第二章初等模型

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3汽車剎車距離2.4實(shí)物交換2.5啟帆遠(yuǎn)航2.1

公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2

，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時(shí)p1/n1>p2/n2

，即對(duì)A不公平~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義rB(n1,n2)

將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定義1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B

定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計(jì)算，三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！模型假設(shè)

錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v

；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即3.考慮用微積分的方法建模(課后練習(xí))模型建立思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。思考參數(shù)估計(jì)另一種確定參數(shù)的方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b

即可。2.3

汽車剎車距離美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題

正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時(shí)，后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長度。

實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：

后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)

2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問題分析常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(shí)(

16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車的質(zhì)量m成正比

反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì)

利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法

k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.4

實(shí)物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對(duì)甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點(diǎn)連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點(diǎn))

互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的

y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p’,(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作ABABp

交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價(jià)交換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CDAB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向簡化問題AB

風(fēng)向北航向帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向

，帆

以及帆的朝向

2.5

啟帆遠(yuǎn)航模型分析

風(fēng)(通過帆)對(duì)船的推力w

風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè)

w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且

s1遠(yuǎn)大于

s2，f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力w1=wsin(

-

)f1=w1sin=wsin

sin(-