湖南省長沙一中學雨花新華都學校2026屆九年級數學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

湖南省長沙一中學雨花新華都學校2026屆九年級數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．給出下列函數，其中y隨x的增大而減小的函數是（）①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＜0）；④y＝x2（x＜1）．A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③2．已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC與△A1B1C1的相似比為3：2，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（）A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：93．如圖所示，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝27°，則∠AEC的大小應為（）A．23° B．70° C．77° D．80°4．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧，點是這段弧所在圓的圓心，，點是的中點,D是AB的中點，且，則這段彎路所在圓的半徑為（）A． B． C． D．5．若y=(2-m)是二次函數,則m等于()A．±2 B．2 C．-2 D．不能確定6．如圖，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點C，若S△AOB＝S△BOC＝1，則k＝（）A．1 B．2 C．3 D．47．在比例尺為1：100000的城市交通圖上，某道路的長為3厘米，則這條道路的實際距離為（）千米．A．3 B．30 C．3000 D．0.38．如圖，兩條直線被三條平行線所截，若，則（）A． B． C． D．9．式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣210．如圖，已知，是的中點，且矩形與矩形相似，則長為()A．5 B． C． D．6二、填空題(每小題3分,共24分)11．如右圖是一個立體圖形的三視圖，那么這個立體圖形的體積為______．12．若式子在實數范圍內有意義，則的取值范圍是________．13．如圖，C、D是線段AB的兩個黃金分割點，且CD＝1，則線段AB的長為_____．14．如圖，扇形ABC的圓心角為90°，半徑為6，將扇形ABC繞A點逆時針旋轉得到扇形ADE，點B、C的對應點分別為點D、E，若點D剛好落在上，則陰影部分的面積為_____．15．在△ABC中，分別以AB，AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，連接DE．若DE＝5，則BC長為_____．16．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸的負半軸上，反比例函數y＝（x＜0）的圖象經過對角線OB的中點D和頂點C．若菱形OABC的面積為6，則k的值等于_____．17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以點A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點E，交AB于點F，則弧DF的長為_________．18．方程的解是__________．三、解答題(共66分)19．（10分）某景區檢票口有A、B、C、D共4個檢票通道．甲、乙兩人到該景區游玩，兩人分別從4個檢票通道中隨機選擇一個檢票．（1）甲選擇A檢票通道的概率是；（2）求甲乙兩人選擇的檢票通道恰好相同的概率．20．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE最大．①求點P的坐標和PE的最大值．②在直線PD上是否存在點M，使點M在以AB為直徑的圓上；若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．21．（6分）如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線與直線y=?x?(k+1)在第二象限的交點，AB⊥x軸于B且S△ABO=．（1）求這兩個函數的解析式．（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標和△AOC的面積．22．（8分）如圖，在中，，點在邊上，經過點和點且與邊相交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑．23．（8分）觀察下列各式：﹣1×＝﹣1+，﹣＝﹣，﹣＝﹣（1）猜想：﹣×＝（寫成和的形式）（2）你發現的規律是：﹣×＝；（n為正整數）（3）用規律計算：（﹣1×）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣×）+（﹣×）．24．（8分）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且經過A(1,0)，C(0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B．(1)若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標．25．（10分）如圖，某足球運動員站在點O處練習射門．將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出（點A在y軸上），足球的飛行高度y（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間滿足函數關系y＝at2+5t+c，己知足球飛行0.8s時，離地面的高度為3.5m．（1）a＝，c＝；（2）當足球飛行的時間為多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飛行的水平距離x（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系x＝10t，已知球門的高度為2.44m，如果該運動員正對球門射門時，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門？26．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y軸的正半軸上，D是BC邊上的一點，OC：CD＝5：3，DB＝1．反比例函數y＝（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D，交AB于點E，AE：BE＝1：2．（1）求這個反比例函數的表達式；（2）動點P在矩形OABC內，且滿足S△PAO＝S四邊形OABC．①若點P在這個反比例函數的圖象上，求點P的坐標；②若點Q是平面內一點使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形求點Q的坐標．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】分別根據一次函數、二次函數及反比例函數的增減性進行解答即可【詳解】解：①∵y=2x中k=2＞0，∴y隨x的增大而增大，故本小題錯誤；

②∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y隨x的增大而減小，故本小題正確；

③∵y=（x＜0）中k=2＞0，∴x＜0時，y隨x的增大而減小，故本小題正確；

④∵y=x2（x＜1）中x＜1，∴當0＜x＜1時，y隨x的增大而增大，故本小題錯誤．

故選D．本題考查的是反比例函數的性質，熟知一次函數、二次函數及反比例函數的增減性是解答此題的關鍵．2、C【分析】直接利用相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵△ABC與△A1B1C1的相似比為3：1，∴△ABC與△A1B1C1的周長之比3：1．故選：C．本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．3、C【分析】根據平行線的性質可求解∠ABC的度數，利用三角形的內角和定理及平角的定義可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，∴∠ABC＝∠C＝27°，∵∠A＝50°，∴∠AEB＝180°﹣27°﹣50°＝103°，∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝77°，故選：C．本題主要考查平行線的性質，三角形的內角和定理，掌握平行線的性質是解題的關鍵．4、A【分析】根據題意，可以推出AD＝BD＝20，若設半徑為r，則OD＝r﹣10，OB＝r，結合勾股定理可推出半徑r的值．【詳解】解：，，在中，，設半徑為得：，解得：，這段彎路的半徑為故選A．本題主要考查垂徑定理的應用、勾股定理的應用，關鍵在于設出半徑為r后，用r表示出OD、OB的長度．5、C【解析】分析：根據二次函數的定義，自變量指數為2，且二次項系數不為0，列出方程與不等式求解則可．解答：解：根據二次函數的定義，得：m2-2=2解得m=2或m=-2又∵2-m≠0∴m≠2∴當m=-2時，這個函數是二次函數．故選C．6、D【分析】作CD⊥x軸于D，設OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根據三角形的面積公式得出AB=BC．根據相似三角形性質即可表示出點C的坐標，把點C坐標代入反比例函數即可求得k．【詳解】如圖，作CD⊥x軸于D，設OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面積為1，∴OA?OB＝1，∴OA＝，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，∴C（，2a），∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點C，∴k＝×2a＝1．故選D．此題考查反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，會運用相似求線段長度是解題的關鍵．7、A【分析】根據比例尺=圖上距離：實際距離，依題意列比例式直接求解即可．【詳解】解：設這條道路的實際長度為x，則=，

解得x=300000cm=3km．

∴這條道路的實際長度為3km．

故選A．本題考查成比例線段問題，能夠根據比例尺正確進行計算，注意單位的轉換8、D【解析】先根據平行線分線段成比例定理求出DF的長，然后可求出BF的長.【詳解】，，即，解得，，，故選：．本題考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例.9、B【分析】根據二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，

故選：B．此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．10、B【分析】根據相似多邊形的性質列出比例式，計算即可．【詳解】解：∵矩形ABDC與矩形ACFE相似，∴，∵，是的中點，∴AE=5∴，解得，AC=5，故選B．本題考查的是相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的對應邊的比相等是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、250π【分析】根據三視圖可得這個幾何體是一個底面直徑為10，高為10的圓柱，再根據圓柱的體積公式列式計算即可．【詳解】解：根據這個立體圖形的三視圖可得：這個幾何體是一個圓柱，底面直徑為10，高為10，

則這個立體圖形的體積為：π×52×10=250π，

故答案為：250π．本題考查了由三視圖判斷幾何體，考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．12、且【分析】根據分母不等于0，且被開方數是非負數列式求解即可.【詳解】由題意得x-1≥0且x-2≠0，解得且故答案為：且本題考查了代數式有意義時字母的取值范圍，代數式有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考慮：①當代數式是整式時，字母可取全體實數；②當代數式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當代數式是二次根式時，被開方數為非負數．13、2+【分析】設線段AB＝x，根據黃金分割點的定義可知AD＝AB，BC＝AB，再根據CD＝AB﹣AD﹣BC可列關于x的方程，解方程即可【詳解】∵線段AB＝x，點C、D是AB黃金分割點，∴較小線段AD＝BC＝，則CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×＝1，解得：x＝2+．故答案為：2+本題考查黃金分割的知識，解題的關鍵是掌握黃金分割中，較短的線段＝原線段的倍．14、3π+9．【分析】直接利用旋轉的性質結合扇形面積求法以及等邊三角形的判定與性質得出S陰影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD，進而得出答案.【詳解】解：連接BD，過點B作BN⊥AD于點N，∵將半徑為4，圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉60°，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，則∠ABN＝30°，故AN＝3，BN＝3，S陰影＝S扇形ADE﹣S弓形AD＝S扇形ABC﹣S弓形AD＝﹣（﹣×6×3）＝3π+9．故答案為3π+9．本題主要考查了扇形的面積求法以及等邊三角形的判定與性質.正確得出△ABD是等邊三角形是關鍵.15、1【分析】由在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，可證得△ABD∽△ACE，AD＝AB，繼而可證得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．【詳解】∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴△ABD∽△ACE，AD＝AB，∴∠BAD＝∠CAE，AB：AC＝AD：AE，∴∠BAC＝∠DAE，AB：AD＝AC：AE，∴△ABC∽△ADE，∴＝2，∵DE＝5，∴BC＝1．故答案為：1．此題考查了相似三角形的判定與性質以及含30度角的直角三角形．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．16、﹣1【分析】根據題意，可以設出點C和點A的坐標，然后利用反比例函數的性質和菱形的性質即可求得k的值，本題得以解決．【詳解】解：設點A的坐標為（a，0），點C的坐標為（c，），則﹣a?＝6，點D的坐標為（，），∴，解得，k＝﹣1，故答案為﹣1．本題考查反比例函數系數的幾何意義、反比例函數的性質、菱形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．17、【解析】分析：連接AE，根據圓的切線的性質可得AD⊥BC，解Rt△ABE可求出∠ABE，進而得到∠DAB，然后運用弧長的計算公式即可得出答案．詳解：連接AE，∵BC為圓A的切線，∴AE⊥BC，∴△ABE為直角三角形，∵AD=2，AB=2，∴AE=2，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=90°，∴∠BAD=45°+90°=135°，∴弧FED的長=π．點睛：本題主要考查的是圓的切線的性質以及弧長的計算公式，屬于中等難度題型．得出∠BAD的度數是解題的關鍵．18、【分析】先通過移項將等號右邊多項式移到左邊，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根.【詳解】解：移項得：提公因式得：解得：；故答案為：.本題考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的時候，一定要先觀察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先將他們移到方程等號的一側，看能否利用提公因式解方程，觀察以及積累是快速解題的關鍵.三、解答題(共66分)19、（1）；（2）.【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）通過列表展示所有9種等可能結果，再找出通道不同的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】（1）解：一名游客經過此檢票口時，選擇A通道通過的概率=，故答案為:；（2）解：列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種可能結果，并且它們的出現是等可能的，“甲、乙兩人選擇相同檢票通道”記為事件E，它的發生有4種可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）∴P（E）＝＝．本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．20、（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①，P②M（，）或（，）【解析】（1）先根據已知求點A的坐標，利用待定系數法求二次函數的解析式；（2）①根據A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式為：y=﹣2x+2，設P（a，﹣a2﹣3a+4），則E（a，﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+，根據二次函數的圖像與性質即求解；②根據點M在以AB為直徑的圓上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2，求出，，AB2故可列出方程求解.【詳解】解：（1）∵B（1，0）∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴BC=3,C（﹣2，0）Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴=2，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），易得AB的解析式為：y=﹣2x+2，設P（a，﹣a2﹣3a+4），則E（a，﹣2a+2），∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+∴當a=時，PE=,此時P(,)②∵M在直線PD上，且P(,)，∴+AB2=32+62=45，∵點M在以AB為直徑的圓上此時∠AMB=90°，∴AM2+BM2=AB2，∴++=45解得：,∴M（，）或（，）此題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，勾股定理的運用，直角三角形的判定等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意方程思想的應用．21、（1）y=﹣；y=﹣x+1（1）4.【解析】試題分析：（1）根據

S△ABO=，即，所以

，又因為圖象在二四象限，所以xy=﹣3即

k=-3，從而求出反比例函數解析式將

k=-3代入

，求出一次函數解析式；

（1）將兩個函數關系式

y=﹣和y=﹣x+1聯立，解這個方程組，可求出兩個交點A，C的坐標；（3）將x=0代入

y=﹣x+1中，求出D點坐標，根據△AOC的面積=△ADO的面積+△CDO的面積求解即可.解：（1）設A點坐標為（x，y），且x＜0，y＞0則S△ABO=?|OB|?|AB|=?（﹣x）?y=∴xy=﹣3又∵y=∴k=﹣3∴所求的兩個函數的解析式分別為y=﹣，y=﹣x+1（1）A、C兩點坐標滿足解得∴交點A為（﹣1，3），C為（3，﹣1）（3）由y=﹣x+1，令x=0，得y=1．∴直線y=﹣x+1與y軸的交點D的坐標為（0，1）點睛：本題考查了待定系數法求函數關系式，反比例函數與一次函數的綜合，割補法求不規則圖形的面積.將已知點的坐標代入解析式，求出未知系數，從而求出函數解析式；將兩個函數關系式聯立，解所得到的方程組，可求出函數的交點坐標；求不規則圖形的面積，一般采用割或補的方式求解.22、(1)見解析；(2)【分析】(1)連接，根據等腰三角形的性質得到，求得，根據三角形的內角和得到，于是得到是的切線；(2)連接，推出是等邊三角形，得到，求得，得到，于是得到結論．【詳解】(1)證明：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；(2)解：連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴的半徑．本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．23、（1）﹣；（2）﹣；（3）﹣．【分析】（1）根據所給式子進行求解即可；（2）根據已知式子可得到；（3）分別算出括號里的式子然后相加即可；【詳解】解：（1）由所給的已知發現乘積的等于和，∴，故答案為；（2），故答案為；（3），，．本題主要考查了找規律數字運算，準確計算是解題的關鍵．24、（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．【解析】試題分析：（1）根據題意得出關于a、b、c的方程組，求得a、b、c的值，即可得出拋物線的解析式，根據拋物線的對稱性得出點B的坐標，再設出直線BC的解析式，把點B、C的坐標代入即可得出直線BC的解析式；（2）點A關于對稱軸的對稱點為點B，連接BC，設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，再求得點M的坐標．試題解析：（1）依題意得：，解之得：，∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3，∵對稱軸為x=-1，且拋物線經過A（1，0），∴B（-3，0），∴把B（-3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得，解得：，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得，y=2∴M（-1，2）．即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（-1，2）．考點：1.拋物線與x軸的交點；2.軸對稱-最短路線問題．25、（1），；（2）當足球飛行的時間s時，足球離地面最高，最大高度是4.5m；（3）能．【分析】（1）由題意得：函數y＝at2+5t+c的圖象經過（0，0.5）（0.8，3.5），代入函數的表達式即可求出a，c的值；（2）利用配方法即可求出足球飛行的時間以及足球離地面的最大高度；（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，把t＝2.8代入解析式求出y的值和2.44m比較大小即可得到結論．【詳解】（1）由題意得：函數y＝at2+5t+c的圖象經過（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣t2+5t+，故答案為：﹣，；（2）∵y＝﹣t2+5t+，∴y＝﹣（t﹣）2+，∴當t＝時，y最大＝4.5，∴當足球飛行的時間s時，足球離地面最高，最大高度是4.5m；（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，∴當t＝2.8時，y＝﹣×2.82+5×2.8+＝2.25＜2.44，∴他能將球直接射入球門．本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數的應用，正確求得解析式是解題的關鍵．