2026年中考數學二輪復習：綜合與實踐專項（高頻考點專練）原卷版

專題18綜合與實踐專項

目錄

就高頻考情深度解讀（中考命題規律透視+培優備考要求）

核心考點系統梳理（重難知識圖譜+解題結論與高效技巧）

，聚焦題型檐流解密（6大題型精講+變式拔高訓練）

題型一數學文化題

題型二跨學科融合題

題型三新定義問題

題型四閱讀理解型問題

題型五方案設計型問題

題型六綜合與實踐探究性問題

i：實戰演練為數提分（中考仿真模擬+限時訓練提升）

綜合與實踐是中考數學核心素養必考模塊，分值約6-12分，以解答題為土，常作為中檔題或壓

軸題小問出現。側重考查數學文億理解、信息提取、模型建立、跨學科應用、方案優化、探究推理六大能

力，是近年命題熱點。

基礎知識必備：

1.了解初中數學常見數學文化背景（古代數學、經典結論、數學家思想）。

2.掌握跨學科融合的信息轉化能力（物理、生活、經濟、圖表等）。

3.會處理新定義：讀懂規則一轉化為舊知識一計算推理。

4.熟練閱讀理解：提取關鍵條件t建立方程/函數/幾何模型。

5.能完成方案設計：列出約束一求最優解（成本、利潤、效率）。

6.具備綜合實踐探究：猜想一驗證一歸納一推廣能力。

2026中考預測：

必考題型：數學文化、跨學科、新定義、閱讀理解、方案設計、綜合探究。

難度適中：入口寬、梯度清晰，最后一問側重思維深度。

命題趨勢：貼近傳統文化、真實生活?、科技應用，強調應用性、探究性、創新性。

核心考點?梳理

￡

數學文化：背■俟絢拚，理楹B差

跨學科：單位愛溫膽運立哂

聚焦題型?解密

題型一數學文化題

【典例01】（2024?江蘇南通?中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面枳關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽

弦圖''是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大王方形.設直角三角形的兩條直角邊長分別

為加，n（m>n）.若小正方形面積為5,（m+九>=21,則大正方形面積為（）

m'

A.12B.13C.14D.15

【變式01】（2025?四川瀘州?中考直題）《九章算術》是中國古代一部重要的數學著作，在“方程”章中記載

了求不定方程（組）解的問題.例如方程x+2y=3恰有一個正整數解x=l,y=1.類似地,方程2x+3y=21

的正整數解的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式02】（2025遼寧錦州一模）我國古代數學名著《孫子算經》中有一個問題，其大意是：現有若干人

和車，若每輛車乘坐5人，則空余2輛車；若每輛車乘坐3人，則有8人步行.問人與車各多少？若設有工

人，y輛車，則所列方程組正確的是（）

5=y-27=y-2g=y+2g=y+2

A.x-8_vB.x+8c.x-8D.x+8-

【變式03】（2024四川巴中中考真題）”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：

水深幾何？“這是我國數學史上的“葭生池中''問題.BIUC=5,DC=1,BD=BA,則8C=（）

A.8B.10C.12D.13

【變式04】（2024江蘇鹽城中考真題）中國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竿”問題，大

意是：現有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就

比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為尺.

【變式05】（2025?遼寧?模擬預測）在人教版八年級上冊數學書P113頁提到了楊輝三角，材料如下：

在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖所示的三角形解釋二項和的乘方規律.楊

輝在注釋中提到，在他之前北宋數學家賈憲也用過上述方法，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角''或"賈憲

三角”.事實上，這個三角形給出了（。+6）＜71=0,1,234......）的展開式（按Q的次數由大到小的順序）的系

數規律.例如，此三角形中第3行的3個數1,2,1,恰好對應著3+。）2=。2+2。匕+62展開式中的各項的

系數.

（。+6）°.............1

.............11

（4+6）2..............121

................1331

S+b）4........14641

根據上述材料，請回答：

（1）請根據（。+力產的展開式證明其對應第四行的系數；

（2）請根據（Q+力廠的展開式補齊第七行的系數，并寫出一個楊輝三角的性質;

（3）請你預測并直接寫出（。+b）n展開式的第二項系數.

題型二跨學科融合題

【典例01】（2025安徽阜陽二模）如圖，OM,ON是兩塊平面鏡，一束光線A8照射到平面鏡ON上，反射

光線為BC,點C在平面鏡OM上，再次反射后反射光線為CD.若乙MON=110。，^ABN=30°,則4DCM的

C.45°D.50°

【變式01】（2024河南中考真題）把多個用電器連接在同一個福線板上，同時使用一段時間后，插線板的

電源線會明顯發熱，存在安全隱患.數學興趣小組對這種現象在行研究，得到時長一定時，插線板電源線

中的電流/與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1）,插線板電源線產生的熱量。與/的函數圖象（如

圖2）.下列結論中錯誤的是（）

圖1圖2

A.當P=440W時，/=2AB.0隨/的增大而增大

C./每增加1A,0的增加量相同D.P越大，插線板電源線產生的熱量0越多

【變式02】（2025山東煙臺二模）甲、乙兩種物質的溶解度歹（g）與溫度，（℃）之間的對應關系如圖所

示，下列說法：①甲、乙兩種物質的溶解度都隨著溫度的升高而增大；②當溫度升高至七℃時，甲的溶解

度比乙的溶解度小；③當溫度為0久時，甲、乙的溶解度都小于20g；④當溫度為30久時，甲、乙的溶解度

相同.其中正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②④

【變式03】（2025河南駐馬店一模）如圖1,某數學興趣社團設計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板

（踏板質量忽略不計）的可變電阻.％（單位：Q），當人站上踏板時，通過電壓表顯示的讀數九（單位:

V）換算為人的質量m（單位：kg）.已知%隨著%變化的關系圖象如圖2所示，％與踏板上人的質量m的

關系見圖3.則下列說法正確的是（）

信息窗

與與加之間滿足

H[=-2/〃+240（0WmW120）

圖3

A.在一定范圍內，/越大，加越小

B.當%=3V時，踏板上人的質量為95kg

C.當踏板上人的質量為90kg時,%=2V

D.若電壓表量程為0-6V（0WU0S6）,為保護電壓表，則該電子體重秤可稱的最大質量是120kg

【變式04】物體自由下落的高度方（單位：m）與下落時間/（單位：s）的關系是h=4.9〃.在一次實驗中，

一個物體從78.4m高的建筑物上自由落下，到達地面需要的時間為s.

【變式05】（2025湖南懷化一模）石油的最低級產物瀝青蒸汽里含有多種稠環芳香燒，如圖是它的同系列

化合物（結構相似，分子組成相差相同的原子團）的結構式:

第1種物質第2種物質第3種物質

第I種物質的分子式是加0&，第2種物質的分子式是SHio,第3種物質的分子式是C22Hl2,…由此可知,

該系列化合物第8種物質的分子式是.

題型三新定義問題

【典例01】新趨勢?新定義用定義一種新運算：對于任意有理數%和y,x^y=a2x+ay+l（a為常

數），如：2☆3=a2?2+a-3+1=2a2+3a+1.若1+2=3,則3+6的值為（）

A.7B.8C.9D.13

【變式01】當三角形中一個內角￡是另一個內角a的T時，我們稱此三角形為“希望三角形”，其中角a稱為“希

望角如果一個“希望三角形”中有一個內角為54。，那么這個“希望三角形”的“希望角”度數為

【變式02】對于正整數m我們規定：若。為奇數，則/?(Q)=5Q-1；若。為偶數，則/'(a)/.例如/?⑶

=5x3-1=14,/(IO)=y=5.若Qi=8,a2=。3=/(飽)，。4=，(%)，…，依此規律進行下

去，得到一列數。1以2，。3，。4，,“(〃為正整數)，則。3=??i+a2+。3+..?+。2023=.

【變式03】對于任意一個四位數，%若滿足千位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字與十位上的

數字之和的2倍，則稱這個四位數用為“倍和數”.例如：

加=6132,?.?6+2=2x(1+3),.?.6132是“倍和數”；

加=1374,???l+4H2x(3+7),.R374不是“倍和數

(1)判斷1047和4657是否為“倍和數”?并說明理由.

(2)當一個，，倍和數，，加千位上的數字與個位上的數字不相等，且千位上的數字與個位上的數字之和等于8時,

記這個“倍和數的千位上的數字與個位上的數字之差的絕對值為T(m),記百位上的數字與十位上的數字

之差的絕對值為R(m),令G(m)-瑞，當G(m)能被3整除時，求出滿足條件的所有“倍和數”

【變式04】(2026?湖北隨州?一模)【新定義】"等距截線”

定義：在平面直角坐標系中，對于效物線y=ax2+bx+c和直線y=m,若拋物線與直線有兩個不同的交點，

則這兩個交點之間的線段稱為，，截線段”，截線段的長度稱為“截距”.

若拋物線的頂點到真線y=機的距離恰好等于截距的一半，則稱該拋物線關于直線y=機具有“等距截線性

質”.

(1)判斷拋物線y=X2-6丫+H是否關于直線y=2具有”等距截線性質”，并說明理由.

(2)已知拋物線y=X2-4X+k關于直線y=2具有“等距截線性質”，求k的值.

(3)已知拋物線y=x2-2ax+d+力關于直線y=4具有”等距截線性質”，且截距為2.

①求b的值；

②若點P是拋物線上位于直線y=4上方的一個動點，點Q是拋物線上位于直線y=4下方的一個動點，若P、

。關于直線y=4對稱，直接寫出PQ的最大值.

【變式05］（25-26九年級上?江蘇無錫?月考）定義：我們知道：四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了

兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.

（1）如圖1,已知心△ABC在正方形網格中，請你只用無刻度的直尺在網格中找到一點。，使四邊形是

以4C為“相似對角線”的四邊形.（在圖中標出，并用。1、2、①、D4.........表示）；

（2）如圖2,圓內接四邊形ABCO中，4力BC=60。，點E是前的中點，連接8E交CD于點凡連接4凡zDAF=30°,

①求證：8F是四邊形力8c尸的“相似對角線”；

②若△48C的面積4百，求線段8尸的長.

題型四閱讀理解型問題

【典例01】(2026?廣西南寧?一模)我們已經學過完全平方公式：(a+b)2=a2±2ab+b2,將它適當變

形可以解決很多數學問題.

(1)填空：己知Q+Z?=5,ab=3,則＞+/=.

(2)“幻方”起源于中國，是我國古代數學的杰作之一.在數學活切課上，小彬和小華同學探究類似填幻方的

數字游戲,將數字1.2.3.4.5.6填入如圖所示的“n”中,使每個圓圈卜的二個數字之和都相等.

①如圖1所示，兩個空白“□”中，從左到右依次應填,;每個圓圈上的三個數字之和為.

圖1

②如圖2所示，三個“□”中的數字分別記為：a,b,a+b-3,請根據圖3的對話內容，求Q+6的值.

③在②的結論下，

Q+b=6或9,

若1’+22+32+42+52+62+a2+d2+(a+d-3)2=126,求助的值.

【變式01】閱讀與應用

我們知道（。一匕）2N0,即公一2帥+匕2N0,所以02+r之2而（當且僅當a=b時取等號）.

7r

閱讀2：若函數y=%+]（>>0,m>0,77i為常

閱讀1:若Q力為實數，

數），

且a>Q,b>0,

VX>0,771>0,

2

???('/a—Vb')>0

由閱讀1的結論可知％+三即》+

:.a-2\fab+b>0

???G+b>2>/ab(當且僅當a=b時

.?.當％=?時，函數>有最小值，最小值為

取等號)

2Vin.

墻

閱讀理解以上材料，解答下列問題：

（1）當％=時，函數y=%+*￡>0）有最小值，最小值為.

（2）度情防控期間，某核酸檢測采樣點用隔離帶分區管理，如圖是一邊靠墻其它三邊用隔離帶圍成的面積為

32m2的矩形隔離區域，假設墻足夠長，則這個矩形隔離區域的長和寬分別是多少時，所用隔離帶的長度最

短？

（3）隨著高科技賦能傳統快遞行業，某大型物流公司為提高工作效率引進一批分揀機器人，己知每臺機器人

的運營成本包含以下三個部分：一是進價為25000元；二是材料損耗費，每小時為7元；三是折舊費，折

1日費y（元）與運營工作時間f（小時）的函數關系式為y=0.1*（t>0）.當運營工作時間f長達多少小時

時，每臺機器人平均每小時的運營成本最低？最低運營成本是多少？

【變式02】請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統地論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論

著.黃金分割(goldensection)是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與

較大部分的比值.

如圖①.在線段4D卜找一個點U。把4D分丸"和O兩段,其中"是較小的一段,如果4UG)=

那么稱線段40被C點黃金分割，點C叫做線段4D的黃金分割點，4c與CO的比值叫做黃金分割數.

為簡單起見，設力。=1,CD=x,則/C=1-x.

-AC-.CD=CD.AD,二...

任務：

(1)請根據上面的部分解題過程，求黃金分割數.

(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點：

①設是已知線段，過點8作BDIAB且使BD=/①

②連接DA,&DA上截取DE=DB；

③在上截取AC=AE-,

則點C即為線段黃金分割點.你能說說其中的道理嗎？

(3)已知線段48=1,點C,。是線段上的兩個黃金分割點，則線段CD的長是

【變式()3】閱讀理解：

【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？

【探索新知】從面積的角度思考，不難發現：大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積.從

而得數學等式:(a+b)2=c2+4x化簡證得勾股定理：c?+b2=c2.

圖5圖6

(1)【初步運用】如圖1，若b=2a,則小正方形面積：大正方形面積=_；

(2)【初步運用】現將圖1中上方的兩直角三角形向內折疊，如圖2,若a=4,b=6,此時空白部分的面積

為;

(3)【初步運用】如圖3,將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓(實線)的周長為

24,0c=3,求該風車狀圖案的面積.

(4)【初步運用】如圖4,將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形48CQ,正方形EFG1I,正方

形MNKT的面積分別為S2,S3,若$+S2+S3=40,則$2=_?

(5)【遷移運用】如果用三張含60。的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出

圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發現含60。的三角形三邊人權c之間的關系，寫出此等

量關系式及其推導過程(知識補充：如圖6,含60。的直角三角形，對邊產斜邊x=定值.

【變式04】請閱讀下列材料，并完成相應的任務.

梅涅勞斯是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍.梅

涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被--條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這

條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三

條邊的延長線都相交）.他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：

設D,E,尸依次是△ABC的三邊曲BC,或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足彩等名=1.

UDCLrA

這個定理的證明步驟如下：

情況①：如圖1，直線DE交△力8C的邊4B于點D,交邊力C于點F,交邊8。的延長線與點E.

過點C作CM||DE交AB于點M,則號=黑，券=/（依據），

HEAD_BD_AF_

"'~EC''DM~'DM'FC,

力。RqrF

：.BE-AD-FC=BDAF-EC,即嬴?三、=1.

（1）情況①中的依據指：—:

（2）請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；

（3）如圖3,D,F分別是△ABC的邊AB,上的點，且4D:D8=CF:凡4=2:3,連接。尸并延長，交BC的延

長線于點E,那么BE:CE=

【變式05]

閱讀下列材料，并完成相應任務.

黃金分割

天文學家開普勒把黃金分割稱為神圣分割，并指出，畢達哥拉斯定理（勾股定理）和黃金分割”是幾何中的

雙寶，前者好比黃金.后者堪稱珠玉歷史卜最早TF式在書中使用“黃金分割''這個名稱的是歐姆.19世紀

以后，“黃金分割”的說法逐漸流行起來，黃金分割被廣泛應用于建筑等領域.黃金分割指把一條線段分為兩

部分，使其中較長部分與線段總長之比等于較短部分與較長部分之比，該比值為竽.用下面的方法（如

圖（1））就可以作出已知線段的黃金分割點〃：

圖⑴圖(2)圖（3）

①以線段AB為邊作正方形ABCD；

②取力。的中點E,連接￡3；

③延長到點凡使=

④以線段AF為邊作正方形AFGH,點、H就是線段AB的黃金分割點.

以下是證明點〃就是線段48的黃金分割點的部分過程.

證明：設正方形48co的邊長為1,則48=力。=1.

???點E為4）的中點，???AE=a

在At△BAE中，BE='AB?+心='+（J=與,:.EF=BE罟,

x/g-l

"F=EF-AE=—.....

任務：

（1）補全題中的證明過程.

（2）如圖（2），點。為線段48的黃金分割點（AC>BC）,分別以4C,8c為邊在線段48同側作正方形

力CDE和矩形C6F。，連線6。，BE.求證：4EAB?4BCD.

(3)如圖(3),在正五邊形/出CQE中，對角線力。，力。與E8分別交于點"，N.求證：點M是力。的黃

金分割點.

題型五方案設計型問題

【典例01］（2026?山西呂梁一模）威利斯開利（W汝isHmilmdCarrier）于1928年發明了家用空調，為

人們的生活帶來了巨大的便利.夏天到了，小麗打算給自己的房間安裝一臺空調，想要通過測量計算出空

調安裝的高度，如下是某空調掛機的安裝說明：

名稱XX品牌空調

出風最小角：ZEFG=133°,

安裝

出風最大角：/-EFH=154°

廿1T

E

示意圖

D

,8(r

技術參數空調尺寸：795*200*273（寬x深x高，單位：mm）

（1）空調安裝盡量避免正對著床；

安裝要求

（2）空巡底部E尸需與墻面垂直

根據以上信息，解決下面的問題：

小麗房間內的床長200cm,高50cm,靠墻擺放，為「讓空調風不直接吹到床上，求空調安裝的最低高度

EC.（結果精確到1cm.參考數據:sin43。?0.68,cos43°?0.73,can43°?0.93,sin64°?0.90,cos64°?0.44,

tan64°?2.05)

【變式01】【問題背景】

如圖①所示的受水型“漏刻''是我國占代一種利用水流計時的工具，實踐小組根據其原理做出了如圖②所示

的簡易計時器.

甲

圖①圖②

【實驗操作】

實踐小組設計了如卜.實驗：先在用容器里裝滿水，開始放水后每隔lOmin觀察一次乙容器中的水面高度，獲

得的數據如下表所示：

放水時長

010203040

t/min

乙容器水面高

357911

度h/cm

【探究發現】

（1）觀察乙容器水面高度值的變化規律可知，每隔lOmin水面高度變化量定值；（填“是”或“不是”）

（2）請利用表格中的數據，求乙容器水面高度。與放水時長/之間的關系式；

【解決問題】

（3）求放水lh后乙容器的水面高度（此時水還未溢出）；

（4）若乙容器的容器高度為30cm,且從上午8：00開始放水（此時乙容器中的水面高度為3cm）,則乙容

器幾點可以接滿水？

【變式02】（2026?陜西西安?模擬預測）西安濱河學校九年級某班七組同學利用課后服務時間進行綜合實

踐活動，在操場看臺上測量對面體育館的高度.

活動主題測量操場看臺對面體育館的高度

測量工具測角儀，皮尺，計算器等

測量示意圖

①用皮尺測得看臺A8的長為2.5米，坡度/?為3:4,看臺最低點力到地面CE的距

離為1米，AELEC,DC1EC,BG1GC,AHLBG,BF1CD,

②用測角儀在看臺最低點彳處測得體育館頂部。點的仰角為30。，在看臺頂部

測繪過程與數據信息

點B處測得體育館頂部D點的仰角為26。35'：

③用計算器計算得:sin26035/?0.45,cos26°35,?0.89,tan26°35,?0.50,

V3*1.73.

請你根據測量結果，幫助七組同學求出體育館。。的高度（結果精確到0.1米）.

【變式()3](2026年山西省臨汾市九年級數學模擬試卷(二))項目化學習

項目背景：水龍頭是口常生活中常見的設備，廣泛應用于廚房、浴室等場所，主要用于控制水流的開關與

調節.它不僅在家庭中起著基礎作用，也在工業、醫療等領域有特定用途.綜合實踐小組的同學圍繞“水龍

頭中的數學，，開展項目學習活動，形成了如下活動報告.

項目主題水龍頭中的數學問題

驅動問題如何解決水龍頭中的數學

活動內容利用三角函數等有關知識進行測量與計算

某種水龍頭關閉時如圖1所示，將其簡畫成圖2.D,A,E三點共線，E-A-B-C是水管，

AEJ.臺面MN.A-0-尸是開關，可整體繞點A上下旋轉，RAD1DF,AE1AB.

.一DF/F

活動過程

■MENMEN

圖1圖2圖3

連接A凡Z.FAD=60°,AE=14cm,AD=4cm,如圖3,當開關開到最大時，△4Dr旋

數據測量

轉到△VD'F’的位置上,旋轉角/FA尸=30。.

交流展示...

請根據上述數據，計算問題

(1)求圖2中力產的長度.

(2)求圖3中點〃到臺面MN的距離.

【變式04】(2026?安徽六安?一模)請根據以下素材，完成探究任務.

如圖(1),一個書架上放著8個完

全一樣的長方體檔案盒，其中左邊7

個檔案盒緊貼書架內側豎放，右邊1

素材一

個檔案盒向左斜放，檔案盒的頂點。

在書架底部，頂點F靠在書架右側，

頂點C靠在左邊的檔案盒上.

其示意圖如圖(2),經測量知書架

內側長度8G=60cm,zCDF=53°,

素材二檔案盒高度=35cm.

(參考數據：sin53°x0.799,cos53°

?0.602,tan53°?1.327)

任務一：計算右邊檔案盒的頂點。到它所靠的檔案盒的距離;

(1)求ED的長(結果保留整數)；

任務二：求出每個檔案盒的厚度

(2)求OF的長(結果保留整數)；

【變式05】(2025?陜西西安?三模)【問題提出】

(1)如圖①，已知。。與直線1相離，過。作ON1，于點N,ON=6,。。的半徑為4,則圓上一點P到直

線I的距離的最小值是；

【問題探究】

(2)如圖②,在四功開中,ADIIRC.AD=2,RC=4.z/?=zC=60°.請你過點/)畫出將四邊形

48CD面積等分的線段DE,并求出DE的長.

【問題解決】

(3)如圖③所示，是由線段。力、48、BC與弧而圍成的花園的平面示意圖，BC=2AD=80m.CD=40\/3

m,AD||BC,CDJ.BC,點E為BC的中點、,而所對的圓心角為120。.管理人員想在而上確定一點M,在四

邊形區域種植花卉，其余區域種植草坪，并過A點修建一條小路4N,把四邊形力8EM分成面積相等且

盡可能小的兩部分，分別種植不同的花卉.問是否存在滿足L述條件的小路AN?若存在，請求出月N的長,

圖⑴圖⑵圖⑶

題型六綜合與實踐探究性問題

【典例01】（2025?江蘇淮安?中考真題）綜合與實踐

【主題】雨天撐傘的學問

【情境】圖（1）、圖（2）是小麗在雨天水平撐傘的示意圖，她的身體側面可以近似看作矩形MNPQ,MN=0.2

米,MQ=1.6米.雨傘撐開的定度1米.傘柄的OG部分長為0.45米?點。為4c中點._L4C點G到

地面的距離是1.35米，手臂可以水平向前最長伸出0.5米，雨線4B與地面的夾角為仇雨線與CD平行，AC

②如圖（1）所示，0=72°,若小麗將傘拿在胸前（OG與NP在同一條直線上），則小麗身體祓雨水淋濕的

部分尸K=_米.（參考數據：sin72°?0.95,cos72°?0.31,tan72°?3.08）

【問題探究】（2）如圖（2）所示，6=60。，設小麗將手臂水平前伸了x米（即線段EG的長度），身體被

雨水淋濕部分PK的長度為y米，求y與％的函數表達式，并寫出頭部不被淋濕情況卜入的取值范闈.

【問題解決】（3）在（2）的條件下，小麗發現水平撐傘身體始終有部分會被淋濕，于是她將雨傘繞點G順

時針旋轉一定角度（點G到地面的距離保持不變），使得4c與雨線48垂直，如圖（3）所示，試問：小麗在

旋轉雨傘后，是否可以通過調節手臂水平前伸長度，使得全身都不會被雨淋濕？如果可以，請求出EG的最

小值；如果不可以，請說明理由.

【變式（）1]（2025?青海?中考真題）數學實踐

【問題背景】

中國傳統農業智慧遇1：現代數學模型.“電豆不上架，產量少一半''的農諺流傳至今，現代科學揭示了其秘密:

當支架與地面形成65。夾角時，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強光，就像給史豆裝J'智能遮陽篷.

【問題呈現】

用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點在何處會使支架與地面形成65。夾角？

【模型建立】

環節一：數據收集

兩根竹竿長度均為1.8米，插入地下的部分為（）.3米，竹竿與地面接觸點間距為0.6米且與地面所形成的夾

角均為65。.

環節二：數學抽象

如圖：已知線段48與。。交于點。，AB,CD與直線[分別交于點E,F,AB=CD=1.8m,BE=DF=0.3

m,^AEF=zCFF=65°,EF=0.6m,求OE的長度.（結果精確到0.1,參考數據：sin65°?0.91,cos

65。合0.42,tan65°?2.14）

【模型求解】

【問題總結】

交叉點。距頂端4的長度即0力為m時，支架與地面形成65。夾角，這樣更貼合作物的生長規律.

■BI

【變式（）2]（2024?廣西南寧?一模）綜合與實踐

【問題情境】龍象塔位于南寧市青秀山風景區，取“水行龍力大，陸行象力大”之意.某校數學實踐小組利用

所學數學知識測量龍象塔的高度.

【實踐探究】下面是兩個方案及測量數據：

項

測量龍象塔的高度

目

方案一：借助太陽光線構成相似

方方案二：利用銳角三角函數.測

三角形.測量：標桿長CD，影

案量：距離CD,仰角a,仰角從

長ED,塔影長08.

測

量4A

示oI

意

圖//1

匕DBBCD

測

量第一第二測量第一第二

平均值平均值

項次次項目次次

目

測

量1.611.5926.6

CD1.6inP26.4°26.5°

數mm0

據

1.181.2236.9

ED1.2ma37.1°37°

mmO

DB38.939.139mCD34.8m35.235m

mmm

【問題解決】

(1)根據“方案一”的測量數據，直?接?寫??出龍象塔的高度；

(2)根據“方案二”的測量數據，求出龍象塔AB的高度；(參考數據:sin37。*0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,

sin26.5°?0.45,cos26.5°?0.89,tan26.5°?0.50)

(3)請對本次實踐活動進行評價(一條即可).

【變式03】【綜合與實踐】

【認識研究對象】教材.⑵頁給出了如下定義：如圖1,如果點P把線段48分成兩條線段4P和

PB/P>P8),且黑=弟則我們稱點P為線段48的黃金分割點.類似，我們可以定義：如果一個三角形

中，其最長邊的長度和最短邊的長度的乘積等于第三邊長度的平方，那么就稱該三角形為“類黃金三角形

如圖2,已知△48C是“類黃金三角形"，且4c<48VBC.若/C=3,BC=5,求力8的長.

【探索研究方法】如圖3,已知△力是“類黃金三角形"，且ACV/BVBC.若484。=90。，小濱同學過

點4作/W_LBC于點O,發現了兩個結論：

@AB2=BDxBC；

②點。是邊BC的黃金分割點；

請給出證明.

【嘗試問題解決】小濱同學經歷以上探索過程發現：類似問題，可以通過構造相似三角形等方法解決.于

是開展新的探究，請解決以下問題：

如圖4,已知△A8C是“類黃金三角形"，且ACV48<BC.若BC=2,=90°+|zC,求AB的長.

【變式04］綜合與實踐

動手操作

利用正方形紙片的折疊開展數學活動.探究體會在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊含的數學

思想方法.

如圖1,點E為正方形A8CD的A8邊上的一個動點，AB=3,將正方形4BCD對折，使點A與點及重合，點C與

點。重合，折痕為MN.

思考探索

（1）將正方形力BCD展平后沿過點C的直線CE折疊，使點B的對應點夕落在MN上，折痕為EC,連接。夕，

如圖2.

①點6'在以點E為圓心，的長為半徑的圓上；

②=；

③△DB'C為三角形，請證明你的結論.

拓展延伸

（2）當A8=3/1E時，正方形ABQ沿過點E的直線I（不過點8）折疊后，點8的對應點夕落在正方形A8CD

內部或邊上.

①△ABB'面積的最大值為；

②連接4夕，點p為4E的中點，點Q在4B'上，連接PQ/4QP=zAB'E,貝?C+2PQ的最小值為

圖1圖2備圖

【變式05】(2026?吉林?一模)在數學探究課上，老師鼓勵同學們積極思考，通過作輔助圖形的方法，計

算動點條件下線段和的最小值，小鄭同學大膽的說出了自己的想法，得到了老師的好評，其過程如下：

BDCBCAB

圖1圖2圖3

(1)【觀察發現】

如圖1,在等邊中，AC=4V3,CD=E,尸分別是48和力。上的動點，且總有8E=力凡閱讀

下面作輔助圖形的方法及推理過程并填空，理解確定DE+DF最小值的方法.

?.?在等邊△力BC中，AC=4V3,CD=^BC,

.??點。為BC邊上的中點，ZH=^ACB.

：.AD1BC.

過點4作4G_L40,使力G=BD,連接GF,

MG||BC.

??Z.GAC=Z-ACB=乙B.

又以尸=BE,

.??△/IGF三△BOE(SAS).

??.GF=DE.

連接DG,DF,當。，尸,G三點共線時，GF+。產的最小值等于線段。G的長.

連接GC,

證明過程缺失

.??匹邊形力DCG是矩形.

--DG=AC.

【問題解決】①如圖1請你補全缺失的證明四邊形ADCG為矩形的過程；

②結合上述探究過程可知IOE十OF的最小值為.

(2)【類比應用】

如圖2,已知正方形力BCO的邊長為12,O為對?角線的交點，M,N分別是力B,力。上的動點，且總有

BM=DN,連接。M,CN,求。M+CN的最小值.

(3)【拓展延伸】

如圖3,矩形48CD中，AB=y/2,AD=2^2,E是40的中點，F,G分別是6C和。。上的動點，且總有

RF=2DG,OlljEF+24G的最小值為.

實戰演練，提分

（限時訓練:50分鐘）

1.（2025安徽淮南三模）一束光照射到平面鏡為8上的點。處后反射到平面鏡BC上的點￡處，已知入射光線、

反射光線與力8的夾角相等，照射點￡處的法線ENIID。（法線與反射面垂直，即EN18C）,若乙4。。=20。,

則兩平面鏡的夾角乙48c的度數為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

2.（2023湖南婁底中考真題）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》一書中，給出了這樣的

一個結論：三邊分別為4、8、。的△ABC的面積為S&48C=號102"2一（"^~~）.△ABC的邊4、力、。所

對的角分別是乙4、乙B、則=:absinC='csinB=]csim4.下列結論中正確的是（）

乙乙乙

「「a2+b2-c2nra2+b2^c2

C?COSC=2acD.COSC=?兒

3.（2025?青海西寧?中考真題）如圖，用四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到大正方形4BCD和小

正方形EFGH,連接BD交CW于點P.若BP=BC,則tan4CBG的值是（）

A.V2—1B.2—42C.乎D.

4.（2025?陜西西安?模擬預測）我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝所著

的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋（。+占＞展開式各項系數之間的關系，此三角形稱為“楊

輝三角”.根據“楊輝三角”的規律，(。+匕)3的展開式中第二項的系數為3,那么(。+匕》的展開式中第三項

的系數為.

左右

枳隅

mI

tI---------------------------------------I

z+b\)

(4

xJa+b------------------------------------11

您OO2

z+力X

(Q)

v/22

3a+2ab+b----------------------------121

5JOOO力

za\

(+l

xz4心3〃桃3ab2+a----------------------1331

QOOOQ

z+b

(

x/+44力+6a方+4時+方4------------14641

5.當三角形中一個內角夕是另一個內角a的5時，我們稱此三角形為“希望三角形”，其中角a稱為“希望

角”.如果一個“希望三角形”中有一個內角為54。，那么這個“希望三角形”的“希望角”度數為.

6.(23?24七年級上?浙江衢州?月考)對于正整數我們規定：若。為奇數，則/?(a)=5a-l：若。為偶

數，則/(a)=].例如/⑶=5x3-1=14,/(IO)=y=5.若％=8,a2=。3=fQ),?4=/

(。3),…,依此規律進行下去,得到一列數即以2以3以4,…(〃為正整數)，則。3=，。1+。2+的+.?.+

a2023=-

7.對某一個函數給出如下定義：如果存在實數M,對于任意的函數值y,都滿足yWM,那么稱這個函數

是有上界函數.在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的上確界.例如，函數、=-氏-3)2+2是

有上界函數，其上確界是2.

(1)函數①、=/+2%+1和(^^=2%一3(x<5)中是有上界函數的為(只填序號即可)，其上確

界為;

(2)若反比例函數y=g(aWxW/?,a>0)的上確界是匕+1,且該函數的最小值為2,求a、/)的值；

(3)如果函數y=-x2+2ax+2(-1W無W3)是以6為上確界的