2024-2025學(xué)年北師大版高一數(shù)學(xué)下學(xué)期同步訓(xùn)練之三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版高一同步經(jīng)典題精練之

三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?興化市期末）如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心。到地面的距

離為41米，每30分鐘按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)1圈.若初始位置尸o是從距地面21米時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，以摩

天輪的圓心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)Po運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P

時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為f（單位：分鐘），且此時(shí)點(diǎn)尸距離地面的高度為單位：米），則/I是關(guān)于f的函

數(shù).當(dāng)tER時(shí)，〃（/）=（）

A.4Osint—6）+41B.40s譏t—石）+41

C.40sin（y^t—d）—41D.t—石）—41

2.（2024秋?灤陽(yáng)市期末）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形48CD沿尤軸正向滾動(dòng)，先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)B落在x軸時(shí)，又以8為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此下去，設(shè)頂點(diǎn)C滾動(dòng)時(shí)的曲線方程為y=/（x）,則

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（）

A.f（l）=V2

B.f（2024）=1

C-煨）=得）

D.f（x）在區(qū)間［2023,2025］內(nèi)單調(diào)遞增

3.（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)/（無(wú)）=sinx,若方程/（尤）-4Z2（無(wú)）=。在（，，兀）內(nèi)有兩個(gè)不同

的解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-1,0）U（0,.B.（一1,-U（1,.

C.（一3,-1）U（0,D.（一3,-1）U（0,急

4.（2024秋?天心區(qū)校級(jí)期末）某地區(qū)2024年全年月平均溫度y（單位：。C）與月份f之間近似滿足y=

Asinf^t+（p）+k（A>0,-n<cp<0）.已知該地區(qū)2月份的月平均溫度為-1℃,全年月平均溫度最

高的月份為6月份，且平均溫度為32℃,則該地區(qū)12月份的平均溫度為（）

A.-12℃B.-10℃C.-9℃D.-6℃

5.（2024?遼寧）如圖為一個(gè)摩天輪示意圖，該摩天輪圓半徑為4.8祖，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8加，60s

轉(zhuǎn)動(dòng)一周.圖中OA與地面垂直，從OA開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)ts到達(dá)OB.設(shè)B點(diǎn)與地面的距離為hm.若

/?與f的函數(shù)解析式為/=5.6+4.8s譏（tot-*）,其中3>0,則3的值為（）

nnnn

A.—B.—C.—D.

6030152

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?泰州期末）如圖，摩天輪的半徑為40根，其中心O點(diǎn)距離地面的高度為50m，摩天

輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且20加〃轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)尸的起始位置在最高點(diǎn)處，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)

過(guò)程中（）

P

40

50

A.轉(zhuǎn)動(dòng)10mi幾后點(diǎn)P距離地面10m

B.若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的1

C.第17加加和第43mm點(diǎn)尸距離地面的高度相同

D.摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)尸距離地面的高度不低于70m的時(shí)間為5min

（多選）7.（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)/（x）=min[sinx,cosx},則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）關(guān)于直線尤=—今對(duì)稱(chēng)

,-V2

B.f（x）的最大值為萬(wàn)

C.f（x）在（―*,芻上不單調(diào)

D.在（0,2TT）,方程無(wú)）=m（根為常數(shù)）最多有4個(gè)解

（多選）8.（2024秋?新蔡縣校級(jí)期末）如圖，一座小島距離海岸線上最近的P點(diǎn)的距離是2bw,從P點(diǎn)

沿海岸正東12hw處有一個(gè)城鎮(zhèn).假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為3切步行的速度為551/萬(wàn)，時(shí)

間t（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距尸點(diǎn)的距離.設(shè)

u=Vx2+4+x,v—Vx2+4—x,貝!|（）

P城鎮(zhèn)

小島

A.函數(shù)V=/（M）為增函數(shù)

B.15r-“-4V=36

C.當(dāng)x=L5時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間最少

D.當(dāng)尤=4時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間超過(guò)3/?

（多選）9.（2024秋?東西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)半徑為3%的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，筒

車(chē)的軸心。距離水面的高度為22加設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：加）（在水面

下則d為負(fù)數(shù)）.若以盛水筒尸剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，d與時(shí)間f（單位：s）之間的關(guān)系為d=

Asin（3f+cp）+b（A>0,w>0,一芻），則下列結(jié)論正確的是（）

C.SlTl(p=-D.b=-0.8

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂(lè)設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里可從

高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120%,轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為110m,均勻設(shè)置有48

個(gè)座艙（按順時(shí)針依次編號(hào)為1至48號(hào)），開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最

近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30〃面.甲、乙兩戶(hù)家庭去坐摩天輪，甲家庭先坐上了1號(hào)座艙，乙家庭坐

上了左號(hào)座艙，若從乙家庭坐進(jìn)座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)，10加”內(nèi)（含10加〃）出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高

度一樣的情況，則上的最小值是______.

H.（2024秋?陜西校級(jí)期末）已知某地區(qū)某天的溫度（單位：。C）隨時(shí)間單位：力）的變化近似滿足函

數(shù)關(guān)系/（。=28+而譏（*+竽）04>0）,向0,24）,且這天的最大溫差為8℃,則A=；若

溫度不低于30℃需要開(kāi)空調(diào)降溫，則這天需要降溫的時(shí)長(zhǎng)為h.

12.（2024秋?煙臺(tái)期末）某摩天輪示意圖如下圖所示，其半徑為100m,最低點(diǎn)A與地面距離為8m，24min

轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.若該摩天輪上一吊箱B（視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，則吊箱8第4

次距離地面158根時(shí)，所經(jīng)歷的時(shí)長(zhǎng)為（單位：min）

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?連云港期末）如圖，在半徑為4,圓心角為變量。（0V0q）的扇形。內(nèi)作一內(nèi)切

圓Q,再在扇形內(nèi)作一個(gè)與扇形兩半徑相切并與圓。外切的小圓P,設(shè)圓P的半徑為y.

（1）求y關(guān)于8的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求y的最大值.

14.（2024秋?安慶期末）已知函數(shù)/'（x）=Asin^x+⑴）+B（4>0,3>0,\（p\<芻的部分圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)/（x）的解析式；

（2）求函數(shù)/（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；

（3）當(dāng)工C（一看，苴）時(shí)，方程/'（X）=?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根XI,X2且尤1<如求sin（尤2-XI）的值.

15.（2024秋?邵陽(yáng)期末）已知函數(shù)/（無(wú)）=sin（3x+0）（3>0,附V5）的最小正周期是it,將/（無(wú)）的圖

71

象向右平移,個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

（1）求函數(shù)無(wú)）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的方程；

（2）若尤1,久2e（看,分M/（XI）=/（X2）,求/（X1+X2）的值.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版(2019)高一同步經(jīng)典題精練之

三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

參考答案與試題解析

題號(hào)12345

答案ACDAB

選擇題(共5小題)

1.(2024秋?興化市期末)如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心。到地面的距

離為41米，每30分鐘按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)1圈.若初始位置尸o是從距地面21米時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，以摩

天輪的圓心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)Po運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P

時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為f(單位：分鐘)，且此時(shí)點(diǎn)尸距離地面的高度為單位：米)，則/I是關(guān)于f的函

數(shù).當(dāng)任R時(shí)，h(?)=()

A.40sin(j-^t—g)+41B.t-+41

C.40stn(y^t——41D.40si7i(^jt——41

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)建模；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】先由題意得到為。&=I，進(jìn)而得到tmin后，以O(shè)x為始邊，OP為終邊的角三t-y,從而

得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為40s譏儡t-3,即尸距地面的高度函數(shù)求解.

【解答】解：由題意得為。P。屋，而-稱(chēng)是以。尤為始邊，為終邊的角，

27r71

由OP在tmin內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為一1=—t,可知以O(shè)x為始邊，

3015

OP為終邊的角為看t—?jiǎng)t點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為40s譏送

所以點(diǎn)尸距地面的懸j度為力=40sin（含t—+41,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

2.（2024秋?漂陽(yáng)市期末）如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。沿?zé)o軸正向滾動(dòng)，先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)B落在x軸時(shí)，又以8為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此下去，設(shè)頂點(diǎn)C滾動(dòng)時(shí)的曲線方程為y=/（x）,則

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（）

A./（I）=V2

B.f（2024）=1

C-弱）=溜）

D.f（x）在區(qū)間［2023,2025］內(nèi)單調(diào)遞增

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】由題意，根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)關(guān)系得到當(dāng)x=0,1,2,3,4時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，推出函數(shù)/（x）

的周期性，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)4和選項(xiàng)&易得當(dāng)2VxW3時(shí)，C的軌跡是以（2,0）為圓心，1為半徑

的3的圓，得到圓的方程，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)函數(shù)周期性以及/（x）N0恒成立，進(jìn)而可判斷選

項(xiàng)D

【解答】解：已知四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形,

所以正方形ABC。的對(duì)角線AC=V2,

若由正方形的滾動(dòng)軌跡得到當(dāng)尤=0時(shí)，C位于點(diǎn)（0,1）,即/（0）=1,

當(dāng)x=1時(shí),C位于點(diǎn)（1,V2）,即/（I）=V2,故選項(xiàng)A正確;

當(dāng)x—2時(shí)，C位于點(diǎn)（2,1),即/⑵=1,

當(dāng)x=3時(shí)，。位于點(diǎn)（3,0）,即/(3)=0,

當(dāng)x=4時(shí)，C位于點(diǎn)（4,1),即/⑷=1,

所以f(x+4)=f(x),

則/(X)的周期為4,

此時(shí)了(2024)(4X506)=/(0)=1,故選項(xiàng)2正確；

可-得/(91)=/(4+1I)=/(-1),/(—21)=/(10+1I)=/(2+11)=/(-5),

Z乙//乙乙/

1

當(dāng)2VxW3時(shí)，。的軌跡是以(2,0)為圓心，1為半徑的一的圓，

4

95

此時(shí)圓的方程為(X-2)2+/=1(2cxW3,yNO),f(-)(-),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

易知/(無(wú))20恒成立，

而了(2023)=/(2020+3)=/(3)=0,f(2025)=/(2024+1)=/(1)=V2,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間[2023,2025]單調(diào)遞增，故選項(xiàng)。正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

3.(2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末)函數(shù)/(x)=siiu,若方程/(尤)-4Z2(x)=a在(看，兀)內(nèi)有兩個(gè)不同

的解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-1/0)U(0，否B.(—1,-U冷

1

C.(一3,-l)U(0,4)D.(-3,-1)U(0,否

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用；由函數(shù)的零點(diǎn)求解函數(shù)或參數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】設(shè)/(x)=t,畫(huà)出函數(shù)/(%)=sin_x圖象，分類(lèi)討論，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=4與y=-4於+/

交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【解答】解：當(dāng)久￡(蔣，兀)時(shí)，f(x)=sinx的圖象如圖所示，

則/(x)=sinxe(0,1],

令/(x)=3則方程為/-4金=〃，怎(0,1],

又f電=sin^=2，

當(dāng)teg,1)時(shí)，若方程/(x)-4^(x)=〃在(5，兀)內(nèi)有兩個(gè)不同的解，

只需廠4金=。只有一解，

即函數(shù)y=4與y=-4金+/,t￡1)只有一個(gè)交點(diǎn)，

又函數(shù)y=-4%+/在(4，1)上單調(diào)遞減，

所以—4XI2+1VaV-4X8)2+4，即ae(―3,—,當(dāng)t—1時(shí)，a=-4+1=-3,

方程4Z2(X)-/⑴-3=0的解為/(%)=1和/(%)=一1

當(dāng)/(x)=1時(shí)，％當(dāng)/(%)=-,時(shí)，無(wú)解，

顯然方程始(x)~f(x)+〃=0只有一解，不合題意；

111111

當(dāng)t=,時(shí)，a=—1+]=-2，方程4升(%)一/(%)—2=o的解為f(%)=2和/(%)=-4,

當(dāng)/'(%)=.時(shí)，X=系,當(dāng)/■(%)=一拊,無(wú)解,

顯然方程q2(X)-/(無(wú))+a=0只有一解，不合題意；

當(dāng)te(0,今時(shí)，若方程4Z2(尤)-/(尤)+。=0在(看，兀)內(nèi)有兩個(gè)不同的解，

只需4產(chǎn)-t+a=0有兩個(gè)不同的解，

即函數(shù)y=a與y=-4p+f,te(0,》有兩個(gè)不同的個(gè)交點(diǎn)，

又函數(shù)尸-4小在(0,3上單調(diào)遞增，在焉，當(dāng)上單調(diào)遞減，

所以-4x02+0VaV—4X(g)2+g,所以ae(0,yg),

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一3,—U(0,白)?

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于中檔題.

4.(2024秋?天心區(qū)校級(jí)期末)某地區(qū)2024年全年月平均溫度y(單位：℃)與月份f之間近似滿足y=

Asin(^t+(p)+k(A>0,-K<cp<0).已知該地區(qū)2月份的月平均溫度為-1℃,全年月平均溫度最

高的月份為6月份，且平均溫度為32℃,則該地區(qū)12月份的平均溫度為()

A.-12℃B.-10℃C.-9℃D.-6℃

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】由題意可得6x看+0=2/OT+芻，可求得卬=一芻，進(jìn)而根據(jù)己知可得A+左=32,A-2k—2,

可求得解析式，進(jìn)而可求得r=12時(shí)的函數(shù)值，可得結(jié)論.

【解答】解：由題意該地區(qū)2024年全年月平均溫度y（單位：。C）與月份f之間近似滿足y=As譏（著1+

<p）+k（A>0,-Ti<（p<0）,且全年月平均溫度最高的月份為6月份，

可得直線f=6是曲線y=Asinf^t+（p）+k的一條對(duì)稱(chēng)軸，

TT-TT

可得6X工+9=CTTQZcZ,

6丁L2/+,,

77"

解得W=2/CTT-2，左eZ,

又因?yàn)?ir<（p<0,

所以9=一臺(tái)

可得y=Xsin（gt—+k=—Acos（^t）+k,

因?yàn)槿暝缕骄鶞囟鹊淖畲笾禐?2℃,

所以A+4=32①，

又當(dāng)t=2時(shí)，y=T,

所以一acos/x2）+k=—1?

所以4-24=2②，

由①②解得A=22,%=10,

所以y——22cos（石￡）+10,

可得當(dāng)t=12時(shí)，y==22cos仁義12）+10=-12℃.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)部分三角函數(shù)圖象確定三角函數(shù)解析式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函

數(shù)思想，屬于中檔題.

5.（2024?遼寧）如圖為一個(gè)摩天輪示意圖，該摩天輪圓半徑為4.8加，圓上最低點(diǎn)與地面距離為08w,60s

轉(zhuǎn)動(dòng)一周.圖中與地面垂直，從開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)ts到達(dá)OB.設(shè)B點(diǎn)與地面的距離為hm.若

/?與f的函數(shù)解析式為2=5.6+4.8sin（3t-*）,其中3>0,則3的值為（)

B

o

71717171

L—B.—C.1D.

6030152

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期7=60求解即可.

【解答】解：由題意從。4開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，60s轉(zhuǎn)動(dòng)一周，

所以函數(shù)的周期T=60,

r2兀

即—=60,

3

所以3=15=1

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期公式，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?泰州期末）如圖，摩天輪的半徑為40m其中心O點(diǎn)距離地面的高度為50m，摩天

輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，且20就”轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)尸的起始位置在最高點(diǎn)處，則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)

過(guò)程中（）

A.轉(zhuǎn)動(dòng)IQmin后點(diǎn)P距離地面10m

B.若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的3

C.第17%加和第43min點(diǎn)P距離地面的高度相同

D.摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)尸距離地面的高度不低于70〃z的時(shí)間為5%加

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)建模；直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】求出摩天輪的周期，設(shè)出時(shí)間，求出點(diǎn)尸上升的高度，求出點(diǎn)P距離地面的高度，再一一判

斷即可.

【解答】解：???摩天輪20加〃轉(zhuǎn)一圈，

27r71

???在t（min）內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為一?t=—3

2010

建立平面直角坐標(biāo)系，如右圖，

設(shè)（p（0<（P<2TI）是以x軸正半軸為始邊，OPo（Po表示點(diǎn)P的起始位置）為終邊的角，

以X軸正半軸為始邊，OP為終邊的角為（需t+s）,

即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（posin（^t+<p）,

又由題知，尸點(diǎn)起始位置在最高點(diǎn)處，

?n

??0=2

：.p點(diǎn)距地面高度人關(guān)于旋轉(zhuǎn)時(shí)間/的函數(shù)關(guān)系式為：/5=50+40sm（^t+J）

艮口力=50+40cost

當(dāng)r=10mm時(shí)，h—10,故A正確；

若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，T=40,則其周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故8錯(cuò)誤;

17TT277"

第17minP點(diǎn)距安地面的高度為力(17)=40cos皆+50=40cos卷+50

、..、、4277"

弟20W加P點(diǎn)距禺地面的IWJ度為4(43)=40cos—F50=40cos+50

第17〃珈和第43相加時(shí)P點(diǎn)距離地面的高度相同，故C正確;

摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，尸點(diǎn)距離地面的高度不低于70處

TT

即40cos^-Qt+50270,

即cosJ-Q?「(X/WZO,

得0<齋<2TT,

rrtTT57rTCt

0<yr?<5-或一<一<2TT,

103310

解得OWtW目或石WtW20,

20

共—min,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是建立符合條件的坐標(biāo)系，得出相

應(yīng)的函數(shù)模型，作出正確的示意圖，然后由三角函數(shù)中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解，是中檔題.

（多選）7.（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)/'（%）—min{siwc,cosx},則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）關(guān)于直線尤=-左對(duì)稱(chēng)

B./（x）的最大值為V2]

C.”尤）在（―2芻上不單調(diào)

D.在（0,2n）,方程無(wú)）=m（根為常數(shù)）最多有4個(gè)解

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性；余弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】BCD

5779

（SITIXt2/C7T-I-----VXV2々71-I----77

:一一54,即可得函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象逐項(xiàng)判

cosx,2kn+a<x<2kn+4兀

斷即可得解.

【解答】解：若sinx<cosx,貝!Jsin%—cosx=y[2sin{x—*）<0,

TT1五Q

即％—4E（2/CTT+7T,2fc7r+271）,即IE（2/C7T+H，2/（71+471）,

sinx,2kn+^<%<2kn+

冗5,kEZ,

{cosx,2kn+4<x<2kn+4兀

故其圖象如圖所示:

對(duì)A：由圖象可得了（無(wú)）不關(guān)于直線x=—1對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；

V2

對(duì)8：由圖象可得/（x）的最大值為y,故B正確；

.TI//H

sinx,<x<-r

7r7r2

對(duì)C當(dāng)久€（—果?時(shí)，/（%）=n7r3

‘乙COSX,-T<x<-^

'4，

則”x）在（-5,今上單調(diào)遞增，在4,今上單調(diào)遞減，故C正確；

對(duì)。：由圖象，當(dāng)m6（—1,—芋）時(shí)，方程/（X）=根在（0,2TT）有4個(gè)解,

在?nW（—1,-亨）時(shí)，方程/（無(wú)）=根在（0,2IT）少于4個(gè)解，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦函數(shù)圖像以及性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）8.（2024秋?新蔡縣校級(jí)期末）如圖，一座小島距離海岸線上最近的P點(diǎn)的距離是2初3從P點(diǎn)

沿海岸正東12A”處有一個(gè)城鎮(zhèn).假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為次加〃7,步行的速度為船相功，時(shí)

間點(diǎn)單位：/?）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距尸點(diǎn)的距離.設(shè)

u=V%2+4+x,v=V%2+4—x,貝!J（）

P叩

12—x—?

小島

A.函數(shù)□=/（"）為增函數(shù)

B.15t-u-4V=36

C.當(dāng)x=1.5時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間最少

D.當(dāng)x=4時(shí)，此人從小島到城鎮(zhèn)花費(fèi)的時(shí)間超過(guò)3/?

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】整體思想；定義法；三角函數(shù)的求值；邏輯思維.

【答案】BCD

【分析】先求出M,V的關(guān)系，得V=f（“）,判斷單調(diào)性；

列出時(shí)間/關(guān)于尤的函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為M,V的式子，可判斷B;

利用"，丫與X的關(guān)系，把/表示為V的函數(shù)，可求最小值；

作差「3可比較f與3的大小.

2

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)閚=7x2+4+x,v=Vx+4—x,

,/2-U+Vu—v

??、/%/+4=—2―

由題意"v=4,□=，在（6+°°）上是減函數(shù)，A錯(cuò)誤.

對(duì)于區(qū)i12~x-u+v?12u-v

匯TT從J3十5一6十510'

整理得15/=〃+4v+36,B正確；

對(duì)于C,由A、8得15/="+學(xué)+3622^^+36=44,“=當(dāng)即M=4時(shí)取等號(hào),

由+4+%=4,解得久=2=L5,C正確；

2班8

--+-「3=竽一>3,。正確.

對(duì)于。，x=4時(shí),35

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）9.（2024秋?東西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)半徑為3機(jī)的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，筒

車(chē)的軸心。距離水面的高度為2.2加.設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒尸到水面的距離為d（單位：m）（在水面

下則d為負(fù)數(shù)）.若以盛水筒產(chǎn)剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，d與時(shí)間單位：s）之間的關(guān)系為d=

Asin（3f+cp）+b（A>0,3>0,—*V<pV芻），則下列結(jié)論正確的是（）

n4兀

B.（JL）=

C.sirup=D.b=-0.8

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用；由丫=人5皿（3X+（p）的部分圖象確定其解析式.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)建模；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】由題意可得A、T、3和b、simp的值，即可判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.

【解答】解：因?yàn)橥曹?chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈，所以7=黑=40,

所以3=需=克，選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

振幅A為筒車(chē)的半徑，即A=3,所以選項(xiàng)A正確；

11

由題息，1=0時(shí)，d=0,即0=3sincp+"6=2.2,即sin<p=-正，選項(xiàng)C正確、選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，重點(diǎn)考查了y=Asin（3x+cp）+b的圖象與性質(zhì)，是基

礎(chǔ)題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械游樂(lè)設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里可從

高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120機(jī)，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為HOm,均勻設(shè)置有48

個(gè)座艙（按順時(shí)針依次編號(hào)為1至48號(hào)），開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最

近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30〃血.甲、乙兩戶(hù)家庭去坐摩天輪，甲家庭先坐上了1號(hào)座艙，乙家庭坐

上了4號(hào)座艙，若從乙家庭坐進(jìn)座艙開(kāi)始計(jì)時(shí)，10根加內(nèi)（含IQmin）出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高

度一樣的情況，則k的最小值是17.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)建模.

【答案】17.

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動(dòng)tmin出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高度一樣，借助對(duì)稱(chēng)性求出t,

再結(jié)合兩個(gè)相鄰座艙對(duì)應(yīng)弧所對(duì)圓心角即可得解.

【解答】解：設(shè)乙家庭轉(zhuǎn)動(dòng)〃"而出現(xiàn)了兩戶(hù)家庭的座艙離地面高度一樣，0<fW10,只需考查旋轉(zhuǎn)的第

一周內(nèi)即可，

2,7171JT

而摩天輪的座艙每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)丁=—，則乙家庭的座艙加血轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為

301515

摩天輪的兩個(gè)相鄰座艙中點(diǎn)間的圓弧所對(duì)圓心角為空=―,甲家庭的座艙轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為"的+

482424

71

—t,

15

依題意，甲乙兩戶(hù)家庭的座艙關(guān)于摩天輪垂直于地面的軸對(duì)稱(chēng)，則智+*+總=2m

整理得％=48+1217,當(dāng)且僅當(dāng)t=10時(shí)取等號(hào),

所以A的最小值是17.

故答案為：17.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

11.（2024秋?陜西校級(jí)期末）已知某地區(qū)某天的溫度（單位：。C）隨時(shí)間f（單位：h）的變化近似滿足函

數(shù)關(guān)系/?=28+念譏（如+普）（4>0）,正［0,24）,且這天的最大溫差為8℃,則A=4；若溫

度不低于30℃需要開(kāi)空調(diào)降溫，則這天需要降溫的時(shí)長(zhǎng)為6h.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】4；6.

【分析】根據(jù)/G）的最大值和最小值，結(jié)合最大溫差，即可求得人令/G）230,求解三角不等式，

即可求得降溫的時(shí)長(zhǎng).

【解答】解：對(duì)于函數(shù)f（t）=28+念譏（11+等）（4>0）,其最小正周期丁=爭(zhēng)=16V24,最大值為

A+28,最小值為-A+28,

因?yàn)檫@天的最大溫差為8℃,

所以(A+28)-(-A+28)=24=8,解得4=4；

令fG)N30,則4si7i(gt+4兀)+28230,即s譏(gt+兀)2訝，

一，?,冗37137r1571

因?yàn)檎齕0,24),所以-1+—G[—,---),

8444

37T35加_137rn317?3450

所以一71<—t+-n<—或---<—t+-7T<—71,解得七￡[0/?]U[-5-，〒],

484668463JL33J

所以一天中需要降溫的時(shí)長(zhǎng)為：1+(當(dāng)-§)=6小時(shí).

333

故答案為：4；6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.（2024秋?煙臺(tái)期末）某摩天輪示意圖如下圖所示，其半徑為100/77,最低點(diǎn)A與地面距離為8如24min

轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.若該摩天輪上一吊箱B（視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，則吊箱8第4

次距離地面158根時(shí)，所經(jīng)歷的時(shí)長(zhǎng)為40（單位：加初）

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】40

【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，把吊箱8離地面的高度表示為時(shí)間f的三角函數(shù),

令力=158即可求出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)吊箱2離地面的高度為白，則有：

h——lOOsin(-^—2^t)+108=—lOOcost+108?

令〃=158,可以得到cos需t=—},

,n27r4兀4兀

???有—t=—+2kn或-t=—+2kir,k&Z,

123123

解得f=8+24左或t=16+24%,kEZ,

:吊箱B第4次達(dá)到158m,

.?.當(dāng)f=40時(shí)，吊箱8第4次距離地面158Ml.

故答案為：40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.

四.解答題(共3小題)

13.(2024秋?連云港期末)如圖，在半徑為4,圓心角為變量火0<8<芻的扇形042內(nèi)作一內(nèi)切

圓Q,再在扇形內(nèi)作一個(gè)與扇形兩半徑相切并與圓。外切的小圓P,設(shè)圓P的半徑為y.

(1)求y關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求y的最大值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】⑴”竺嗖竺萼(0<。<聶

(1+sin%

【分析】(1)設(shè)圓。的半徑為x,圓尸切。4于。，圓。切04于E,根據(jù)三角函數(shù)得到方程，求出％=——%,

1+sin)

進(jìn)而得到y(tǒng)=“si嗷I-吵(0<e<7r

(l+sin|)乙

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，換元得到丫=四0二￥，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.

(1+t)

【解答】解：(1)因?yàn)閳AP的半徑為》設(shè)圓0的半徑為無(wú)，圓。切于E,圓P切。4于。，

e

PD_y

在直角三角形OPD中,n-

si2OP―4—2x—y)

6X

所

以

-4X

在直角三角形中,2-X

B

4s碣分

(1+s譏4)乙

(2)設(shè)"si，，根據(jù)ovev*,那么ovtv孝，所以丫=窄胃，

所以導(dǎo)函數(shù)『=(4-畛(1+按-*~>2(1+。=4(1-3%

(1+t)(1+t)

當(dāng)te《，舄時(shí)，導(dǎo)函數(shù)<<0,當(dāng)te(O,同時(shí)，導(dǎo)函數(shù)<>0,

所以函數(shù)曠=富學(xué)在te4，￥)上單調(diào)遞減，在te(O,》上單調(diào)遞增，

■￡2

因此當(dāng)即S譏昨細(xì)，函數(shù)y=四0二?取得最大值為y=士空

33(1+t)2(1+|)2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

14.(2024秋?安慶期末)已知函數(shù)〃久)=Asin(a)x+租)+B(4〉0,3>0,\(p\法)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；

(3)當(dāng)x€(-『芻時(shí)，方程/'(%)=?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根尤1,%2且xi<X2,求sin(%2-尤1)的值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性；由丫=人5m(3X+CP)的部分圖象確定其解析式.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】(1)/(%)=2s譏(2%+=+1；

(2)(竽-『l)(fcez)；

4

(3)—.

5

7**TTC*TT-JTQ

【分析】(1)由最大值和最小值求得A,B的值，由一=——(--)=一以及7=也可得3的值，再

212'12，23

由最高點(diǎn)可求得少的值，即可得/(x)的解析式；

(2)由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，利用整體代入法可得/(尤)對(duì)稱(chēng)中心；

(3)根據(jù)方程/(無(wú))=卷在Xe(Y,金上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根XI,尤2,可得小+工2建，結(jié)合角的

范圍及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【解答】解：⑴由圖象知4=2,2=1,又三=三+===,

212122

故T=n,3=2,

由圖象可知2x-J2+0=2+2kji,kWZ,得w=2/CTT+W，kEZ,

由于故9=條/(%)=2sin(2x+^)+1.

(2)令2x+^=kn,keZ,解得％=黑一:，kEZ,

所以函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(竽l)(/cGZ).

(3)由%€(-看'號(hào))可得2%+,€(0,71),

又方程/(%)=昔在有］￡(-1，芻兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%1,%2且X1VX2,

所以(2%i+與)+(2%2+亨)=*X2,所以%1+%2=*

且2%i+可e(0,引，2%2+we(2，江)

117T7Tli

又/(%i)=f(%2)=即2s譏(2%i+手)+1=2s譏(2)2+W)+1=

所以sbi(2%i+5)=sm(2x2+?)=|，

4

--

5

又sin(%2_%i)=sin(G—2%D=cos(2xr+可),

4

即sin(x2-xi)的值為一.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.(2024秋?邵陽(yáng)期末)已知函數(shù)/(%)=s譏(3]+9)3〉0,|如V*)的最小正周期是m將/(%)的圖

71

象向右平移三個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(1)求函數(shù)/(無(wú))的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的方程；

￡

(2)若XI,X2芻，且/(XI)—f(A2),求/(尤1+X2)的值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用；函數(shù)y=Asin(a)x+(p)的圖象變換.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】(1)對(duì)稱(chēng)中心為(工+絲0),對(duì)稱(chēng)中心為尤=碧+字，髭Z；

62122

⑵—空.

【分析】(1)結(jié)合周期求3,結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移變換及奇函數(shù)性質(zhì)可求甲，然后結(jié)合正弦函數(shù)的

對(duì)稱(chēng)性即可求解；

(2)結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求解.

【解答】解：⑴..?函數(shù)f(x)=Sin(3x+9)(3>0,切號(hào))的最小正周期是n,

2TT

=—=2,f(x)=sin(2x+cp),

將/(x)的圖象向右平移三個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=s譏(2x+(p-警)為奇函數(shù)，

35

則0-冬=kn(kEZ),即0=冬+kn(kEZ),V\(p\V芻,

TTTT

.*.</>=—w，/(x)=sin(2x—可),

令2%—5=為+Mr,則丁=招+竽,依Z；

令2%—萬(wàn)=ku,則％=nH—于，左

3oZGZ,

：.y^f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為/+竽