北京第五十六中學高三數學理月考試題含解析

北京第五十六中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.湖面上飄著一個小球，湖水結冰后講球取出，冰面上留下一個半徑為，深的空穴，則取出該球前，球面上的點到冰面的最大距離為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B【知識點】球的截面性質G8解析：設球半徑為R，則有,解得R=10，所以球面上的點到冰面的最大距離為R+R－2=18cm，則選B.【思路點撥】一般遇到球的截面問題，通常利用球的截面性質尋求截面圓的半徑與球半徑的關系進行解答.2.函數的部分圖象為

（

）．

參考答案：A3.函數的圖象（部分）大致是

(A) (B) (C) (D)參考答案：C4.如圖所示的程序框圖是為了求出滿足的最大正整數n的值，那么在和兩個空白框中，可以分別填入（

）A.“”和“輸出”B.“”和“輸出”C.“”和“輸出”D.“”和“輸出”參考答案：D【詳解】由于程序框圖是為了求出滿足的最大正整數的值，故退出循環的條件應為，由于滿足后，（此時值比程序要求的值多1），又執行了一次，故輸出的應為的值．故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5.在△ABC中，有命題:①；②；③若，則△ABC是等腰三角形；④若，則△ABC為銳角三角形．上述命題正確的是…………（

）

(A)②③

(B)①④

(C)

①②

(D)②③④參考答案：A因為，所以①錯誤。排除B,C.②正確。由得，即，所以△ABC是等腰三角形，所以③正確。若，則，即為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，所以④錯誤，所以上述命題正確的是②③，選A.6.執行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為時，則輸入的的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】程序框圖L1D設，第一次循環，，；第二次循環，，；第三次循環，，；循環終止，此時，，，故選D.【思路點撥】按條件依次循環，當循環終止時，，即可求解.7.若命題“使得”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）

參考答案：略8.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在處有一棵樹與兩墻的距離分別是米、4米，不考慮樹的粗細．現在想用米長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃．設此矩形花圃的面積為平方米，的最大值為，若將這棵樹圍在花圃內，則函數的圖象大致是（

）

參考答案：C9.若平面區域的面積為3，則實數的值為A. B．

C． D．參考答案：B10.已知是虛數，則計算

（

）A.

B.

C.

D.1參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數，則的值域為

.參考答案：略12.已知數集中有3個元素，則實數不能取的值構成的集合為

________________

．參考答案：13.已知正實數，記m為和中較小者，則m的最大值為

__________。參考答案：略14.當滿足時，則的最小值是

；參考答案：15.如圖，F1，F2是雙曲線C：(a＞0，b＞)的左、右焦點，過F1的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝3:4:

5，則雙曲線的離心率為

.參考答案：略16.執行如圖所示的偽代碼，最后輸出的a的值__________．參考答案：4【分析】模擬執行程序代碼，依次寫出每次循環得到的i，的值，當i＝3時，不滿足條件退出循環，輸出的值即可．【詳解】模擬執行程序代碼，可得i＝1，＝2滿足條件i，執行循環體，＝2，i＝2滿足條件i，執行循環體，＝2，i＝3不滿足條件i，退出循環，輸出的值為4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖，正確依次寫出每次循環得到的i，的值是解題的關鍵，屬于基礎題．17.已知i是虛數單位，復數__________．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在點（1，0）處的切線的斜率為2.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[，e]上的單調區間和最值．參考答案：試題解析：解：（1）由f（x）=ax3+bx2lnx，得f′（x）=3ax2+2bxlnx+bx，∴，解得a=0，b=2.∴f（x）=2x2lnx（2）f′（x）=4xlnx+2x，由f′（x）=0，得，當x∈時，f′（x）＜0，當x∈時，f′（x）＞0，∴f（x）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；∵，f（e）=2e2，．∴f（x）在[，e]上的最大值為2e2，最小值為．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．點評：本題考查利用導數求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了利用導數求函數的最值，屬中檔題．19.（本小題滿分14分）

如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，

點是的中點，點是邊上的任意一點.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值.參考答案：（1）證明：∵是的中點，且，

∴.

……1分

∵△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，

∴，.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

……2分

∵四邊形是正方形，

∴.

……3分

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………4分

∵，平面，平面，

∴平面.

………5分

∵平面，

∴.

………6分（2）解法1：作于，連接，∵⊥平面，平面∴.

………7分∵，平面，平面，∴⊥平面.

………8分∵平面，∴.

……………………9分∴∠為二面角的平面角.…………………10分設正方形的邊長為，則，，在Rt△中，，

…11分在Rt△中，，，………………12分在Rt△中，.………………13分∴二面角的平面角的正弦值為.

……14分解法2：以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，

建立空間直角坐標系，設，則，，,.……………7分∴，.設平面的法向量為，由得

…8分令，得，

∴為平面的一個法向量.

…………9分∵平面，平面，∴平面平面.連接，則.∵平面平面，平面，∴平面.

………………10分∴平面的一個法向量為.………………11分設二面角的平面角為，

則.

……………12分∴.

………………13分∴二面角的平面角的正弦值為.

……14分20.如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且2PA=AD,E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點.（Ⅰ）求證：BC∥平面EFG；（Ⅱ）求證：DH⊥平面AEG；（Ⅲ）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比.

參考答案：解：（Ⅰ）∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF．．．．．．．．．．2分∥平面EFG．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH，即AE⊥DH．．．．．．．．．．5分

∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°∴∠AGD+∠HDC=90°∴DH⊥AG又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分（Ⅲ）．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．略21.設f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； 參考答案：【考點】函數恒成立問題；絕對值不等式的解法． 【分析】（1）運用絕對值的含義，對x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集； （2）運用絕對值不等式的性質，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對值的方法，即可解得x的范圍． 【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得： 或或， 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?， 解得0≤x≤2， 所以f（x）≤x+2的解集為[0，2]；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3， 當且僅當（1+）（2﹣）≤0時，取等號． 由不等式f（x）≥對任意實數a≠0恒成立， 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或， 解得x≤﹣或x≥， 故實數x的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． 【點評】本題考查絕對