高中數學專項復習：統計 期末試題匯編（含答案詳解）

專題05統計

☆高頻考點概覽

考點01簡單隨機抽樣

考點02分層抽樣

考點03獲取數據的途徑

考點04頻率分布直方圖及其應用

考點05條形圖、扇形圖、折線圖

考點06總體百分位數的估計

考點07眾數、中位數、平均數

考點08方差

國簡單隨機抽樣______________________________________

1.（2021春?西城區校級期末）對一個容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統

抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為鳥，A，則（）

A.4=B.P?=P、<P\C.《二6〈鳥D.《=鳥=6

【解答】解：根據簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣的定義可知，無論哪種抽樣，每個個體被抽中的概

率都是相等的，

即<=,=鳥.

故選：D.

2.（2021春?西城區校級期末）總體由編號為01,02,29,30的30個個體組成.利用下面的隨機數

表選取4個個體，選取方法是從隨機數表第1行的笫5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，

則選出的第4個個體的編號為（）

7806657208026314294718219800

3204923449353623486969387481

A.02B.14C.18D.29

【解答】解：從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字中小于20的編號依

次為：

08,02,14,29,

可知第4個個體的編號為29.

故選：D.

3.（2022春?北京校級期末）要考察某種品牌的450顆種子的發芽率，從中抽取5（）顆種子進行實驗.利用

隨機數表抽取種子時，先將450顆種子按001,002,450進行編號，如果從隨機數表第2行第4組

（隨機數組中每5個數為一組）開始，自左向右自上至下讀數，使用各個5位數組的前3位，則最先抽

取的4顆種子的編號是99?

（下面摘取了隨機數表第1行至第5行）

4302192980277682691627783845727848339820

6145939073792422037221048870883460034636

6317158247129075030328814404229789561421

4237253183515469038512120640425132022983.

【解答】解：從隨機數表第2行第4組（隨機數組中每5個數為一組）開始,

自左向右自上至下讀數，使用各個5位數組的前3位，

可得第一個數字是203,符合題意，

第二個數字是210,也符合題意，

第三個數字是870,大于450,舍去，

第四個數字346,符合題意，

第五個數字是346,重復，舍去，

第六數字是631,大于450,舍去，

第七個數字是582,大于450,舍去，

第八個數字是129,符合題意.

故答案為:203,210,346,129.

考點02分層抽樣

4.（2021春?豐臺區校級期末）為了解某地區的中小學生的視力情況，擬從該地區的中小學生中抽取部分

學生進行調查，事先已了解到該地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男、女生

視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）

A.簡單隨機抽樣B.按性別分層隨機抽樣

C.按學段分層隨機抽樣D.其他抽樣方法

【解答】解：我們常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，

而事先已經了解到該地區小學、初中、高中三個學段學生的視刀情況有較大差異，而男女生視力情況差異

不大.

了解某地區中小學生的視力情況，按學段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理.

故選：C.

5.（2025春?朝陽區期末）某學校高一年級由360名男同學和270名女同學組成，現用分層抽樣的方法，

從高一年級中隨機抽取一個容量為28的樣本進行運動成績調查，其中男同學應抽取的人數為（）

A.12B.14C.16D.28

【解答】解：設男同學應抽取的人數為〃,

因為有360名男同學和270名女同學,

可得恭其

解得n=16

故選：C.

6.（2025春?大興區期末）某學校有高中學生500人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數分別為

160,150,190,為調查學生參加“社區志愿服務”的意向，現采用按比例分層抽樣的方法從中抽取一個容

量為50的樣本，那么應抽取高二年級的人數為（）

A.15B.16C.19D.32

【解答】解：由分層隨機抽樣的定義可知，應抽取高二年級的人數為50x—————=15.

160+150+190

故選：A.

7.（2024春?朝陽區期末）已知某學校漢服社、書法社、詩歌社、曲藝社四個學生社團的人數比為2:2:3:3,

現用比例分配的分層隨機抽樣的方法，從這四個社團中抽取20人擔任志愿者，則從曲藝社抽取的人數

為—.

【解答】解：由分層抽樣的定義，可得從曲藝社抽取的人數為20x————=6人.

2+2+3+3

故答案為：6.

8.（2024春?北京期末）某高中共有學生1000人，其中高一和廟二各有400人，現采用分層抽樣的方法抽

取容量為25的樣本，那么高二抽取的人數為

【解答】解：由題意可得，采用分層抽樣的方法抽取容量為25的樣本,

那么高二抽取的人數為理25=10.

1000

故答案為：10.

9.（2024春?北京校級期末）某地區采用分層抽樣的方法，抽取一定數量的高中學生參加禁毒知識競賽.若

得到的樣本中高二的學生數量比高一多40人、比高三少20人：且該地區高一、高三學生數之比為2:3,

則樣本容量為一.

【解答】解：設樣本中高一學生數為2x,則高三學生數為3x,

因為得到的樣本中高二的學生數量比高一多40人、比高三少20人，

所以2A?+40=統-20,

解得x=60，

所以高一學生數為120,而二學生數為160,高三學生數為180,

所以樣本容量為120+】60+180=460.

故答案為：460.

10.（2023春?朝陽區期末）某地區有高中生300（）人，初中生6000人，小學生6000人.教育部門為了了

解本地區中小學生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學生進行分層，如果在各層中

按比例分配樣本，總樣本量為150,那么在高中生中抽取了一人.

【解答】解：因為某地區有高中生3000人，初中生6000人，小學生6000人.共計3000+6000+6000=15000

人，

又總樣本量為150,

則抽樣比為耳_=」一，

15000100

則在高中生中抽取了3000x—=30；k.

100

故答案為：30.

11.（2023春?順義區期木）某中學高一年級有280人，高二年級有320人，為了解該校高一高二學生對暑

假生活的規劃情況，現用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為60的樣本，則高一年級應抽取的人

數為（）

A.14B.16C.28D.32

【解答】解:280:320=7:8,

則高一年級應抽取的人數為60X—L=28.

7+8

故選：c.

12.（2023春?大興區期末）某學校現有小學和初中學生共2000人，為了解學生的體質健康合格情況，決

定采用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為400的樣本，其中被抽到的初中學生人數為180,那么

這所學校的初中學生人數為（）

A.800B.900C.1000D.1100

【解答】解：根據分層抽樣的定義和題意，

這所學校的初中學生人數為2000x^=900（人）.

400

故選：B.

13.（2019春?昌平區期末）某學校有高中學生1000人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數分別

為320,300,380.為調查學生參加“社區志愿服務”的意向，現采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為

100的樣本，那么應抽取而二年級學生的人數為（）

A.68B.38C.32D.30

【解答】解：由分層抽樣方法可得：

應抽取高二年級學生的人數為SOQxl00=30,

320+300+380

故選：D.

14.（2022春?豐臺區校級期末）在“創文明城區”（簡稱“創城”）活動中，教委對某區甲、乙、丙、丁

四所高中校按各校人數分層抽樣調查，將調查情況進行整理后制成下表：

學校甲乙丙T

抽查人數50151025

“創城”活動中參4010915

與的人數

若該區共2000名高中學生，估計甲學校參與“創城”活動的人數為（）

A.1600B.101XJC.80UD.500

【解答】解：該區共2000名高中學生，估計甲學校參與“創城”活動的人數為

2（XX）x-------------X—=8（）0.

故選：C.

15.（2022春?朝陽區校級期末）某校高一、高二、高三年級學生人數分別為400、500、400,現用按比例

分配的分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為〃的樣本了解網課學習情況，樣本中高一學生的人數為36人，

則樣本容量〃是（

A.208B.96C.156D.117

36_400

【解答】解：由題意可得,解得〃=117.

T-400+500+400

故選：O.

16.（2022春?朝陽區期末）某西瓜種植基地種植了三個品種的西瓜共計1200畝,其中A品種600畝,B品

種400畝，C品種200畝.為了解該西瓜種植基地的西瓜產量，按照各品種的種植畝數在總體中所占的比

例進行分層隨機抽樣，從總體中拍出60畝作為樣本進行調查，測得樣本中A品種總產量為108噸，8品種

總產量為50噸，C品種總產量為20噸，則這1200畝西瓜的總產量估計為（）

A.1200噸B.3000噸C.3560噸D.6480噸

【解答】解：由題意可得，這1200畝西瓜的總產量估計為畏x（108+50+20）=3560.

故選：C.

17.（2021?東城區一模）某中學高一、高二和高三各年級人數見表.采用分層抽樣的方法調查學生的健康

狀況，在抽取的樣本中，高二年級有20人，那么該樣本中高三年級的人數為（）

年級人數

高一550

高二500

高三450

合計1500

A.18B.22C.40D.60

【解答】解：因為高二年級與高三年級的比例為迎=3，

4509

由于分層抽樣是按比例抽取，故抽取的比例為此，

9

Q

因為高二年級有20人，所以高三年級為20x2=18人.

10

故選：A.

18.（2024春?大興區期末）某比例分配的分層隨機抽樣中，相關統計數據如下表.則此樣本的平均數為（）

樣本量平均數

第1層2030

第2層3020

A.20B.24C.25D.30

【解答】解：樣本的平均數為：20X30+30X20=24.

20+30

故選：B.

考點03獲取數據的途徑

19.（2024春?北京期末）下列調查中，適宜采用抽樣調查的是（）

A.調查某校一年級（3）班全體學生的身高情況

B.某公司初步發現一位職員患有甲肝，對此公司職員進行檢查

C.農業科技人員調查某塊地今年麥穗的單糖平均質量

D.調查某快餐店中全部8位店員的生活質量情況

【解答】解：選項C適合采用抽樣調查,

因為選項A、8和。中應該對所有人員進行檢查，所以用普查的方式.

故選：C.

20.（2023春?順義區期末）在以下4項調查中：

①調查?個40人班級的學生每周的體育鍛煉時間；

②調查某省的一種結核病的發病率；

③調查一批食品的合格率；

④調查一個水庫所有魚中草魚所占的比例：

適合用全面調查的是（）

A.①B.②C.③D.@

【解答】解：①調直一個40人班級的學生每周的體育鍛煉時間，樣本較少，適合全面調查,

②③④，樣本多，不適合全面調查.

故選：A.

考點04頻率分布直方圖及其應用

21.（2025春?通州區期末）某市為了減少水資源浪費，為確定一個比較合理的標準，從該市隨機調查了

200戶用戶居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖，則用水量小于L5立方米

的用戶數為()

用水量(立方米)

A.20B.30C.50D.60

【解答】解：由頻率分布百方圖得用水最小于1.5立方米的用戶數為：

(0.2+0.3)x0.5x200=50.

故選：C.

22.(2025春?東城區期末)某校從參加語言測試的學生中隨機抽取了100名，記錄了他們的分數，將數據

分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率

所以樣本中分數不低于60分的有11X)-15=85人，

由頻率分布直方圖可知，樣本中分數不低于60分的頻率為().25+0.3+0.2+1(必=().75+10〃,

所以100x(0.75+10幻=85,

解得a=0.01.

故答案為：0.01.

23.(2024春?朝陽區期末)李華統計了他爸爸2024年5月的手機通話明細清單，發現他爸爸該月共通話

60次，他按每次通話時間長短進行分組（每組為左閉右開的區間），畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.則

每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數為（）

【解答】解：觀察頻率分布直方圖，得每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為：

l-5x（0.06+0.03+0.02+0.02）=0.35,

則60x0.35=21,所以每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數為21.

故選：B.

24.（2023春?朝陽區校級期末）某學校為了調查高一年級600名學生年平均閱讀名著的情況，通過抽樣，

獲得了100名學生年平均閱讀名著的數量（單位：本），將數據按照[（），5）,[5,10）,110,15）,115,

20）,[20,25]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中。的值為—；估計高一年級年平

均閱讀名著的數量不少于10本的人數為

?=--0.006-0.014-0.080-0.070=0.030，

5

估計高?年級年平均閱讀名著的數量不少于10本的人數為600x（0.014+0.006+0.030）x5=150人；

故答案為：0.030,150.

25.（2023春?朝陽區期末）海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽

取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：依)，其頻率分布直方圖如圖所示.兩種養殖方法的箱產

量相互獨立.

0.040

0.034

().032

0.024

0.020

0.014

0.012

0

(I)求頻率分布直方圖中〃的值；

(H)用頻率估計概率，從運用新、舊網箱養殖方法的水產品口各隨機抽取一個網箱，估計兩個網箱的箱

產量都不低于55奴的概率；

(III)假定新、舊網箱養殖方法的網箱數不變，為了提高總產量，根據樣本中兩種養殖法的平均箱產量，

該養殖場F一年應采用哪種養殖法更合適？(直接寫出結果)

【解答】解:(I)已知5(0.004+0.020+已044+4+0.046+0.010+0.008)=1,

解得a=0.068

(H)不妨設事件A為運用新網箱養殖方法的水產品中各隨機拍取一個網箱，箱產量不低于55依，

事件8為運用舊網箱養殖方法的人產品中各隨機抽取一個網箱，箱產量不低于55依，

用頻率估計概率，

此時P(A)=5(0.020+0.012+0.012)=0.22,P(B)=5(0.046+0.010+0.008)=0.32,

因為A,8相互獨立，

所以尸(A8)=P(A)P(B)=0.22x0.32=0.0704；

(HI)該養殖場下一年應采用新養殖法更合適.

26.(2021春?東城區期末)某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽

取了200名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后(每組為

左閉右開的區間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是()

B.在被抽取的學生中，成績在區間［60,70）的學生數為10

C.估計全校學生的平均成績不低于80分

D.估計全校學生成績的樣本數據的80%分位數約為93分

【解答】解:由圖可知（0.005+0.01+0.015+0.04+x）xl0=l,解得x=0.03,錯;

由圖可知根據成績在區間［60,70）的學生數為001x10x200=20，/.8錯：

由圖可知平均數為：55x0.054-65x0.1+75x0.154-85x0.34-95x0.4=84,「.C對；

由圖可知樣本數據的80%分位數約為：90+。8-吟10=95,.?./）錯.

0.4

故選：C.

考點05條形圖、扇形圖、折線圖

27.（2020春?大興區期末）甲、乙、丙、丁四組人數分布如圖所示，根據扇形統計圖的情況可以知道丙、

丁兩組人數和為（）

A.150B.250C.300D.400

【解答】解：?,,甲組人數為120人，占總人數的百分比為30%,

???總人數為120?30%=400人,

?.?丙、丁兩組人數和占總人數的百分比為1-30%-7.5%=62.5%

，丙、「兩組人數和為400x62.5%=250人.

故選：B.

28.（2022春?通州區期末）小李同學一周的總開支分布如表所示，一周的食品開支如圖所示，則小李同學

一周的蔬菜開支占總開支的百分比約為.

【解答】解：由圖可知，小李一星期的食品開支為20+40+100+80+60=300元,

具中蔬菜開支為10（）元，占食品開支的!，而食品開支占總開支的60%，

3

.?.小李一星期的蔬菜開支點總開支的百分比為60%x』=20%.

3

故答案為：20%.

29.（2019春?通州區期末）北京市某年12個月的FM2.5平均濃度指數如圖所示，由圖判斷，四個季度中

PM2.5的平均濃度指數方差最大的是（）

D.第四季度

【解答】解：根據圖中數據知：

第一季度的數據是72.25,43.96,93.13；

第二季度的數據是66.5,55.25,58.67；

第三季度的數據是59.36,38.67,51.6：

第四季度的數據是82.09,104.6,168.05；

觀察得出第四季度的數據波動性最大，

所以第四季度的7W2.5平均濃度指數方差最大.

故選：D.

考點06總體百分位數的估計

30.（2021春?通州區期末）在一次文藝比賽中，12名專業人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給

參賽選手打分，下面是兩組評委對同一選手的打分：

小組A424548465247495542514745

小組B553670667549466842625847

4小組的第75百分位數是—；從評委打分相似性上看更像專業人士組成的小組是—.

【解答】解：將小組6的數據進行排序，可得36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,

?.12x75%=9,

.??B小組的第75百分位數為竺*=67.

2

A組數據的平均數是用=《(42+45+…+45)才47,

{=卷[(42-47尸+(45-47)2+...+(45-47)2]?14.08,

標準差sA?3.75?

4組數據的平均數是豆$(55+36+...+47)=56,

?.?=—1(55-56)2+(36-56)2+...(47—56)2139,

???標準差與alL79,

?.?專業人士組成的小組打分相似也更高，

.?.4組是專業人士組成的.

故答案為：67,A.

31.（2022春?大興區期末）一組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，由此圖，估計總體數據不低于30

的概率為—：估計總體數據的第80百分位數是—.

【解答】解:數據在10~20之間的頻率為：0.015x10=0.15；

數據在20?30之間的頻率為：0.03x10=0.3；

數據在40~50之間的頻率為：0.015x10=0.15；

數據在30?40之間的頻率為：1-0.15-0.3-0.15=0.4：

所以總體數據不低于30的概率為：0.4+0.15=0.55:

數據在10~40之間的頻率為：1-0.15-085=85%,數據在10~30之間的頻率為:0.15+0.3-0.45=45%0

此總體數據的第8（）百分位數一定位了30?40之間.

由30+10X（）S（）~（）45=38.75，可以估計估計總體數據的第80百分位數是38.75.

0.85-0.45

故答案為：0.55；38.75.

32.（2025春?通州區期末）一組樣本數據10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的75%分位數是（）

A.31B.33C.34D.35

【解答】解：樣本數據10,12,12,18,19,22,31,35,41,50,共10個數字,

由10x0,75=7.5.故所求的白分位數為第8個數字35.

故選：D.

33.（2024春?大興區期末）已知一組數據3,4,4,6,6,7,8,8,則這組數據的80%分位數是（）

A.6B.7C.7.5D.8

【解答】解：因為8x80%=6.4，

所以這組數據的80%分位數是笫7個數，即為8.

故選：D.

34.（2023春?通州區期末）某市6月前10天的空氣質量指數為35,54,80,86,72,85,58,125,111,

58,則這組數據的第70百分位數是（）

A.86B.85.5C.85D.84.5

【解答】解:10x0.7=7,

故從小到大排列:35,54,58,58,72,80,85,86,111,125,

取第7個數和第8個數的平均數作為第70百分位數，即笠笆=85.5.

2

故選：B.

35.（2023春?密云區期末）某校組織全體學生參加了.主題為“創新實踐、快樂成長”的科技知識競賽，隨

機抽取了200名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每

組為左閉右開的區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示：則工的值為—；用樣本估計總體，則全校學生

成績的第45百分位數為一.

【解答】解：由(0.005+0.01+O.O15+x+O.O4)xlO=I,得x=0.03；

低于80分的頻率為(0.005+0.01+0.015)x10=0.3,

低于90分的頻率為(0.005+0.01+0.015+0.03)x10=0.6,

第45百分位數在［80,90)rt,設為〃，

則0.3+(〃-80)x0.03=0.45,解得〃=85,即第45百分位數為85.

故答案為：0.03；85.

36.(2022春?東城區期末)某校從高一年級學生中隨機抽取6D名學生，將期中考試的數學成績(均為整

數)分成六組.第一組為|40,50),第二組為［50,60),以此類推，第五組為［80,90),第六組為［90,

100］.得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(11)若用分層隨機抽樣的方法在各分數段的學生中抽取一個容量20的樣本，求在［70,90)分數段抽取的

人數.

【解答】解：(I)?.?(0.010+0.015+0.015+4+0.025+0.005)x10=1,

二.a=0.03，

眾數在第四組,

因為前四組的頻率為(0.010+0.150x2+0.03)x10=0.7<0.8,

前五組的頻率為(0.010+0.150x24-0.03+0.025)x!0=0.95>0.5,

所以第80百分位數在第五組.

(11)在［70,90)分數段抽取的人數為20x(0.03+0.025)x10=11.

37.(2025春?豐臺區期末)為了解某校學生口均運動時長，某研究小組在該校隨機抽取了200名學生，統

計了他們日均運動時長，并將所得數據分組整理，得到右側的頻率分布宜方圖，給出下列四個結論：

①〃=0.4；

②這200名學生日均運動時長的平?均數小于中位數；

③估計該校學生日均運動時長的第85百分位數約為2；

④從該校隨機抽取一名學生，估計該學生日均運動時長不低于1小時的概率為？.

A.①@B.③④C.①③④D.①②③④

【解答】解：已知為了解某校學生日均運動時長，某研究小組在該校隨機抽取了200名學生，統計了他們

日均運動時長，

由寇可知：@(0.54-0.8+6/4-0.15+0.1+0.05)x0.5=l=>t/=0.4,正確；

②平均數為［0.5x5^12+0.8xl4^+0.4x^^+0.15x^^+0.1x^^+0.05x^^］x0.5=1.425,

日均運動時長在［0.5,1)的頻率為：0.5x0.5=0.25,日均運動時長在［1,1.5)的頻率為：0.8x0.5=0.4,

可知中位數一定落在［1,1.5),設中位數為力，W00-l)xO.8+O.25-0.5=>Z?-1.3125,

所以平均數大于中位數，錯誤；

③日均運動時長在［1.5,2)的頻率為：0.4x0.5=0.2,可知第85百分位數落在［1.5,2),

設該數為x，M(A—1.5)x0.4+0.25+0.4=0,8=>x=1.875?2,正確；

④從該校隨機抽取一名學生，估計該學生日均運動時長不低于1小時的概率為1-0.25=0.75=3,正確.

故選：C.

38.（2025春?大興區期末）小明利用地圖軟件統計出他近期10。次早上從家到公司的導航過程中的紅燈等

待時間，他將數據分成了［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95）,［95,105］（單位：秒）這5組,

并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示.

（I）求圖中。的值；

（II）估計小明紅燈等待時間的第60百分位數（結果精確到0.1）；

（III）根據以上數據，估計小明在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次

時間/秒

【解答】解：（I）根據題意可知,組距為10,依題意可得（0.01+0.025+a+0.02+0.01）xl0=l,

解得a=0.035；

（H）易知［55,65）和［65,75）兩區間的頻率之和為（0.01+0.025）x10=0.35<0.6,

前三組［55,65）,［65,75）,［75,85）的頻率之和為（0.01+0.025+0.035）x10=0.7>0.6,

因此第60百分位數位于區間［75,85）內，

設第60百分位數為4,所以上蘭=06—035,

85-750.35

解得482.1；

（HI）根據題意可知,紅燈等待時間低于85秒的頻率為（0.01+0.025+0035）x10=0.7,

所以估計10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次數為10x0.7=7次.

39.（2025春?朝陽區期末）某學校為了解本學期學生平均每天的課外閱讀時間（單位：分鐘）情況，隨機

抽取了50名學生進行調查，得到他們平均每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖如圖.

（I）估計這50名學生平均每天課外閱讀時間的第70百分位數；（結果保留一位小數）

（H）用這50名學生的情況估計該校全體學生的情況.假設該學校學生平均每天課外閱讀時間相互獨立.從

該學校全體學生中隨機抽取兩人，試估計這兩人中恰有一人平均每天課外閱讀時間在［30,50）內，另一人

平均每天課外閱讀時間在［0，20）內的概率；

（III）用這50名學生的情況估計該校全體學生的情況.學校根據學生的課外閱讀時間情況將學生分為“閱

讀積極分子"和''閱讀待提高者”.規定平均每天課外閱讀時間不少于40分鐘的學生為“閱讀積極分子”，

少于40分鐘的學生為“閱讀待提高者”.現在有兩種獎勵方案；

方案一：給“閱讀積極分子”每人獎勵一本價值22元的書籍，“閱讀待提高者”每人獎勵一本價值8元的

書籍：

方案二：為了鼓勵學生參與課外閱讀活動，每人獎勵一本價值15元的書籍.

已知該學校共有1000名學生，試通過計算比較哪種獎勵方案的費用較低.

頻率

W

0.030...........—

0.026...........

0.020...................

0.014--1-

0.010—

01020304050課外閱讀時間/分鐘

【解答】解：（I）根據題意可知，學生平均每天閱讀時間的各區間的頻率依次為：0.1,0.14,0.26,0.3,

0.2.

因此第70百分位數必在區間［30,40）內，設該數為工，

則有0.1+（）.14+（）.26+（x-30）x—=亞，

50x10100

解得x=業^?36.7：

3

（H）設隨機抽取的兩人分別為甲、乙，

設“甲平均每天課外閱讀時間在［30,50）內”為事件A,

“甲平均每天課外閱讀時間在［0,20）內”為事件&,

“乙平均每天課外閱讀時間在［30,50）內”為事件,

“乙平均每天課外閱讀時間在10,20）內”為事件Bz,

“兩人中恰有一人平均每天課外閱讀時間在［30,50）內，另一人平均每天課外閱讀時間在［0，20）內”為

事件C，

由課外閱讀時間在［30,50）內的頻率為0.5,在［0,20）內的頻率為0.24,

故P（A）與尸（￡）可估計為0.5,尸（4）與尸（屋）可估計為0.24,

則P(C)=P(AB]+,

由AB］,A媯互斥，及4，相互獨立，人,R相互獨立,

可得尸（C）=P（A）P（與）+P（AJP（即

：,P（C）可估計為0.5x0.24+0.24x0.5=0.24；

（III）由題意可知，樣本中“閱讀積極分子”的頻率為3=4，

505

故總體中“閱讀積極分子”的人數可估計為4乂1000=200,

5

則“閱讀待提高者”人數可估計為800,

方案一：獎勵費用為200x22+800x8=10800元，

方案二：獎勵費用為1000x15=15000元，

???方案一所需費用較低.

40.（2024春?豐臺區期末）某校為普及航天知識，在高一年級開展了航天知識競賽.將成績（單位：分）

分成6組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所不：

（I）估計該校高一年級航天知識競賽成績的第80百分位數；

（H）為了進一步了解學生對航天知識的掌握情況，在成績位于［50,70）和［70,90）的兩組中，用比例分

配的分層隨機抽樣方法抽取5名學生.

⑺求這5名學生中位于［70,90）內的人數；

（"）若從這5名學生中隨機抽取2名學生進行訪談，求這2名學生中至少有1人成績在［50，70）內的概率.

可得〃=0.01,

樣本數據中數學考試成績在110分以下所占比例為。1+0.1+0.15+0.4=0.75,

在130分以下所占比例為0.75+0.2=0.95，

因此第80百分位數一定位于［110,130）內,

0.8-0.75

所以110+20x=115,

0.95-0.75

即樣本數據的第80百分位數約為115；

（II）⑺由題意可知，［50,70）分數段的人數為100x0.1=10（人），

［70,90）分數段的人數為100x0.15=15（人），

用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，

則需在［70,90）內抽取x5=3人；

10+15

3）在［50,70）內抽取2人分別記為“，b,在［70,90）內抽取3人，分別記為人，,，z,

設“從樣本中抽取2人，至少有1人分數在［50,70）內”為事件A,

則樣本空間為{"，ax,ay?az,bx,by,bz?孫，xz,yz］?共包含10個樣本點，

而事件A={",ax,ay?az,bx?by,bz},包含7個樣本點，

所以P（A）=1,

10

即抽取的這2名學生至少有1人成績在［50,70）內的概率為5.

考點07眾數、中位數、平均數

41.（2020春?朝陽區期末）如圖記錄了某校高一年級6月第一周星期一至星期五參加乒乓球訓練的學生人

數.通過圖中的數據計算這五天參加乒乓球訓練的學生的平均數和中位數后，教練發現圖中星期五的數據

有誤，實際有21人參加訓練.則實際的平均數和中位數與由圖中數據星期得到的平均數和中位數相比，下

B.平均數增加1,中位數有變化

C.平均數增加5,中位數沒有變化

D.平均數增加5,中位數有變化

【解答】解：實際星期五的數據為21人，

比原來星期五的數據多了21-16=5人,

平均數應增加3=】.

5

原來從星期一至星期五的數據分別為20,26,16,22,16.按從小到大的順序排列后，原來的中位數是20,

實際從星期一至星期五的數據分別為20,26,16,22,21.按從小到大的順序排列后，實際的中位數是21.

故選：B.

42.（2023春?東城區期末）某中學為了解在校高中學生的身高情況，在高中三個年級各隨機抽取了10%的

學生，并分別計算了三個年級抽取學生的平均身高，數據如表：

年級高一高二高三

抽樣人數363430

平均身高Xyy

則該校高中學生的平均身高可估計為（）

x+y+z

A.3.6元+3.49+3.0彳B.

2

x+y+z

C.0.36x+0.34y+0.30zD.

【解答】解：由題意可知:抽取的總人數為100,各年級的頻率依次為0.36,0.34,0.30,

所以該校高中學生的平均身高可估計為0.36元+0.345+0.305.

故選：C.

43.（2024春?北京校級期末）以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數據：

甲組：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80；

乙組：17,22,32,43,45,49,b,56.

若甲組數據的第40百分位數和乙組數據的平均數相等，則

【解答】解：因為10x40%=4,甲組數據的第40百分位數為笫四個數和第五個數的平均數,

17+22+32+43+45+49+H56

乙組數據的平均數為

8

根據題意得空史17+22+32+43+45+49+0+56

解得：加+164=〃+264,

丁

所以4〃-。=100.

故答案為：100.

44.（2022秋?豐臺區校級期末）一組數據按從小到大的順序排列為1,4,4,%,7,8（x^7）,若該組數

據的中位數是眾數的*倍，則該經數據的第60百分位數是

【解答】解：由題意可知，眾數是4,

則中位數為4x2=5,

4

則土匕=5,解得x=6,

2

又6x6O%=3.6，

則第60百分位數是6.

故答案為：6.

45.（2024春?通州區期末）樣本數據3,5,7,2,10,12的中位數是（）

A.7B.6C.5D.2

【解答】解：數據從小到大排列為：2,3,5,7,10,12,

所以中位數為"2=6.

2

故選：B.

46.（2025秋?海淀區期末）某學校全體學生參加一次關于人工智能使用常識測評，其成績的顆率分布直方

圖如圖所示，假設同組中的數據是均勻分布的，則成績的中位數約為一（填寫整數）.

頻率

旃

0.05――~~~~~―———

0.04---------------------------------------------

0.03---------------------------------------------

0.015--------------

0.005——

657左758385之95,數

【解答】解:因為（Q（X）5+0.015+0.03+0.04）x5=0.45<0.5,

0.45+0.05x5=0.7>0.5，

所以中位數位于［8。，85）組內，設為x,

所以0.45+3-80）x0.05=0.5,解得x=81.

故中位數約為81.

故答案為：81.

47.（2023秋?房山區期末）某校為了調查學生的體育鍛煉情況，從全校學生中隨機抽取100名學生，將他

們的周平均鍛煉時間（單位：小時）數據按照［3,5）,［5,7）,［7,9）,［9,11）,［11,13］分成5組，

制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（I）求〃的值；

（II）用分層抽樣的方法從［9,II）和［11,13］兩組中抽取了6人.求從這6人中隨機選出2人，這2人不

在同一組的概率；

（HI）假設同組中的每個數據用該區間的中點值代替，試估計全校學生周平均鍛煉時間的平均數.

頻率

【解答】解：（1）因為頻率分方直方圖所有矩形的面積之和為1,

所以（0.02+0.05+0.1+4+0.18）x2=l,

解得a=0.15：

（II）由頻率分布宜方圖可知［9,11）和［11,⑶兩組的頻數的比為：（）.1:0.（）5=2:1,

所以利用分層抽樣的方法抽取6人，這兩組被抽取的人數分別為4,2,

記［9,11）中的4人為生，出，?4,［11,13］中的2人為。，瓦,

從這6人中隨機選出2人，

aaaafaa

則樣本空間。={4%，i3*i4a2a3，24?列“4，岫,哂,%乙，aj）2?03bi,a3b2,afy,a4b2?

帥）,共15個樣本點，

設事件A：選出的2人不在同一組，

貝！|A={qb1,她,她,02b2,岫，a3ba4b1?a4b2}?共8個樣本點,

所以p（A）q；

（山）估計全校學生周平均鍛煉時間的平均數為（4x0.02+6x0.18+8x0.15+10x0.1+12x0.05）x2=7.92（小

時）.

48.（2023春?大興區期末）某校舉辦知識競賽，將100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如圖，則根

據頻率分布直方圖，下列結論正確的是（）

頻率

B.眾數估計為70

C.平均數估計為68.5D.第85百分位數估計為85

【解答】解：對于A，設［40,50）和［80,90）組的頻率為

則10x(0.015+0.025+0.035+0.005)+2。=I,

解得〃=0.1,