集合專題：集合中常考的5種參數問題（解析版）

集合專題：集合中常考的5種參數問題知識梳理一、已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數值．（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數的所有可能值；（2）互異性的運用：根據集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗．二、利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍由集合間關系求解參數的三部曲第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；第二步：看集合中是否含有參數，若，且A中含參數應考慮參數使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關系轉化為方程(組)或不等式(組)，求出相關的參數的值或取值范圍.常采用數形結合的思想，借助數軸解答.[三、根據集合運算的結果確定參數的取值范圍方法一：根據集合運算結果確定集合對應區間的端點值之間的大小關系，從而確定參數的取值范圍.[來方法二：（1）化簡所給集合；（2）用數軸表示所給集合；（3）根據集合端點間關系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取“=”；（2）千萬不要忘記考慮空集。常考題型題型解析題型一根據元素與集合的關系求參數【例1】（2023春·河南焦作·高二博愛縣第一中學校考階段練習）已知集合，且，則取值構成的集合為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為集合，且，所以或.當時，解得：或.而，不符合元素的互異性，故或.故選：B【變式1-1】（2022秋·山西·高二校聯考期末）已知集合A中元素x滿足，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，解得，又∵，∴，解得，∴．故選：D．【變式1-2】（2023秋·四川瀘州·高一統考期末）已知，則a的值為______．【答案】/【解析】因為，所以，解得：，故答案為：．【變式1-3】（2021秋·高一課時練習）（多選）已知集合中有個元素，，，且當時，，則可能為（）A．B．C．D．或或【答案】AB【解析】對于A，當時，，滿足題意，A正確；對于B，當時，，滿足題意，B正確；對于C，當時，，不合題意，C錯誤；對于D，由ABC知：或，D錯誤.故選：AB.【變式1-4】（2022·江蘇·高一專題練習）（多選）已知，且，，，則取值可能為（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】選項A：當時，，，故，A錯誤；選項B：當時，，，故，B正確；選項C：當時，，，故，C正確；選項D：當時，，，故，D正確.故答案為：BCD.題型二根據元素的個數求參數【例2】（2022秋·湖南株洲·高一株洲市南方中學校考期中）已知集合中有且僅有一個元素，那么的可能取值為（）A．-1B．2C．D．0【答案】C【解析】或，當時，，符合題意.當時，，不符合題意.當時，要使集合有且僅有一個元素，則需，解得或（舍去）綜上所述，的可能取值為或，C選項符合.故選：C【變式2-1】（2021秋·安徽宣城·高一安徽省宣城中學校考階段練習）若關于的不等式組有且僅有兩個整數解，則實數的取值范圍是____________.【答案】【解析】由可得，由可得，又不等式組有且僅有兩個整數解，∴，∴，∴實數的取值范圍是.【變式2-2】（2022秋·陜西·高一校聯考期中）若集合恰有8個整數元素，寫出整數a的一個值：______．【答案】0（答案不唯一）【解析】當時，集合的整數元素為.故答案為：0（答案不唯一）【變式2-3】（2022秋·福建福州·高一福建省福州外國語學校校考階段練習）已知集合．（1）若，求集合A（用列舉法表示）；（2）若A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因為，所以，解得，解方程可得或，所以集合．（2）當時，方程為，此時集合，當時，集合中至多有一個元素只需判別式，即，即，綜上所述，a的取值范圍是或題型三根據集合相等關系求參數【例3】（2022·高一單元測試）已知集合，若，則（）A．3B．4C．D．【答案】D【解析】因為且，所以，且，又，所以和為方程的兩個實數根，所以；故選：D【變式3-1】（2022秋·四川內江·高一四川省資中縣第二中學校考階段練習）已知集合，，若，則．【答案】5【解析】根據集合的元素具有無序性和互異性可得，，所以.故答案為：5.【變式3-2】（2022·高一課時練習）設a，，若集合，則.【答案】2【解析】由易知，由兩個集合相等定義可知若，得，經驗證，符合題意；若，由于，則方程組無解綜上可知，，，故.故答案為：2【變式3-3】（2023·江蘇·高一假期作業）已知集合，若，求實數q的值．【答案】【解析】由元素的互異性得，若，則有以下兩種情況：①，不符合題意舍去；②或（舍去），綜上，.題型四根據集合間的包含關系求參數【例4】（2023春·四川宜賓·高二統考期末）已知集合，，若，則（）A．1B．0或1或3C．0或3D．3【答案】C【解析】因為，所以或.若，則，滿足；若，則或，當時，，滿足；當時，，集合不滿足元素的互異性，不符合題意；綜上所述：或，故選：C.【變式4-1】（2022秋·江西·高一統考階段練習）已知，，且，則a的取值范圍為_________．【答案】【解析】由題意，集合，當時，即，解得，此時滿足，當時，要使得，則或，當時，可得，即，此時，滿足；當時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實數的取值范圍為.故答案為：.【變式4-2】（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學校考階段練習）已知，，全集（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）當時，，所以或，又，所以.（2）由題可得：當時，有，解得a的取值范圍為；當時有，解得a的取值范圍為，綜上所述a的取值范圍為.【變式4-3】（2023春·山東濱州·高二校考階段練習）已知集合，，則使成立的實數a的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以，解得，故實數a的取值范圍是.故答案為：【變式4-4】（2023春·北京順義·高一牛欄山一中校考階段練習）設全集，集合，．（1）當時，求；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可得集合，，故.（2），或，若，則，即a的取值范圍為.題型五根據集合的交并補運算求參數【例5】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知集合，，若，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，所以，因為，所以，故．故選：C．【變式5-1】（2023·海南省直轄縣級單位·統考模擬預測）已知集合，，若，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由，得，易知集合非空，則，解得．故選：B.【變式5-2】（2022秋·江蘇南京·高一金陵中學校考期中）設集合，或，全集．（1）若，求實數a的取值范圍；（2）若，求實數b的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，解得，所以a的取值范圍是；（2），因為，所以，所以，解得，所以b的取值范圍是．【變式5-3】（2023秋·山東德州·高一德州市第一中學校考階段練習）已知，.（1）若，求；（2）從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并進行解答.問題：若__________，求實數的所有