函數與方程-高考數學復習之重難點題型講義（新高考地區專用）解析版

專題2.17函數與方程.重難點題型精講

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1.函數的零點

(1)函數零點的定義

對于函數y=/3(x￡。)，把使/(x)=0的實數x叫做函數)=/(x)(x￡。)的零點.

(2)三個等價關系

方程/(x)=0有實數根o函數y=/(x)的圖象與x軸有交點0函數)，可。)有零點.

(3)函數零點的判定(函數零點存在定理)

如果函數y=/(x)在區間［。，加上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有/3)〃份＜0,那么，函數y=/(x)

在區間僅，坊內有零點，即存在cW(°,b),使得f(c)=O,這個c也就是方程f(x)=O的根.

2.二次函數y=or2+Z＞x+c(公＞0)的圖象與零點的關系

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【題型1函數零點所在區間的判斷】

【方法點撥】

確定函數大幻的零點所在區間的常用方法：

⑴利用函數零點的存在性定理：首先看函數y=/(x)在區間S，切上的圖象是否連續，再看是否有人。)叭。)<0.

若有，則函數y=#x)在區間(小。)內必有零點.

⑵數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.

【例I】(2022春?新興區校級期末)函數f(x)=/ogix+”的零點所在區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解題思路】根據函數零點的判定定理，求解即可.

【解答過程】解：f(1)=logil+l=0+l=l>0,f(2)=logi2+|=-1+1=<0f

所以，函數/'(為二^^逐+9的零點所在區間為(1,2).

故選：B.

【變式1-1](2022春?湖南月考)函數/(x)=2斗3.「3的零點所在區間是()

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A.(0,B.(加1)C.(1,.D.(打2)

【解題思路】山函數解析式可得函數的單調性，再山/?8)<?/(I)>0得結論.

【解答過程】解：由f(x)=2]+3.i-3,可知/(x)是R上的增函數，

'-V(1)=V2-|<0,/(1)=2〉0,的零點在區間咳，1)內?

故選：B.

【變式1-2](2022春?祥符區月考?)函數/?(乃二的4%一焉的一個零點所在的區間是()

A.(0,I)B.(2,3)C.(2,e)D.(1,2)

【解題思路】首先判斷函數為(0,+8)上的增函數，再結合/(I)<0,/(2)>()得結論.

【解答過程】解:函數/(工)=/。94%-/是(。，+8)上的增函數，

又f(I)=log4l~\/(2)=20<42='一'=今為'

，函數/'(%)=log/-人的一個零點所在的區間是(1，2),

故選：D.

【變式1-3](2022春?貴池區校級月考)函數/'(%)=《尸一%-5的零點所在的一個區間是()

A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-L0)D.(0,1)

【解題思路】直接利用函數零點存在性定理判斷即可.

【解答過程】解：易知函數八x)在R上單調遞減，且/(一2)=(1)-2+2-5=6,/(-1)=(i)-1+1-5=

-1,則/(-2)?/(-1)<0.

故由零點存在性定理可知，函數f(x)在(-2,-I)上存在一個零點.

故選：B.

【題型2函數零點個數的判定】

【方法點撥】

函數零點個數的判斷方法：

⑴直接求零點，令yu)=o,有幾個解就有幾個零點；

⑵零點存在性定理，要求函數人外在區間口，刃上是連續不斷的曲線，且人幻叭3<0,再結合函數的圖象與

性質確定函數零點個數；

⑶數形結合法，作出兩函數圖象，觀察兩函數圖象的交點個數，即得函數的零點個數.

log2x,0<x<2>

【例2】(2022?涇縣校級開學)已知函數/(%)=1%則函數g(x)=2if(x)-1在(0,

寸⑶，x>2,

32)上的零點個數為()

A.6B.5C.4D.3

【解題思路】函數零點個數可轉化為函數.y=4(x)與y=(的圖象交點的個數，根據函數解析式作出函

數圖象，數形結合求解即可.

【解答過程】解：由g(x)=L/(x)-1=0,可得2/(%)

故函數g(x)的零點個數即函數)，=Zf(%)與y=9的圖象交點的個數，

log2x,0<x<2

V/(x)=i，，可將函數的定義域分段為(1,2],(2,4],(4,8],(8,16],(16,

(打(x分x>2

32),

并且./■(%)在(2〃[，2”]上的圖象是將/(x)在(2”一2,2〃-1]上圖象的所有點的橫坐標伸長為原來的2

倍,

縱坐標縮短為原來的之后得到，作出），=2f（X）與y的圖象，如圖所示,

2x

由圖象可知，共有5個交點，

故函數函數g（x）=2xf（x）-1在（0,32）上零點個數為5個.

故選：B.

【變式2-1]（2021秋?貴陽期末）借助信息技術畫出函數），=擊和y=x|x-a|（。為實數）的羽象，當。=

1.5時圖象如圖所示，則函數y=x|戈-1.5|-的零點個數為（）

【解題思路】根據函數與方程的關系進行轉化求解即可.

【解答過程】解：btly=x\x-l.5|-bvc=（）,得L5|=//m

由圖象知吠和），=邛-1.5兩個圖象的交點有2個，故函數），=水-1.5|-阮r的零點個數為2個，

故選：B.

3—x2—2x,x<1,

【變式2-2]（2022春?昌圖縣校級期末）已知函數/?（%）=4—則函數（x））-3

x+——2/x>1，

的零點個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】數形結合，把零點問題轉化為對應方程的根或函數圖象的交點即可求解.

【解答過程】解：作出/G)的圖象，如圖所示：

則/(幻的值域為R，求)=/(/(%))?3的零點，即求)-3=0,即/(/(x))=3,對應

方程的根，

設〃?=/(x),則則)=3等價于=3,

如圖所示：

f(/?)=3有3個交點，則〃?有三個解，

當機W1時，有3--2機=3,解得m=0或m=-2,

當機＞1時，有機+色一2=3,解得機=4或，〃=1(舍)，

故機的值分別為-2,0,4,則〃?=/(x)對應解如下圖:

m

m=f(x)對應5個交點，分別為點Q,M,K,E,T,

綜上所述：y=/(/(x))-3的零點個數為5個.

故選：D.

X乙+V+(*YV0

'~,若/(-2)=/(0),/(-3)=

(2,x>0

1,則函數y=/(x)-x的零點個數為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據條件先求得每段函數的零點，其中當xWo時，由/(-2)=/(0)得的對稱軸

-r=-1,再解之.

【解答過程】解：當xWO時，，/(x)=/+樂+c,/(-2)=f(0),/(-3)=1,???-2二-1,

(9-3b+c=1

:?b=2,c=-2,

/(x)=/+2x-2,令/(x)-x=0,即/+x-2=0,解得，x=-2或x=I(舍去)，

當x>0時，2-x=0,得x=2,

綜上，函數y=/(x)-x的零點為-2和2,

故選：B.

【題型3根據零點的個數(或范圍)求參數】

【方法點撥】

根據函數零點的情況求參數的方法：

⑴直接法：直接根據題設條件構建方程(不等式)，再通過解方程(不等式)求參數.

⑵分離參數法：先將參數分離，轉化為求函數的最值或值域問題，加以解決.

⑶數形結合法；先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合求解.

【例3】(2022?河南模擬)已知函數/(x)=f-3/-k在區間(0,3)存在零點，則攵的取值范圍是()

A.(-8,o)B.[-4,+8)C.(-4,0]D.[-4,0)

【解題思路】把問題轉化為y=k與g(x)=9-3/在區叵(0,3)存在交點，研究g(x)=?-3A-2

在(0,3)上的值域即可求解結論.

【解答過程】解：???函數/(x)=4-3/-A在區間(0,3)存在零點，

即y=〃與g(x)=9-3/在區間(0,3)存在交點，

■:g'(x)=3f-6X=3X(x-2),

???0VxV2時，g'(x)<0,g(x)遞減,

2VxV3時，g'(x)>0,g(x)遞增，

又g(0)=0,g(2)=-4,g(3)=0,

J-44V0,

故選：D.

【變式3-11(2021秋?和平區期末)已知函數y=a^m-1(0<?<1)有零點，則實數m的取值范圍是()

A.(…，o)B.(…，0]C.[0,I)D.[1,2)

【解題思路】問題轉化為a1=1■加有根,求出臚的范圍,即可求得實數機的取值范圍.

【解答過程】解?：函數了=/電〃?1(0<67<1)有零點，即方程。國+陽?1=0有根，

也就是m=1■加有根，

OVaWl,A?we(0.1].

則1?，托(0,1],可得0WmVI.

即實數機的取值范圍是[0,1).

故選：C.

+4%+Q.fxVI

,若函數y=/(x)-2只有兩個零

Inx+1,x>1

點，則實數〃的取值范圍是()

A.(-8,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-?>,-3]U{6}

【解題思路】判斷函數零點的位置與個數，然后轉化求解。的范圍即可.

>2+4%+a,xVI

,函數y=f(x)-2只有兩個零點，

{Inx+1,x>1

當時，方程/(e=2,可得以計1=2,解得x=e,函數有一個零點.

當xVl時，函數有一個零點，即a=-7-4x+2,x<l,有一個解.

設91(%)=-4%+2(x<l),g2(x)=a，則gi(x)與g2(x)的圖象有且僅有一個交點?

故aW?3或4=6.

故選：。.

【變式3-3](2()21秋?光明區期末)已知函數/(x)=ZogaX-4xT(a>0_aa#l^(0,芻上無零點，在8,1)

上白零點，則實數。的取值范圍為()

A.(0,3B,貪1)U(L4-00)

C.(0,D.1)

【解題思路】將問題轉化成研究方程，。%”=釬-1在(o,芻上無實數根，在8,1)上有實數根，即考查

函數g(x)=/oga%,九(%)=4"1的交點情況，作出函數圖像數形結合即可得到答案.

【解答過程】解：函數J'(x)在(0,口上無零點，在《，1)上有零點，

卻方程/⑴=0在(0,芻上無實數根，在8，1)上有實數根，

即/0%%=4%-1在(0,芻上無實數根，在41)上有實數根，

X-1

設9。)=logax,h(x)=4；

函數〃(x)在R上單調遞增，且力(0)=卜h(i)=\,-1)=1,

h(x)=4廠1>0恒成立，

若4>1,則在(0,1)時,g(x)=lOgaX<0,故不滿足條件.

由于g(X)與h(A-)的圖象在(0,勺上無交點，在弓，1)上有交點，

(0<a<l

根據函數的圖象可知11,

(力)>帖)

解得工VaVI,

4

故選：D.

［ft4］（2022?克拉瑪依三模）函數/（x）=l?（x?n）siiir在區間［-當，岑］上的所有零點之和為（）

A.0B.2TTC.4TTD.6n

【解題思路】易知.y=siiu-關于點（口，0）對稱，y元也關于點（口，0）對稱，作出y=sinx與、=

的圖象，觀察在區間［-岑，亨］上的交點個數，根據對稱性即可得解.

1

【解答過程】解：令/（x）=0,則s?x=不彳

坐標之和為2m

???函數/（工）在區間［一岑，爭上的所有零點之和為2X如=411.

故選：C.

（%-1）2,%”）一的所有零點之和為（）

【變式4-1］（2022?萍鄉二模）已知函數/?（%）=

l|x+1|,x<0''2

V2+11-V2

A.---------B.---------C.2D.0

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【解題思路】根據零點定義求出零點后可得.

【解答過程】解：當在。時.，由(x-l)2_/=o,得尸]土?，當.9時，由卜+||4=0,得尸一聶

3

<二一下

所以四個零點和為1+孚+TW=o.

故選：。.

【變式4-2](2022?懷仁市校級二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=

2|X-1I-1,0<x<2c

1,若關于X的方程[f(x)]2-(a+1)f(A)+a=0(〃￡R)恰有4個不相等的實數

"(X—2),x>2

根，則這4個實數根之和為()

A.-4B.4C.8D.-4或8

【解題思路】設/J)=/,則關于U'Q)產-M=o(aeR)的方程等價于於-(u+i)(+a

=0,解得f=a或/=1,結合圖象，分兩種情況：(1)t—ci—(2)t—(i——討論/1X)=〃的實

數根的和，即可得到結論.

【解答過程】解：當x=0時，/(0)=0,此時不滿足方程，

若2Vx<4,則0VX-2W2,即/(X)=1f(x-2)=1(2k-31-1),

若4VxW6,貝【J2<x-2=54,即f(x)=)(x-2)=1(2U51-1),

作出函數工20的圖象，如圖所示：

設/(x)=/,則關于伏(不)]2-(a+i)/(X)+4=0(aER)的方程等價于r2-(4+1)/+?=(),

解得f=a或-=1,

當，=1時，即f(x)=1對應一個交點為明=2,方程恰有4個不同的根，可分為兩種情況：

(1)l=ct=即