2026年四川省人教版高中數學高二年級上冊第6章函數性質習題集

2026年四川省人教版高中數學高二年級上冊第6章函數性質習題集一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=x^2-2x+3，則當x<0時，f(x)的表達式為（）A．x^2+2x+3B．-x^2-2x-3C．x^2-2x-3D．-x^2+2x-3解析：由奇函數性質f(-x)=-f(x)，當x>0時f(x)=x^2-2x+3，則x<0時f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+3)=-(x^2+2x+3)，故選B。2.函數f(x)=|x-1|+|x+2|在區間[-3,3]上的最小值為（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函數f(x)可化為：f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]在區間[-3,3]上，最小值出現在x=1處，f(1)=3，故選C。3.若函數f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1處取得極值，且圖象過點(0,1)，則a+b+c的值為（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f'(1)=0，解得a=-3，b=3，c=1，故a+b+c=-3+3+1=1，選C。4.函數f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A．a>1B．a\geq1C．a<1D．a\leq1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f'(x)\leq0，得2x/(x^2+1)\leqa，即a\geq2x/(x^2+1)在(0,+∞)上恒成立。令g(x)=2x/(x^2+1)，g'(x)=(2-2x^2)/(x^2+1)^2，g(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，最大值為g(1)=1，故a\geq1，選B。5.函數f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上的單調性為（）A．單調遞增B．單調遞減C．先增后減D．先減后增解析：f(x)=x^2+2x在(-∞,0)上，f'(x)=2x+2>0，故單調遞增，選A。6.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2在區間[-1,4]上的零點個數為（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=6，由零點判定定理，零點個數為3個，選C。7.函數f(x)=|x+1|+|x-1|的圖象關于（）對稱A．x=-1B．x=0C．x=1D．y軸解析：f(x)=\{\begin{aligned}&-2x,\quadx<-1\\&2,\quad-1\leqx\leq1\\&2x,\quadx>1\end{aligned}\]圖象關于x=0對稱，選B。8.若函數f(x)=x^2+2ax+1在(-∞,1)上單調遞減，則實數a的取值范圍是（）A．a\geq-1B．a\leq-1C．a\geq1D．a\leq1解析：f(x)在(-∞,1)上單調遞減，需對稱軸x=-a\leq1，即a\geq-1，選A。9.函數f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）A．eB．e^2C．1/eD．1/e^2解析：f'(x)=e^x-a，由f'(1)=e-a=0，得a=e，選A。10.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值為（）A．1B．√2C．√3D．2解析：f(x)=sin(x)+1-2sin^2(x)=-2(sin(x)+1/2)^2+3/2，當sin(x)=-1/2即x=π/6或5π/6時，f(x)max=√3，選C。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)=x^3-3x+1的極小值點為_________參考答案：1解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，極小值點為x=1。2.若函數f(x)=|x-a|在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是_________參考答案：(-∞,0]解析：f(x)=\{\begin{aligned}&x-a,\quadx\geqa\\&-x+a,\quadx<a\end{aligned}\]在R上單調遞增需a\leq0。3.函數f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上的最大值為_________參考答案：1解析：f'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=ln2-1<0，f(x)在(-1,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，最大值為f(1)=0。4.函數f(x)=x^3-3x^2+2在(-∞,0)上的值域為_________參考答案：(2,+∞)解析：f'(x)=3x^2-6x，在(-∞,0)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(0)=2，值域為(2,+∞)。5.函數f(x)=|x+1|+|x-1|的圖象與直線y=kx+2有且僅有一個交點，則實數k的取值集合為_________參考答案：{-√3,0,√3}解析：當k=0時，交點為(0,2)；當k≠0時，聯立方程|y-2/k|=|x+1|+|x-1|，需k=±√3，故k∈{-√3,0,√3}。6.函數f(x)=x^3-3x^2+2在區間[0,3]上的最大值為_________參考答案：5解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=5，最大值為5。7.函數f(x)=x|x|+x在(-∞,0)上的單調遞減區間為_________參考答案：(-∞,-1)解析：f(x)=-x^2+x在(-∞,0)上，f'(x)=-2x+1，令f'(x)\leq0得x\leq-1/2，故單調遞減區間為(-∞,-1)。8.函數f(x)=e^x-ax在(-∞,0)上單調遞減，則實數a的取值范圍是_________參考答案：a\geq1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(x)\leq0，得a\geqe^x在(-∞,0)上恒成立，e^x在(-∞,0)上取值(0,1]，故a\geq1。9.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π/2]上的最小值為_________參考答案：-1解析：f(x)=-2sin^2(x)+sin(x)+1，令t=sin(x)，x∈[0,π/2]時t∈[0,1]，f(t)=-2t^2+t+1在[0,1]上最小值為f(1/2)=-1。10.函數f(x)=|x+1|+|x-1|的圖象與直線y=kx+2有且僅有一個交點，則實數k的取值集合為_________參考答案：{-√3,0,√3}解析：同15題。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增，則f(x)在(a,b)上存在極值點。參考答案：×解析：單調遞增函數無極值點，如f(x)=x在(-1,1)上單調遞增但無極值點。2.函數f(x)=x^3-3x^2+2在(-∞,0)上單調遞減。參考答案：×解析：f'(x)=3x^2-6x，在(-∞,0)上f'(x)>0，函數單調遞增。3.若函數f(x)在x=c處取得極值，則f'(c)=0。參考答案：√解析：極值點處導數為0（可導函數）。4.函數f(x)=|x|在R上單調遞增。參考答案：×解析：|x|在x=0處不單調。5.函數f(x)=x^3-3x+1在(-∞,+∞)上存在唯一一個零點。參考答案：×解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=1，f(1)=-1，存在兩個零點。6.函數f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a=e。參考答案：√解析：f'(x)=e^x-a，由f'(1)=e-a=0，得a=e。7.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值為√3。參考答案：×解析：f(x)=-2sin^2(x)+sin(x)+1，在[0,π]上最大值為f(π/2)=2。8.函數f(x)=|x+1|+|x-1|的圖象關于x=0對稱。參考答案：√解析：f(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱。9.函數f(x)=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最小值為-2。參考答案：√解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=5，最小值為-2。10.函數f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上單調遞減。參考答案：√解析：f'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)\leq0，函數單調遞減。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知函數f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1處取得極值，且圖象過點(0,1)，求a+b+c的值。參考答案：1解析：由f(0)=c=1，f'(1)=3+2a+b=0，又f'(1)=0，解得a=-3，b=3，c=1，故a+b+c=-3+3+1=1。2.函數f(x)=|x-1|+|x+2|在區間[-3,3]上的最小值是多少？參考答案：3解析：分段函數f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]在區間[-3,3]上，最小值出現在x=1處，f(1)=3。3.函數f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上的單調性如何？參考答案：單調遞增解析：f(x)=-x^2-2x在(-∞,0)上，f'(x)=-2x-2>0，故單調遞增。4.函數f(x)=x^3-3x^2+2在(-∞,0)上的值域是什么？參考答案：(2,+∞)解析：f'(x)=3x^2-6x，在(-∞,0)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(0)=2，值域為(2,+∞)。5.函數f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上的最大值是多少？參考答案：0解析：f'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=ln2-1<0，f(x)在(-1,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，最大值為f(1)=0。6.函數f(x)=|x+1|+|x-1|的圖象與直線y=kx+2有且僅有一個交點，求實數k的取值集合。參考答案：{-√3,0,√3}解析：當k=0時，交點為(0,2)；當k≠0時，聯立方程|y-2/k|=|x+1|+|x-1|，需k=±√3，故k∈{-√3,0,√3}。7.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π/2]上的最小值是多少？參考答案：-1解析：f(x)=-2sin^2(x)+sin(x)+1，令t=sin(x)，x∈[0,π/2]時t∈[0,1]，f(t)=-2t^2+t+1在[0,1]上最小值為f(1/2)=-1。8.函數f(x)=e^x-ax在(-∞,0)上單調遞減，求實數a的取值范圍。參考答案：a\geq1解析：f'(x)=e^x-a，由f'(x)\leq0，得a\geqe^x在(-∞,0)上恒成立，e^x在(-∞,0)上取值(0,1]，故a\geq1。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2在區間[0,3]上，求其最大值和最小值。參考答案：最大值5，最小值-2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=5，故最大值為5，最小值為-2。2.函數f(x)=|x-1|+|x+2|在區間[-3,3]上單調遞增的區間是什么？參考答案：(-2,1)解析：分段函數f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]在(-2,1)上f'(x)=3，在(-∞,-2)和(1,3)上f'(x)≠3，故單調遞增區間為(-2,1)。3.函數f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上，求其單調遞減區間。參考答案：(-∞,-1)解析：f(x)=-x^2-2x在(-∞,0)上，f'(x)=-2x-2，令f'(x)\leq0得x\leq-1，故單調遞減區間為(-∞,-1)。4.函數f(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上，求其單調遞增區間。參考答案：無解析：f'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，在(-1,+∞)上f'(x)\leq0，函數單調遞減。5.函數f(x)=|x+1|+|x-1|的圖象與直線y=kx+2有且僅有一個交點，求實數k的取值集合。參考答案：{-√3,0,√3}解析：同35題。6.函數f(x)=sin(x)+cos(2x)在[0,π]上的最大值和最小值分別是多少？參考答案：最大值2，最小值-1解析：f(x)=-2sin^2(x)+sin(x)+1，令t=sin(x)，x∈[0,π]時t∈[0,1]，f(t)=-2t^2+t+1在[0,1]上最大值為f(1/2)=3/2，最小值為f(0)=1，故最大值為2，最小值為-1。7.函數f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，求實數a的值。參考答案：e解析：f'(x)=e^x-a，由f'(1)=e-a=0，得a=e。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.B2.C3.C4.B5.A6.C7.B8.A9.A10.C二、填空題1.112.(-∞,0]13.014.(2,+∞)15.{-√3,0,√3}16.517.(-∞,-1)2.a\geq119.-120.{-√3,0,√3}三、判斷題1.×22.×23.√24.×25.×26.√27.×28.√29.√30.√四、簡答題1.解析：由f(0)=c=1，f'(1)=3+2a+b=0，又f'(1)=0，解得a=-3，b=3，c=1，故a+b+c=-3+3+1=1。2.解析：分段函數f(x)=\{\begin{aligned}&-2x-1,\quadx\leq-2\\&3,\quad-2<x\leq1\\&2x+1,\quadx>1\end{aligned}\]在區間[-3,3]上，最小值出現在x=1處，f(1)=3。3.解析：f(x)=-x^2-2x在(-∞,0)上，f'(x)=-2x-2>0，故單調遞增。4.解析：f'(x)=3x^2-6x，在(-∞,0)上f'(x)>0，函數單調遞增，且f(0)=2，值域為(2,+∞)。5.解析：f'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=ln2-1<0，f(x)在(-1,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，最大值為f(1)=0。