2023-2025《3年中考1年模擬真題分類匯編》數學專題16銳角三角函數(解析版)

專題16三角函數考點01三角函數的定義1．（2023·四川樂山·中考真題）我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先由兩個正方形的面積分別得出其邊長，由趙爽弦圖的特征可得，則，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函數的定義計算求解即可．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長，小正方形的邊長，

∵，∴，在中，，∴，解得（負值舍去）∴．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理、弦圖及正弦函數的計算，明確相關性質及定理是解題的關鍵．2．（2024·廣西·中考真題）如圖，在中，，．(1)尺規作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于為半徑畫弧，分別交，于點D，E，作直線，則直線l即為所求．（2）連接，由線段垂直平分線的性質可得出，由等邊對等角可得出，由三角形內角和得出，則得出為等腰直角三角形，再根據正弦的定義即可求出的長．【詳解】（1）解：如下直線l即為所求．（2）連接如下圖：∵為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理以及正弦的定義．掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．3．（2025·山東東營·中考真題）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面積（弦矢＋矢），弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為2，則的值為．【答案】/【分析】本題主要考查垂徑定理、勾股定理、三角函數的定義等知識點．如圖，作交于，交圓弧于，利用垂徑定理和勾股定理構建方程組求出，，利用余弦函數定義即可解決問題．【詳解】解：如圖，作交于，交圓弧于，由題意：，設，由，∴，∵，為半徑，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴．故答案為：．4．（2023·內蒙古·中考真題）如圖是源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結合題意進一步設直角三角形短的直角邊為，則較長的直角邊為，再接著利用勾股定理得到關于的方程，據此進一步求出直角三角形各個直角邊的邊長，最后求出的值即可.【詳解】∵小正方形的面積為，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設直角三角形短的直角邊為，則較長的直角邊為，其中，∴，其中，解得：，，∴，故選：D.【點睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.5．（2023·吉林長春·中考真題）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】根據余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書館，，為直角三角形，（米）.故選：D.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，涉及到余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的概念.6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，點D在邊AB上，連接CD．若，，則．

【答案】/【分析】由題意可設，則，，在中求得，在中求出答案即可．【詳解】解：，，設，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點睛】本題考查的是求銳角三角函數，解題關鍵是根據比值設未知數，表示出邊長從而求出銳角三角函數值．7．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，菱形的對角線相交于點為的中點，，．求的長及的值．

【答案】，【分析】根據菱形的性質得出，中，勾股定理求得的長，根據正切的定義即可求解．【詳解】在菱形中，．∵，∴．在中，∵為中點，∴．∵．∴．∴．∴．【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理，求正切，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．8．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，在綜合與實踐活動課上，小強先測得教學樓在水平地面上的影長為．又在點處測得該樓的頂端的仰角是．則用科學計算器計算教學樓高度的按鍵順序正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查解直角三角形的應用，用計算器計算三角函數值，根據題意，得到，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，得：在中，，，∴；計算器的按鍵為

；故選A．考點02解直角三角形的實際應用——俯仰角1．（2025·四川達州·中考真題）為了讓蓮花湖濕地公園的天更藍，水更清，蓮花湖管委會定期利用無人機指引工作人員清理湖中垃圾．已知無人機懸停在湖面上的處，工作人員所乘小船在處測得無人機的仰角為，當工作人員沿正前方向劃行米到達處，測得無人機的仰角為，求無人機離湖面的高度（結果不取近似值）【答案】無人機離湖面的高度為米【分析】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵；過點作于點，設，根據題意得出，，在中，根據，列出方程，解方程，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，依題意設，在中，∴，∵∴，在中，∴解得：答：無人機離湖面的高度為米2．（2025·吉林長春·中考真題）如圖，已知某山峰的海拔高度為米，一位登山者到達海拔高度為米的點處．測得山峰頂端的仰角為．則、兩點之間的距離為（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，掌握三角函數的定義是解題的關鍵．由題意得四邊形是矩形，則，那么，再解即可．【詳解】解：由題意得，四邊形是矩形，∴，∴，由題意得，，∴，∴，故選：B．3．（2025·遼寧·中考真題）如圖，為了測量樹的高度，在水平地面上取一點，在處測得，，則樹的高約為（結果精確到．參考數據：，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，正確使用三角函數是解題的關鍵．在中，由即可求解．【詳解】解：由題意得，∴在中，，故答案為：．4．（2025·吉林·中考真題）綜合與實踐：確定建筑物的打印模型的高度項目提出：圖是某城市規劃展覽館．樹人中學的打印社團為展示城市文化，準備制作該城市規劃展覽館的打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作打印模型提供數據．項目報告表

時間：2025年5月29日項目分析活動目標測量該城市規劃展覽館的實際高度并換算其打印模型的高度測量工具測角儀、皮尺項目實施任務一測量數據以下是測得的相關數據，并畫出了如圖所示的測量草圖．1．測出測角儀的高．2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角．3．測出測角儀底端D處到展覽館底端B處之間的距離．任務二計算實際高度根據上述測得的數據，計算該城市規劃展覽館的高度．（結果精確到1m）（參考數據：，，）任務三換算模型高度將該城市規劃展覽館的高度按等比例縮小，得到其打印模型的高度約為________．（結果精確到）項目結果為社團制作城市規劃展覽館的打印模型提供數據請結合上表中的測量草圖和相關數據，幫助該社團完成任務二和任務三．【答案】該城市規劃展覽館的高度為；打印模型的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，比例的基本性質，正確理解題意是解題的關鍵．任務二：先由矩形得到，，然后解即可；任務三：由比例尺等于圖上距離比上實際距離求解即可．【詳解】解：任務二：由題意得為矩形，∴，，∵在中，∴，∴，答：該城市規劃展覽館的高度為；任務三：設打印模型的高度約為，則由題意得：，解得：，答：打印模型的高度約為．5．（2025·陜西·中考真題）小涵和小宇想測量公園山坡上一個信號桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測量．測量示意圖如圖所示，他們在坡面上的點處安裝測角儀，測得信號桿頂端的仰角為，與坡面的夾角為，又測得點與信號桿底端之間的距離為．已知，點，，在同一條直線上，，均與水平線垂直．求信號桿的高．（參考數據：，，）【答案】信號桿的高為【分析】本題考查了解直角三角形的應用，三角形內角和性質，矩形的判定與性質，等角對等邊，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先理解題意，得出，再在中，運用，，代入數值進行計算，得出的值，然后證明四邊形是矩形，故，根據，，得，，把數值代入進行計算，即可作答．【詳解】解：過點E作于點，過點D作于點，如圖所示：∵，均與水平線垂直．∴∴，∵∴在中，，則，在中，，則，∵過點E作于點，過點D作于點，∴，∴四邊形是矩形∴，∵，，∴，∴，∴，信號桿的高為．6．（2025·安徽·中考真題）某公司為慶祝新產品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段和表示，彩帶用線段表示．工作人員在點A處測得點C的俯角為，測得點D的仰角為．已知，求的長（精確到）．參考數據：，，，，，．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，過點A作，垂足為點E，則四邊形為矩形，可得，解求出的長，再解求出的長即可得到答案．【詳解】解：過點A作，垂足為點E．∵線段和都與地面垂直，∴四邊形為矩形，∴．在中，，∴．在中，，．答：的長為．7．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米【答案】A【分析】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．設米，在中，利用銳角三角函數定義表示出，在中，利用銳角三角函數定義表示出，再由列出關于的方程，求出方程的解得到的值即可．【詳解】解：設米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，側這棟樓的高度為米．故選：A．8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，某數學活動小組用高度為米的測角儀，對垂直于地面的建筑物的高度進行測量，于點C．在B處測得A的仰角，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至處，于點G，測得A的仰角，的延長線交于點E，求建筑物的高度（結果保留小數點后一位）．（參考數據：）【答案】17.5米【分析】本題主要考查了矩形的性質與判定，解直角三角形的實際應用，由題意可得四邊形是矩形，則．解直角三角形得到，進而得到，據此求出即可得到答案．【詳解】解：根據題意可知四邊形是矩形，．如圖，．，．，．（米）答：建筑物的高度約為米．考點03解直角三角形的實際應用——坡度、坡角1．（2025·四川資陽·中考真題）如圖，已知水平地面上方有一個水平的平臺，該平臺上有一個豎直的建筑物．在處測得建筑物頂端的仰角為，在處測得的仰角為，斜坡的坡度米，．（點在同一豎直平面內）．(1)求平臺的高度；(2)求建筑物的高度（即的長）．【答案】(1)10米(2)米【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，矩形的判定及性質．（1）過點B作于點E，則，根據斜坡的坡度，得到，從而在中，根據勾股定理構造方程，求解即可；（2）延長交于點F，得到四邊形是矩形，因此米，，設米，則（米），通過解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），進而根據列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：過點B作于點E，則∵斜坡的坡度，∴，∵在中，，即，∴米，∴平臺的高度是10米．（2）解：延長交于點F，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴米，，設米，則（米），∵在中，，∴（米），∵在中，，∴（米），∴米，由（1）有（米），∵，∴，解得，∴（米），即建筑物的高度（即的長）為米．2．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．【答案】(1)；(2)電線塔的高度．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函數的定義得到，據此求解即可；（2）作于點，設，先解得到，解得到米，進而得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：作于點，則四邊形是矩形，，，設，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，∴答：電線塔的高度．3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．【答案】/【分析】此題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確構造直角三角形．如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，設米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進而求解即可．【詳解】解：如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，則，在中，，設米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹的高度為米．故答案為：．4．（2024·四川廣安·中考真題）風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風力發電機，如圖（1）某校實踐活動小組對其中一架風力發電機的塔桿高度進行了測量，圖（2）為測量示意圖（點，，，均在同一平面內，）．已知斜坡長為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風力發電機塔桿的高度．（結果精確到個位；參考數據：，，，）

【答案】32m【分析】本題考查的是矩形的判定與性質，解直角三角形的實際應用，過點作于點，作于點，先求解，，再證明，再利用銳角的正切可得，從而可得答案.【詳解】解：過點作于點，作于點

由題意得：，在中，，，，四邊形為矩形，，，，在中.，答：該風力發電機塔桿的高度為.5．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計，結果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．【分析】過B作于H，設，，根據勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設，解直角三角形即可得到結論．【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，∴設，，∴，∴，∴，過B作于F，則，設，∵．∴，∴，∵坡度i為，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤壩高為8米，山高為20米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-俯角仰角，解直角三角形的應用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關鍵．6．（2023·湖北·中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結果精確到米）（參考數據：）

【答案】斜坡的長約為10米【分析】過點作于點，在中，利用正弦函數求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點作于點，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長約為10米．【點睛】此題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．7．（2023·四川自貢·中考真題）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．如圖2，同學們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細線系小重物G，當直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數，由此可得山坡AB坡角的度數．請直接寫出之間的數量關系．(2)測量山高同學們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學在作業本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結果精確到1米）(3)測量改進由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學校操場上，將直桿NP置于的頂端，當與鉛垂線重合時，轉動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結果用不含的字母表示）【答案】(1)；(2)山高為69米；(3)山高的高為米．．【分析】（1）利用互余的性質即可求解；（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分別求得和的長，得到方程，據此即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，

∴；（2）解：在中，．

∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高為69米；（3）解：如圖，由題意得，，

設山高，則，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．考點04解直角三角形的實際應用——方位角1．（2025·重慶·中考真題）為加強森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機巡視兩種方式監測森林情況．如圖，A，B，C，D在同一平面內．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機位于A的南偏西方向20千米的D處．兩無人機同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（參考數據：，，，）(1)求的長度（結果保留小數點后一位）；(2)甲、乙兩無人機同時分別從B，D出發沿往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人機速度的2倍．當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機飛離B處多少千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號（結果保留小數點后一位）？【答案】(1)千米(2)千米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵。（1）過點A作于E，過點B作于F，由題意得，，解得到千米，千米，證明四邊形是矩形，得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的長；（2）當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足千米．過點M作于T，由題意得，，解得到千米，千米，則千米，設千米，則千米，千米，解得到千米，千米，則千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。【詳解】（1）解：如圖所示，過點A作于E，過點B作于F，∴，由題意得，，在中，千米，千米，∵無人機位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴千米，千米，∴千米，∴千米，答：的長度約為千米；（2）解：如圖所示，當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足千米．過點M作于T，由題意得，，在中，千米，千米，∴千米，設千米，則千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，由勾股定理得，∴，∴或（此時大于的長，舍去），∴千米，答：甲無人機飛離B處千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號．2．（2025·山東煙臺·中考真題）【綜合與實踐】煙臺山燈塔被譽為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺山上，為過往船只提供導航服務．為了解漁船海上作業情況，某日，數學興趣小組開展了實踐探究活動．如圖，一艘漁船自東向西以每小時海里的速度向碼頭航行，小組同學收集到以下信息：位置信息碼頭A在燈塔B北偏西方向14：30時，漁船航行至燈塔北偏東方向的處15：00時，漁船航行至燈塔東北方向的處天氣預警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭附近海域將出現濃霧天氣．請注意防范．請根據以上信息，解答下列問題：(1)求漁船在航行過程中到燈塔的最短距離；(2)若不改變航行速度，請通過計算說明漁船能否在濃霧到來前到達碼頭（參考數據：，，，，，）．【答案】(1)漁船在航行過程中到燈塔的最短距離為海里(2)不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達碼頭【分析】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵；（1）過點作于點，設，根據題意得出，解，得出，建立方程，即可求解；（2）求得的距離，計算的距離，根據路程除以速度得到航行時間，結合題意，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，設，依題意，，，，∴，，∴，在中，，∴，解得：，∴漁船在航行過程中到燈塔的最短距離為海里；（2）解：在中，，，∴，∴，小時分鐘，從14：30，經過分鐘是，在之前到達，∴不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達碼頭．3．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明．（參考數據：）【答案】(1)30；75；5(2)該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區【分析】本題主要考查了方位角的計算，解直角三角形的實際應用，三角形內角和定理：（1）根據方位角的描述和三角形內角和定理可求出兩個角的度數，根據路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段的長度；（2）設海里，先解得到，再解得到海里，海里，據此可得，解得海里；證明，則海里；再求出上午9時時船與C點的距離即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作于D，由題意得，，∴；∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，∴海里．（2）解：設海里，在中，海里，在中，海里，海里，∵，∴，解得，∴海里，∵，∴，∴海里；上午9時時，船距離A的距離為海里，∵，∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區．4．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：，）【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時間為小時【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形．（1）根據題意易得，則，再求出（海里），即可解答；（2）過點D作于點F，設海里，則，，則，求出，進而得出海里，海里，根據勾股定理可得：（海里），即可解答．【詳解】（1）解：過點A作于點E，∵燈塔B在燈塔A的南偏東方向，C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．∴，∴，∵，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過點D作于點F，設海里，∵，∴，由（1）可知，海里，∴海里，∵，∴，∴，解得：，∴海里，海里，根據勾股定理可得：（海里），∴漁政船的航行時間為（小時），答：漁政船的航行時間為小時．

5．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）【答案】(1)，(2)2.0千米(3)【分析】本題考查正多邊形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性質：（1）求出正八邊形的一個外角的度數，再根據角的和差關系進行求解即可；（2）過點作，垂足為，解，求出，解，求出，即可；（3）連接并延長交于點，延長交于點，過點作，垂足為，解，求出，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】（1）解：∵正八邊形的一個外角的度數為：，∴，；故答案為：；（2）過點作，垂足為．在中，，，．在中，，．答：點到道路的距離為2.0千米．（3）連接并延長交于點，延長交于點，過點作，垂足為．正八邊形的外角均為，在中，．．又，，．∵，∴，，即，，．答：小李離點不超過2.4km，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響．6．（2023·山東臨沂·中考真題）如圖，燈塔A周圍9海里內有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續航行6海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數據：）

【答案】漁船沒有觸礁的危險【分析】過點作，分別解和，求出的長，即可得出結論．【詳解】解：過點作，由題意，得：，，，設，

在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴漁船沒有觸礁的危險．【點睛】本題考查解直角三角形的應用—方向角問題．解題的關鍵是添加輔助線，構造直角三角形．考點05解直角三角形的實際應用——其他1．（2025·貴州·中考真題）某小區在設計時，計劃在如圖①的住宅樓正前方建一棟文體活動中心．設計示意圖如圖②所示，已知，該地冬至正午太陽高度角為．如果你是建筑設計師，請結合示意圖和已知條件完成下列任務．任務一：計算冬至正午太陽照到住宅樓的位置與地面之間的距離的長；任務二：為符合建筑規范對日照的要求，讓整棟住宅樓在冬至正午太陽高度角下恰好都能照射到陽光，需將活動中心沿方向移動一定的距離（活動中心高度不變），求該活動中心移動了多少米？（參考數據：．結果保留小數點后一位）【答案】任務一：，任務二：該活動中心移動了2米；【分析】本題考查的是矩形的判定與性質，解直角三角形的實際應用；任務一：如圖，過作于，結合題意可得：四邊形為矩形，，可得，，求解，進一步可得答案；任務二：如圖，過作的平行線，過作的平行線，兩線交于點，交于點，過作于，可得，四邊形為矩形，，求解，進一步可得答案.【詳解】解：任務一：如圖，過作于，結合題意可得：四邊形為矩形，，∵，∴，，∵，∴，∴；任務二：如圖，過作的平行線，過作的平行線，兩線交于點，交于點，過作于，∴，四邊形為矩形，∴，∴，∴；∴該活動中心移動了2米.2．（2025·青海·中考真題）數學實踐【問題背景】中國傳統農業智慧遇上現代數學模型．“豇豆不上架，產量少一半”的農諺流傳至今，現代科學揭示了其秘密：當支架與地面形成夾角時，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強光，就像給豇豆裝了智能遮陽篷．【問題呈現】用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點在何處會使支架與地面形成夾角？【模型建立】環節一：數據收集兩根竹竿長度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點間距為0.6米且與地面所形成的夾角均為．環節二：數學抽象如圖：已知線段與交于點，，與直線分別交于點，，，，，，求的長度．（結果精確到0.1，參考數據：，，）【模型求解】【問題總結】交叉點距頂端的長度即為______時，支架與地面形成夾角，這樣更貼合作物的生長規律．【答案】，【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，如圖，過作于，根據等腰三角形的性質可得，結合可得答案；最后由即可得到答案.【詳解】解：數學抽象：如圖，過作于，∵，∴，∵，∴，∴，∴，問題總結：∵，，∴.3．（2025·湖南·中考真題）如圖，某處有一個晾衣裝置，固定立柱和分別垂直地面水平線于點，，分米，．在點，之間的晾衣繩上有固定掛鉤，分米，一件連衣裙掛在點處（點與點重合），且直線．(1)如圖1，當該連衣裙下端點剛好接觸到地面水平線時，點到直線的距離等于12分米，求該連衣裙的長度；(2)如圖2，為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤處再掛一條長褲（點在點的右側），若，求此時該連衣裙下端點到地面水平線的距離約為多少分米？（結果保留整數，參考數據：，，）【答案】(1)14分米(2)2分米【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，勾股定理，矩形的性質與判定，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．（1）可證明四邊形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的長，進而求出的長即可得到答案；（2）過點E作于H，延長交于T，則四邊形是矩形，可得；解求出的長，進而求出的長，據此求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是矩形，∴；在中，分米，分米，∴分米，∴分米，∴分米，答：該連衣裙的長度為14分米；（2）如圖所示，過點E作于H，延長交于T，∵，∴四邊形是矩形，∴；在中，分米，，，∴分米，分米，∴分米，∴分米，分米，∴分米；答：此時該連衣裙下端點到地面水平線的距離約為2分米．4．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，扇形為某運動場內的投擲區，所在圓的圓心為O、A、B、N、O在同一直線上．直線與所在相切于點．此時測得；從點處沿方向前進8.0米到達B處．直線與所在相切于點，此時測得．（參考數據：）(1)求圓心角的度數；(2)求的弧長（結果精確到米）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用，圓的切線的性質，弧長公式，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．（1）由圓的切線的性質得到，再由直角三角形銳角互余即可求解；（2）先解，設，，再解得到，求出，求出半徑，再由弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與所在相切于點，∴，∵，∴；（2）解：∵直線與所在相切于點，∴，∵，∴，設，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∴，解得：，∴，∴的弧長為：，答：的弧長為．5．（2024·內蒙古·中考真題）實驗是培養學生創新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處．現將左側的實驗裝置圖抽象成右側示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結果用含非特殊角的三角函數表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：，求線段的長度．（結果用含非特殊角的三角函數表示）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，通過作輔助線構造直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關系是解題關鍵．（1）先求出，再在中，利用余弦的定義求解即可得；（2）過點作于點，過點作于點，先解直角三角形可得的長，從而可得的長，再判斷出是等腰直角三角形，從而可得的長，最后根據求解即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，由題意可知，，在中，，∴，答：試管口與鐵桿的水平距離的長度．（2）解：如圖，過點作于點，過點作于點，則四邊形和四邊形都是矩形，∴，在中，，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，答：線段的長度為．6．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求的長．（結果精確到）參考數據：，．【答案】的長為【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，先求解，再求解，從而可得答案；【詳解】解：∵，，；∴，，∴，∵，，∴，∴；∴的長為；7．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，介質對光作用的一種特征．(1)若光從真空射入某介質，入射角為，折射角為，且，，求該介質的折射率；(2)現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知，，求截面的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，勾股定理等知識，（1）根據，設，則，利用勾股定理求出，進而可得，問題即可得解；（2）根據折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據，可得，則有，在中，設，，問題隨之得解．【詳解】（1）∵，∴如圖，設，則，由勾股定理得，，∴，又∵，∴，∴折射率為：．（2）根據折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，點O是中點，∴，，又∵，∴，在中，設，，由勾股定理得，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴截面的面積為：．8．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）過點C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在中，根據勾股定理求出即可；（2）過點D作，交的延長線于點F，交于點G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：如圖，過點C作，垂足為E，由題意可知，，又，四邊形為矩形．，，，．，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為；（2）解：過點D作，交的延長線于點F，交于點G．由題意可知，四邊形為矩形，．在中，，．，，，．，，，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為．9．（2023·山東濟南·中考真題）圖1是某越野車的側面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結果精確到，參考數據：，，，）【答案】(1)車后蓋最高點到地面的距離為(2)沒有危險,詳見解析【分析】（1）作，垂足為點，先求出的長，再求出的長即可；（2）過作，垂足為點，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【詳解】（1）如圖，作，垂足為點

在中∵，∴∴∵平行線間的距離處處相等∴答：車后蓋最高點到地面的距離為．（2）沒有危險，理由如下：過作，垂足為點

∵，∴∵∴在中，∴．∵平行線間的距離處處相等∴到地面的距離為．∵∴沒有危險．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．考點06三角函數與四邊形的綜合1．（2025·四川資陽·中考真題）在四邊形中，是邊上的一點，是對角線的中點．(1)如圖1，四邊形是正方形，連接，作交于點，求證：；(2)如圖2，四邊形是平行四邊形，，連接，作交于點，連接，求的值；(3)如圖3，四邊形是菱形，，連接交于點是邊上的一點，，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據正方形的性質，利用得到，即可證明結論；（2）過點A作于點G，過點F作于點，根據勾股定理求出長，然后根據平行四邊形的面積公式求出長，根據正切得到長，然后設，則，求出長，再根據正切得到求出a的值，解答即可；（3）過點D作于點P，作于點Q，設，求出，，然后表示，，在射線上截取，在射線上截取，根據全等得到，，，然后根據勾股定理求出x值，再根據相似三角形的對應邊成比例解答即可．【詳解】（1）證明：連接，∵是正方形，，∴，，，∴，∴，∴；（2）解：過點A作于點G，過點F作于點，（3）∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，即，設，則，∴，同理可得，即，解得，∴，又∵O是的中點，∴，∴，∴；過點D作于點P，作于點Q，設，∵是菱形，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，在射線上截取，在射線上截取，∵是菱形，∴，，∴，，又∵，∴，∴，，同理：，，∴，∴，∴，即，∴，解得，又∵，∴，，∴，∴，即，解得：，又∵O是的中點，∴，∴．【點睛】本題考查四邊形的綜合，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．（2025·北京·中考真題）如圖，在中，D，E分別為的中點，，垂足為F，點G在的延長線上，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求和的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相關知識是解題的關鍵．（1）由三角形中位線定理可得，即，則可證明四邊形是平行四邊形，再由，即可證明平行四邊形是矩形；（2）求出，解得到，則；由線段中點的定義可得；過點A作于H，解得到，則，再利用勾股定即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵D，E分別為的中點，∴是的中位線，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：∵，∴；∵，∴，在中，，，∴，∴；∵點D為的中點，∴；如圖所示，過點A作于H，在中，，∴，在中，由勾股定理得．3．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點在邊上（不與點B、C重合），點E在的延長線上，且，連接、、，過點作于點，分別交、、于點、、．則下列結論：①；②；③；④若，則；⑤圖中共有5個等腰三角形．其中正確的結論是（

）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】C【分析】本題考查了正方形性質、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、解三角形等，解題關鍵是利用垂直證明角的關系，從而證明三角形全等或相似．容易證明，從而可得，進而可得，從而可得②正確，過點作，交于點，構造，結合四邊形是平行四邊形可得，可得①正確，再利用角關系證明，，可得，從而得出結論③正確，過點作，設，由可得，解三角形求出，，從而求出，故結論④正確，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四個，故結論⑤錯誤．【詳解】解：如圖1，過點作，交于點，∵在正方形中，∴，，，，∴、是等腰三角形，又∵，，∴，∴，，，∴是等腰三角形，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，，∴，設，∵，，∴，故結論②正確；∴，即是等腰三角形，∵在和中，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故結論①正確，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∵，∴，∴，故結論③正確，過點作，如圖2；設，由可得，，∴，∵，∴，∴，故結論④正確，∵，，∴不一定等于，，∴不一定是等腰三角形，故等腰三角形有、、、，共四個，故結論⑤錯誤，綜上所述：正確結論有①②③④．故選C．4．（2025·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為E，交于點F，．若，則．【答案】4【分析】根據菱形的性質，得，又結合，，得出是等邊三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的長．【詳解】解：連接，，，，垂直平分，，菱形，，是等邊三角形，，，，，，．故答案為：4．【點睛】本題考查了菱形的性質、垂直平分線的性質、等邊三角形的判定與性質以及解直角三角形，熟練掌握這些性質定理是關鍵．5．（2025·貴州·中考真題）如圖，在矩形中，點E，F，M分別在，，邊上，分別交對角線、線段于點G，H，且是的中點．若，則的長為．【答案】【分析】如圖，連接，交于，過作于，求解，證明是的中位線，可得，，，證明四邊形是平行四邊形，可得，而，，求解，再進一步求解即可.【詳解】解：如圖，連接，交于，過作于，∵，，∴，∵矩形，∴，，∴，，∵是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，而，，∴，∴，∴，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質，矩形的性質，三角形的中位線的性質，銳角三角函數的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.6．（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為，且有一個內角為，則該菱形的高為．【答案】【分析】本題考查的是菱形的性質，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解，過作于，結合可得答案．【詳解】解：如圖，菱形的周長為，∴，過作于，而，∴，故答案為：7．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對角線與交于點，于點，延長與交于點．若，，則點到的距離為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，解直角三角形的相關知識，過點F作，垂足為H，利用勾股定理求出的長，利用角的余弦值求出的長，再利用勾股定理求出，從而得出，利用三角形面積求出即可．【詳解】解：如圖，過點F作，垂足為H，四邊形為矩形，，，，，，，即，解得：，，即，解得：，，，，即，解得：，故答案為：．8．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，，，垂足為點E，F是的中點，連接，若，則矩形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據矩形的性質得出，即可求證為等邊三角形，進而得出點E為中點，根據中位線定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴點E為中點，∵F是的中點，若，∴，∵，∴，∴，∴矩形的周長，故選：D．【點睛】矩形主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，中位線定理，解直角三角形，解題的關鍵是掌握矩形的對角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以及解直角三角形的方法和步驟．考點07三角函數與圓的綜合1．（2025·廣東深圳·中考真題）如圖1，在中，是的中點，，．(1)求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，若點為上一點，，且，，三點均在上，連接，與相切于點，①求__________；②求的半徑；(3)利用圓規和無刻度直尺在圖2中作射線，交于點，保留作圖痕跡，不用寫出作法和理由．【答案】(1)見解析(2)①30°；②(3)見解析【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，斜邊上的中線得到，即可得證；（2）①根據菱形的性質，得到，等角對等邊得到，三角形的外角得到，切線得到，再根據角的和差關系進行求解即可；②解直角三角形，進行求解即可；（3）利用尺規作圖作，即可．【詳解】（1）解：，四邊形為平行四邊形，又，且為中點，平行四邊形為菱形．（2）①四邊形為菱形．，，又，，，切于，，；；②設半徑為，，，，，；解得：；（3）由題意，作圖如下：【點睛】本題考查菱形的判定和性質，斜邊上的中線，切線的性質，解直角三角形，尺規作平行線，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．2．（2025·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在四邊形中，．以為直徑的經過點D，且與邊交于點E，連接．(1)求證：為的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)．【分析】（1）只要證明，即可證明為的切線；（2）過點D作，垂足為F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根據圓內接四邊形的性質結合等邊對等角求得，據此求解