云南省玉溪市2026屆高三數學下學期模擬檢測試題【含答案】

云南省玉溪2025-2026學年高三下學期模擬檢測數學試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．復數的虛部為（

）A． B．3 C． D．3．記半徑為R的球體的表面積和體積分別為和，記某底面半徑為R的圓錐的表面積和體積分別為和，若，則（

）A． B． C． D．4．如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個半徑為的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則（

）

A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知數列滿足，且，則使不等式成立的的最大值為（

）A．98 B．99 C．100 D．1017．已知函數的定義域為，且為偶函數，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．1138．橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．若樣本數據，，，的平均數為，則數據，，，，的平均數為B．若隨機變量，且，則C．若隨機變量，則D．若隨機變量，設，則10．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則（

）A．當時，平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．存在，使得與平面所成的角為D．當時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為11．定義在上的奇函數滿足，當時，，則下列結論正確的有（

）A．當時，B．的圖象在處的切線方程為C．的圖象與的圖象所有交點的橫坐標之和為10D．的圖象與直線恰有一個公共點，則實數三、填空題12．事件互斥，它們都不發生的概率為，且，則__________.13．如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.14．已知實數滿足，則的最大值為______；的取值范圍為______．四、解答題15．已知等差數列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.16．如圖，直三棱柱中，分別為和的中點．

(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．17．已知函數．(1)若函數與的圖象關于點對稱，求的解析式；(2)當時，求的最大值；(3)判斷函數在的零點個數，并說明理由．18．如圖，已知橢圓過點，焦距為；斜率為的直線與橢圓相交于異于點的，兩點，且直線PM，PN均不與軸垂直.(1)求橢圓的方程；(2)若，求MN的方程；(3)記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，證明：為定值.19．某選數游戲規則：給定個不同數（參與者不知道具體數值但知道的大小），屏幕每次隨機出現一個數，參與者需通過按Y鍵選擇該數，或按N鍵跳過繼續查看下一個數，一旦按Y鍵選擇，該游戲結束；若前個數均被跳過，系統將自動選定最后一個數．最終所選數若為這個數中最大的，則參與者獲勝，反之則失?。⊥鯀⑴c該游戲時決定采取如下策略：對于給定的，前個數均按N鍵跳過（，表示直接選取第一次出現的數），從第個數開始，若當前數比前面所有已出現的數都大則按Y鍵選擇，否則按N鍵繼續觀察下一個數，如此重復直至游戲結束，記小王獲勝概率為．(1)當時，寫出的值；(2)當時，求，并證明當最大時，滿足(3)已知當時，（為歐拉常數）．在本次游戲中，如果，最大時，求的估計值．參考答案1．A【詳解】令，解得，則，因為，所以，故A正確.故選：A2．A【詳解】復數，故虛部為.故選：A3．D【詳解】依題意，，設該圓錐的高為，則，.由可得，化簡得，故.4．D【詳解】如圖，，又放入的球的半徑為，由于圓臺的體積，由題可知：，則，此時小球恰好與上下底面相切；下面考慮當小球與側棱相切時，設球心為，球的半徑為，則，由于，則，則，那么，則，那么在上方，即該小球先與上下底面相切．

故選：D.5．B【詳解】由與聯立，結合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故選：B.6．B【詳解】由，可得，易知，兩側同時除，可得，整理得，所以是以為首項，為公比的等比數列，則，故，故，易知單調遞增，，所以.故選：B7．C【詳解】由，得，即，所以，所以函數的周期為，又為偶函數，則，所以，所以函數也為偶函數，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故選：.8．B【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，并設，，焦距為，在中，由余弦定理得，由橢圓和雙曲線的定義得，解得.代入，得，即，，即，，因此，.故選B.9．AB【詳解】若樣本數據，，，的平均數為，則，所以數據，，，，的平均數為，A正確；若隨機變量，則正態分布曲線關于直線對稱，因為，所以，B正確；若隨機變量，則，C錯誤；若隨機變量，，又，則，D錯誤．故選：AB10．ACD【詳解】如圖所示建系，，所以，從而，所以，又面，所以面，時，與重合，平面為平面，因為面，平面，A對.不與平面平行，到面的距離不為定值，三棱錐的體積不為定值，B錯.設面的法向量為，則，令，解得，即可取，而，所以與平面所成角的正弦值為，又，所以，所以，又面，所以面，當在時，與平面所成角的正弦值為，此時與平面所成角小于，當在時，與平面所成角為，所以存在使與平面所成角為，C正確.，設平面的法向量為，不妨設，則.，則，平面的法向量，顯然球心，到面的距離，外接球半徑，截面圓半徑的平方為，所以，D對.故選：ACD.11．BCD【詳解】由函數為上的奇函數，所以，由，所以函數關于對稱，且，則，所以4為函數的一個周期.對A，，則，，所以，由當時，，所以，錯誤；對B，由A可知：當時，，所以當時，，所以當時，，則，，，所以函數的圖象在處的切線方程為，即，正確；對C，作出函數與圖象，

函數圖象關于對稱，當時，圖象共有5個交點，由為奇函數，所以當時，圖象也有5個交點，所以圖象所有交點的橫坐標之和為10，正確；對D，如圖：

當時，；當時，，當為圖中情況，，，令，，所以切點為，所以；當為圖中情況，，，令，，所以切點為，所以；所以函數的圖象與直線恰有一個公共點，則實數，正確。故選：BCD12．/【詳解】依題意，，解得.故答案為：13．.【詳解】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.14．1【詳解】由題意，等號成立當且僅當，即的最大值為1；由題意，因為，所以設，所以，所以，所以，令，，所以，又，所以，所以.故答案為：1；.15．(1)(2)【詳解】（1）設的公差為d，因為，所以，又，則，故，所以.（2）由（1）可得：16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點為，連接，因為，，故，由直三棱柱的性質可得，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面.

（2）因為，故，故，設.由直三棱柱可得平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則,故，且.因為，故即，故（舍去），故，，又.設平面的法向量為，則,所以，取，故與平面所成角的正弦值為.

17．(1)(2)(3)1，理由見解析【詳解】（1）由題意得，；（2）由題意得，，，令，解得，所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為；（3）令，則，整理得，令，則，當時，，所以在上單調遞減，又，，所以由零點存在性定理得，在上存在唯一零點，當時，，，兩個不等式等號無法同時成立，，此時函數無零點，綜上所述，在上存在唯一零點，即函數在上的零點個數為．18．(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由橢圓過點，焦距為，得，解得，故橢圓的方程為．（2）設直線的方程為，，，聯立，消去得，由，得，則．，解得或，當時，直線的方程為；當時，直線經過點，不符合題意，舍去．所以當時，的方程為．（3）證明：直線，均不與軸垂直，所以，，則且，所以，所以為定值．19．(1)；；(2)，證明見解析(3).【詳解】（1）不妨設三個數是1，2，3，三個數的大小排列有6種情形：123，132，213，231，312，321.當時，取到最大的情形有：312，321.

所以；當時