人教版初中數學八年級上冊期末復習易錯解答題專項練習附答案及解析

人教版初中數學八年級上冊期末復習

易錯解答題專項練習

附答案及解析

1.如圖，將aABC繞點力逆時針旋轉一個角度a，得到AADE,點8的對應點。恰好落在

8c邊上.且點4B、E在同一條直線上，

(1)求證：OA平分N8Z出；

(2)若AC_L08,求旋轉角。的度數.

2.為有效解決雨季城市內澇問題，某市決定對部分老街道的地下管網進行改造.在改造一

段長2400米街道地下管網時，由于采用新的施工方式，每天的施工效率比原計劃提高了20%,

按這樣的進度可比原計劃提前5天完成任務.求實際施工時每天改造管網的長度與實際施

工天數.

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，EF||AB且交BC于點E,交AD于點F,連接AE、BF

交于點M,連接CF、DE交于點N,連接MN.試探討MN與AD的大小關系和位置關系，

并加以證明.

4.如圖，在aABC中，/ABC=60o,/AC8=40o,BE_LAC于點及與跖交于點尸.

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A

(1)求/ABE的度數；

⑵若AZ)平分NBACDG平分/ADC,試說明OG〃8E.

5.某學校需購進一批電腦和電子白板，經市場調查，購買1臺電腦和2臺電子白板需要3.5

萬元，購買2臺電腦和1臺電子白板需要2.5萬元.

(1)求每臺電腦、每臺電子白板各多少萬元；

(2)根據學校實際，需要購進電腦和電子白板共30臺，如果總費用不超過30萬元，那么該學

校至少需要購進電腦多少臺？

6.2023年5月30日上午9點3I分，神舟十六號載人飛船在酒泉發射中心發射升空，某中學

組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A,3兩款

文化衫,每件A款文化衫比每件8款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進8款

的文化衫的數量相同.求A款文化衫和〃款文化衫每件各多少元？

7.如圖所示，在VA3C中，點D、E分別為相、AC的中點，點”在線段CE上，連接BH,

點G、尸分別為4"、C”的中點.

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形

(2)DG上BH,BD=3,EF=2,求線段8G的長度.

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8.如圖，在&ABC中，ZACB=90°，點。在8C延長線上，且OC=AC，將2BC延8c方

向平移，使點C移動到點。，點A移動到點E,點8移動到點尸,得到,連接CE,

過點尸作尸GJ.CE于G.

(1)依題意補全圖形；

(2)求證:CG=FG

(3)連接8G,用等式表示線段8G,E尸的數量關系，并證明.

9.某公司在工程招標時，收到甲、乙兩個工程隊的投標書，該公司根據投標書提出三種方

案：①甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完工；②乙隊單獨完成這項工程，要比規定工期多

用5天；③甲、乙兩隊合作4天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工.

(1)求規定的工期為多少天？

(2)甲工程隊每天需支付1.5萬，乙工程隊每天需支付1萬，在保證工程如期完工的前提下，

哪種方案施工費用最少？

10.如圖1在VABC中,Zfi4C=120°tAB=AC點。和點月是邊8C上兩點連接ADAE,

得到V4九’是一個等邊三角形.

(1)求證：4ABD^4ACE;

(2)將等邊/、ADE繞點A旋轉至如圖2所示的位置點。仍然在邊BC上點E落在邊8C外，

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(1)若AC=9,求8。的長；

(2)猜想8c與房之間的數量關系，并證明你的猜想；

(3)在點，運動過程中，/為與P/之間的數量關系是否會發生變化？若不變化，寫出它們之

間的數量關系并證明；若變化，請說明理由.

14.如圖，已知AB】/CF,點。是48上一點,DF交AC于點、E,且DE=FE.

⑴求證：&ADE玨CFE;

(2)若A3=7,CF=4,求8。的長.

15.習近平總書記在黨的第二十次全國代表大會上，報告指出：“積極穩妥推進碳達峰碳中

和”，某公司積極響應節能減排號召，決定采購新能源/型和8型兩款汽車，已知每輛/型

汽車進價是每輛B型汽車進價的1.5倍，現公司用1500萬元購進/型汽車的數量比1200萬

元購進8型汽車的數量少20輛.

(1)求每輛48型汽車進價各是多少萬元？

(2)4型汽車利潤率為5%,8型汽車利潤率為8%,那么該公司出售完此批汽車后總利潤是

多少元？

16.在Rt”\〃。中，NACO=90。，利用直尺和圓規作圖.

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c

AL----------------

⑴作出A8邊上的中線CO；(不寫做法，保留作圖痕跡)

(2)作出VA8C的角平分線AE；(不寫做法，保留作圖痕跡)

⑶在(2)的條件下，若/的￡=28。，求的度數.

17.如圖，正方形A3CD和正方形平放在一起(4B、E三點在同一條直線上).

(1)若兩個正方形的面積分別是16和9,直接寫出邊A石的長為.

(2)①設正方形AAC。的邊長為。，正方形BEAG的邊長為〃，求圖中陰影部分的面積.(用含

〃和人的代數式表示)

②在①的條件下，如果。-〃=10,必=24,求陰影部分的面積.

18.如圖，AABC是邊長為12cm的等邊三角形，點只。分別從頂點入，8同時出發，點。沿

射線A8運動，點。沿折線8C-C4運動，且它們的速度都為lcm/s,當點。到達點A時，

點P隨之停止運動，連接。Q，PC,設點P的運動時間為?s).

(1)當點。在線段8c上運動時，8。的長為(cm),8P的長為(cm)(用含，的

式子表示).

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(2)當P。與aABC的一條邊垂直時，求/的值.

(3)當點Q從點C運動到點A的過程中，連接，直接寫出P。中點0經過的路徑長.

19.如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC,E為C。的中點，連結AE,BE，延長4石交

(1)求證:AD/4E=ACFE;

(2)若BEqAF,求證：AB=BC+AD.

20.當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如，由圖1,

可得等式：(。+2/7乂。+力)=/+3"+32.

圖1圖2圖3

(1)由圖2,可得等式：.

⑵利用(1)中所得到的結論，解決下面的問題：已知“+/?+〈'=I2,〃力+/"、+&、=32,求

a2+b2+c2的值.

21.某商場計劃購進一批籃球和足球，其中籃球的單價比足球的單價多30元，已知用360元

購進的足球和用480元購進的籃球數量相等.

(1)籃球和足球的單價各是多少元？

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(2)若籃球售價為每個150元，足球售價為每個11。元，商場售出足球的數量比籃球數量的三

分之一還多10個，且獲利超過1300元，問籃球最少要賣多少個？

22.(1)如圖①，等腰直角三角形A8C中，ZABC=90P,AB=BC，點Z,8分別在坐標

軸上，若點C的橫坐標為2,直接寫出點8的坐標.

(2)如圖②，若點力的坐標為(-6,0)，點8在y軸的正半軸上運動時，分別以。8,AB為

邊在第一、第二象限作等腰直角三角形。8/，等腰直角三角形ABE連接EF交y軸于點尸，

當點8在y軸的正半軸上移動時，心的長度是否發生改變？若不變，求出榜的值若變化，

23.為推動鄉村振興，政府大力扶持小型企業.根據市場需求，某小型企業為加快生產速

度，需要更新生產設備，更新設備后生產效率比更新前提高了25%,設更新設備前每天生

產x件產品.解答下列問題：

(1)更新設備后每天生產件產品(用含x的式子表示)；

(2)更新設備前生產5000件產品比更新設備后生產6000件產品多用2天，求更新設備后每

天生產多少件產品.

24.【嘗試計算】

(1)計算：

①(x+#(f-口+V);

②(%-目12+勺+9).

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【閱讀思考】

(2)我們知道，利用整式的乖運算，有時可以將幾個整式的乘積轉化為一個多項式的形式，

而因式分解則是把一個多項式轉化成幾個整式的乘積的形式，所以因式分解與整式乘法是方

向相反的兩個變形.利用這一關系，請結合(1)中的計算過程，嘗試寫出因式分解的兩個

公式；

【啟發應用】

(3)利用(2)中的兩個公式把下列各式分解因式：

①x-；

②"+8人

25.在等邊△/日?中，點。是直線8c上的一個點(不與點8、C重合)，以力。為邊在

右側作等邊△/IOE,連接CE.

AA/

RDCDEB，￥「A

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點。在線段8C上時，求證：BD=CE\

(2)如圖2,當點。在線段8C的反向延長線上時，若求的度數；(用

含泌代數式表示)

(3)如圖3,當點。在線段SC的延長線上時，若BDiDEt且SABC=4,求心工右廠的面

積.

26.如圖，中，A4=AC，點。為8。中點，NMDN=9Q。，NMDN繞息。旋轉，

使0M與邊力B交于E(不與4,8重合)，DN與邊AC交于點尸.

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MA

RDC

(1)求證：DE=DF;

(2)若8C=6,求四邊形4的面積.

27.如圖，在oACFZ)中，點8,E分別在AC,。尸上，AB=FE,AF分別交4。，CE于

(1)求證：四邊形8CE。是平行四邊形；

(2)已知小=6,連接BN,若BN平分/DBC,求CN的長.

28.為增強學生體質，很多學校決定在課后看護中增加乒乓球項目.體育用品商店得知后，

第一次用600元購進乒乓球若干盒，第二次又用600元購進該款乒乓球，但這次每盒的進

價比第一次的進價高25%,購進數量比第一次少了30盒.

(1)求第一次每盒乒乓球的進價是多少元？

(2)若要求這兩次購進的乒乓球按同一價格全部銷售完后獲利不低于420元，求每盒乒乓球

的售價至少是多少元？

29.閱讀下列材料：

因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多項式僅用上述方法就無法分解，如

2.。+)，2-16.我們雄心觀察這個式子就會發現，前三項符合完全平方公式，進行變形

后可以與第四項結合再運用平方差公式進行分解.過程如下：

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x2-2Ay+/-16=(x-.v)：-16=(x-y4-4)(x-y-4).這種因式分解的方法叫分組分解

法.利用這種分組的思想方法解決下列問題：

(1)因式分解：a?-6ab+9b2-36；

(22ABC三邊。，b，。滿足/+。2+幼2_2他-%c=0，判斷&ABC的形狀并說明理由.

附答案及解析

1.(1)見解析

(2)72°

分析：本題考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，根據題目的已知條件并結

合圖形進行分析是解題的關鍵.

(1)根據旋轉的性質可得：Nl=/B,AD=AB,然后利用等邊對等角可得N2=N8,從

而可得N1=N2,即可解答；

(2)設4。與DE交于點。,根據旋轉的性質可得：AB=AD,N3=N4=a,ZC=ZE,

再根據垂直定義可得44比=90。，從而可得NC=NE=90。-。，然后利用等腰三角形的性

質以及三角形內角和定理可得N2=N8=90。-，再根據三角形的外角性質可得

N4=N4+NC,從而可得。=90。-3。+90。-。，最后進行計算即可解答.

詳解：(1)證明：如圖：

.-.Z2=ZB,

第II頁共44頁

/.Z1=Z2,

..DA平分NEDB；

(2)解：如圖，設AC與/萬交于點O,

由旋轉得：AI3=AD,N3=N4=a,ZC=ZE,

QACA.DE,

.-.Z4OE=90°,

.?.ZC=ZE=90°-Z4=90°-(7,

-,-AB=AD,

180。一/3180。—a

Z2=ZB==90°--a

~T~~2~2

?.?N4是VABC的一個外角，

/.Z4=ZB+ZC,

.?.?=90°--?+900-?,

2，

解得：a=720,

???旋轉角a的度數為72。.

2.實際施工時每天改造管網的長度96米，實際施工25天

分析：本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正弼列出分式方程是解題的關鍵.

設原計劃每天改造管網上米，則實際施工時每天改造管網(1+20%口米，利用工作時間=工作

總量+工作效率，結合實際比原計劃提前5天完成任務，可列出關于x的分式方程，解之經

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檢驗后，可得出原計劃每天改造管網的長度，再分別將其代入(l+20%)x及中,即

可求出結論.

詳解：解：設原計劃每天改造管網X米，則實際施工時每天改造管網。+20%*米,

跖坦斯上..

24002400-

根據題意得.x(l+2(i%)x

解得：x=80,

經檢驗，x=80是所列方程的解，且符合題意,

24002400?

/.(1+20%)x=(l+20%)X80=96

(l+20%)x-(1+20%)x80_-

答：實際施工時每天改造管網的長度96米，實際施工25天.

3.MN=yAD,MN||AD,證明詳見解析

分析：可分別證明四邊形ABEF,ECDF均為平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平

分，可得MN為^AED的中位線.

詳解:解:MN=；AD,MN||AD;

證明：?.四邊形ABCD是平行四邊形

.-.AB||CD,AD||BC,

vEF||AB,/.EF||CD

.??四邊形ABEF、四邊形EFDC均是平行四邊形，

.-.AM=EM,FN=CN,

.-.MN是&AED的中位線，

/.MN=|AD,MN||AD.

總結：本題主要考查平行四邊形的判定和性質以及中位線定理.三角形的中位線的性質定理，

為證明線段相等和平行提供了依據.

4.(1)10°

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(2)見解析

分析：(1)利用三角形的內角和定理求解NB4c=80。,再結合垂直的定義，三角形的內角

和定理可得答案；

(2)求解/GOC=g/4DC=50。=/A4C-NAA￡=50。，可得NGDC=NEBC,

從而可得結論.

詳解：(1)解：-:ZABC+ZACB+ABAC=\W,Z4BC=60°,ZAC?=40°,

ABAC=1800-ZABC-ZACB,

=180o-60o-40o=80°.

-BEA.AC,

ZAEB=90°,

ZABE=90°-^BAC

=90°-80°=10°.

(2)?.?4)平分NBA。,

/.ZBAD=-ZBAC=-x80°=40°,

22

^ADC=^BAD+^ABC=400+60°=100°.

?.?DG平分/ADC,

ZGDC=-ZADC=1x100°=50°.

22

?/ZEBC=ZABC-ZABE=60°-10°=50°,

:2GDC=/EBC.

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...DG//BE.

總結:本題考查的是三角形的內角和定理的應用，三角形的角平分線的含義，平行線的判定，

熟記三角形的內角和定理并靈活應用是解本題的關鍵.

5.(1)每臺電腦0.5萬元，每臺電子白板I.5萬元；

(2)15臺;

分析:(1)設每臺電腦x萬元，每臺電子白板y萬元，根據題意列方程組列式求解即可得

到答案；

(2)設購電腦z臺，根據題意列不等式求解即可得到答案；

詳解：(1)解：設每臺電腦x萬元，每臺電子白板y萬元，

x+2y=3.5x=0.5

,解得《

2x+y=2.5y=1.5

答：每臺電腦0.5萬元，每臺電子白板1.5萬元；

(2)解：設購電腦z臺，由題意可得，

0.5z+1.5(30-z)<30,

解得：z>\5,

?.2為整數，

??2最小值為15,

答：至少購買電腦15臺；

總結：本題考查二元一次方程組解決應用題及不等式解決應用題，解題的關鍵是根據題意找

到等量關系式.

6.A款文化衫每件50元，8款文化衫每件4。元

分析：本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出分式方程.

設〃款文化衫每件x元，則A款文化衫每件(x+10)元，利用數量=總價+單價，結合用500元

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購進A款文化衫和用4(X)元購進8款文化衫的數量相同：可列出關于x的分式方程，解之經

檢驗后，可求出3款文化衫的單價，再將其代入(X+IO)中,即可求出A款文化衫的單價.

詳解：解：設3款文化衫每件工元，則A款文化衫每件(X+10)元，

…加★始500400

根據題思得：一—=—,

x+10x

解得：x=40,

經檢驗，x=40是所列方程的解，且符合題意，

.\x+10=40+10=50.

答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件4()元.

7.(1)見解析

⑵石

分析：(1)由三角形中位線定理得到。石〃=,GF〃BC,GF=；BC,得到

GF//DE,GF=DE,即可證明四邊形。EFG為平行四邊形；

(2)由四邊形心屏6為五行四邊形得到。G=M=2,由力G_L5”得到/￡心/?=90。，由

勾股定理即可得到線段3G的長度.

詳解：(1)解：?.點。、E分別為A3、AC的中點，

：.DE//BC,DE=^BC,

?.點G、尸分別為44、CH的中點.

.-.GF//BC.GF=-BC,

2

:GF〃DE,GF=DE,

.??四邊形DEPG為平行四邊形；

(2),.四邊形DE"G為平行四邊形，

;.DG=EF=2,

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：DGLBH,

：.ZDGB=90°,

：BD=3,

??BG=XIBEF-DG2=V32-22=x/5?

總結：此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，證明四邊形

為平行四邊形和利用勾股定理計算是解題的關鍵.

8.(1)見詳解

(2)見詳解

(3)EF=6BG,理由見詳解

分析：(1)按要求作圖即可；

(2)根據平移的性質可求NECQ=45。，再求NCFG=90。-NECD=45。,即可得證；

(3)連接AG、DG,可證,從而可得AG=QG,ZAGJNDGC,再證

△BCGRDFG，從而可得BG=DG,NBGC=NDGF，從而可證NAG5=90。，即可得證.

詳解：(1)解：如圖

AE

(2)證明：由平移得:

ZD=ZACT=90°,AC=ED,

-DC=AC,

:.DC=DE,

ZECD=-x90°=45°,

2，

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-FG±CE,

/.ZCGF=90°,

/.ZCFG=90°-Z￡CD=45°,

:.CG=FG.

(3)解：EF=<2BG.

理由：如圖，連接AG、DG,

VZACF=ZACB=9Q°,

:.ZACG=ADCG=450,

在AACG和△DCG中

AC=DC

<ZACG=4DCGt

CG=CG

.^ACG^DCG(SAS),

AG=DG,ZAGC=ZDGC;

/BCG=ZACB+乙式:G=135。,

ZDFG=1800-ZCFG=135°,

/HCG=/DFG;

由平移得：BC=DF;

在△ZJCG和中

BC=DF

NBCG=ZDFG,

CG=FG

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.△8CG/△OR;(SAS),

;.BG=DG,/BGC=/DGF,

BG=AG,

ZAGC-NBGC=/DGC-/DGF,

ZAGB=ZCGF=90°,

:.AB=0BG,

：.EF=41BG.

總結：本題考查了平移的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，掌握相關的判定方法

及性質，并會根據題意作出輔助線是解題的關鍵.

9.⑴20天

(2)方案③施工費用最少

分析：本題考查分式方程的應用、有理數的四則混合運算的應用，理解題意，正確列出方程

是解答的關鍵.

(1)設這項工程為單位1,規定的工期為x天，根據題意列出方程求解即可；

(2)先求得方案①③所需費用，再比較可得結論.

詳解：(1)解：設這項工程為單位1,規定的工期為x天，

4x

根據題意，得一+--=1,

xx+5

解得*二20,

經檢驗，x=20是所列方程的解，

答：規定的工期為20天；

(2)解：由題意和(1)知，甲隊單獨完成這項工程需20天，乙隊單獨完成這項工程需25

天，故①③方案能夠保證工程如期完工，

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方案①所需施工費用為20x1.5=30(萬元)，

方案③所需施工費用為4x1.5+20x1=26(萬元)，

?.-30>26,

，方案③的施工費用最少.

10.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)BD=1

分析：(1)先證明ZAEC=12()。，進而根據AAS證明4A/運△ACE;

(2)以AC為邊作等邊三角形“IGC,連接GE,則AG=AC=AB,證明"①汪,

得出NCGE=/4GE=30。，進而證明比CGE,即可得證；

(3)過點/作物_L八。于點〃,延長GE交AC于點K,證明△AEC是等腰直角三角形，

得出=,AH=FH,進而根據含30度角的直角三角形的性質，勾股定理求得

2

EK、CG、GK,根據涇AAGE,得出BD=GE=GK-EK,即可求解.

詳解：(1)證明：?,N84C=120。，AB=AC,

ZB=ZC=30°,

?「△ABE是等邊三角形，

:.ZAED=ZADE=a)°,

:.ZADR=ZAEC=nGP,

在△人AO和△ACE中，

N8=NC

NADB=Z.AEC,

AB=AC

.?.△48恒△ACE(AAS).

第20頁共44頁

(2)證明：如圖所示，以AC為邊作等邊三角形^AGC,連接GE,則AG=AC=A8,

■.NBAC=120。，AB=AC,

.?.N54G=NC4G=60。，/B=NC=30°,

是等邊三角形，

：.AE=DE,ZA￡D=60°,

/.ZBAG-ZDAG=ZDAE-ZDAG,即NBAO=NG4E,

在"80,"GE中，

AB=AG

、/BAD=/GAE

AD=AE

：.^ABD^^AGE(SAS)

：,Z4GE=/8=30。

:.NCGE=ZAGE=30°

在△AGEACGE中，

AG=CG

<ZAGE=/CGE

GE=GE

.?△AGE%CGE(SAS)

:.AE=CE.

第21頁共44頁

(3)解：如圖所示，過點尸作內〃，4c于點〃，延長GE交AC于點K,

B

G

-：EA=EC,GA=GC

：.GK±AC

\ZADC=450,Z4O￡=60。

/EDC=15。

又.EC=EA=ED

：.ED=EC

：./DEC=180°-2xl5°=150°

/.ZAEC=ZDEC-ZAED=90°,則△AEC是等腰直角三角形，

：.EC=—AC,AH=FH,

2

在RtZ\777C中，CF=2,ZACF=30°,

：.FH=\,HC=^FC--FH2=V5,AC=AH+HC=\^-y/3,

.“1s1+J3

..EK=—AC=-------,

22

在Rt^CGK中，CK=EK=,CG=l+6,

2

：.GK4,

2

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：.BD=GE=GK-EK.

22

總結：本題考查了全等三角形的性質與判判定，等腰三角形的性質與判定，垂直平分線的性

質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

11.(1)汽車行駛中每千米用電費用是0.08元

(2)至少需要用電行駛50千米

分析：本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用，理解題意，正確列出分式方程

和不等式是解此題的關鍵.

(1)設汽車行駛中每千米用電費用是x元，則每千米用油費用為(x+0.42)元，根據題意列

出分式方程，解方程即可得出答案；

(2)設汽車用電行駛)'km,根據“行駛總費用不超過29元”列出不等式，解不等式即可得出

答案.

詳解：(1)解：設汽車行駛中每千米用電費用是工元，則每千米用油費用為(工+0.42)元，

5()R

根據題意,得際二

解得：x=0.08,

經檢驗x=0.08是原方程的解，

答：汽車行駛中每千米用電費用是0.08元;

(2)解：由(1)得：甲、乙兩地的距離是8+0.08=100千米，

汽車行駛中每千米用油費用為008+047=05元,

設汽車用電行駛冰m,

根據題意，得:0.08y+0.5（100-y）＜29,

解得：了之50,

所以至少需要用電行駛50千米.

第23頁共44頁

12.⑴見解析

（2）AC=8

分析：（1）由角平分線的定義得N84力=NC4。,由平行線的性質得加/）=/尸，

ZCAD=^AGF,等量代次可證結論成立；

（2）由等角對等邊得A〃=AG=3,根據AAS證明△4。”^^CEG得4"=CG=5,進而可

求出AC的長.

詳解：（1）是VA8C的角平分線，

/.ZBAD=ZCAD.

-,-EF//AD,

/.ZBAD=ZF,ZCAD=A\GF,

/.ZF=ZAGF;

（2）vZF=ZAGF,

.\AF=AG=3.

?.?EF〃AD,

:"CAD=/CGE.

BH//AC,/BHD=/CAD/DBH=ZC,

:./BHD=/CGE.

在△人/?￡）和△人（?￡中，

/BHD=ZCGE

<NDBH=4C>

BD=CE

.28O”％CEG（AAS）,

:.BH=CG=5,

第24頁共44頁

.-.AC=CG+AG=3+5=8.

總結：本題考查了角平分歧的定義，平行線的性質，等角對等邊，以及全等三角形的判定與

性質，證明△B/汨且ACEG是解答本題的關鍵.

13.(1)6

⑵BC=I正,證明見解析

(3)不變化，PB=PF,證明見解析

分析：(1)由題意得NC8￡)=ZA3￡)=30。，DE=DC,BD=2DC,貝jiZA=ZABD=30°,

AD=BD=2DC，由AC=AO+Z)C=2Z)C+DC=3r>C=9，可求￡>C=3，進而可求6。的

長；

(2)證明RSAC屋Rt△跖力(HL),進而可得8C=BE;

(3)由題意知，NBQC=900-NCBD=60。，/GDP=NBDC=3。，證明△GQQ是等邊三

角形，貝iJ/7)=PG=/X；,NDPG=NPGD=NGDP=60°,由R^8C度Rt△班:￡)(HL),可

得NBDE=NBDC=60°,則N/Z>P=N4GP,證明△fP*J?PG(ASA),則尸尸=8P.

詳解：(1)解：?.ZAC8=90。,ZA=30°,8。是VA8C的角平分線，DEJ.AB,

;.ZCBD=ZABD=30°,DE=DC,BD=2DC,

..Z4=ZA8￡>=30°,

：.AD=BD=2DC,

：.AC=AD+DC=2DC+DC=3DC=9,

解得，DC=3,

：.BD=2DC=6,

..8。的長為6；

(2)解：BC=BE,證明如下；

第25頁共44頁

\BD=BD,DC=DE,

,RtA3C￡^RLBEQ(HL),

ABC=BE;

(3)解：不變化，PB=PF,證明如下；

由題意知，ZB/X?=90°-ZCT/)=60°,

/.ZGDP=ZBDC=60°,

\DG=DP,

,△GDP是等邊三角形，

：.PD=PG=DG,/DPG=/PGD=/GDP="：

?./￡爐尸=60。，

/.NBPF+NBPD=NDPG+NBPD,即/FPD=4BPG,

?.RtABC￡^RtABED(HL),

：./BDE=/BDC=60P,

/.ZFDP=1800-ZBDE-ZBDC=60°=ZBGP,

：ZFDP=ZBGP,PD=PG,/FPD=NBPG,

「.△Q慮△BPG(ASA),

：.PB=PF.

總結：本題考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性

質，三角形內角和定理，含30。的直角三角形，等邊三角形的判定與性質等知識.熟練掌握

角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，含30。的直角三角形，

等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵.

14.(1)見解析

第26頁共44頁

(2)3

分析：本題主要考查全等三角形的性質與判定；

(1)由題意易得乙4二/ECE44。石=/尸，然后問題可求證；

(2)由(1)可得人。=。F=4,然后問題可求解.

詳解：(1)證明：,

：.幺=NECF,ZADE=/F,

在VAOE和△CEE中，

NA=NECF

NADE=NF9

DE=EF

/.△^DE^ACFE(AAS);

(2)解：；MDEg衛FE,CF=4,

；.AD=CF=4,

：,BD=AB-AD=7-4=3.

15.(1)每輛A型汽車進價是15萬元，每輛8型汽車進價是10萬元；

(2)該公司出售完此批汽車后總利潤是171萬元.

分析：本題考查了分式方程的應用，有理數的混合運算的應用；

(1)設每輛8型汽車進價是x萬元，則每輛A型汽車進價是1.54萬元，利用數量=總價+單

價，結合用isoo萬元購進A型汽車的數量比1200萬元購進區型汽車的數量少20輛，可列出

關于x的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論；

(2)根據題意列出算式，求出兩種汽車利潤之和即可.

詳解：(1)解：設每輛B型汽車進價是x萬元，則每輛A型汽車進價是1.5x萬元，

120015002

根據題意得：-------------------=20

\.5x

第27頁共44頁

解得：X=i(),

經檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意.

,\1.5x=1.5xl0=15,

答：每輛8型汽車進價是10萬元，則每輛A型汽車進價是15萬元；

(2)15(X)x5%+12(X)x8%=171(萬元)，

答：該公司出售完此批汽車后總利潤是I7I萬元.

16.⑴見解析

(2)見解析

(3)ZAEB=118°

分析：本題考查復雜作圖、角平分線的定義，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解為簡

單作圖是關鍵.

(1)作A〃的垂直平分線，交48于。，連接C。即可；

(2)利用基本作圖法作出角平分線即可；

(3)根據角平分線的定義得到NC4E=N8AE=28。，再由三角形的外角定理即可求出

AAEB.

詳解：(1)如圖，線段CD即為所求，

(2)如圖，線段AE即為所求作的線段，

第28頁共44頁

(3),/4E平分/8AC,

ZG4E=ZR4E=28°,

..Z4EB=ZC4E+Z4CE=28o+90o=118°.

17.(1)7

⑵①%/+；從一《外；②14

分析：本題考查了正方形的性質，割補法求不規則圖形面積，整式混合運算；

(1)分別由正方形的面積直接可以求出邊長，即可求解；

(2)0S陰影=S正方形ABCD+S正方形BEFG-S^ADC-^^AEF,②任①可得'腌=g[(a+/?『-3a“，即

可求解；

掌握割補法，能根據已知等式化簡整式的形式用整體代換的思想求解是解題的關鍵.

詳解：(1)解：由題意得

AB=y/ie=4,

5E=79=3,

:.AE=AB+BE

=4+3=7;

故答案：7.

(2)解：①S陰影=S正方形ABC。+S正方影BEFG~S.A0c-S.AEF

=a2+b2-—?2--(a+b)b

=a2+b2--a2--ab-^-b2

222

第29頁共44頁

=-a2+-b2--ab;

2221

②由①知S陰影=-fl2+弓〃一~^ab

乙乙乙

=g(c/+廿-ab)

=五("〃)2-3時，

當。+〃=10,"=24時，

S陽極=gx(l()2—3x24)

=-x28

2

=14.

18.⑴/；(12-/);

(2)/=4s或，=8s或，=]6s；

(3)6cm.

分析:(1)結合題意“點尸沿射線45運動，點。沿折線BC-CA運動，且它們的速度都為

1cm/sM,即可獲得答案;

(2)分三種情形討論：當時，當QPLAB時和當PQ_LAC時，分別求解即可；

(3)設PQ與8c交于點N，過點。作QM〃AZ?,交8c于點M，證明△QMNGAPH/V,

由全等三角形的性質可得QN=”,即N與。。中點。重合，易知PQ中點。的運動軌跡在

邊上，且點。經過的路徑長為邊的一半，即可獲得答案.

詳解：(1)解：根據題意，當點Q在線段AC上運動時，

BQ-remt,5P=(12—，)cm.

故答案為：f;(12-r)；

(2)解：:VABC是邊長為12cm的等邊三角形，

ZA=ZABC=ZACB=60°,AB=AC=BC=\2cm,

第30頁共44頁

如圖1中，當。時，

圖1

?.?NPQ8=90。，ZA^C=60°,

^BPQ=90°-^ABC=30°,

：.PB=2BQ,

：A2-t=2t,

解得f=4s;

如圖2中，當。時，

圖2

ZQPB=90°,/ABC=6O。，

ZPQB=90°-ZLABC=30°,

：.QB=2BQ,

.-7=2(12-/),

解得f=89;

第31頁共44頁

如圖3中，當尸Q_LAC時，

圖3

???NPQA=90。，ZA=60。，

o

;.ZAPC=9(F-ZA=30,

：.AP=2AQ,

.J=2(24-f),

解得f=16s.

綜上所述，/=4s或/=8s或/=16s;

(3)解：根據題意，當點。從點。運動到點A的過程中,

C6=BP=(r-12)cm,

如下圖，設PQ與BC交于點N，過點。作。“〃A8,交8c于點M,

貝|JNMQN=N4PN,^CQM=ZA=60°,NGWQ=NA8c=60。,

.?.△CQM為等邊三角形，

:QM=CQ=BP,

在AQMN和△〃“心中，

第32頁共44頁

NQNM=ZPNB

<NMQN=4BPN,

QM=BP

.?.△QMNg△PBMAAS),

:QN=PN,即N與PQ中點。重合，

中點。的運動軌跡在邊4c上,

當。與點C重合時，尸與點/?重合，此時PQ中點。位于8C中點，

當。與點A重合時，此時C=24s,

/.BP=r-12=12cm,

：.AB=BP,即此時PQ中點。與點8重合，

中點。經過的路徑K=gBC=6cm.

總結：本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、列代數式、一元一次方程的應用、含30

度角的直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，理解題意，運用分類討論的思

想思考問題是解題關鍵.

19.(1)詳見解析；(2)詳見解析.

分析：(1)AO〃8c可得兩組角想等，由點E為C。的中點得出ED=EC,從而可證全等.

(2)利用三線合一的性質可以得出AB=BF,將BF分成BC和CF,再根據(1)中全等所得條件

CD二CF即可轉換成所證.

詳解：⑴解：?.AD//BC

:"D=/ECF,ZDAE=AF

?.點E為CQ的中點

:.ED=EC

..^DAE^^CFE(AAS)

第33頁共44頁

(2)由(1)可得AE=M,AD=CF

\BEJ.AF

:AB=BF

:BF=BC+CF,CF=AD

：.AI3=I3C+AD

總結：本題考查三角形全等的性質與判定，關鍵在于掌握基礎知識.

20.(1)(^+Z>+c)2=a2+b2+c2+2ab+2xic+2bc;

(2)88.

分析：本題考查的是多項式的乘法與幾何圖形面積的關系，完全平方公式的幾何意義以及靈

活應用，熟練的利用面積法得到代數恒等式是解本題的關鍵.

(1)由圖2的面積可表示為：(a+/?+c)~或/+//+/+2a〃+2兒+2ac,再利用面積的不

變性可得等式；

(2)把a+〃+c=12,ab+bc+ac=2S^X(a+b+cy-cT+b2+c2+2ab+2bc+2ac，從而

可得答案.

詳解：(1)解：由圖(2)的面積可表示為：(a+〃+c)2或/+/+。2+2。〃+給c+2ao；

，可得等式為：(〃+人+cP=/J+/??+c2+2ab+2bc+2ac;

(2)ft?：?.,(a+Z?+c*)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,a+b+c=l2,ctb+bc+ac=2S,

/.122=a2+Z>2+c2+2x28,

.?“2+/+/=144-56=83.

21.(1)足球單價為90元，籃球單價為120元；

(2)獲利超過1300元，籃球最少要賣31個.

分析：(1)利用分式方程即可求出籃球和足球的單價；

第34頁共44頁

(2)設購買籃球加個，則購買足球+1。1個，根據題意列不等式即可；

本題考查了分式方程以及一元一次不等式的應用解題的關鍵是弄清題意找準等量關系和不

等量關系，正確列出方程和不等式.

詳解：(1)解：設足球單價為x元，則籃球單價為(x+30)元，

士叼*出360480

由題意得：一=——

xx+30

解得x=90,

經檢驗：x=90是原分式方程的解，

則x+3O=9O+3O=12O,

答：足球單價為90元，籃球單價為120元；

(2)解：設購買籃球〃，個，則購買足球+個，

由題意得：(150-120)〃?+(1IO-9O)x(1,〃+lO>1300