高中數學：向量的數量積（一）

6.2.4向量的數量積（一）

【學習目標】1.理解平面向量夾角的概念，會求兩向量的夾角2理解平面向量數量積的概念，會計算平面向

量的數量積.（重點）3.通過幾何直觀了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.（難點）

【導語】

前面我們學習了向量的線性運算，包括加法、減法和數乘運算，類比數的運算，向量能否相乘？如果能，

那么向量的乘法該怎樣定義？讓我們帶著這些問題共同開啟今天的探索之旅吧！

一、向量的數量積的概念

問題初中物理課中我們學習過功的概念，請大家寫出物理中功的計算公式，并用文字語言表述功的計算

公式.

提示如圖所示，一物體在力尸的作用下產生位移s,那么力萬所做的功W=|mMcos夕文字敘述為功是力

與位移的大小及其夾角余弦的乘積.

上

知識梳理

1.兩向量的夾角：已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點，作OB=b,則/

A^=e（0W6W7i）叫做向量a與b的夾角，如圖所示.

當（）=0時，a與b同向;

當歸兀時，a與b反向.

2.兩向量垂直：如果a與》的夾角是》我們說。與力垂直，記作

3.兩向量的數量積

已知兩個非零向量。與從它們的夾角為仇我們把數量㈤歷Icos2叫做向量a與b的數量積（或內積），

，己?（乍ab,即。彷二|a||b|cos夕.

規定：零向量與任一向量的數量積為。

注意點：

（1）按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，這一點在平面圖形中

找向量夾角時更需注意.如圖所示，N84C不是向量石?與通的夾角.作而二石5,則N84O才是向量石?與而

的夾角.

/B

Xz

D

(2)數量積運算中間是“?”，而且此處的不能省略，也不能寫成“X”.

(3)向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可正、可負、可為0.

(4)設兩向量5的夾角為仇貝ijcos敘能.

例1(1)(課本例9)已如同=5,網=4,。與占的夾角〃=斗，求。.尻

解a-b=\a\\b\cos^=5x4xcos學

=5x4x(-10.

(2)(課本例10)設⑷=12,步|=9,a-b=-54V2,求a與〃的夾角0.

解由a-b=\a\\b\cos得

因為昨［0,兀］,所以任營.

例1(1)已知⑷=4,網=5,

①當。〃力時，ab=；

②當a_L力時，ab=；

③當Q與力的夾角為30。時，ab=.

答案①20或-20②0③108

解析①a〃。，若。與。同向，則＜9=0°,

a-h=\a\\h\cos0°=4X5X1=20；

若。與b反向，則％180。，

。北|〃||b|cos180°=4X5X(-1)=20.

②當a_Lb時，月90°,ab=\a\\b\cos90°=0.

③當a與方的夾角為30。時，a-b=\a\\b\cos30°=4X5Xy=l0V5.

(2)已知△A〃C是邊長為6的正二角形，則荷?說=.

答案-18

解析如圖，

A

△48C是邊長為6的正三角形，

所以|而|二|近|=6,ZABC=60°,

所以檢?正二|而||玩|cos(180°-60°)=6X6X(-1)=-18.

(3)已知⑷=6,網=4,|a?切=12,求。與b的夾角.

解因為。協二|"M|cos〈a,b),

所以|Qb|二||a||b|cos(a,b)|

=|a||Z>||cos(*b)|=12.

又⑷=6,步|=4,

所以|cos<?,力端=涪

所以cos(a,b}=±1.

因為(。，b)e[0,7t],

所以。與力的夾角為黑當

?5J

反思感悟(1)求平面向量數量積的步驟

①求a與力的夾角。，6>e[0,7t]；

②分別求⑷和步I；

③求數量積，即。?歸。物cos"

(2)求向量夾角的方法：①幾何法.借助圖形求兩個向量夾角時，首先要使兩個向量起點重合，從而找到兩

個向量的夾角，然后再觀察向量夾角與圖形內角的關系，從而確定夾角大小.

特別地，。與)的夾角為伍玲。與22伙九,22是非零常數)的夾角為仇，當丸丸2Vo時,%=180。-必當2出>0

時，&尸0.②代數法.向量a,b夾角的余弦值為cos〈a,b)=77^7-

|a||b|

跟蹤訓練1(1)已知向量。，》在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1,

貝1Jab=.

答案-4

解析由圖可知步|=2,|a|=2V2,解b>=135°,

所以a-b=\a\\b\cos135°=2V2X2X(-y)=-4.

⑵在等腰直角三角形48c中，AB=BC=5,則說.玩二,BCCA=.

答案0-25

解析由題意，得|荏|=5,|5?|=5,|G4|=5V2,所以同.瓦=5X5Xcos9(T=0,

fiC-C4=5X5V2XcosI350=-25.

二、投影向量

1.如圖，設a,b是兩個非零向量,AB=a,而=b,作如下的變換：過血的起點A和終點B,分別作而

所在直線的垂線,垂足分別為4.當,得到不瓦,我們稱卜述變換為向量〃向向量方投影.不瓦叫做

向量。在向量力上的投影向量.

B

A

b；

C4BiD

2.如圖，在平面內任取一點。，作麗=a,ON=b,過點M作直線ON的垂線，垂足為則西就是

向量。在向量力上的投影向量.設與〃方向相同的單位向量為e，。與力的夾角為仇則兩與e,a,0

之間的關系為。M；=|a|cos0e=^b.

bM、N

注意點：

向量。在向量力上的投影向量是一個向量，它與向量。共線，其大小為IMIcosq,其中。為向量。與力的夾

角.

例2已知⑷=5,|加=4,。與力的夾角＜9=120。，與〃同向的單位向量為e.

⑴求ab\

(2)求。在〃上的投影向量.

解(1)。方=|0|網cos?

=5X4Xcos120°=-10.

(2)。在b上的投影向量為

1aleos夕c二苗e=-與e:|c.

反思感悟(1)任意非零向量a,e為與向量。同向的單位向量，則e"：；.

1?1

⑵任意的非零向量。在另一非零向量力上的投影向量等于同cos陽0為向量4,力的夾角，e為與力同向的

單位向量).

跟蹤訓練2已知|a|=6,e為單位向量，當向量a,c的夾角等于45。時，向量。在向量cHl勺投影向量

是.

答案3或e

解析因為向量a,e的夾角等于45。，|a|=6,e為單位向量,

所以向量。在向量e上的投影向量為⑷cos45°e=3V2e.

三、向量數量積的性質

設。，〃是非零向量，它們的夾角是ae是與b方向相同的單位向量，則

(1)flre=ea=|a|cos0.

(2)a_L》=a〃=0.

E%//AH4夕網,Q與b同向，

(3)當。〃＞時，ah=

「|a||b|,a與b反向.

特另U1也，a-a=|a|2或悶=＞/a?a.

(4)|〃創三⑷團.

例3（多選）對于任意向量。，b,c,下列命題不正確的是（）

A.若“仍二0,則。與。中至少有一個為0

B.向量。與向量b夾角的范圍是［0,兀）

C.若a_Lb,貝ijab=0

D.⑷=V淳

答案AB

解析ab=0=>a_L。或a=0或b=0,所以A錯誤；

向量夾角的范圍是［0,兀］,所以B錯誤；

由數量積的性質知C正確；

因為aa=|a||a|cos0=|a|2,

所以同/溟，所以D正確.

反思感悟（1）若。功二0,則a和力中至少有一個零向量或a,〃均為非零向量，且aJ_b.

（2）同二Va?a是求向量長度的工具.

跟蹤訓練3（多選）下列命題正確的有（）

A.flO=O

B.O-AS=BA

C.若aWO,則對任一非零向量從都有。歷#0

D.若非零向量。與〃不垂直，則

答案BD

解析A項，?0=0,故A錯誤；B項，0-而二瓦?，故B正確；C項，若。_LA,則“6:0,故C錯誤；D

項,若。，力為非零向量，且。與力不垂直，則4彷￥0,故D正確.

■課堂小結-------------------------------------------------------------------------------------

1.知識清單：

（1）向量數量積.

（2）投影向量.

（3）向量數量積的性質.

2.方法歸納：數形結合.

3.常見誤區：求向量夾角時需要把向量起點重合才行，尤其是在平面圖形中研究向量夬南時要注意夬角與

圖形的內角之間是否相等.

—隨堂演練_____________

［

I.已知在平行四邊形A8C。中，ZDAB=60°,則而與前的夾角為（）

A.30°B.60°

C.120°D.15O°

答案C

解析如圖，ND48=60。，則而與而的夾角為NA8C=120。.

D_______C

KrnB

2.已知間二百，網=275,。與〃的夾角是120。，則。力等于()

A.3B.-3C.-3V3D.3百

答案B

解析由數量積的定義，得a-b=\a^b\cos120。二8X28X(-1)=-3,

3.已知同-2,e為單位向量，若a在e上的投影向量為-e,則a與e的夾角為

答案Y

解析。在e上的投影向量為(a?e)e=e,則a-e=l.

又同=2,|e|=l,

所以a-e=2義1Xcos〈a,e)=-1,則cos(a,e〉=-1,又(a,e)[0,兀],

則(a,e)號.

4.已知等邊△A8C的邊長為1,CB=a,CA=b,AB=c＞那么ab+"c+c?a二

答案!

解析由題意得，|a|=|^|=|c|=l,

(a,b)=60°,6,c〉=120°,(a,c)=60°,

所以ab+bc+c-a

=|a||Z＞|cos(a,b)+|8||c|cos(b,c)+|a||c|cos(a,c)

=IX,Xcos60°+1X1xcos1205X1XCOS60。小為

課時對點練

[分值：100分J

單選題每小題5分，共30分；多選題每小題6分，共18分

基礎鞏固

1.已知⑷=1,向=2,。與力的夾角為g則。力等于()

A.lB.2C.3D.4

答案A

解析a-b=\a\\b\cos1X2X1=1.

2.若a協＜0,則。和。的夾角。的取值范圍為()

A.；,T[)B,Q,71

C.替T陪K)

答案B

解析。仍二|aM|cos〃<0,Acos0<0,

V6>e[0,捫，IT].

3.（多選）下列說法正確的是（）

A.向量。在向量b卜?的投影向量可表示為甯白

向網

B.若必歷>0,則。與b的夾角e的取值范圍是[o,與

C.在RlZXABC中,ZA=90°,AB=AC,則福近的夾角為45。

D.若非零向量。和b滿足a_Lb,則。仍=0

答案ABD

解析對于選項A,根據投影向量的定義知A正確；對于選項B,丁。力二⑷網cose>0,Jcos少>0,又:

OWJWTT,???6￡[0,^）,故B正確；對于選項C,易知而與灰的夾角為135。，故C錯誤；對于選項D,

a±b=>ab=O,故D正確.

4.在等腰RtZXABC中，若NC=9（）。，AC=&,則瓦5瓦的值等于（）

A.-2B.2C.-2V2D.2V2

答案B

解析BABC=\BA\\BC\cosZABC=2XV2Xcos45°=2.

5.設a,e均為單位向量，當a,e的夾角為?時，。在e方向上的投影向量為（）

A.一爭B.*C.^eD爭

答案B

解析由題意，a在e方向上的投影向量為同cos?e=l義（一）二劣.

6.（多選）已知向量a,力滿足|a|=3|b|=。?力=3,則下列結論正確的是（）

A.aLbB.a〃b

C.|a+b|=4Y）.\a-b\=2

答案BCD

解析由⑷二3|加=。?方二3,

可得|回=!

a-b=\a\\b\cos<a,b）=3cos（?,b}=3,

所以cos（a,b）=1,因為（a,b）W[0,兀],

所以（a,b）=0,

所以a=3b,a//b,\a+b\=4,\a-b\=2.

7.己知|臼=3,。在力上的投影向量為少,則。力的值為（）

91

A.3B.-C.2D.-

22

答案B

解析設a與力的夾角為0,

V|a|cos哈:,，

**-l?|cos咕§

3

|a|cos0=-乙,

39

?.a-b=\a\\b\cos0=3X

8.（5分）已知|。|=2,|例二百，ab=3,則。與8的夾角為.

答案30°

解析因為悶=2,1^|=V3,ab=3,

所以a?5二|a|網cos〈a,b}

=2XV3Xcos〈a,b）=3,

所以cos<a,b）=y,

因為0°W（a,b>W180°,

故〈a,b）=30°.

9.（5分）已知同二2|例WO,且關于x的方程f+|水+a功=0有實根，則a與b的夾角的取值范圍

是.

答案小T

解析設。與〃的夾角為仇由題意可得，

A=\a\~-4a-b^0,

V|a|=2|^|,

.??cos〃W：,又0￡[0,n],

???噬,n.

10.（10分）已知⑷=2,

（1）若小=3,a//b,求a?岳（4分）

⑵若〃彷二4,|ft|=2V2,求。與b的夾角之（3分）

（3）若。山二6a與「的夾角為150。,求步|.（3分）

解⑴因為從=3,所以（|二V5.

當。〃力時，有兩種情況，

①。與8的夾角為0。時，a-b=\a\\b\cos00=2XV3X1=273；

②0與b的夾角為180。時，a^=|a||^|cos180°=2XV3X（-1）=-2V3.

所以a-b=2yj3^-2y/3.

（2）a-b=\a\\b\cos0=2X2^2Xcos0=4,

所以cosG4,又ew[o,KJ,所以e=；.

24

（3）當4與方的夾角為150。時，

。?。二同向cos1500

=2X|MX（-^）=-6,所以步|二2百.

IE"綜合運用

II.已知非零向量。，b,。滿足a+Hc=0,向量力的夾角為120。，且制二2|a|,則向量〃與c的夾角為

（）

A.1500B.30°C.1200D.60°

答案A

解析由題意畫出圖形，如圖，因為a,b的夾角為120。,所以NCA8=60。，又步|二2|a|,所以NAC8=90。,

所以/A8C=30。，則向量方與c的夾角為150。.

B

\

c2_

12.（多選）已知正方形A8CO的邊長為2,向量a,b滿足通=2a,AD=2a+b,則（）

A.\b\=2>/2

B.aLb

C.ab=2

D.向量b在a上的投影向量為-2a

答案AD

解析如圖，取43的中點E,

u

則荏二2祥2a,

.\AE=a,b=AD-2a

二而-近二前.

??.|引=|麗|=2或，故A正確；

ab=AEBD=^X2X2V2X（-y）=-2,故B,C錯誤；

結合圖形容易知道，向量b在。上的投影向量為瓦5=2%故D正確.

13.（5分）已知點A,B,C滿足|而|=3,|近|=4,\CA\=5,則而.瓦+正?方+而?府的值是.

答案-25

解析y\CA\2=\AB\2+\BC\\

Z^=90°,：.ABBC=0.

43

VcosC=-,cosA=-,

J