2026年福建高考數學試題及答案

2026年福建高考數學真題及答案

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，

寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.樣本數據6,8,4,5,12的中位數為()

A.5B.6C.8D.9

2.已知平面向量G,B不共線，且26+)石=.談-3九則()

A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3C.x=2,y=3【).x=-2,尸一3

I.7TT5兀，5兀

3.己知集合力Wsm-^cosT/an：->,nB=fV31],則力n8=()

634h一a"

百n

A.B.C.D.J-

2'2■T4

4.曲線j=5x+81nx在點(1,5)處的切線方程為()

A.歹=3x+2B.y=5xC.>'=8x-3D.y=13x—8

5.已知拋物線G：/=2pp(A>0)和Q：i=2p2y(P2>0)均經過點(4,8),則知的

焦點與C2的焦點之間的距離為()

A.12B.4后C.6

2

6.已知函數/(x)=Tx一+2的最大值為1,則。二(

e+。

7

A.-B.1C.?—D.2

22

7.一百零八塔位于寧夏回族自治區青銅峽市，以其獨特的建筑格局和深遠的歷史文化聞名

遐邇.該塔群共有108座塔，依山勢自上而下排成12行，將第i行中塔的座數記為

q(i=l,2,…,12),其中％=1,。2=%=3,見=牝=5,且《，％,…，氣是一個首項為

7,公差為2的等差數列.將％,生，…，也分為6組，每組2個數，使得每組的2個數之

和可構成一個項數為6且公差為"3>0)的等差數列，則4=()

A.2B.4C.6D.8

8.設。={(4與,七)上￡{—2,-14,2}』=1,2,3}為空間中64個點構成的集合，點記

樣本空間。=。/,從Q中隨機取一個點，定義隨機變量X如下：對。中的每個點

J(x,,x2,x5),令X(4)"+S+X3，則X的數學期望值為()

A.《B.一2C.0D,3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.設z=3+2i,則()

A.z=3-2iB.|z|=5C.z2=5+12iD.—GR

Z-I

10.在空間中，A."為兩個定點，動點C到直線力4的距離為2,動點。到直線的距

離為1.若二面角。一48-。為60。，則()

A.B.

C.當力6_LCQ時，，CQ1平面48。1).當力8_L平面4CZ?時，ACLAD

11.已知圓G：(X+l)2+_/=l,圓。2：。-1)2+/=1,圓G：X'(尸O,直線

/:y=kx+b與C1,G,G均有兩個交點.記/被C，G,a截得的弦長分別為再、S2、$3,

則()

A.〃可以取任意實數B.滿足$=&=邑的直線/共有3條

C.滿足S|+$2+S3=3的直線/多于3條D.當6=0時，4+“+$3的最大值為半

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雙曲線5/—6/=1的離心率為.

13.已知〃x）=2sin（亦+6）（qeZ,0?。＜2兀）是偶函數，/3）在區間（0卷）單調遞

增.則0=，'傳卜-

14.設實數9滿足：存在數列{4},使得對于任意〃wN',均有片+出+—+/”=，/+〃，且

{q}中有某連續9項4,即…L,4+8是公比為4的等比數列.則夕的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在直三棱柱加44G中，/ACB=90。，.4C=BC,D,E分別為川心AC{

的中點.

⑴證明：DE〃平面BCC￡；

（2）設CG=2,直線QE與平面力CG4所成的角為45。，求直線QE到平面8CG4的距離.

16.已知在中,4B=3,BC=273.cosB=^~.

⑴求COS4；

⑵設。，E兩點滿足：。在歷1的延長線上，DE//BC,AELAC.若DE=&,求CE.

17.設整數N22.某同學用一個球進行投籃練習，至多投籃N次，當且僅當投中1次時或

N次均未投中時，停止練習.設該同學每次投中的概率為各次投中與否相互

獨立.記X為停止練習時該同學的投籃次數.

(1)當N=4,〃時，求X的分布列；

(2)設〃，〃?均為自然數.

(i)當AKN—1時，求尸(X>4)；

(ii)當〃+〃TN-1時，證明：P[X>k+m\X>k^=P(X>m).

22

18.已知橢圓c東+為=1(4>。>0)的左焦點為&-1,0),離心率為g.

(1)求C的方程;

(2)設O為坐標原點，過尸且斜率大于0的動直線/與C交于乙。兩點，其中Q在第三象限,

直線PO與C的另一個交點為R.

(i)若VP0〃的面積是VP￡O的面積的3倍，求/的方程：

(ii)求tanN產0A的最小值.

19.已知函數/(x)的定義域為R,且當x<0時，/(》)二21對任意x°wR,定義集合

D(x0)={e/eR|/(x0+</)>f(x0)}.

⑴若當x2O時，/(x)=l-x,求。(一1)；

(2)若/(x)是奇函數,/U)</(x2),且須與皿證明：。(七)三。(西)；

⑶設/(X)滿足：①若/(芭)4/(七)，則。②當0<x<l時，/(x)</(0).

(i)證明:/(0)>1；

(ii)證明：〃外在區間(0.+8)單調遞增.

參考答案：

1.B

【分析】結合中位數定義可得.

【詳解】將已知數據從小到大排序為45,6,8,12,則中位數為6.

2.A

【分析】由平面向量基本定理可得.

【詳解】由題意可知平面向量￡［不共線,且2辦以―

x=2

則,?

〔尸-3

3.C

■、工e、，-7R.(冗、.K15冗(-兀17rl

［詳解］因為sin——=sin兀+―=-sin—=—,cos——=cos27r—=cos-=—,

6\6J623\3J32

571(加［it,

tan—=tann+—=tan—=1,

4V4j4

即集合”=且集合8=［-4,一；,11,所以4c8

4.D

Q

【詳解】因為歹=5x+81nx,則"=5+2,當x=l時,/=13,

x

所以曲線y=5x+81nx在點(1,5)處的切線方程為尸5=13(x-1),

即y—.

5.D

【分析】將已知點代入拋物線方程求解參數月,生，再結合拋物線焦點坐標公式得到兩個焦

點坐標，最后代入距離公式計算即可.

【詳解】???拋物線，］：爐=2川但＞0)經過點(4,8),

.??將3=4/=8代入0的方程得G=2p-4,即64=8〃，解得〃1=8.

???G的焦點坐標為耳go，即6(4,0).

I27

2

???拋物線C2：X=2P2Mp2>0)經過點(4,8),

J將x=4」=8代入G的方程得42=20,8,即16=16%,解得p?

:.G的焦點坐標為&(0，$)，即入(0，；).

根據兩點間距離公式，E與6之間的距離為：

6.B

【詳解】法1：(1)當〃<0時，由e'+〃H0,解得xwln(F),

故函數fix)定義域為(-co,ln(-a))U(ln(-a),+oo).

①當一-^時，In(-4)+2>0,

e-

當xTg)+,則故不存在最大值,不合題意；

②當。=一4■時，此時/(0)=-^7>2,

ec-c1-e

故最大值不為1,不合題意；

③當--^<"0時，ln(-(7)+2<0,

當則故不存在最大值，不合題意；

(2)當。20時，則e'+G>0,則函數/(x)定義域為R.

且由/(X)最大值為1可知，x+2Ke'+a,

即北乃+2Y對任意xwR恒成立，且等號能取到.

設g(x)=x+2-ex,則g,(.v)=l-e,,

當x<0時，g'")〉0,以工)單調遞增；

當x>0時，g'a)<0,g(x)單調遞減;

故g(X)Mg(0)=l,當且僅當X=0時,g(X)max

由〃2x+2—e"對任意xeR恒成立，可知。21,

又當。>1時，恒有g*)<lva,取不到等號，所以有。=1,

故選：B.

法2：/。)=乎，

c+a

由選項知。>0,則定義域為R,

故最大值必在極值點處取到，不妨設此極值點為與,

由八x)上：)一「二坐嚀

(e+a)仁+。)

則由/'(/)=0,可得Q=k+l)e"①，

且/(%)=":十2=1,即a=x+2-e"②,

en+a

x=0

聯立①②解得〈(}?.

a=1

驗證：當皿時，/㈤二六

-(x+l)ev+1

則/'(X)=

(e*『

設g(x)=-(x+l)e'+1,則g，(x)=—(x+2)e',

當x<-2時，g'(x)>0,則g(x)在(y,-2)上單調遞增;

當x>-2時，g'(x)<0,則g&)在(-8,-2)上單調遞減;

g(x)max=g(-2)=^+1,且g(0)=°，

且當xf-co,g(X)->0；當Xf+<C,g(x)-?-00.

作出函數g(x)的大致圖象,

當XVO時,g(x)>0/(x)>0,/(X)在(0,+8)上單調遞增：

當x>0時，g(x)<O/(x)vO,/(X)在(0,+8)上單調遞減：

則/Wmax=A。)=1，滿足題意，故。=1.

法3：由選項知。>0,則定義域為R,

2

由/(0)=;—<1(?>0),解得aNl.

同法2驗證可得，故a=l滿足題意，由選項唯一可得..

法4：由選項知。>0,則定義域為R,

2

由/(0)=丁一<15>0)，解得

驗證：當a=l時，由不等式e'Nx+l可得e*+12x+2,

Y+2

故/(x)二=]Wl，當且僅當X=O時等號成立，

e+1

故。=1滿足題意，由選項唯一可得.

7.B

【分析】由條件求出數列｛%｝的前12項的和，設新數列為｛，｝,設其公差為d,由條件可得

4+gd=18,結合選項判斷即可.

【詳解】由已知q=l,%=%=3,4=%=5,^=7+2(/-6)=2/-5,/=6,7,8,9,10,11,12,

所以數歹時4｝的前12項的和為1+6+1()+(7+；)X7=I7+9I=108,

設新數列為也｝,〃=1,2,3,4,5,6,

由已知數列抄〃｝為等差數列，設其公差為4,，/>(),

又｛〃“｝的前12項都為奇數，砂“｝所有項都為偶數，

由已知d為正偶數，乙為正偶數，

則64+^xd=108,故4+gd=18,

若d=2,則4=13,矛盾,

若d=6,則4=3,矛盾，

若［=8,則4=-2,矛盾，

若4=4,則々=8,此時可取向=q+。6=8,b2=a2+a7=\2,4=%+%=16,

b4=a3+an=20,b5=a5^-ai2=24,66=%+〃10=28,滿足要求；

8.A

【分析】由題意可知〃(Q)=63.解法一：根據古典概型求相應的概率，進而可得期望；解法

二：可得P(X=-3)=而4，尸(X=3)=1白，根據對稱性運算求解；解法三：根據點的特征

6363

結合古典概型運算求解.

【詳解】由題意可知：〃(Q)=4X4X4-1=63,且隨機變量X的取值為-6,-5,-4,-3,

-2,-I,0,1,2,3,4,5,6.

解法一：依題意，可得尸(X=-6)=P(X=6)=表，

P(X=-5)=P(X=5)=P(X=-4)=P(%=4)=—,

63

4?

P…=石，

o6

p(X=-2)=P(X=2)=P(X=T)=Q(X=l)=,,P(X=0)=V，

所以

I343^96

￡<(X)=(-6+6)X——+(-5+5-4+4)x---3x——+3x——+(-2+2-1+l)x——+0x——=----

''''63'/636363'7636321

解法二：根據對稱性可知：P(X=-6)=P(X=6),尸(X=-5)=尸(X=5),

p(X=-4)=P(X=4),P(X=-2)=P(X=2)f尸(X=-l)=1(X=l),

47

又「(X=-3)=故S=

43

所以E(X)=-3x—+3x3=1

V76363IT

解法三：因為X,.e{-2,—lJ2},ie{l,2,3},

對于任意一點（演,工2，毛），均存在（-%,-々，-&）與之對應，可知這兩點的坐標和為0,

因為樣本空間。=。/,

可知樣本空間C中存在唯一點（-1,7,7）與點玳11，1）對應,

所以。中所有點的坐標和的總和為-1-1-1=-3,

-31

故￡?)=豆=-亓

9.ACD

【詳解】對于A選項，復數z=〃+6i的共軌復數至=a-bi,因此5=3-2i,A選項正題

對于B選項，復數的模|z|=Ja2+b2,因此|2|=斥巨=護工5,B選項錯誤.

對于C選項，:z=3+2i,

???z2=（3+2i）2=32+2x3x2i+（2i）2=9+12i-4=5+12i,該選項正確.

對于1）選項,

V分子z+3=3+2i+3=6+2i,分母z-i=3+2i-i=3+i,

.?.出=產=黑篙=四*蘭吟=2,2是實數，故出cR,該選項

2-i3+i(3+i)(3-i)9-r1()z-i

正確.

10.BC

【分析】做出滿足條件的圖，過點。作CE/4A.E為垂足,過點。作。歹_L/A.F為垂

足，過點E作￡G〃&）,由條件可得NCEG=60'，解三角形可得CG=G，由此判斷B,

當點力與點E的距離無限大時，可得N。。趨向于（T,排除A,先證明力8JL平面CQG,結

合ABLCD,證明2G重合，由此證明平面48。，由481平面力CZ）推出點力與點

石重合，點。與點G重合，判斷D.

【詳解】不失一般性作圖如下，

過點C作CE/48,￡為垂足，過點。作O“"L川九廠為垂足，

過點E作EG//FD,EG=FDt連接GO,

則EG_L/14,因為二面角C—力4—Q為60°,

所以/。△7=60°,由已知底=2,0尸=1,

所以CG?=4+l-2x2xlxcos60°=3,所以CG=VJ，

故CG,EG,CDNCG=S，B正確；

當點力與點E的距離無限大時，CA,無限大，。，⑦無限靠近43,

此時/C4。趨向于（T,A錯誤；

因為48d.e瓦48J.EG,CE\EG=E,CE,￡Gu平面C￡G,

所以48_L平面CEG,又CGu平面CEG,所以44d.eG,

若4B上CD,Q,G不重合，結合CGflCO=C,CG,CZ）u平面CQG,

可得48_L平面CZ）G,QGu平面COG,

所以力8_LQG,矛盾，所以。,G重合，

因為48J.CG,CGLEG,EGREF=E,EG,EFu平面EFDG,

所以CGJ■平面E/RG,故CO_L平面川%），C正確；

因為4?_L平面CEG,若18_L平面力CO,

則平面CEG與平面重合，此時點/與點E重合.點。與點G重合.

故4c與4。的夾角為60°，D錯誤,

11.BCD

【分析】已知三個圓均為半徑r=l的等圓，圓心分別為G（-1,0）、G（1，O）、G（0,行），利

用弦長公式Sj=2ji^",為直線/到對應圓心的距離，且4Vl以保證直線與圓有兩個交

點），逐個分析選項即可.

\b-k\

【詳解】記直線/：二船”到。，的距離分別為，，則4=

yG,2G4W4V1+A-2

_\b+k\\b-43\

2一行，代亦

???直線與三個圓均有兩個交點,

?,?4<1,d2<\,d,<\,對應弦長為y:2yli-d：(i=1,2,3).

A：V解4<1,得左-Jl+A，<b<k+J\+k。，

解&<1，得-k-<b<-k+m不,

不妨取Q0,

*k+Jl+K>—k+Jl+>0>k—Jl+K>—k—Jl+K，

?二k-Vl+it2<h<-k+J1+4,t己力=(女-Jl+lj+Jl+r),

解4<1，得有一Vi7F</)<b+x/i7F，記8=(6一ViTF,G+ViTF),

當G—后正之—〃+>/17正，即當時，AC\B=0.

此時不存在這樣的直線/與三個圓都相交.

???〃不能取任意實數，A錯誤.

B：*.*w*，

4=4=4?

由4=出得I力一攵1=1力+攵I，平方得一4bk=0,即火=0或方=0.

①當4=0時，直線為7=6,由4=4得|回=|力一Gl，解得6=等,

此時4=等＜1,符合條件，對應直線1條.

陽

②當力=0時，直線為y=由4="3得解得八±6,

Jl+公

此H寸4=當

<1，符合條件，對應直線2條.

綜上，共3條直線滿足條件，B正確.

C：令6=0,

令17ks0),則公=『+2,

2(2+/)

:.1+$2+$3=/、’.

〃+3

4+2/.

令4+4+鼻=3，即/,、=3,

平方整理可得5r-⑹+11=0,解得"費■或1=1,即％=±6或左=±粵,

經驗證，此時4,4均小于1，滿足題目要求，此時已有4條宜線，多于3條，C正確.

D:當“即4=&=丹，…福，

令/=〃2_2(/:>0)，則公=r+2,

2(2+7)

:.$1+"+S3=FT-------.

"+3

叵

3，

【點睛】方法點睛：本題考查直線與圓的位置關系，核心是利用弦長公式將弦長關系轉化為

圓心到直線的距離關系，最值問題可通過換元結合導數求解，多選題可逐個驗證選項，結合

特殊情形快速判斷正誤.

12.

而

~6~

【分析】先將給定雙曲線方程化為標準形式，確定/、落再利用雙曲線中的關系求

出。，最后根據離心率定義計算結果.

工上—111

【詳解】將雙曲線5/-6/=1化為標準方程，得了一丁一1則“2=：,/=:，

5756

因此/=2+h2則離心率為e=￡

aa

【分析】根據單調性和周期性可得=2.解法一：根據偶函數可得。=宗與，并代入結

合單調性檢驗即可；解法二：根據題意可得/'（o）=o,即可得與，根據導數與單調

性的關系分析求解：解法三：分析可知/（力在x=0處取到極小值，可得。二羨，進而可得

結果.

【詳解】設函數/（X）的最小正周期為7,由題意可知。工0,

因為函數/（X）在（0,9內單調遞增,則冷

即7N兀，

可得看之兀，解得1小2,

且aeZ,"0,則同=1,2,

解法一：因為函數/(x)=2sin(ax+0)為偶函數,

則。=勺兀+5，KwZ,且0?。<2兀，

則勺=0/，=,

71

若e=],則/(x)=2sinax+-=2cosax=2cos(|?|x),

2

即/")=2cosx或/(x)=2cos2x,不符合題意,

若0=費，則/(x)=2sin奴+與)=-2cosav=-2cos(|d|x),

即/(x)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合題意;

且,年2兀=-2cos”,兀

=-2COS71+—=2cos—=1；

3I3)3

綜上所述:&卷，/2JT

=1

解法二：因為/'(x)=2acos(ox+e),

若函數/(x)為偶函數，則/'(0)=2acosg=0,即cos0=O,

且04夕<2兀，則。=￡,也

22

71

若0=(則/(x)=2sinar+-=2cosox=2cosQdx),/'(x)=-2同sin(同x),

2

即f(x)=-2sinx<0或廣(x)=-4sin2x<0在(。卷J內恒成立,

可知函數/(1)在內單調遞減，不符合題意，

若〃W，則〃x)=2sin(a￥+T)=-2cosax=-2cos(|ti|x),f\x)=2|f/|sin(|fl|x),

即/'(x)=2siiu->0或/'⑴=4sin2x>0在(0卷J內恒成立,

內單調遞增，符合題意,

且/用=-2cos型T或借卜471

-2ccos—47=1-c2cos7i+—兀=2cos—=1；

333J3

2兀

綜上所述：0吟,f1.

解法三：因為函數/（x）=2sin（G+9）為偶函數，且函數/"）在內單調遞增,

\乙）

可知/（X）在K=0處取到極小值，則夕=2"—&GZ,且0《。＜2五,

則42=1,8——,則/(1)=2sin-2COSQX=-2cos(同x),

即/(%)=-2cosx或/(x)=-2cos2x,符合題意;

【分析】由前3〃項和公式推出每連續三項的和（,=2”.將連續9項按起始位置模3分類,

每類中利用三項塊和等于2〃得到關于公比4的比例關系，通過相鄰塊和之比解得小的上界,

即可取得最大值.

【詳解】令由題意得1=（r+〃）-［（〃-1＞+（〃-1）］=2〃，

因此每個三項塊瓦,的和為2”.

設這9項為…,應”,記。=l+q+q2由于。＞0,且完整三項塊和均為正,

下面按上除以3的余數討論.

若％=3〃?+1（小20）,這9項正好包含三個完整三項塊，

得xC=2（m+1）,河3c=2（加+2）,河6c=2（〃?+3）,

于是13="且如=211,矛盾，故這種起點不存在.

ni+lm+2

若％=3〃?+2（加之0）,其中兩個完整三項塊為第m+2塊，第m+3塊，

得r/C=2（，〃+2）,必$。=2（帆+3）.所以—T-T-

m+2z

若無=3小21）,其中兩個完整三項塊為第『+1塊,第加+2塊，

得的C=2（〃?+l）,x/C=2（〃?+2）,所以夕3=絲工3.

〃?+12

綜上夕所以即4的最大值為J1.

15.（D山題意證明如下:

如圖，作出符合題意的圖形，連接8C，

在V/8￡中，D,E分別為4？，彳￡中點，???QE〃8G，

DE（Z平面BCCE,8GU平面BCCR,

???DE〃平面BCC￡.

（2）距離為1.

【分析】（1）通過證明。E〃8G，即可得出結論；

（2）方法一：設出力C=8C=2/（/>0）,建立空間直角坐標系并表達出各點的坐標，得出

向量詼與面力CG4的一個法向量的表達式，根據直線QE與平面4CG4所成的角為45。求

出參數，，借助幾何關系即可求出OE到面8CGA的距離.

方法二：利用直線OE與平面4CC/所成的角為45。，求出4C=8C=CG=2,借助幾何

美系即可求出DE到面8CG用的距離.

【詳解】（1）略

（2）法一：由題意及（1）得，CC,=2

在直三棱柱48。-44G中，4c8=90。，設力。=8。=2/（/〉0）,

四邊形/CG4與四邊形6CG4是矩形，

AAC±BCtAC1CC,,BC1CC,,

建立空間直角坐標系，如下圖所示,

得到4（”0,0）,8（02,0）,C（O,O,O）,D（r,Z,O）,E（/,0,l）,

???麗=（（U,-1）,面力CC4的一個法向量為%=（0,1,0）,

???直線DE與平面力CG4所成的角為45。,

設直線OE與平面力CG4所成的角為日

（而n\=吵囚=廣|o+/x_l+_o|_

sin。=cos-sin45°

，'同何Jo+J+.lfxJo+F+o

解得,=1,??.4（2,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,0）,。（1,1,。），布（1,0,1）,

YOE〃面8CC￡,???由幾何知識得，QE到面8CC￡的距離為馬=1.

法二：由題意及（1）得，

在直三棱柱中，ZJC5=90°,AC=BC,

四邊形力CG4與四邊形6c和片是矩形，

AAC1BC,AC±CO,,BC±CC,,

Vjcncc,=c,4Cu平面月CG4，。。1€=平面/。。4，8C<z平面4CG4,

ARCI平面力CG4,Z5CC,=90°.

由幾何知識得，/8CC即為直線BC,與平面ACC{A,所成的角,

直線DE與平面ACCA所成的角為45。,

在中，D,石分別為48,NG中點，DEHBC\,

??.直線8G與平面4CG4所成的角為45。，即N8CC=45。,

在RtVBCG中，Z5C,C=45°,ZZ?CCj=90°,CC,=2.

AC=BC=CC、=2,

在RtV/AC中，AC±BC,AC=BC,

V48C為等腰直角三角形，過點。作。F///1C,

則點尸為8C中點，。產=g/C=l,DF上BC,

由幾何知識得，DE到面8CG4的距離即為DF=L

16.⑴！

⑵3亞

【分析】（1）由已知兩邊及夾角，先用余弦定理求第三邊4C,再用余弦定理求cos4；

（2）建立坐標系，設出點。坐標，由平行關系得點E的坐標，利用垂直條件求參數，由QE

長度解出，，再計算CE.

【詳解】⑴在V48C中，AB=3,8c=26,8sB=當

由余弦定理可知力。2=4s2+4c2-27B-4CCOS〃=9+12-2x3x26x3=9,

3

it/心□壬I+IAH±irn短A4B-+AC~—BC~9+9-1261

故4C=3.再由余弦定理得cos/l=--------------=-------

2ABAC2x3x318=3'

（2）以力為原點，/〃為x軸正方向建立平面直角坐標系如圖:

則月(0,0),8(3,0),由4C=3,cos/二;得C(l,2五).

。在氏1延長線上，設48=f>0,則O(T,0),^C=(-2,272),DE//BC,

設方=〃一2,2&),貝lj￡(T—242&/1).

由力￡1_L/1C,AE-AC=0?故(T-22)xl+(2&4)x2&=0=>-/+64=0=>a=(

于是。石=回.國=*、存=今.

已知DE=yfb，則=>/()=>/=3>/2，則2=.

32

代入得Sfr物，若而C(1,2V2),

故CE=7(1+4^)2+(2>/2-2)2=J(33+8揚+(12-80)=庭=3亞.

17.(DX的分布列如下圖所示:

X1234

\_248

P

392727

(2)(i)P(%>Zr)=(l-p/

(ii)由題意及(2)(i)證明如下:

P(X>k+mnX>k)_P(X>k+rn)_(\-p)k+m

P(X>k+ni\X>k)=

P(X>k)P(X>k)=(1-p/

=(1—p)n，=P(X>w)

即P[X>k+m\X>k)=P(X>w).

【分析】(1)求出X的可能取值，計算出不同取值下的概率，即可得出分布列.

⑵(i)P(X>〃)等價于前上次投籃全部未中，利用各次投籃的獨立性，可求出P(X>").

(ii)利用條件概率公式，結合(i)的結論與事件的包含關系即可證明結論.

【詳解】(1)由題意,

整數N22,某同學進行投籃練習，至多投籃N次,

當且僅當投中1次時或N次均未投中時，停止練習，

的可能取值為1,2,3,4,

當X=1時，表示第一次就投進球，P(X=1)=]

當X=2時，表示第2次投進球，第1次沒有投進，P(^=2)=(1-1V=1,

當X=3時，表示第3次投進球，前兩次沒有投進，P(X=3)=(l-g)x；=/,

當X=4時，表示在第4次停止，此事件等價于前3次投籃均未投中，

P(X=4)=P(X>3)=(1TJ=5,

作出X的分布列如下圖所示:

X1234

P248

3927ri

(2)(i)由題意及(1)得，

整數N22,某同學進行投籃練習，至多投籃N次，

當且僅當投中1次時或N次均未投中時，停止練習,

當AKN-1時，X>k表示前左次均未投中，

:.P(X>%)=(>“)1

(ii)略.

18.(1)—+^-=1

43

(2)(i)y=^-(x+\)i(ii)46

【分析】(1)根據焦點以及離心率的定義即可求解;

（2）（i）通過聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及三角形的面積公式即可求解；（ii）

由于/P。火是直線尸。與直線及。的夾角，根據=列出表達式即可求

解.

【詳解】（1）已知橢圓￡+￡=1的左焦點為尸離心率e=!，

4-b~2

c1

則c=l,e=—二大，解得。=2,=?2-c2=22-12=4-1=3,

a2

因此橢圓方程為二+亡=1.

43

（2）解法一：

設/：J=Mx+l）（Q0）,點尸（不必），點0（再,以），其中再＞通，

y=左（％+1）

聯立直線/與橢圓方程1/y2_，得（3+4公卜2+8心+442-]2=0,

丁丁=

由韋達定理得演+々=-懸7f=迫於

由于RA兩點在橢圓上，關于原點對稱，

所以點R（-x”一切）,且凹=%（玉+1）,%=%（占+1），

(i)

又因為。是線段PR的中點，所以SvpQO=SyRQO,所以Sv?QR=2SVPQO=k(X]-X?),

Sg==y=/*；+['

由于N=3,

得2（西一工2）=3（耳+1）,即$+2X2=-3,

\PFO

,8z/._、“I9-4〃9+4〃

令〃=/由X]+&=_:;--與芭+2/=_3,得X]=，）

3+4“3+4w-3+4〃

八、入4u-\2,且（9-4〃）（9+4“）_4”-12解得〃［，

代入中2二下而’得―一（3+4/一際

所以〃=亭，所以直線/的方程為）,=當（戈+1〉

⑴）直線〃的斜率為聿〃%若二一2

于是tan/PQR=匕半=4k+y>2.1^=4幣,當且僅當人崢時取等號,

|T|卜'卜2

故tanZPQR的最小值為4方.

解法二：

（i）如圖所示，設直線/的方程為x=〃少-1,其中斜率〃=，>0n〃?>0,

m

設點P（X|，M）,點。（々，必），且“2，必<°，

根據橢圓的中心對稱性可知，點&（-玉,-乂）,

x=my-1

聯立直線與橢圓方程，可匚J1

化簡得（3加？+4）/_6〃少一9:0,

由韋達定理可得乂+J”號,必必-9

3〃/+4'

因為農是?關于原點0的對稱點，所以。是線段PR的中點,

因此Syppo=SyRQQ,所以S"pQR=2SypQ0,

由于SVPQR—3SVPFO?所以ZSvPQO~3SVPFO?

SVPQO=；|°尸卜|必一必|=gi|必一%|二g〔M一％|,

,由=5。小|M|=呆句=；|M|，

1

所以2?I,即|乂一%|二彳|y|，

2

由于必>o,%<0，所以簡化為必—必%=必=一2%,

-6/H

代入韋達定理，得以=則必歹2=-2只

3〃？+4

化簡得45/=36,由于陽>0,解得〃?=二=也,

加5

所以直線/的方程為工=半了-1,即y=2^（x+l）.

（ii）由題意，NP。寵即為直線。。與直線。火的夾角,

直線。尸即直線/,方程為xd-1（〃?>0）,

點。（乙，必），點尸（西，凹），點刈一再，一切），直線。尸的斜率即「二’，

m

直線OR的斜率kQR=必一收=空L,

》2一（一再）9+再

由于R。在直線x=〃?y-l（〃?>0）上，有演二〃?必一1戶2=〃少2-1，

帖廣；^知,代入乂+%=品’

6”？

m以=3〃/+4=6-=%=_網

6m

、“m26/-2（3〃/+4）-84，

3m2+4

設直線2P的傾斜角為。，直線。尺的傾斜角為夕，則/。。火=兀-夕+a,

|大I此tanZPQR=tan(兀一/7+a)=tan(?-/7)=~,

I+tanatan^1+與尸?kQR

獨]

./DCDkqp-k”nj4)4+3"4

即LLNtan/PQR=—=---=-=----/、=------=3〃？+一,

1+MP.即火j_L.(一網)mm

mI4)

由基本不等式得3m+3之2、&1=4G，當且僅當3m=3,即加=2叵時取等號，所以

mVmtn3

tanZ.PQR的最小值為4vL

(3、

19.(1)￡>(-1)=0,-

\2)

(2)由題意證明如下：

在/W中，/")是奇函數，當工<0時，/(x)=2'e(0,l).

A/(O)=0,當x>0時，/(*)=—/(—x)=—2Te(—l,0),

2r,x<0

/(x)=-0,x=0

-2'x,x>0

在集合D(xtt)={deR|/(xn+d)>/(%)}中，

當/<0時，D(x0)={jeR|/(x0+J)>/(x0)}=(0,-x0),

當/=0時，。(.％)={"eR+d)>/(.%)}二(-OO,-YO),

當%>0時，。(飛)=\deR|/(x0+t/)>/(x。)}=(-8,7O]D(0,+<?),

(0,-x),x<0

/.D(x)=^(-oo.0),x=0,

(-co,-x]u(0,+oo),x>0

■:X}X2H0,

.?.王工0且乙。0,即/(占)/0,/(x2)*0,

V/(x.)</(x2),

???①當/（項）￡/（々）V。時，解得。＜項W%2，

Q(xJ=(-oo,rJU(0,+8),D(X2)=(-OO,-X2]U(0,+CO),

此時。(與)口。(占)，