第1章 因式分解 全章提升練習(xí)-2026-2027學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊

第1章因式分解

1.1多項式的因式分解

刷基礎(chǔ)

知識點(diǎn)1因式分解的概念

1[2025湖南懷化期中]下列各式從左到右的變形中是因式分解的有(

&2xy^=2xy6/;?^-6^5/=^(.￥-6>0+5v2;(3)(-2x+3y)(1￥+37)=-4.?+9/3x-6y=3(x-2y);

2

⑤3.巡尸斫口(31)愈1+：+止=(1+1).

A.I個B.2個C.3個D.4個

知識點(diǎn)2因式分解與整式乘法的關(guān)系

2(3x-y)(3x+y)是下列哪一個多項式因式分解的結(jié)果()

49/tr28.-9.3+/

C.^-y2D.-9x2-y2

3若x^-ax-\可以因式分解為(x-2"x+b),則a-b的值為

A.-lB.lC.-2D.2

4由(尸2)(尸1)=丫2-3%+2,可知把￥-3工+2因式分解的結(jié)果是.

5判斷下列因式分解是否正確.

(l)Zv2-2x=2x(x-l);

⑵"+。-2=(4-1)(4+2)；

(3)25。2-30砧+9屬=(5。+3/7)2.

6仔細(xì)閱讀下面例題，并解答問題:

例題：已知二次三項式f-4x+〃?有一個因式是x+3,求另一個因式以及m的值.

解：設(shè)另一個因式是x+n,貝lJx2一4x+"?=a+3)(x+n),所以x2-4x+用=x2+(〃+3)x+3〃,

所以｛"+"4、解得(片一7,

加以,〃尸3〃，1mm%―21,

所以另一個因式是x-7,m的值杲-21.

⑴已知二次三項式有一個因式是2x-3,求另一個因式以及k的值;

⑵若二次三項式。/+3》-7有一個因式是2x+l,求a的值.

2刷易錯

易錯點(diǎn)忽略了結(jié)果中各因式必須是整式

7下列各等式中，從左到右是因式分解的是()

A.(a+b)2=a2+2ah+b2

B.72=2X2X2X3X3

。加一(二(加一3(加十與〃十()

刷提升

1若x2-履T5=(x+a)(x+b),且a,b為整數(shù)廁a+b的值不可能是()

A.14B.2C.16D.-14

2分解因式F+GW.甲看錯了a的值，分解的結(jié)果是(x-3)(x+2),乙看錯了b的值,分解的結(jié)果是(x-2)(x-3),則a+b=

3將爐-尸分解因式的結(jié)果為(『+/)(犬+刃,(x-y),則n的值為.

4如圖(1)所示，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，若①②都是邊長為a的大正方形，③④都是邊長為

⑴觀察圖(1),發(fā)現(xiàn)多項式2。2+5如+2〃可以因式分解為

(2)類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式.如圖(2)表示的是一個棱長為x的正方體挖

去一個小長方體后重新拼成一個新的長方體，請你根據(jù)圖(2)中圖形的變化，寫出一個代數(shù)恒等式(因式分解形式).

刷素養(yǎng)

方法探究：已知二次多項式,r-4x-21,我們把x=-3代入多項式，發(fā)現(xiàn)『-4廠21=0、由此可以推斷多項式中有因

式x+3.設(shè)另一個因式為x+k,多項式可以表示成％2-4%-21=(.什3)(.什《),則有『_4尸21=，+(〃+3).丫+3左因為對應(yīng)項的

系數(shù)是對應(yīng)相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多項式分解因式得r-4尸21=。+3)(尸7)我們把以上分解因式的方法

叫'?試根法

問題解決：

(1)對于二次多項式，-4,我們把x=一代入該式，會發(fā)現(xiàn)/一4=0成立;

(2)對于三次多項式/一2_3,什3,我們把x=l代入多項式，發(fā)現(xiàn)》=2_3/3=0,由此可以推斷多項式中有因式x-

1，設(shè)另一個因式為F+ax+b,多項式可以表示成3—FTY+BRX-1)(X2+QX+D試求出題目中a,b的值；

(3利用“試根法”分解因式：2?+X2-16X-15.

1.2提公因式法

刷基礎(chǔ)

知識點(diǎn)1公因式

1把多項式3“/-9號3因式分解時，應(yīng)提取的公因式是()

A.3xyB.9xy2C.3xy2D.9x3y2

2［將3ab2。_),)3_94風(fēng)》_歷2因式分解，應(yīng)提取的公因式是()

A.3ab(x-y)2B.3alr(x-y)

C.9ab(x-y)2D.3ab(x-y)

3指出下列多項式的公因式：

(1)3〃2廠3研6K

⑵弼一

(3')-21crb3+3()a3b2+9a2b.

知識點(diǎn)2直接提公因式法分解因式

4下列各式的變形中，用提取公因式法分解因式正確的是()

A.\2abc-9a2b2ci=3abc(4-3ab')

B.3x2y-3x)H-6)^3^(x2-x+2j0

C.-a2+ab~ac=~a(a-b+c)

D.x2)H-5xy-y=p(x2+5x)

5因式分解：

(1)5記)，2+1Ox)rz~5xyz;

⑵3缶b-12601b+6近Pa;

(3)4x)'(.v+y)2-6x2yCv+>').

知識點(diǎn)3變形后提公因式分解因式

6已知m為有理數(shù)，則整式“?2(〃!2_］)_〃?2+］的值()

A.不是負(fù)數(shù)B.恒為負(fù)數(shù)

C.恒為正數(shù)D.不等于0

7分解因式4b(3a+l)-9a-3的結(jié)果為一.

知識點(diǎn)4提公因式法因式分解的應(yīng)用

8已知ab=2,a-b=-3,貝［J”/一爐屬的值為（）

A.-12B.12C.-6D.6

9如圖，長方形的長和寬分別為a,b,其周長為20,面積為16,則什融2的值為（）

A.80B.160C.320D.480

10計算:20232-2023x2022=_.

11已知二-31-1=0,則2?-3小-1

刷易錯

易錯點(diǎn)在利用提公因式法進(jìn)行因式分解的過程中出現(xiàn)符號錯誤及漏項

12將多項式-xy（b-a）+y（a-b）提公因式后，另一個因式為（）

A.f-x+lBjr+x+yCAT-X-ID.X2+X+1

刷提升

1下列各組式子中，沒有公因式的是（）

A.-a^+ab與a拈一足b

B.mx+y與x+y

C.（a+b）2與-a-b

D.5m（x-y）與y-x

2已知1+x+1=0,則x202l+x2020+x209+...+x+l的值是（）

A.OB.l

C.-lD.2

3楊輝是我國南宋數(shù)學(xué)家，他著作的《詳解九章算法》中有一道計算問題：已知a+b=l,ab=-l,①由

（々+人）2=々2+人2+24力=1,可得展+序=3；②由（4+人）（42+方2）=43+（力2+屋方+護(hù)=3,可得43+63=4；…，以此類推可計算出

內(nèi)「的值是（）

A.29B.30

C.31D.32

4因式分解：

⑴2（工一“）2（＞+27）+3（2廠x）（x+2y）2.

⑵2。（°-3）2-6^2（3-q）-10a（a-3）

均為大于1的正整數(shù)).

5我們用再表示一個三位數(shù)，其中x表示百位上的數(shù)，y表示十位上的數(shù)，z表示個位上的數(shù)，即

幅=100式+10尸2

(1)說明海+麗十前一定是111的倍數(shù)，

(2)?寫出一組a,b,c的取值、使戒+研+前能被7整除，這組數(shù)值可以是a=,b=___,c=___;

②若正+師+G能被7整除，則a,b,c三個數(shù)必須滿足的數(shù)量關(guān)系是_____.

刷素養(yǎng)

6觀察下列因式分解的過程，回答所提出的問題：

l+x+x(x+l)+.r(x+l)2

=(l+x)[l+x+X^+l)]

=(1+X)2(1+X)

=(1+X)3.

⑴上述分解因式的方法是_,共應(yīng)用了一次；

(2)若分解因式1+.什其什】)+?"+1)2”+4什1)2。23,則需應(yīng)用上述方法一次，結(jié)果是_;

(39解因式l+x+x(x+l)+x(x+l)2i+x(x+l)"(n為正整數(shù)).

1.3公式法

課時1運(yùn)用平方差公式因式分解

刷基礎(chǔ)

知識點(diǎn)I直接用平方差公式因式分解

1下列各式：f—FrZ+pdycy+Qyyy—v，其中能用平方差公式分解因式的有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

2因式分解：176以J

知識點(diǎn)2利用提公因式和平方差公式因式分解

3化簡（。+什-什c）?的結(jié)果為（）

A.4b（a+c）B.4ac

C.2acD.4ab-4bc

4因式分解：a2（A-y）+4（y-x）=—.

5因式分解：-16my2+4〃/=_.

知識點(diǎn)3平方差公式因式分解的應(yīng)用

6當(dāng)x>O,y>O,HxRy時,/（廠刃+/。-%）的值（）

A.總是為正B.總是為負(fù)

C.可能為正，也可能為負(fù)D.不能確定正負(fù)

7對十仕何整數(shù)m,多項式（4〃什5尸-9都能（）

A.被8整除B.被m整除

C被整除D.被2m.i整除

8已知/=15,x?y=5,貝!]2x+y=—.

9用簡便方法計算：

（1）3.14X5.52-3.14X4.52;

（2）20232-2022x2024.

10如圖（1）所示的圓形盤子，圖⑵是其示意圖，外圓半徑是Rem,內(nèi)圓半徑是rem,現(xiàn)在要給盤子環(huán)形部分

（即圖⑵陰影部分）上釉，如果R=10.25j=8.25,請求出陰影部分的面積.（結(jié)果保留兀）

圖（1）圖（2）

刷易錯

易錯點(diǎn)因式分解時因分解不徹底而出錯

II在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：81/-16/.

麗華的解題過程如下:

解:原式=(9a2+4b2)(9a2-4b2).

請問麗華因式分解的結(jié)果正確嗎?如果不正確，請把正確的解題過程寫出來.

課時2運(yùn)用完全平方公式因式分解

刷基礎(chǔ)

知識點(diǎn)1用完全平方公式因式分解

1下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是

4』+2冷葉4/B.X2-X+\

4

C^2~2X+\O_d+6x+9

2若4X2-（R1）X+9能用完全平方公式因式分解，則k的值為)

A.±6B.±12

C」13或11D.13或山

3因式分解:

(l)l+10x+25x2;(2)-X2+4AT-4)^2;

⑶4f+3(4Q3j，2);(4)^/-^2+16.

4對一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解時，換元法是一種常用的方法.下面是小影同學(xué)用換元

法對多項式（f-以+2）（/-4.什6）+4進(jìn)行因式分解的過程.

解：設(shè)4尸必

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

Y2+8）升16（第二步）

（MR第三步）

=(7-4升4)2.(第四步)

（IM、影同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?____（填',徹底”或“不徹底:'）；若不徹底，請你幫她直接寫出因式分解的

最后結(jié)果：?

(2請你模仿以上方法嘗試對多項式(f+2x)(f+2x+2)+l進(jìn)行因式分解.

知識點(diǎn)2利用提公因式法和完全平方公式因式分解

5把多項式-2?+12?-18x分解因式，結(jié)果正確的是()

/l-2x(.r2+6x-9)B-ZrCv-3)2

C.-2x(x+3)(x-3)O.-2JT(X+3)2

6因式分解：

(\')(a+b')-2a(a+b')+a2(a+力);

(2)2ax3y4+4ax4y2+2ax5;

⑶/一療力2+t加

知識點(diǎn)3完全平方公式因式分解的應(yīng)用

7已知a+b=l,ab=-6,貝U護(hù)的值為()

A.-150B.-39C.-6D.-36

8如圖，有三種規(guī)格的卡片共9張，其中邊長為a的正方形卡片4張，邊長為b的正方形卡片1張，長、寬分

別為a,b的長方形卡片4張.現(xiàn)使用這9張卡片拼成一個大的正方形，則這個大正方形的邊長為()

A.2a+bB.4a+bC.a+2bD.a+3b

9不論x,y取什么有理數(shù)，代數(shù)式占產(chǎn)叨-4八7的值()

A.總不小于2是個講題鴨

B.總不小于7

C可為任＜可有理數(shù)

D.可能為負(fù)數(shù)

10已知x^y,且滿足兩個等式，2尸2023?J2—2X=20232,則占的注爐的值為

刷提升

1已知(團(tuán)+2爐+2加+4n+l=0,則(m+2〃)2024的值為()

A.-lB.-2C.lD.2

2利用因式分解計算：2022+202>：196+982=

微專題1十字相乘法與分組分解法

3某些形如(x+p)(x+q)的二次三項式可利用十字相乘法分解因式.十字相乘法：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十

字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)

和，使其等于一次項系數(shù)，如：將式子好+3/2分解因式，如圖，f+3x+2=Cr+l)(x+2).

1x2+1x1=3

請你用十字相乘法將下列多項式分解因式：

(1)爐+7廠18;

(2)2^-7^+3；

(3)X2+(2-W)X-2//L

4常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述一種方法無法分解.如

』-4產(chǎn)-2x+4_y,細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前、后兩部分分別因式

分解后又出現(xiàn)新的公因式，再次提取公因式就可以完成整個式子的因式分解.具體過程如下：

x2-4>,2-2x+4y=(x2-^12)-(2x-4jO=(x+2;0-(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫作分組分解法.

利用分組分解法解決下面的問題：

(1汾解因式：9〃，一4『+4孫-y2;

(2汾解因式：4a2+4a-4(rb2-b2-4ab2+1.

刷素養(yǎng)

5如果一個多項式不是完全平方式，我們常常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式,

再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫作配方法.配方法能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題，或求代數(shù)式

最大值、最小值等問題.

例如：X2+2X-3=(X2+2X+1)-4=(x4-1)2-4=(X+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1);

2?+4x-6=2(f+2x+l)-8=2(工+1)2-8廁當(dāng)x=-l時,2?+4x-6有最小值，最小值是-8.

根據(jù)材料用配方法解決下列問題：

(1)因式分解：X2-6X-1=;

(2)當(dāng)x為何值時，多項式-2/-4.什3有最大值?并求出這個最大值；

(3)已知2a2+362-4々+12/>+14=0,求出a,b的值.

第1章因式分解全章考點(diǎn)訓(xùn)練

考點(diǎn)1因式分解的概念

1下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是()

A.(?+3)2=a2+6a+9

B./-44+4=4(4-4)+4

C.5ax2-5a)>2=5a(^x+y)(x-y)

D.tZ2-26f-8=(67-2)(67+4)

考點(diǎn)2利用提公因式法進(jìn)行因式分解

2因式分解：m2-3m=

3因式分解：x2+x)^xz-yz=.

考點(diǎn)3利用公式法進(jìn)行因式分解

4分解因式4a2-1=()

A.(2a-l)(2a+l)B.(a-2)(a+2)

C.(a-4)(a+l)D.(4a-l)(a+l)

5分解因式：/_4孫+4^2=

考點(diǎn)4提公因式方法與公式法的綜合應(yīng)用

6分解因式：a3~9a=()

A.a(a-3)(a+3)B.t/(?2+9)

C.(a-3)(a+3)D.o2(a-9)

7分解因式：3ax2-6axy+34=_.

考點(diǎn)5因式分解的應(yīng)用

8如果a+b=3,ab=l,那么涼6+2。2"+<力3的值為()

A.OB.lC.4D.9

9若k為任意整數(shù)，則（2%+3）2-4k2的值總能（）

A.被2整除B.被3整除

C被5整除D.被7整除

10定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)m,n的平方差，且則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”例

如，16=52-316就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用〃，一2=（〃?+〃）（〃?_〃）進(jìn)行研究若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3

個智慧優(yōu)數(shù)是一；第23個智慧優(yōu)數(shù)是—.

11已知實(shí)數(shù)a,b.c,m,n滿足3m+n=-,mn=-.

aa

（1斌說明:川-12“c為非負(fù)數(shù)；

（2）若a,b,c均為奇數(shù)，m,n是否可以都為整數(shù).說明你的理由.

第1章因式分解全章練習(xí)

一、選擇題（本大題共24分，每小題4分）

1下列各式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）

A.a（x-y）=ax-ay

B.a2-b2=（,a+b）（a-b）

C.，-4工+3=464）+3

D.a2+\=a（^a+^

2多項式12az>2-8〃2反的公因式是（）

A.4abB.4a2b2C.2abD.2abc

3下列多項式不能用公式法因式分解的是（）

A.a2-8a+16B.

216

C.-a2-9D.a2-4

4王林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x-l,a-b,3/2+1,a,x+l分別對應(yīng)六個字：

底，愛，我，數(shù),學(xué)，婁，現(xiàn)將1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A.我愛數(shù)學(xué)B.愛婁底

C我愛婁底D.婁底數(shù)學(xué)

5已知54-1能被20?30之間的兩個整數(shù)整除，則這兩個整數(shù)是（）

A.25,27B.26,28C.24,26D.22,24

6已知m,n均為正整數(shù)且滿足mn-2m-3n-2（）=0,則m+n的最小值是（）

A.20B.30C.32D.37

二、填空題(本大題共24分，每小題4分)

7已知m2+加一1=0,貝J]m3+2刑2+1=_

8因式分解8的結(jié)果為(x+p)(x+q),其中m,p,q都為整數(shù)貝」m的最小值是___.

9我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式時，可以用幾何圖形來推理論證.受此啟發(fā)，在學(xué)習(xí)因式分解之后，小明同學(xué)將如圖(1)

所示的一張邊長為a的正方形紙片剪去2個長為a,寬為b的長方形以及3個邊長為b的正方形之后，再剪切拼接

成了如圖(2)所示的長方形.觀察圖(1)和圖⑵的陰影部分，請從因式分解的角度，用一個含有a,