2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練函數(shù)的概念及其表示

第01講函數(shù)的概念及其表示

A夯實(shí)基礎(chǔ)B素養(yǎng)提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（24-25高三上?廣東潮州?期中）在下面四個(gè)圖中，可表示函數(shù)），=/（力的圖象的可能是

Q

2.（24-25高三上?河南?期末）函數(shù)/（x）=31n（2x-l）+—；的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

X—1

A.（1,+co）B.C.U（l，+8）D.U（!?+<?）

Iz/

2ax+a-\,x<0

3.（24-25高三上?四川廣元?期末）已知函數(shù)/（i）=在R上單調(diào)遞增，則。

x2,x>0

的取值范圍是（）

A.[—1J]B.[-1,0）C.（0,1]D.（0,+8）

4.（24-25高三上?福建福州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=「2在（，幾〃?+1）上單調(diào)

遞增，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為（）

A.S，-2]U[1什）B.[-2,1]

C.（-<?,-1]U[2,-K?）D.[-1,2]

5.（23-24高二上?安徽馬鞍山?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（1）的定義域?yàn)椋?』，則函數(shù)

/（W）-/（1一月的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,1）B.（0,1]C.[-1,1]D.[-h0）U（0,l]

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知定義在（0,內(nèi)）上的函數(shù)/*）滿足/（1）-3/（1）=-3，

XX

則/（2）的值為（）

A.7B.8C.13D.14

7.（24-25高三上?甘肅酒泉?期末）己知函數(shù)〃力=,的值域?yàn)椤?

3）

-,+cc,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

一乙/

25

C.一,+00

16

二、多選題

8.（24-25高三上?四川綿陽(yáng)?期末）若xwR,函數(shù)仆）=?-2%+9的值域是［0,問(wèn)，且

〃7。〃，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a>0B.ab=4

C.若/（，〃）=/（〃），則加+”=［

6

三、填空題

9.（25-26高三上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知函數(shù)一3X-4,且/"（〃）］=-4,則實(shí)數(shù)

6LV-1

10.（25-26高三上?全國(guó)裸后作業(yè)）若函數(shù)/（%）=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。

\Jcvc2-2ax+1

的取值范圍是.

四、解答題

11.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求函數(shù)），==的最大值.

12.（24-25高三上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x+5）=2x.

⑴證明：/（6為一次函數(shù).

⑵若/（/（〃?））+/（/叫=0,求〃，的值.

13.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/(I一sinx)=co/x,求/(x)的解析式；

(2)已知=求/(x)的解析式；

Ix)x-

(3)已知是一次函數(shù)且3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,求f(W的解析式;

(4)已知/(大)滿足2/(x)+/(r)=3x,求f(x)的解析式.

B素養(yǎng)提升

1.(2025?山西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(”=

2.(25-26高三上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/(幻=3,其中⑶表示不超過(guò)x的最大整數(shù),

當(dāng)一9W時(shí)，下列函數(shù)中，其值域與/⑴的值域不相同的函數(shù)為，)

A..V=X,XG{-1,0,1,2,3)=2x,xe

D.>'=X2-I,XG(0,1,>/2,>/3,2}

a,a>b,

{,,設(shè)函數(shù)/(x)=x+1,g(x)=(x-1)?,

記函數(shù)2(x)=max{/(x),g(x)},且函數(shù)”(幻在區(qū)間[〃?,，力上的值域?yàn)樗?],則區(qū)間,間的

長(zhǎng)度的最大值為()

(tz-2)x-3,x<2

4.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))己知函數(shù)/")=a八，若對(duì)R上的任意實(shí)數(shù)々，

—,x>2

%(司二占)，恒有(七一七)[/(芮)一/(々)]<0成立，那么實(shí)數(shù)”的取值范圍是

5.（24-25高三上?湖南邵陽(yáng)?期末）已知〃x）八若存在實(shí)數(shù)〃（八0

x-（a-3）x+b,x>1

且〃工1）,W/占eR,當(dāng)彳尸占時(shí)，都有>2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

?GF

6.（24-25高三上?云南昭通?期末）已知函數(shù)〃x）=bg2（加-2加+4）.

⑴若/W的定義域?yàn)镽，求〃的取值范圍；

（2）若/（X）的值域?yàn)镽,求。的取值范圍.

第01講函數(shù)的概念及其表示

A夯實(shí)基礎(chǔ)B素養(yǎng)提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東潮州?期中）在下面四個(gè)圖中，可表示困數(shù)），=/（犬）的圖象的可能是

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)關(guān)系的判斷

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，任何一個(gè)％值只能對(duì)應(yīng)唯一的）'值，（1）（2）（3）不滿

足，

故選：D

Q

2.（24-25高三上?河南?期末）函數(shù)"x）=31n（2x-l）+—的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（l,+oo）B.（g，+8C.；1[u（l，+8）D.（g/U（l，yj

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、具體函數(shù)的定義域

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的直數(shù)大干零和分式函數(shù)的分母不為零列不等式如求解即可.

【詳解】由題意知《解得且XW1,

工一1二0,2

所以函數(shù)/（力的定義域?yàn)椋╣，l）u（l，+8）.

故選：D

3.（24-25高三上?四川廣元?期末）已知函數(shù)=12fM/"<0在R上單調(diào)遞增，則。

的取值范圍是（）

A.[-1J]B.r-1,0）C.(0,1]D.(0,+oc)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解即得.

【詳解】由函數(shù)/（幻=12nli在R上單調(diào)遞增，

x",x>0

[2a>0

得<解得0v〃Wl,

所以4的取值范圍是（。,11

故選：C

4.（24-25高三上,福建福州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/0）=<:二:°在（川,m+1）上單調(diào)

遞增，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為（）

A.2]U[1?+CC）B.[-2,1]

C.（^?,-1]U[2,-H?）D.[-1,2]

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】作出函數(shù)/'（x）的圖象，由圖象得到/（"的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)條件列出關(guān)「小的

不等式，解不等式得到機(jī)的取值范圍.

【詳解】作出函數(shù)〃x）=_；'一的圖象，如下圖，

要使函數(shù)/（X）在（見(jiàn)〃7+1）上單調(diào)遞增，

則或〃2+1W-1,解得〃后1或〃三一2,

.??實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為（70,-2]U[l，y）.

故選：A.

5.（23-24高二上安徽馬鞍山?開(kāi)學(xué)考試）己知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?5，則函數(shù)

的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,1）B.（0,1]C.[-U]D.[-l,0）U（0,l]

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)的定義域

【分析】依題意得解出該不等式組即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（"的定義域?yàn)?/p>

0<x2<l-l<x<0gg0<x<l

所以=>=>0<x<1,

0<l-x<l0<x<l

所以函數(shù)/卜—的定義域?yàn)椋?,1）.

故選：A.

6.（24-25高三上?四川成番?期中）已知定義在（0,xo）上的函數(shù)/*）滿足/（幻-3/4）=-3,

xx

則/（2）的值為（）

A.7B.8C.13D.14

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)方程組法求解析式

【分析】由構(gòu)造方程法可先求出/。）解析式，再求出。2）的值.

【詳解】由題意得，因?yàn)?/（3=-3，

xx

所以對(duì)于任意X€（0，y）,/（-）-3/（x）=-16.r,

X

聯(lián)立XX消去/（3可得,

X

/(-)-3/(x)=-16x

x

2

f(x)=6x+~,

x

所以"2)=6x2+l=13,

故選：C.

x~~2xH—,xW1,

2的值域?yàn)镺,

7.（24-25高三上?甘肅酒泉?期末）已知函數(shù)

a,,

X4-----1,X>I

X

3、

。1孑，+8,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

4/

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的值域(最值)求參數(shù)、根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍

【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值范圍，再與值域?qū)Ρ惹髮?shí)數(shù)。的取

值范圍.

【詳解】當(dāng)XW1時(shí)，/(x)=Y-2x+5=(x-l)2+/在(-0),1］上單調(diào)遞減，

此時(shí),，+8);

當(dāng)X>1時(shí)，f(X)=XH------1.

X

①若.41,則/'(7)="十9-1在(1,+8)」二單調(diào)遞增,此時(shí)/(x)e(a,18),

X

「3、

乂函數(shù)“力的值域。仁于+8，不合題意；

-乙/

②若"I,則f(x)=x+q-122&-l,當(dāng)且僅當(dāng)工=石>|時(shí)，等號(hào)成立，

X/

..3\2>［a—1>—

又函數(shù)〃力的值域。1；，+8，則｛2,

L；1^>1

解得。之?孑5.綜上所述：〃之9孑5.

1616

故選：C.

二、多選題

8.(24-25高三上?四川綿陽(yáng)?期末)若xwR,函數(shù)仆)=?—2%+9的值域是［0,同，且

"7W〃，則下列結(jié)論中正確的是()

A.。>0B.ab=4

C.若/(〃?)=/(〃)，則〃?+"」D.—1

C14+。8

【答案】ABD

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、基本不等式求和的最小值

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域性質(zhì)，結(jié)合基本不等式逐一判斷即可.

【詳解】當(dāng)〃=0時(shí)，/(/)=-2工+1,顯然此時(shí)函數(shù)的值域不是［0,”)，不符合題意；

當(dāng)“工0時(shí)，f(x)=ax2-2x+—=a\x-^-\--+—,對(duì)稱軸為工=,，

因?yàn)槎魏瘮?shù)/(x)=ad_2x+［的值域是［0,+x),且xwR,

。°a>0n

所以有｛1b八=<,/，因此選項(xiàng)AB正確，

——+—=0ab=4

a4

、2

若〃沖〃且/(/〃)=/(z〃)，所以由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得m十〃=',

因此選項(xiàng)C不正確：

a>0

>0

由心，=卜>0,因?yàn)?+〃之2皿=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=2時(shí)取等號(hào)，

b=4

ab=4

所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD

三、填空題

9.(25-26高三上,全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)=f—3x—4,且/"(〃)］=-4,則實(shí)數(shù)

a-.

【答案】匹返或4或一1

2

【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)

【詳解】令，=/3)，則/一3"4=T,解得/=3或0.由八。)=/=3,得。2一3。一7=0,

解得。=出晝.由/(，)=，=0得〃2一3〃一4=()，解得a=4或一1.

2

10.(25-26高三上?全國(guó)裸后作業(yè))若函數(shù)/(%)=/"'7='的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a

Var*-2ar+l

的取值范圍是.

【答案】m)

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題、己知函數(shù)的定義域求參數(shù)

【詳解】若函數(shù)/")=/"11=■的定義域?yàn)镽，則如對(duì)任意xeR恒成

7ax-lax+1

ftz>0

立.當(dāng)a=0時(shí)，不等式ar2-2at+l>0化為I>0,恒成立：當(dāng)a=0時(shí)，需滿足｛,

△=4a2-4a<0

解得Ovavl.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

四、解答題

11（2。24高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求函數(shù)戶中子的最大值.

【答案】"①

4

【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域

【分析】將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)計(jì)算，利用基本不等式計(jì)算可得當(dāng)x=±蚯時(shí)，有最大值為安邑.

4

八2產(chǎn)+2（x、2）+2Yjf

【詳解】易知y=2（X4+2）2+X4+2*eR）：

2x4+4-

當(dāng)x=0時(shí)，）'=；；當(dāng)x=0時(shí)，x2>0.

2

x1<11

易知工4+2一廣力工一「八2一南,

7VV

7

當(dāng)且僅當(dāng)丁二:，即廣士也時(shí)，等號(hào)成立.

2

可得y=g+x-3也.

X4+224

故當(dāng)*=土啦時(shí)，y有最大值生蟲(chóng).

4

12.（24-25高三上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（x+5）=2x.

（1）證明：f（x）為一次函數(shù).

⑵若〃"〃?））+/'（〃『）=0,求/〃的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）/H=-1±>/2T-

【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)、已知f（g（x））求解析式

【分析】（1）應(yīng)用換元法求原函數(shù)解析式，即可證；

（2）由（1）所得解析式，根據(jù)已知將相關(guān)參數(shù)代入得方程，即可求解.

【詳解】（1）令x+5=f,得-5,則/⑺=2（/-5）=2/-10,

所以〃力=2/-10,故/（x）為一次函數(shù).

（2）因?yàn)?（/（〃?））+/（〃『）=（）,所以2（2〃L10）―10+2^-10=0,

整理得〃/+2〃?一20=0，解得m=-1土立L

13.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式:

（1）已知-（1一sinx）=co§2x,求/（x）的解析式；

(\\I

(2)已知/x+—=f+r,求/(x)的解析式；

IX)x-

(3)已知/(大)是一次函數(shù)且3/(X+I)-2/(X-1)=2X+I7,求/(x)的解析式：

(4)已知/*)滿足2/(用+/(—)=3x,求/*)的解析式.

2

【答案】(1)/(X)=2X-X,X€[0,2]:

(2)f(x)=x2-2,xe(-<?,-2]|J[2,-H?)；

(3)f(x)=2x+7；

(4)/(x)=3x.

【知識(shí)點(diǎn)】已知函數(shù)類型求解析式、已知f(g(x))求解析式、函數(shù)方程組法求解析式

【分析】(1)設(shè)l-sinx=//e[0,2],由換元法可得出答案.

(2)由f+與=(1+_[丫-2,由配湊法可得答案.

尸Ix)

(3)可設(shè)/(幻=紗+"。=0),利川待定系數(shù)法可得答案.

(4)將x用一“替換，由方程消元法可得答案.

【詳解】(1)(換元法)設(shè)l-sinx=fjw[0,2],則sinx=lT.

所以/(l-sinx)=cos2;v=l-sin2x,所以/⑺=1一(1-f)?=2f-J,/e[0,2].

即/(A)=2x-x\xe[0,2].

(2)(配湊法)因?yàn)?_2,

kx)『Ix)

又當(dāng)x>。時(shí)，x+->2(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取,

X

當(dāng)x<0時(shí)，x+-<-2(當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時(shí)取"="),

X

所以/(X)=x2-2,xe(-oo,-2]U[2,+oo).

(3)(待定系數(shù)法)因?yàn)?(“是一次函數(shù)，可設(shè)/(幻="+。(。工0),

所以3[a(x+l)+0]-2[a(x-l)+〃]=2x+17.

a=2

即at+(5a+b)=2K+17,所以

5〃+。=17

a=2

解得

b=l

所以f(x)的解析式是/(X)=2x+7.

(4)(方程組法)因?yàn)?/(x)+/(-x)=3x,①

所以將x用一工替換，得2f(-x)+/(x)=-3x,②

由①②解得/(x)=3兒

B素養(yǎng)提升

1.（2025?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)=則/（）

9

A.-B.5C.9D.10

2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】用士■代換“得小?|=」7,即可求目標(biāo)函數(shù)值.

n~\rrJn-\

故選：C

2.（25-26高三上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知函數(shù)/*）=[%],其中3表示不超過(guò)x的最大整數(shù),

I7

當(dāng)-（時(shí)，下列函數(shù)中，其值域與/（X）的值域不相同的函數(shù)為（）

c1八1,3

A.y={-1,0,1,2,3)B.y=2xxe^--,0,-,l,->

C.屋D.y=/_],xe{0.1,&,32}

?XIZ3?

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、常見(jiàn)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)俏域

■17~

【詳解】當(dāng)XC時(shí)，”V）的值域?yàn)閧-1,0123}.對(duì)于C,該函數(shù)的值域?yàn)閧-1,123,4}.

3.（25-26高三上?全國(guó)?課后作業(yè)）定義max{?〃}=<：'：一設(shè)函數(shù)f（x）=x+l,^（x）=（x-1）2,

b、b>a.

記函數(shù)/"）=max{/*）**）},且函數(shù)"（x）在區(qū)間[〃?,川上的值域?yàn)镺U,則區(qū)間[〃?,〃]的

長(zhǎng)度的最大值為（）

7

A.1B.3C.-D.2

4

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)

【詳解】令/（x"g（x）,則K+12（X+1）2,解得—IWXWO,所以

(x+l)~,x<—1?

F(x)=max{f(x),g(x)}=x+1,T4xW0,則尸(力的圖象如圖:

(x+l)2,x>(),

又F（0）=F（-2）=l,F（-l）=0,且函數(shù)F（x）在區(qū)間［m,〃］上的值域?yàn)樗?1,當(dāng)〃=0時(shí)，

-2</n<-l；當(dāng)〃?=一2時(shí)，TW〃工0,所以當(dāng)<=-2,〃=0時(shí),區(qū)間［，小川的長(zhǎng)度取得最大

值，最大值為2.

（￡7-2）X-3,X<2

4.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/。）=〃.，若對(duì)R上的任意實(shí)數(shù)為，

一,x>2

%（內(nèi)工/），恒有（5-七）［/（與）-/（七）］<0成立，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】耳2）

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)是R上的減函數(shù)，列出不等式組，解該不等式組即可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)R上的任意實(shí)數(shù)N，巳，（A-,*X2）,

恒有（再一%）［/（芭）-/（玉