關系的常見方法

(1)幾何法：利用d與廠的關系.

(2)代數法：聯立方程之后利用」判斷.

(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓

相交.

變式1(2025?新高考I卷)若圓f+。，+2)2=/(r>0)上到直線)，=#x+2

的距離為1的點有且僅有兩個，則廠的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(3,+8)D.(0,+8)

目幀同圓的弦長、切線問題

視角1弦長問題

例2-1(2023?新高考I【卷)己知直線/：工一〃少+1=0與圓C：(x—1A+

Q

產4交于4,8兩點，寫出滿足“△ABC的面積為”的根的一個值:.

<總結提燎A

弦長的兩種求法

(1)代數方法：將直線和圓的方程聯立得到方程組，消元后得到一個一元二

次方程.在判別式/>0的前提下，得到根與系數的關系，根據弦長公式求弦長.

(2)幾何方法：若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長/=2村戶一心.

變式2—1(1)(2025?泰州一模)已知直線y=kx+3與圓2)2+()，-3>=

4相交于A,5兩點，若［48|22小，則實數々的取值范圍為()

A.（—8,一小［5小,+°0）

B?(-8,-陰U停+8

C龍回

C，L3，3」

D.D，小］

(2)已知圓C：。-1)2+()，+2)2=16,過點0。1)的動直線/與圓C相交于

M,N兩點，當網朗=2仃時，直線/的方程為.

視角2切線問題

例2-2(1)(2025?邯鄲一模)(多選)已知直線/過點(2,1),且與圓C：f+

y2—2x+2)，-2=0相切，則直線/的方程可能是()

A.y=\B.x=2

C.4x+3y—11=0D.3工―4y+3=0

(2)(2023?新高考I卷)設過點(0,—2)且與圓f+y2—以―1=。相切的兩條

直線的夾角為則sina=()

A.1B普

「返D必

J4u'4

?總結握燎》

求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方

程.若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點

的切線有兩條，此時注意斜率不存在的切線.

變式2—2(2025?武漢一模)若過直線丁=一工+1上任一點尸向圓f+()，+

1)2=1作兩條切線，切點分別為A,則|A四的最小值為()

A.坐B.當

C.V2D.小

目幀回圓與圓的位置關系

例3⑴(2025?懸德鎮期中)已知圓G：『+)，2一2依-1+/=。與圓。2：J

—l)24-(j+l)2=r(r>0),若存在實數。使得兩圓僅有一條公切線，則7?的最小

值為.

(2)若圓O：f+y2=4與圓C：/+9―x+由》—3=0相交于點A,B,則

sinZAOB=.

變式3(多選)已知圓。：^+/=1,圓C：(工一。)2+。-1)2=4,?ER,則

()

A.兩圓的圓心距|OC1的最小值為1

B.若圓。與圓C相切，貝lj〃=±26

C.若圓。與圓。恰有兩條公切線，則一2啦V〃V26

D.若圓O與圓C相交，則公共弦長的最大值為2

隨堂內化

1.(2025?南昌一模)若直線y=2x與圓x2—)2一左一3=0相交于A,B兩

點，|。川=小，則|08|=()

A.坐B.*

「福D州

J5u-5

2.(2026-南京期初)已知點A(—1,1),8(3,3),線段AB為圓M的一條直

徑.設過點C(2,—1)且與圓M相切的兩條直線的斜率分別為力,七，則匕+公

=()

32

--

A.2B.3

23

C-D-

3?2

3.（多選）已知圓Ci：『+），~=6與圓C2：『+）2+辦;-a=0相交于A,B兩

點，若SZ\GAB=2S△。乂&則實數。的值可以是（）

A.10B.2

4.己知曲線C：f+&-〃。2=2和Ci：y=x+2,C2：y=\x\+2,若C與Ci

恰有一個公共點，則實數機=;若。與C2恰有兩個公共點，則實數〃?

的取值范圍是.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

I.（2025?蘇錫常鎮二模）已知圓Cf+（），-2）2=￥，將直線/】：方1一），=

0繞原點按順時針方向旋轉30。后得到直線/2,則（）

A.直線/2過圓心C

B.直線/2與圓C相交，但不過圓心

C.直線/2與圓C相切

D,直線〃與圓C無公共點

2.（2025?景德鎮二模）已知圓C：f+y2—6x—4），-3二0,且圓外有一點P（一

3,0）,過點尸作圓。的兩條切線，且切點分別為A和S,則|A6|=（）

A.3B.3

J55

3.（2024?全國甲卷）已知8是a,c的等差中項，直線依+外+c=0與圓『

+)2+4),一1=()交于48兩點，則|A5|的最小值為()

A.2B.3

C.4D.2小

4.(2025?徐州2月調研)在平面直角坐標系工0)，中，若圓Ci：(X+4>+()，

-1)2=/(—>0)上存在點P,且點P關于直線y=x+1的對稱點Q在圓C2：。一

4)2+/=4±,則-的雙值范圍是()

A.(3,7)B.[3,7]

C.(3,+8)D.[3,+8)

5.(2025?佛山一模)在平面直角坐標系xOy中，滿足不等式組

。的點(乂y)表示的區域面積為()

?廣十廣十1

A.1B.兀

C.兀—1D.兀—2

二、多項選擇題

6.(2026?益陽期初)在平面直角坐標系工Oy中，圓C的半徑為1,點P(2,l)

在圓C上，貝立)

A.)，軸與圓。可能相切

B.直線x+)，=0與圓。可能相交

C.x軸被圓C所截得的弦長的最大值是2

D.原點。與圓C上的點的距離的最大值為出+1

7.(2025?廣州二模)瑞士著名數學家歐拉在1765年提出：三角形的外心、

重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若aABC

的三個頂點坐標分別為A(3,4),8(—1,2),C(l,0),其“歐拉線”為/,圓M：(x-

?)2+/=1,則()

A.過點4作圓M的切線，切點為尸，則14Pl的最小值為4

B.若直線/被圓歷截得的弦長為2,則〃=—1

C.若圓M上有且只有兩個點到/的距離為1,則一1一2啦＜〃＜一1+2也

D.存在小使圓M上有三個點到/的距離為1

三、填空題

8.(2025-上饒二模)已知曲線尸2+正亍與直線)=工+。有兩個相異的

交點，那么實數人的取值范圍是.

9.(2025?石家莊二模)若圓M：(x—1)2+6，一m)2=25被直線女一4)，-7=0

所截得的弦長為1(),過點尸(一7,5)作圓M的切線，其中一個切點為A,則照尸

10.過點P(l,2)作圓O：