2027金版教程一輪復習數學基礎版微專題（3） 構造法在導數中的應用

第四章一元函數的導數及其應用微專題（三）構造法在導數中的應用近幾年高考數學客觀壓軸題，多以導數為工具采用構造函數比較大小或求參數取值范圍的形式出題，這類試題具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構造函數是解決導數問題的基本方法，以下對在處理導數問題時構造函數的規律方法進行歸類總結，并舉例說明．已知定義在R上的奇函數f(x)，其導函數為f′(x)，f(－3)＝0，當x>0時，3f(x)＋xf′(x)<0，則使得f(x)<0成立的x的取值范圍是(

)A．(－∞，－3)∪(0，3)B．(－3，0)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(－3，0)題目已知中出現含f(x)，f′(x)的不等式，一般應考慮逆用導數的運算法則構造新函數，然后再逆用單調性等解決問題．1.設f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，且f(1)＝0，當x<0時，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集為____________________．(－∞，－1)∪(1，＋∞)已知函數f(x)及其導函數f′(x)的定義域均為R，且f(x)－f′(x)>0，f(0)＝1，則關于x的不等式f(x)>ex的解集為(

)A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．{x|x<1} D．{x|x>1}2.(多選)已知函數f(x)的定義域為R，其導函數為f′(x)，且對任意的x∈R，都有f(x)＋f′(x)>0，則下列說法正確的是(

)A．ef(1)<f(0) B．ef(1)>f(0)C．2f(ln2)<ef(1) D．2f(ln2)>ef(1)解析：令g(x)＝exf(x)，則g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，所以g(0)<g(1)，即f(0)<ef(1)，故A錯誤，B正確；又g(ln2)<g(1)，所以eln2f(ln2)<ef(1)，即2f(ln2)<ef(1)，故C正確，D錯誤．故選BC.若不等式滿足或通過變形后滿足“f′(x)cosx－f(x)sinx>0”的形式，優先考慮構造函數F(x)＝f(x)cosx，然后利用函數的單調性和數形結合求解即可，注意所求問題的轉化．類型二同構法構造函數(多角度探究)角度1和差型同構利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通過“冪轉指”或“冪轉對”進行等價變形，構造函數，然后利用構造函數的單調性進行研究，最后解決問題．角度2積型同構(1)設a，b都為正數，e為自然對數的底數，若aea<blnb，則(

)A．ab>e B．b>eaC．ab<e D．b<ea解析：由aea<blnb，得ealnea<blnb．設f(x)＝xlnx(x>0)，因為a>0，則ea>1，因為b>0，且blnb>aea>0，則b>1.當x>1時，f′(x)＝lnx＋1>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，則ealnea<blnb，即f(ea)<f(b)，所以ea<b.(2)設實數k>0，對任意的x>1，不等式kekx≥lnx恒成立，則k的最小值為________．對于含有xex和xlnx的不等式或通過變形可以轉化為含有xex和xlnx型的不等式，可以通過xex＝(lnex)ex進行指對互化，然后轉化為研究函數f(x)＝xlnx的性質來解決問題．角度3商型同構若關于x的不等式ea＋xlnx<x2＋ax對任意的