2011年高考數學試題分類匯編8——概率.doc

八、概率一、選擇題1.（浙江理9）有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率A B C D【答案】B2.（四川理1）有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：115，155） 2 155,195） 4 195，235） 9 235,275） 18 275，315） 1l 315，355） 12 355395） 7 395,435） 3 根據樣本的頻率分布估計，數據落在315，435）的概率約是A B C D【答案】B【解析】從到共有22，所以。3.（陜西理10）甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是A B C D【答案】D4.（全國新課標理4）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為（A） （B） （C） （D）【答案】A5.（遼寧理5）從1，2，3，4，5中任取2各不同的數，事件A=“取到的2個數之和為偶數”，事件B=“取到的2個數均為偶數”，則P（BA）=（A） （B） （C） （D）【答案】B6.（湖北理5）已知隨機變量服從正態分布，且（4），則（02）06 B04 C03 D02【答案】C7.（湖北理7）如圖，用K、三類不同的元件連接成一個系統。當正常工作且、至少有一個正常工作時，系統正常工作，已知K、正常工作的概率依次為09、08、08，則系統正常工作的概率為A0960 B0864 C0720 D0576【答案】B8.（廣東理6）甲、乙兩隊進行排球決賽，現在的情形是甲隊只要在贏一次就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為A BC D【答案】D9.（福建理4）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自ABE內部的概率等于A B C D【答案】C二、填空題10.（湖北理12）在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期。從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過保質期飲料的概率為 。（結果用最簡分數表示）【答案】11.（福建理13）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_。【答案】12.（浙江理15）某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業生得到甲公司面試的概率為，得到乙丙公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的。記X為該畢業生得到面試得公司個數。若，則隨機變量X的數學期望 【答案】13.（湖南理15）如圖4，EFGH 是以O 為圓心，半徑為1的圓的內接正方形。將一顆豆子隨機地扔到該圖內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，則（1）P（A）= _; （2）P（B|A）= 【答案】（1）14.（上海理9）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表請小牛同學計算的數學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數值相同。據此，小牛給出了正確答案 。【答案】215.（重慶理13）將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現的次數比反面出現的次數多的概率_【答案】16.（上海理12）隨機抽取9個同學中，至少有2個同學在同一月出生的概率是 （默認每月天數相同，結果精確到）。【答案】17.（江西理12）小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為 【答案】18.（江蘇5）5從1，2，3，4這四個數中一次隨機取兩個數，則其中一個數是另一個的兩倍的概率為_【答案】三、解答題19.（湖南理18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量（件）0123頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變），設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（）求當天商品不進貨的概率；（）記X為第二天開始營業時該商品的件數，求X的分布列和數學期型。解（I）（“當天商品不進貨”）（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為1件”）（）由題意知，的可能取值為2,3. （“當天商品銷售量為1件”） （“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為2件”）（“當天商品銷售量為3件”） 故的分布列為23 的數學期望為20.（安徽理20）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人。現在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別，假設互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率。若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發生變化？（）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數目的分布列和均值（數字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數字期望）達到最小。解：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識，考查在復雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者論論思想，應用意識與創新意識.解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率與三個被派出的先后順序無關，并等于 （II）當依次派出的三個人各自完成任務的概率分別為時，隨機變量X的分布列為X123P 所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的結論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，根據常理，優先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值.下面證明：對于的任意排列，都有（*）事實上，即（*）成立.（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為若交換前兩人的派出順序，則變為.由此可見，當時，交換前兩人的派出順序可減小均值.（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為，或交換后兩人的派出順序，則變為.由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當時，交換后兩人的派出順序也可減小均值.序綜合（i）（ii）可知，當時，EX達到最小. 即完成任務概率大的人優先派出，可減小所需派出人員數目的均值，這一結論是合乎常理的.21.（北京理17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示。（）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；（）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分布列和數學期望。（注：方差，其中為， 的平均數）解：（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，所以平均數為方差為（）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有44=16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結果，因此P（Y=17）=同理可得所以隨機變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=1922.（福建理19）某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準（I）已知甲廠產品的等級系數X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的數字期望EX1=6，求a，b的值；（II）為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望 （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由注：（1）產品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產品更具可購買性解：本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。解：（I）因為又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8.（III）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產品的等級系數的期望數學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為因為乙廠產呂的等級系數的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為據此，乙廠的產品更具可購買性。23.（廣東理17）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）下表是乙廠的5件產品的測量數據：編號12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品數量；（2）當產品中的微量元素x,y滿足x175，且y75時,該產品為優等品。用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量；（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數的分布列極其均值（即數學期望）。解：（1），即乙廠生產的產品數量為35件。 （2）易見只有編號為2，5的產品為優等品，所以乙廠生產的產品中的優等品故乙廠生產有大約（件）優等品， （3）的取值為0，1，2。所以的分布列為012P故24.（遼寧理19）某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進行田間試驗選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙（I）假設n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X，求X的分布列和數學期望；（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表：品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？附：樣本數據的的樣本方差，其中為樣本平均數解： （I）X可能的取值為0，1，2，3，4，且即X的分布列為 4分X的數學期望為 6分 （II）品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 8分品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 10分由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙.25.（全國大綱理18）根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為05，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為03,設各車主購買保險相互獨立（I）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；（）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數。求X的期望。 解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險； B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險； C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種； D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買； （I）3分 6分 （II），即X服從二項分布，10分所以期望12分26.（全國新課標理19）某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品現用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每產品的質量指標值，得到時下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數412423210（I）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；（II）已知用B配方生產的一種產品利潤y（單位：元）與其質量指標值t的關系式為從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元）求X的分布列及數學期望（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率）解（）由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質的平率為，所以用A配方生產的產品的優質品率的估計值為0.3由試驗結果知，用B配方生產的產品中優質品的頻率為，所以用B配方生產的產品的優質品率的估計值為0.42（）用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間的頻率分別為0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，即X的分布列為2240.040.540.42X的數學期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.6827.（山東理18）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立。（）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望.解：（I）設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，因此由對立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0103504015因此28.（陜西理20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間（分鐘）10202030304040505060L1的頻率0102030202L2的頻率001040401現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。（）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？（）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（）的選擇方案，求X的分布列和數學期望。解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，i=1,2用頻率估計相應的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應選擇L2（）A,B分別表示針對（）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨立， 的分布列為X012P00404205429.（四川理18）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望；解：（1