陜西省安康市2025屆高三下學期模擬（考前最后一卷）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2025屆高三下學期模擬（考前最后一卷）數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)z滿足z+zi=2，則|z|=A．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【解析】由z+zi=2，得z=故選:A.2．已知集合A=xx-1x3≤0，B={x|x≥a}，若A∩B=AA．[0,+∞) B．(0,+∞) C．【答案】C【解析】因為A=xA∩B=A，所以A?B，所以a≤0.故選：C.3．函數(shù)f(x)=ln(x+1)-lnA． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，知f(x)的定義域為(0,+∞)，排除A，f(x)=lnx+1x=ln1+1x，當x增大時，y=1故選：B.4．已知雙曲線C:x2a2-y2A．C的實軸長為2 B．C的漸近線方程為y=±C．C的離心率為5 D．C的右焦點的坐標為(【答案】C【解析】對于AD，由a:b:c=1:2:5，取a=2，則c=25，C的實軸長4，右焦點(25對于B，由a:b=1:2，得C的漸近線方程為y=±2x，B錯誤；對于C，由a:c=1:5，得C的離心率e=5，C故選：C5．已知函數(shù)f(x)=excosx的圖象在x=xA．y=1 B．y=32eπ6 C【答案】D【解析】函數(shù)f(x)=excosx，求導得即ex0(cosx0-sinx所以該切線的方程為y=2故選：D6．已知ln(x+4y)=2lnx+lnyA．2 B．2 C．22 D．【答案】D【解析】由題意，知x>0，y>0.由ln(x+4y)=2lnx+兩邊同時除以xy，得1y因為12x當且僅當8x=x，即x=22所以12x+1故選：D.7．已知函數(shù)f(x)=asinbx-cosbx(a>0,b>0)在區(qū)間π18,2π9上單調(diào)遞增，在區(qū)間2π9,5πA．π18 B．π9 C．2π【答案】C【解析】由題意，知f(x)=asinbx-cos因為f(x)在區(qū)間π18,2所以x=2π9為f(x)圖象的一條對稱軸，所以b×又f7π18=0，所以b×7π18+θ=π所以f(x)=2sin3x-π6.將得到f(x+φ)=2sin3x+3φ-由f(x+φ)的圖象關(guān)于y軸對稱，得3φ-π6=所以φ=2π9所以φ的最小值為2π故選：C.8．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2，D為斜邊BC上一動點，將△ACD沿AD折起，使C的對應點為C'，且二面角C'-AD-B的大小為90°，當BCA．102 B．62 C．6 D【答案】B【解析】如圖，設∠BAD=α，則∠C過點C'作C'F⊥AD因為二面角C'-AD-B的大小為90°，所以平面C又平面C'AD∩平面ABD=AD，C'F?平面C'過點B作BE⊥AD于點E，則AE=2cosα，又C'F=2sin所以EF=AE-AF因為二面角C'-AD-B的大小為所以BC當α=π4時，BC'有最小值2，此時AD平分∠BAC，且D，三棱錐C'-ABD可看作是棱長為設三棱錐C'-ABD外接球的半徑為則(2R)2=(故選：B.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的第75百分位數(shù)為19B．相關(guān)系數(shù)為r1=0.98的兩個隨機變量比相關(guān)系數(shù)為C．若數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的均值為3，a12，a22，…，an2的均值為11，則數(shù)據(jù)D．已知隨機變量ξ~N(2,4)，若ξ=3η-1，則E(η)=6【答案】AC【解析】對于A，因為10×75%=7.5，所以第75百分位數(shù)為第8個數(shù)，為19，故對于B，兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，一個是正相關(guān)，一個是負相關(guān)，r1=r對于C，a1，a2，…，an的方差為1對于D，由ξ~N(2,4)，得E(ξ)=2，則E(3η-1)=2，所以3E(η)-1=2，解得E(η)=1，故D錯誤.故選：AC.10．“探索對稱之美，感受數(shù)學魅力”，如圖①的星形圖案ABCD，它可看作是由圖②中的拋物線E:y2=2p(x-1)(p>0)繞坐標原點O按逆時針方向分別旋轉(zhuǎn)45°，135°，225°，315°后所得的四條曲線圍成的圖形.若A，B，C，DA．p=2B．|AD|=4C．星形圖案ABCD的面積大于8D．直線y=x與星形圖案ABCD相交的弦長為2【答案】ABD【解析】對于A，由題意，知E與直線y=x相切，由y2=2p(x-1),y=x,消去y由Δ=4p2-8p=0，得p=2對于B，由選項A，知E與直線y=x的切點為P(2,2)，則|OP|=22由題意，旋轉(zhuǎn)后|OA|=|OD|=|OP|=22，所以|AD|=4，故B對于C，如圖，設直線y=x與星形圖案在第一象限的交點為M，由E的方程，知當y=0時，x=1，即|OM|=1，星形圖案的面積S陰影<4S對于D，直線y=x與星形圖案相交的弦長為2|OM|=2，故D正確.故選：ABD.11．已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+1A．f(x)是R上的奇函數(shù)B．g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增C．f(-x)與f(x)的圖象有三個不同的交點D．g(x)=1【答案】AD【解析】對于A，因為f(x)=lnx+x2+1又f(-x)=ln所以f(x)是R上的奇函數(shù)，故A正確；對于B，因為g(x)=lnx+1-x2所以不能說g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，由f(x)=f(-x)，得2f(x)=0，即f(x)=0.因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，當x>0時，f(x)單調(diào)遞增，由對稱性，知當x<0時，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)=0只有一個零點，故C錯誤；對于D，g(x)的定義域為-22,1，當x∈令t=h(x)=x+1-x2當x∈0,22時，h'又y=lnt單調(diào)遞增，所以g(x)在g22=ln2，2知存在唯一的x0∈0,當x∈22,1時，h'又y=lnt單調(diào)遞增，所以g(x)在g22=ln2>1所以g(x)=15有兩個不同的解，故D故選：AD.三、填空題12．已知向量a，b滿足b=(2,2)，且|a-b|=【答案】3【解析】因為|b所以|a故答案為：3213．某班級策劃五一活動，其中歌曲類3個節(jié)目，語言類1個節(jié)目，才藝展示類3個節(jié)目，抽獎2次（一次抽一等獎名單，一次抽二等獎名單），要求開場和結(jié)束安排歌曲類，2次抽獎不連續(xù)，則有種安排方法.（用數(shù)字作答）【答案】21600【解析】先安排開場和結(jié)束的歌曲類節(jié)目，方法數(shù)為A3除了已經(jīng)安排的歌曲類節(jié)目和兩次抽獎活動，還有5個節(jié)目需要安排，方法數(shù)為A5抽獎活動可以從6個空中選兩個，方法數(shù)為A62，所以方法總數(shù)為故答案為：21600.14．如圖，由一個等腰三角形ABD與一個直角三角形DBC拼接成一個平面四邊形ABCD，且AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，則當AC的長最大時，sin∠BAD的值為【答案】5【解析】設∠BAD=α，在△ABD中，由余弦定理，得BD因為BC=2BD，所以BC由正弦定理，得BDsinα=因為BD⊥BC，所以∠CBD=90°.在△ABC中，由余弦定理，得A==9-8=9-8=9+4=9+45其中sinφ=25，cosφ=1所以sinα=綜上，當AC的長最大時，sin∠BAD的值為5故答案為：55四、解答題15．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a6=11，S10=100，（1）求an，b（2）設cn=2log3bn+1log3bn+1+1，數(shù)列解：（1）設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為由題意，得a6=a1+5d所以an所以b3=a5=9所以bn（2）因為cn=2log3bn所以cn所以Tn所以不等式λTn+1>0可轉(zhuǎn)化為-λ因為y=1+1n在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且即λ≥-12，所以λ的取值范圍為16．目前，我國正在開展新一輪大規(guī)模設備更新和消費品以舊換新，加強回收循環(huán)利用能力建設是“兩新”政策部署的重要內(nèi)容.某校為了加快學生對這方面知識的了解，組織了知識問答活動，有“拯救海洋”類和“回收報廢電力設備”類問題，每位參加活動的同學隨機選擇一類問題進行回答，若回答錯誤，則活動結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，活動結(jié)束.“拯救海洋”類問題回答正確，每題得10分，“回收報廢電力設備”類問題回答正確，每題得20分，答錯均不得分.若某同學參加了此次活動，該同學回答“拯救海洋”類問題時正確的概率為0.6，回答“回收報廢電力設備”類問題時正確的概率為0.5，且第一題答題正確的情況下，第二題答題正確的概率會增大0.1.（1）若該同學先回答“拯救海洋”類問題，記X為該同學的累計得分，求X的分布列；（2）為了使累計得分的期望較大，該同學應該選擇先回答哪類問題？解：（1）依題意，X的可能取值為0，10，30，則P(X=0)=1-0.6=0.4，P(X=10)=0.6×[1-(0.5+0.1)]=0.24，P(X=30)=0.6×(0.5+0.1)=0.36，所以X的分布列為（2）當該同學先回答“拯救海洋”類問題時，由（1），得E(X)=0×0.4+10×0.24+30×0.36=13.2；當該同學先回答“回收報廢電力設備”類問題時，記Y為該同學的累計得分，則Y的可能取值為0，20，30，P(Y=0)=1-0.5=0.5，P(Y=20)=0.5×[1-(0.6+0.1)]=0.15，P(Y=30)=0.5×(0.6+0.1)=0.35因此E(Y)=0×0.5+20×0.15+30×0.35=13.5，因為13.5>13.2，所以E(Y)>E(X)，所以為了使累計得分的期望較大，該同學應該選擇先回答“回收報廢電力設備”類問題.17．如圖，在多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=2，EF//AD，EF=1，P是DF的中點，G是BC的中點，平面FAG⊥平面（1）求證：DF⊥平面FAG；（2）求直線CP與平面BDE所成角的正弦值.（1）證明：如圖，取AD的中點M，連接MP，MC.由P，M分別是DF，AD的中點，得PM//AF.又AF?平面FAG，PM?平面FAG，所以PM//平面FAG因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，G是BC的中點，所以CM⊥AD，CM//AG.因為AG?平面FAG，CM?平面FAG，所以CM//平面又PM∩CM=M，PM?平面CPM，CM?平面CPM，所以平面CPM//平面FAG由平面FAG⊥平面FCD，得平面CPM⊥平面FCD，且平面CPM∩平面FCD=CP，過點M作MH⊥CP于點H，MH?平面CPM，則MH⊥平面FCD.又DF?平面FCD，所以MH⊥DF.因為AE⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，所以AE⊥CM.又CM⊥AD，AD∩AE=A，AD?平面ADF，AE?平面ADF，所以CM⊥平面ADF又DF,AD?平面ADF，所以CM⊥DF，CM⊥AD.又CM∩MH=M，且Rt△CMP，CM與MH不重合，CM?平面CPM，MH?平面CPM，所以DF⊥平面CPM，所以DF⊥平面FAG.（2）解：如圖，由（1），知DF⊥平面FAG.又AF?平面FAG，所以DF⊥AF，連接FM，則FM=12AD=1且EF=AM=1.又EF//AD又AE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AE⊥AD，所以四邊形AEFM為正方形.以A為原點，AG，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(3,-1,0)，C(3,1,0)，F(xiàn)(0,1,1)，D(0,2,0)，所以CP=-3,1設平面BDE的法向量為n=(x,y,z)，則n?令x=3，則y=1，z=2，所以平面BDE的一個法向量為n所以直線CP與平面BDE所成角的正弦值為|cos18．“如果兩個橢圓的離心率相同，我們稱這兩個橢圓相似”.已知橢圓C:x2a2+y2b2（1）求C的標準方程.（2）設O為坐標原點，P為E上的動點，過點P且斜率為k(k≠0)的直線與E相切，與C交于A，B兩點，射線PO交C于點Q，試問：△ABQ的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，請說明理由.解：（1）因為E的短軸長為2，所以d=1.因為E的離心率為e=b2-1又C的離心率e=a2-所以C的標準方程為x2（2）由（1），知E:x設Px0,y0由y=kx+m,x24因為直線y=kx+m與E相切，所以Δ=(8km)2-41+4所以x0=-4km所以直線OP的斜率kOP=y由y=-14kx,x216+y2由題意，得P，Q位于y軸兩側(cè)，所以xQ=-2x設Ax3,y3，Bx4由根與系數(shù)的關(guān)系，得x3+x所以x3-x4=由直線y=kx+m與y軸交于點(0,m)，得SΔ所以SΔABQ=3SΔ19．已知函數(shù)f(x)=a(x-1)ex+（1）若y=f'(x)的一個極值點為1（2）討論f(x)的單調(diào)性；（3）證明：當n>1且n∈N*時，（1）解：由f(x)=a(x-1)ex+12令h(x)=axex+x，x∈由題意，知h'(1)=2ae當a=-12e時，令g(x)=-12當x∈(0,+∞)時，g'(x)<0，g(x)又h'(1)=0，所以當x∈(0,1)時，h'(x)>0，當x∈(1,+∞)時，h'(x)<0，所以x=1為f'(x)（2）解：由（1），得f'若a≥0，則aex+1>0，當x∈(-∞,0)當x∈(0,+∞)時，f'(x)>0若a<0，令f'(x)=0，得x=0或x=ln①當0<ln-1若x∈(-∞,0