第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系-2026年中考數(shù)學一輪復習（解析版）

模塊六圓

第二講與圓有關(guān)的位置關(guān)系

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1:點與圓、直線與圓的位置關(guān)系

1.點與圓有三種位置關(guān)系：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外.

設(shè)圓0的半徑為r,點到圓心的距離為d,則點與圓的位置關(guān)系如下表所示:

點與圓的位置關(guān)系示意圖d與r的大小關(guān)系

點A在圓內(nèi)

點B在圓上昌

點C在圓外B

2.直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.

知識點2:切線的性質(zhì)與判定

1.性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

注意：（1）圓的切線與圓只有一個公共點；（2）圓心到切線的距離等于圓的半徑;

（3）“有切線，連半徑，得垂直”，這是已知圓的切線時常用的輔助線的作法。

2.判定定理：經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

注意：切線判定定理中的兩個條件“經(jīng)過半徑的外端點”和“垂直于這條半徑”，

二者缺一不可。

3.切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的

切線長。

*切線長定理：過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點的

連線平分兩條切線的夾角。

知識點3:三角形的外接圓與內(nèi)切圓

名稱示意圖|內(nèi)、外心性質(zhì)

三邊垂直平分三角形的外心

三角形的外接

線的交點稱為到三角形_____

圓

三角形的外心。的距離相等。

A

三條內(nèi)角平分三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切

線的交點稱為到三角形_____

圓

三角形的內(nèi)心。的距離相等。

直角三角形內(nèi)切圓及外切圓半徑長的確定

直角三角形的外心為其斜邊的中點，其外接圓半徑R=￡；其內(nèi)切圓半徑

2

r=a+b-c（其中匕為直角邊長，c為斜邊長）。

2

知識點4:正多邊形與圓的關(guān)系

設(shè)正〃邊形的外接圓半徑為R,邊長為4。

邊心距r正六邊形的邊長等于其外接圓的半

!徑；正三角形的邊長等于其外接圓半

正〃邊形的周長na

I徑的百倍；正方形的邊長等于其外

1

正〃邊形的面積—nar■接圓半徑的近倍。

2

正〃邊形中心角的度數(shù)360,

正〃邊形每個外角的度數(shù)n

直擊中考勝券在握

1.在團ABC4b0C=9O°,AC=6,BC=8,以C為圓心r為半徑畫回C,使配與線段AB有且只有

兩個公共點，則r的取值范圍是（）

24i

A.6<r<8B.6<r<8C.y<r<6D.y<r<8

【答案】c

【解析】

【詳解】

解：由題意可知，線段AB必須經(jīng)過圓C才有兩個交點，過點C作AB的垂線，

因為4C=6,BC=8,通過等面積法計算得出垂線段為?，

9424

當r<g,AB與圓C沒有交點，當r>6時與AB最多只有一個交點，所以彳<「￡6.

考點：圓于直線的位置關(guān)系

點評：該題是常考題，主要考查學生對圓與直線交點的個數(shù)與半徑長度之間的關(guān)系，建議學

生通過作圖分析計算.

2.（2021?嘉興中考）已知平面內(nèi)有和點A,B,若半徑為2cm,線段。4=3cm,

08=2cm,則直線48與OO的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】

根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進行判斷.

【詳解】

解：釀。的半徑為2cm,線段O4=3cm,線段O8=2cm,

即點A到圓心0的距離大于圓的半徑，點B到圓心。的距離等于圓的半徑，

0點A在（3。外.點8在團。上，

團直線AB與（3。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

【點睛】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?上海中考）如圖，己知長方形A8CO中，AB=4.AO=3,圓B的半徑為1,圓

4與圓8內(nèi)切，則點C力與圓A的位置關(guān)系是（）

D

A.點C在圓A外，點。在圓A內(nèi)B.點C在圓A外，點。在圓A外

C.點C在圓A上，點。在圓A內(nèi)D.點C在圓4內(nèi)，點。在圓A外

【答案】C

【分析】

根據(jù)內(nèi)切得出同A的半徑，再判斷點。、點￡到圓心的距離即可

【詳解】

團圓A與圓8內(nèi)切，A8=4，圓8的半徑為1

制員IA的半徑為5

團人。=3<5

回點。在圓4內(nèi)

在RtMBC中，AC=y]AB2+BC-=742+32=5

回點C在圓4上

故選：C

【點睛】

本題考查點與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是

關(guān)鍵

4.（2021?臨沂中考）如圖，PAs分別與相切于A、B,ZP=70°,C為0。上一

點,則ZACB的度數(shù)為（）

A.110°B.120°C.125°D.130°

【答案】C

【分析】

由切線的性質(zhì)得出回O4P=0。8P=90。，利用四邊形內(nèi)角和可求蜘08=110。，再利用圓周角定理

可求財。8=55。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可求MCB.

【詳解】

解：如圖所示，連接OB,在優(yōu)弧48上取點D,連接4?,BD,

MP、8P是切線，

團團OWPMS08P=90°,

004O8=36O0-9OO-9OO-7OO=11OO,

豳408=55°,

又團圓內(nèi)接四邊形的對角互補，

團MCB=180°-MO8=180°-55°=125°.

故選：C.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是連接。A、OB,

求【曬。8.

5.（2021?山西中考）如圖，在。。中，AB切。。于點A,連接OB交。。于點C,過點A

作AD//08交于點。，連接。。.若4=50。，則NOCD為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】

連接。4,根據(jù)A4與OO相切易得NQAB=90。，在中，已知々=50。，可以求出

NAOB的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出上ADC的度數(shù)，最后根據(jù)

AD//OB可得Z.OCD=ZADC.

【詳解】

團A8切。。于點A，

團N（MB=90。，

在RNOAB中，

回4=50。，

團4408=40°,

^ZADC=20°,

又回AO//O8,

團NOC￡>=ZAOC=2（）0.

故選：B.

【點睛】

本題考察了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，綜合運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

6.（2021?廣西賀州中考）如圖，在心△A8C中，ZC=90°,A8=5,點。在AS上，08=2,

以08為半徑的。。與AC相切于點。，交BC于點E,則CE的長為（）

【答案】B

【分析】

連接。。，EF,可得0DH8C,EF^AC,從而得=4^=4^，進而即可求解.

BCBABABC

【詳解】

解：連接。。，EF,

團O。與AC相切于點D,8F是。。的直徑,

團00MC,FE^BC,

(3ZC=90°,

團。。團8C,EHMC,

OD0ABFBE

團---=—，=，

BCBABABC

0AB=5,0B=2，

000=08=2,40=5-2=3,81=2x2=4,

234BE

0-----=—,—=------，

BC55BC

108

團8C=——，BE=-,

33

故選：B.

【點睛】

本題主要考查圓的基本性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，掌握圓周角定理的推論，添加輔助

線，是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，（20是等邊朋8c的內(nèi)切圓，分別切A8,8C,AC于點&F,DtP是/）產(chǎn)上一點，

則由EPF的度數(shù)是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【答案】B

【分析】

連接0E,0F.求出團EOF的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，連接OE,OF.

釀。是團ABC的內(nèi)切圓，E,F是切點，

回OESAB,OF0BC,

00OEB=0OFB=9OO,

豳ABC是等邊三角形，

00B=6O%

00EOF=12O°,

00EPF=^-0EOF=6O°,

故選：B.

A

ED

B

【點睛】

本題考杳三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考?？碱}型.

8.（2021?山東青島中考）如圖，A8是。。的直徑，點E,C在O。上，點A是EC的中點,

過點A畫。。的切線,交8C的延長線于點。，連接EC.若408=58.5。，則乙4CE的度

數(shù)為（）

A.29.5°B,31.5°C,58.5°D.63°

【答案】B

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)得到防加。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出mB,根據(jù)圓周角定理得到MCB=90。,

進而求出團BAC,根據(jù)垂徑定理得到BA團EC,進而得出答案.

【詳解】

解：MD是回。的切線，

團8404D,

團MD8=58.5°,

00B=9O°-04D8=31.5%

蜘8是回。的直徑，

團購C8=90°,

回08AC=900-團8=58.5°,

回點A是弧EC的中點，

0B40FC,

01ZWCE=9OO-0B4C=31.5O,

故選:B.

【點睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是

解題的關(guān)鍵.

9.（2021?江蘇宜興市實驗中學二模）如圖，AB是。。的直徑，叫切。O于點A,線段PO

交于點C,連接8c.若NP=40。，則N8等于（）

A.15°C.25°D.30°

【答案】C

【分析】

直接利用切線的性質(zhì)得出團以。=90。，再求出團PO650。，結(jié)合圓周角定理即可得出答案.

【詳解】

解：回A8是O。的直徑，Q4切于點A,

醐g0=90°,

00P=4O°,

00PO4=9O0-4OO=5O°,

回AC=AC'

團團8二4440P=25°.

2

故選：C

【點睛】

此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出由POW的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?貴州安順中考）如圖，與正五邊形的兩邊AE8相切于4c兩點,

則440c的度數(shù)是（）

B

A.144°B.130°C.129°D.108°

【答案】A

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)，可得回3E=90。，團。8=90。，結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108。，

即可求解.

【詳解】

解：ME、CD切回0于點A、C,

^OAE=90°,團08=90°,

團正五邊形4BC0E的每個內(nèi)角的度數(shù)為：（匕2Tl80。=]08。,

團蜘OC=540°-90°-90°-108°-108°=144°,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和

定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?江蘇鎮(zhèn)江中考）如圖，酊4c=36。，點。在邊4B上，回0與邊4c相切于點D,

交邊4B于點&F,連接FD,則MFD等于（）

A.27°B.29°C.35°D.37°

【答案】A

【分析】

連接。。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到g。。=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到兇。。=90。?36。=

54。，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：連接。。，

釀。與邊4C相切于點D,

00400=90°,

團團8AC=36°,

團兇0。=90°-36*=54°,

110

0AAFD=-^AOD=-X54=27,

22

故選：A.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，員I周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?貴州遵義中考）如圖，AB是色。的弦，等邊三角形OCD的邊CD與團O相切于點P,

連接則的長是（

04OB,OP,AD.^COD^^AOB=180°,CD//AB,AB=6fAD）

A.6桓B.3"C.2屈D.V13

【答案】C

【分析】

如圖，過。作。石_LA8于￡過。作DGJ_A3于G,先證明O,E,P三點共線，再求解。。的

半徑04=08=0。=26，PD=2,證明四邊形PEG。是矩形，再求解。G,AG,從而利用

勾股定理可得答案.

【詳解】

解：如圖，過。作OEJL48于心過。作￡>G_LA8于G

?.?CO是8的切線，

：.OPLCD,

AB//CDQE1AB,

瓦尸三點共線,

???△(%>￡>為等邊三角形，

ZCOD=Z.ODC=60°,CO=DO、

ZCOD+ZAOB=\80。,OA=OB,AB=6,

ZAOB=120。,NOAB=NOBA=30°,AE=BE=3,

ZAOE=ZBOE=60°,

:.OE=AE=y/3,OA=2OE=2y/3=OP.

tan60°

...PE=OP+OE=y/3+2yl3=3石，

zone=60°,

tan60°

OP1CD、PE1AB、DG1AB、

???四邊形Q￡GO是矩形，

DG=PE=3瓜EG=PD=2,

AG=AE+EG=5,

AD=^52+[3y/3^=2后

故選：C.

【點睛】

本題考查的是等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，切線

的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?湖南湘潭中考）如圖，BC為由。的直徑，弦ADtBC于點E,直線/切團。于點C,

延長0Z）交/于點F,若他=2,ZABC=22.5°,則CF的長度為（）

B

A.2B.2&C.2GD.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)垂徑定理求得AC=CO，At=Dt=2,即可得到121co。=2明8C=45"，貝政光U是等腰直先三

角形，得出00=2及，根據(jù)切線的性質(zhì)得到86CF,得到回OCF是等腰直角三角形，進而即

可求得CF=OC=OD=2>/2.

【詳解】

解：田8c為國。的直徑，弦4D（38C于點E,AE=2,ZABC=22.5°,

團AC=CO,AE=DE=2,

00COD=204BC=45°,

豳OE。是等腰直角三角形，

0OE=fD=2,

團0O二收7月=2&，

回直線/切回。于點C,

團8C0CF,

團團。CF是等腰直角三角形，

0CF=OC,

團0。=。。=2&，

0CF=2>/2?

故選：B.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和I回周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

求得CF=OC=OD是解題的關(guān)鍵.

14.（2020?浙江省湖州中考）如圖，已知。丁是Rt（M60斜邊A8上的高線，AO=BO.以O(shè)

為圓心，or為半徑的圓交04于點C,過點C作回。的切線CD,交A8于點D.則下列結(jié)論

中錯誤的是（）

A.DC=DTB.AD=72DTC.BD=BOD.2OC=5AC

【答案】D

【分析】

根據(jù)切線的判定知是回。的切線，根據(jù)切線長定理可判斷選項幺正確；可證得（3ADC是等

腰直角三角形，可計算判斷選項B正確：根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CT,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到團DOC=0TOC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷選項C正確；

【詳解】

解：如圖，連接O。.

團。丁是半徑，。畫8,

0DT是田。的切線，

WC是團。的切線，

0DC=DT,故選項4正確：

團。4=。8,0408=90°,

團財=團8=45°,

團DC是切線，

團CD0OC,

團048=90°,

團M=MOC=45°,

^AC=CD=DT,

^AD=y/2CD=y/2DT,故選項8正確;

0OD=OD,OC=OT,DC=DT,

團團oocia團。。丁（sss）,

WOC=WOT,

0O4=OB,。儂8,MO8=90°,

00407=0807=45°,

00DOT=0DOC=22.5°,

回團8。。=回008=67.5°,

團80=80,故選項C正確;

0OA=OB,0AOB=9O°,OTEAB,

設(shè)團。的半徑為2,

0OT=OC=AT=BT=2,

團0A=0B=2拒，

0C25

20cH5AC故i先項。錯誤:

故選：D.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

正確的識別圖形、靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

15.（2020?寧波中考）如圖，田0的半徑0A=2,B是團。上的動點（不與點A重合），過點

連結(jié)0C,AC.當團OAC是直角三角形時，其斜邊長為一.

【答案】20或2石

【分析】

先根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定方法證得1303c是等腰直角三角形，當0AOC=

90。，連接0B,根據(jù)勾股定理可得斜邊AC的長，當回OAC=90。，同理可求.

【詳解】

解：連接。B,

0BC是m0的切線,

團團OBC=90°,

0BC=OA,

0OB=BC=2,

雕）OBC是等腰直角三角形,

00BCO=45°,

豳ACO445。，

當（3AOC=90。，（3OAC是直角三角形時,

團OC=0OB=2&，

團AC=[OA+OC?=，2?+(2可=26；

當圈OAC=90°,四邊形OACB是正方形，

0C=2&；

故答案為：2夜或2G.

【點睛】

本題考查切斜的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用

所學的知識求出0C.

16.（2021?浙江杭州中考）如圖，已知的半徑為1,點。是外一點，且0P=2.若P7

是。。的切線，7,為切點，連接or,則pr=.

【答案】&

【分析】

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得NO7P=90。，根據(jù)圓的性質(zhì)，得■=1，再通過勾股定理計算，即

可得到答案.

【詳解】

國pr是。。的切線，7為切點

團NO7P=90。

例PT=y/OP?-OT?

圖。。的半徑為1

007=1

^PT=>JOP1-OT2-^-\=75

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了圓、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、圓的切線、勾股定理的性質(zhì),

從而完成求解.

17.（2021?陜西?西安益新中學模擬預測）如圖，圓。是四邊形A8CD的內(nèi)切圓，連接A。、

80、CO、DO,記MOD、0AOB、團COB、團DOC的面積分別為S、S2,$3、S’，則S、Sa、5、

54的數(shù)量關(guān)系為.

【分析】

設(shè)切點分別為E、F、G、H,由切線性質(zhì)可知，。￡1甜。，0用CO,OG08COQ8,OE=OF=OG=O，=r,

設(shè)DE=DF=o,AE=AH=b,BH=BG=c,CG=CF=d,推出Si+S=-r(a+b)r+-r(c+d)=-r(a+b+c+t/)

3222

=S2+S4.

【詳解】

解：如圖設(shè)切點分別為E、F、G、H,

D

a

d

由切線性質(zhì)可知，OE^AD,OF^CD,OG05COH^AB,OE=OF=OG=OH=r,

litDE=DF=a,AE=AH=btEH=BG=c,CG=CF=d,

Si=-r(a+b)r,S2=-r(b+c)S3=—r(c+d),S4=!r：Q+d),

2222

05I+S3=—r(a+b)r+—r(c+d)=—r(a+b+c+d),

222

S2+S4=—r(a+d)+—r(b+c)=—r(a+b+c+d),

222

051+53=52+54.

故答案為：S1+S3=S2+S4.

【點睛】

本題考杳了內(nèi)切圓的性質(zhì)，熟練運用切線的性質(zhì)和三角形而枳公式是解題的關(guān)鍵.

18.(2021?江蘇南京中考)如圖，隊G8,”C,〃),正是五邊形A8CDE的外接圓的切線，則

NBAF+NCBG+NDCH+AEDI+ZAEJ=°.

【答案】18伊

【分析】

由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)角

和的一半.

【詳解】

如圖：過圓心連接五邊形的各頂點，

則NOAB+NOBC+NOCD+NODE+ZOEA

=ZOBA+Z.OCB+Z.ODC+Z.OED+ZOAE

=1(5-2)xl80°=270°

NBAF+NCBG+NDCH+NEDI+ZAEJ

=5x90。一(/OA8+4OBC+NOCD+NODE+ZOEA)

=450°-270°

=180°.

故答案為：180。.

【點睛】

本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式5-2）x180。"為多邊形的邊數(shù)），由半

徑相等可得”等邊對等角"，正確的理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?內(nèi)蒙古中考）如圖，在oAACO中，4）=12,以4D為直徑的。。與8c相切于

點&連接0C.若OC=AB,則oABC。的周長為.

【答案】24+6石

【分析】

連接?！?作加電8c于F,先證明oAOEF為矩形，進而證明Rt04BF0Rt0OCF,得至I]8F=CE=3,

利用勾股定理求出0C=3后,即川一求出口488的周長.

【詳解】

解：如圖，連接0E,作人甩8C于F,

團8E為O。的切線，

P11?10EC=I?10FB=90<>.

財D08C,

04F0OE,

回四邊形AFEO為平行四邊形，

00OEF=9O°,

團oAO律為矩形，

^AF=OE,EF=A0=^AD=6f

團四邊形48C。為平行四邊形，

MB=C。，BC=AD=12,

BAB=OC

團RtM8用RtSOCE,

團BF=CE=3,

團OE=O4=6,

團在RtSOCE中，OCnyJOE,+CE。=36，

幽8=CD=OC=3不，

0oABCO的周長為為（12+36）x2=24+6x/5.

故答案為：24+6石

【點睛】

本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形

等知識，熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵.

20.（2021?陜西中考直題）如圖.正方形/WC。的邊長為4,GO的半役為1.若。。在正

方形A8C。內(nèi)平移（0O可以與該正方形的邊相切），則點A到。。上的點的距離的最大值

為______

【答案】3&+1

【分析】

由題意易得當。。與8C、CD相切時，切點分別為F、G,點4到。O上的點的距離取得最大，

進而根據(jù)題意作圖，則連接4C，交OO「?點E,然后可得4E的長即為點4到O。上的點的

距離為最大，由題意易得A8=8C=4,4C8=45。，則有EJOFC是等腰直角三角形，AC=4日

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得0C=夜，最后問題可求解.

【詳解】

解：由題意得當。。與8C、C。相切時，切點分別為F、G,點a到。o上的點的距離取得最

大，如圖所示：

“F--------------------------\D

Vo

（。//

ZOFC=90°

連接2C,OF,4c交于點E,此時作的長即為點4到O。上的點的距離為最大，如圖所

示，

團四邊形ABC。是正方形，且邊長為4,

團AB=8C=4,/AC8=45°,

團團OFC是等腰直角三角形，AC=4五，

用00的半徑為1,

0OF=FC=1,

團oc=夜，

^AO=AC-OC=3y/2f

團AE=AO+OE=30+1，

即點A到OO上的點的距離的最大值為3a+1；

故答案為3&+1.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、切點的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正

方形的性質(zhì)、切點的性質(zhì)定理及等腰宜角二角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

21.（2021?四川涼山中考）如圖，等邊三角形48c的邊長為4,0c的半徑為有，P為43

邊上一動點，過點P作OC的切線PQ，切點為Q,則PQ的最小值為.

【分析】

連接0C和PC,利用切線的性質(zhì)得到CQ3PQ,可得當CP最小時，PQ最小，此時CWW8,再

求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.

【詳解】

解：連接QC和PC,

0PQ和圓C相切,

0CQ0PQ,即團CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，

回當CP最小時，PQ最小，

團M8C是等邊三角形，

回當C曲8時，CP最小，比時CRM8,

M8=BC=4C=4,

mP=8P=2,

^CP=y/AC2-AP2=2y/3,

回圓C的半徑CQ=J5,

田PQ=QC產(chǎn)-CQ?=3,

故答案為：3.

A

本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助

線的作法，注意得到當。鰥8時，線段PQ最短是關(guān)鍵.

22.（2020?山東省濟寧中考）如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D.AC

與BD相交于點E,CD2=CE?CA,分別延長AB,DC相交于點P,PB=BO,CD=2上.則BO的長

是.

【分析】

連結(jié)OC,設(shè)回0的半徑為r,由DC2=CE*CA和回ACD=13DCE,可判斷團CAD團團CDE,得至崛CAD=I3CDE,

再根據(jù)圓周角定理得（3CAC=0CBD,所以用CDB/CBD,利用等腰三角形的判定得BC=DC,證明

OC0AD,利用平行線分線段成比例定理得到柒=整=2,貝IJPC=2CO=4&,然后證明

CDOA

△PCBMPAD,利用相似比得到警

=—再利用比例的性質(zhì)可計算出r的值即可.

6V2

【詳解】

解：連結(jié)。C,如圖，設(shè)。。的半徑為「，

???DC2=CE>CA,

DCCA

??---=---，

CEDC

而ZACD=NDCE,

...ZC4D=ZCDE,

?/々CAD=NCBD,

:"CDB=NCBD,

：.BC=DC,

CD=CB，

;.ZB(X：=ABAD,

OC//AD,

PCPO2rc

——=—=—=2,

CDOAr

；.PC=2CD=4a，

,;/PCB=NPAD、NCPB=/LAPD,

:△PCBsfAD,

.PCPB4夜r

??=,即----=9

PAPD3r6\/2

.\r=4,

即0B=4.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之S在判

定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基

本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖

形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨

使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運月，都要具備應(yīng)有的條件方可.也考

查了圓周角定理.

23.如圖，以等邊三角形A8c的BC邊為直徑畫圓，交AC于點D,DFLAB于點F,連接

OF,且A尸=1.

B

（1）求證：DF是。。的切線；

（2）求線段OF的長度.

【答案】（1）見解析：（2）幣.

【分析】

（1）連接0D,先說明△或!）是等邊三角形得到NCZX>=NA=60。，說明OD〃A3,進而

得到NOQ廠=NAFQ=9（尸即可證明；

（2）根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到8=OD=AD=2AF=2,

最后運用勾股定理解答即可.

【詳解】

（1）證明：連接0。

同△人3c是等邊三角形

團NA=NC=600

^OC=OD

(^△OCD是等邊三角形

@ZCZX9=ZA=60o

0OD//AB

^DFLAB

團NQZ)F="7)=90°

0OD1DF

(3DF是。。的切線；

(2)0OD//AB,OC=OB

團。。為△ABC的中位線

^CD=AD

(?JZA/<D=90o,ZA=60°

團NAQF=30。

^CD=OD=AD=2AF=2

由勾股定理，得：DF2=AD2-AF2=3

回在口△。?！爸校?F=SD\DF2=幣.

【點睛】

本題主要考查了圓的切線的證明、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運

用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

24.(2021?武漢中考)如圖，A8是。。的直徑，C。是。。上兩點，C是80的中點，過點

。作4。的垂線，垂足是E.連接AC交于點尸.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若空=#,求cosNABO的值.

DF

【答案】(1)見解析：(2)迪

3

【分析】

(1)連接OC交8。于點G.由點C是30的中點，根據(jù)垂徑定理OC08。.DG=BG,可證

四邊形EOGC是矩形，可得NECG=90。即可.

(2)連接8C,設(shè)“G=x,OB=r.設(shè)。尸=z,可得OC.證明心△BCGs心△8R7.可

得BC2=BGBF,BP(x/6r)2=(x+r)(2x+r).解得$=f,可求CG="，OG=r-42r在

RMOBG中,由勾股定理得.(--6)2+(力尸=/，解得，r=-t.根據(jù)余弦三角函數(shù)定

義求即可.

【詳解】

1)證明：連接0C交8OF點G.

回力:C是80的中點，

國BC=8，8。為弦，0C為半徑,

0OC0BD.DG=BG,

0AB是的直徑，

團408=90。，

0ZEDB=9O°.

^CE±AE,

0ZE=9O°.

回四邊形以)GC是矩形，

0ZECG=9O°.

團EC0OC,

又I30C為半徑，

(3CE是。。的切線.

(2)解：連接8C,設(shè)FG=x,0B=r.

DC/-

0m-----=V6,

DF

設(shè)。尸=/,

團。C=向.

由(1)得，I3C=CD=j6t,BG=GD=x+t.

國A3是。。的直徑,

@ZACB=90°.

0ZZ?CG+ZFCG=90°,/CFB+/FCG=90°,

由NBCG=NCFB,

田Ri/XBCGsRfABFC.

BCBG

^BC1=BGBF,

0(\/6f)2=(x+t)(2x+t).

解得，x,=/,￡=-|，(不符合題意，舍去)?

團CG=-8G2=J(庖2_⑵了=",OG=r-y/2t-

在R^OBG中,由勾股定理得OG'AG'OB-

(U(r->/2/)2+(2/)2=r2,

解得，廣=逑/.

BG=2/_2叵

cosZABD=

團3yf2t~~

2

【點睛】

本題考查圓的切線判定，宜.徑所對圓周角性質(zhì)，垂徑定理，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定

理，余弦三角函數(shù)定義，利用相似三角形的性質(zhì)與勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵.

25.（2021?江蘇連云港中考）如圖，心“8C中，ZAI3C=90%以點C為圓心，C4為半徑

作。C,。為。。上一點，連接A。、CD,AB=AD,AC平分ZEAD.

（1）求證：A。是。。的切線；

（2）延長A。、8c相交于點￡,若，的=25”"，求tan/84c的值.

【分析】

(1)利用SAS證明MACgADAC,可得NADC=ZABC=90。，即可得證；

(2)由已知條件可得AEDCsAEBA,可得出。。：84=1:拒，進而得出C8:84=1:應(yīng)即

可求得tanZ^AC；

【詳解】

(1)回AC平分NE4D,

團N8AC=ND4C.

SiAH=AD,AC=AC,

回AB4C/ADAC.

0ZADC=Z4BC=9O°.

0CD1AD,

團人。是oc的切線.

(2)由(1)可知，ZEDC=ZABC=90°,

乂ZE=NE,

團△ETXSzXESA.

團SAEDC=2SMBC，且ABACZAaAC,

05A￡oc'^^EBA=1：2，

0DC:^A=l:>/2.

0DC=CB,

團CB:8八=1:忘.

團480=90。

0tanZBAC=—=—

BA2

【點睛】

此題考查了切線的判定與性質(zhì)，正切的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)判定，熟練掌握基礎(chǔ)知

識是解本題的關(guān)鍵.

26.(2021?四川瀘州中考)如圖，△ABC是田。的內(nèi)接三角形，過點C作m0的切線交弘的

延長線于點F,AE是團。的直徑，連接EC

E

(1)求證：Z4CF=ZB;

(2)若AB=BC,AD_L8C于點。，F(xiàn)C=4,FA=2f求A7XAE的值

【答案】(1)證明見詳解；(2)18.

【分析】

(1)連接0C，根據(jù)尸。是回。的切線，4E是團。的直徑，可得？2ECO,利用OE=OC,

得到？OEC?ECO,根據(jù)圓周角定理可得？O￡C2B,則可證得NAC￡=N3：

(2)由(1)可知NACZ7—/",易得VAFC:VCFB,則有/?6-塵-8,則可得A"-"C一6,

FA

并可求得CA=C^=3,連接晅，易證VAC。：VAm，則有當=空，可得

FCABAE

4也4石=4?g4C=18.

【詳解】

解：(1)連接。。

回廣。是aO的切線，AE是13。的直徑,

0?OCFACE9(T,

07/1CF?ACO?ECO?ACO90'

回？AC廠?ECO

又⑦OE=OC

0?OEC?ECO

根據(jù)圓周角定理可得：？。82B

?ECO,

團ZAB=N4；

(2)由(1)可知NAb=NB,

自ZAFC=NCFB

團VAAC:NCFB

團在3=

FA

0FC=4,FA=2,

pc-42

0FB=—=—=8

FA2

0/lB=FB-AF=8-2=6

團AI3=BC=6

又團WUVCm中，粵=2

oCrC

-遼-3,

FC4

如圖示，連接跖

回N4CD=N4￡B,?ADC?ABE笫’

團VAS7AEB

ADAC

0=——

ABAE

^ADgAE=/ABg4C=6?318.

【點睛】

本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的

判定與性質(zhì)等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.(2021?甘肅蘭州中考)如圖，AA3c內(nèi)接于。。，八4是。。的直徑，E為AB上一點,

BE=BC,延長。七交八。于點。，AD=AC.

C

(1)求證：八。是。。的切線；

(2)若tan/AC￡：=；,0E=3t求BC的長.

【答案】(1)見解析；(2)8

【分析】

(1)根據(jù)可得/BEC=NBCE,根據(jù)對頂角相等可得ZAEO=4EC,進而可得

/BCE=ZAED,根據(jù)AD=AC,可得4OC=NACE,結(jié)合NACB=90。，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化

可得NAE￡>+NO=90。，進而即可證明人。是。。的切線；

pA1

(2)根據(jù)ZADC=Z4CE,可得lanZ)=—=tanZ/4CE=-,設(shè)=貝ij4C=AD=3x,

DA3

分別求得ACA&BC,進而根據(jù)勾股定埋列出方程解方程可得x,進而根據(jù)3c=x+6即可

求得.

【詳解】

(1)vBE=BC,

???/BEC=/BCE,

ZAED=/BEC,

ANBCE=ZAED,

AD=ACt

???ZADC=ZACE,

AB是直徑，

??.ZACH=90。，

/.ZD+ZAED=ZACD+/BCE=ZACB=90°,

AO是。。的切線：

(2)vAD-AC.

ZADC=ZACE,

EA1

tanD=——=tan乙ACE=-,

DA3

設(shè)AE=x,則AC=4O=3x,

OB—OA—AE+OE=3+A,BC—BE—OE+OB=3+x+3=6+x,AB=2OA=2x4-6,

在心“8C中，AC2+BC2=AB2,

即(3A)~+(X+6)~—(2A+6)2?

解得N=2,%2=0(舍去)，

l3C=x+6=S.

【點睛】

本題考杳了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等

將已知條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

28.(2022?中考預測)如圖，已知，在AA8C中，。為A6上一點，CO平分MC8,以。為

圓心，。8長為半徑作（30,130與8c相切于點8,交C。于點D,延長C0交（3。于點E,連接

BD,BE.

（1）求證：4c是回。的切線.

（2）若tan（26O￡=2,8C=6,求團。的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）4.5

【分析】

（1）作。用AC于F,利用角平分線的性質(zhì)證明OF=OB,即可證明AC是團。的切線.

（2）利用圓周角定埋證明團CB西3CD8,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

（1）證明：作。用4c于F,

000與8c相切于點8,0OB0BC,

團CO平分勖CB,

WF=0B,

又。8是半徑，0HMe于F,

MC是團。的切線.

(2)解：(3DE是直徑，

0006￡=90°,

「BE?

Xton^BDE=2?回-2,

DB

由(1),知國OE=OB,OB^BC,

(30056=90°，

^DBC=WBE,

00E=0O8f,

m=^DBC,

又0c=(ac,

00CB￡00CD8,

BEBCCE今

回——=——=——=2,

DBCDCB

團8c=6,

c6CEn

CD6

團CO=3,CE=\2

團0E=9,

000=4.5,即團。的半徑是4.5.

【點睛】

本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，注意掌握輔助線的作

法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

29.(2022?中考預測)如圖，4c是。。的直徑，點A是。。上一點，點。是3c延長線上

一點，AB=ADtAE是。O的弦，4EC=30.

(1)求證：直線4。是的切線；

(2)若8=3,求。。的半徑；

(3)若4E_L8C于點尸，點P為ABE上一點，連接4,，CP,EP,請找出AP,CP,EP

之間的關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析；(2)3；(3)EP+AP=&P,理由見解析

【分析】

(1)先求出(3840=120°,再求出例048,進而得出加4)=90°,即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出M0C是等邊三角形，得出AC=OC,再判斷出4C=C0,即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出國C4P=mC￡M,進而得出蜘CP0團ECM(S4S),進而得出CM=CP,^APC=^M

=30°,再判斷出=即可得出結(jié)論.

2

【詳解】

(1)證明：如圖，連接AC,OA,

vZA￡C=30°.

/.ZA8C=ZAEC=30。，

?,-AB=AD.

ND=ZABC=3G,

NBA。=120°,

QOAFOB,,

N<M3=ZA4C=30°,

/.^OAD=ZBAD-^OAB-90°,

二點A在O。上，

團直線AO是的切線；

(2)解：如圖1,連接AC,

由(1)知，ZD=30°,ZCMD=90°,

,ZAOC^900-Z/>60°,

△AOC是等邊三角形，

:.OC=AC,ZO4C=60°,

/.ZCAD=ZOAD-AOAC=3QO^ZD,

AC=CD=3,

/.(9C=3,

即。。的半徑為3：

(3)EP+AP=y/3CP,

理由：如圖，

QZAEC=3()°,

NAPC=ZAEC=30,

連接AC,延長PE至M,使=連接CM,

A

D

4W

vAELBC,4C為OO的直徑,

:.AC=EC,

???四邊形AAEC是。。的內(nèi)接四邊形,

NCAP=NCEM,

YACPHECM(SAS),

：.CM=CP,NAPC=NM=30\

過點。作于N,

:.PM=2MN,

在RlZXCNM中,8sM上

CM

,33。。=空B

CM2

;.MN=—CM,

2

PM=2MN=GCM=辰P,

QPM=PE+EM=PE+AP,

：.PE+AP=>5CP,

即"+AP=&P.

【點睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和勾股定理，構(gòu)造出

直角三角形是解本題的關(guān)謔.

30.(2021?四川省宜賓市第二中學校一模)如圖，C。為0。的直徑，M