北師大版九年級數學上冊 第1課時 正方形的性質（導學案）

第1章特殊平行四邊形

1.4正方形的性質與判定

第1課時正方形的性質

【學習目標】

1.通過觀察、比較、動手操作探究正方形邊、角、對角線、對稱的性質，培養學生的歸

納探究能力和數學表達能力.（重點、難點）

2.利用正方形的性質定理進行計算或證明，培養學生分析問題和解決問題的能力.（難點）

學習重點：通過觀察、比較、動手操作探究正方形邊、角、對角線、對稱的性質，培養

學生的歸納探究能力和數學表達能力.

學習難點：利用正方形的性質定理進行計算或證明，培養學生分析問題和解決問題的能

力.

【復習導入】

平行四邊形矩形特殊性質菱形特殊性質

邊對邊平行且相等

性質角對角相等，鄰角互補

對角線對角線互相平分

【合作探究】

探究點：正方形的性質

觀察-思考

（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？

（2）你認為正方形具有哪些性質？與同伴交流.

總結：正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱

形有的性質，正方形都有.

平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系:

探究：從正方形的邊、角、對角線出發，寫出正方形的性質，并證明其中的一些結論。

正方形的性質

定理正方形的四個角都是直角，四條邊相等.

定理正方形的對角線相等且互相垂直平分.

證一證

(1)己知：如圖，四邊形ABCD是正方形.

求證：正方形ABCD四邊相等，四個角都是直角.

(2)已知：如圖，四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.

求證：AO=BO=CO=DO,AC±BD.

判一判

根據圖形所具有的性質，在下表相應的空格中打y”.

性質'圖形平行四邊形矩形菱形正方形

對邊平行且相等

邊

四邊相等

角四個角都是直角

對角線相互平分

對角線相互垂直

對角線

對角線相等

每條對角線平分一組對角

典例精析

例1如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，F為BC邊延長線上一點,

且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.

例2如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形,

求證：ZEAD=/EDA=15。.

變式題1:四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊為邊作等邊△ADE,求

ZBEC的大小.

變式題2：如圖，在正方形ABCD內有一點P滿足AP=AB,PB=PC,

連接AC、PD.

(1)求證：△APB^ADPC；

(2)求證：NBAP=2/PAC.

嘗試?交流

如圖，四邊形ABCD是正方形。

(I)在圖中畫一個菱形，使菱形的兩個頂點分別與點A,C重合，則菱形的另外兩個頂

點需要滿足怎樣的條件？試一試，并與同伴交流你畫圖的理由。

⑵在圖中畫一個矩形EFGH,使矩形的四個頂點E,F,G,H依次在正方形ABCD的

邊AB,BC,CD,AD上，則矩形EFGH的四個頂點需要滿足什么條件？試一試，并

與同伴交流你畫圖的理由。

當堂反饋

1.正方形具有而菱形不具有的性質是()

A.對角線互相垂直平分

B.內角之和為360。

C.對角線相等

D.一條對角線平分一組對角

2.如圖，在正方形A8C。中,對角線AC,8。相交于點O.

第2題圖

(l)NA8O=°,ZAOB=°；

⑵若正方形ABC。的面積為9,則48=,對角線8。的長為

(3)圖中共有個等腰直角三角形.

3.如圖，正方形AAC。的頂點氏。都在x軸上，若點A的坐標是(一2,8),點C的坐

標是(6,0),則點。的坐標是.

第3題圖

4.如圖，E＞是正方形A8C。內一點，且△E48是等邊三角形，則NA￡)E=1

第4題圖

5.如圖，直線/過正方形ABC。的頂點點4,C到直線/的距離分別為3和5,則正

方形ABCD的面積為.

第5題圖

6.如圖，過正方形A8C。的對角線8。上一點P,作尸E_L8C于點E,PFLCD于點F,

連接AP,EE求證：AP=EF.

參考答案

證一證

（1）證明：???四邊形ABCD是正方形.

AZA=90°,AB=AD（正方形的定義）.

又???正方形是平行四邊形，

???正方形是矩形（矩形的定義），

正方形是菱形（菱形的定義）.

ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

AB=BC=CD=AD.

(2)證明：???正方形ABCD是矩形,

「?AO=BO=CO=DO.

,/正方形ABCD是菱形，

.??AC±BD.

判一判

根據圖形所具有的性質，在卜.表相應的空格中打7”.

性質'圖形平行四邊形矩形菱形正方形

對邊平行且相等V

邊VVV

四邊相等VV

角四個角都是直角VV

對角線相互平分V

對VVV

角對角線相互垂直VV

線對角線相等VV

每條對角線平分一組對角VV

典例精析

例I解：BE=DF,且BE1DF.理由如下:

①;四邊形ABCD是正方形.

ABC=DC,ZBCE=90°,

/.ZDCF=180°-ZBCE=180°-90°=90°.

AZBCE=ZDCF.

又?:CE=CF,

???△BCE絲ZXDCF(SAS).

???BE=DF.

②延長BE交DF于點M.

VABCE^ADCF,

/.ZCBE=ZCDF.

"DCF=90。，

???ZCDF+ZF=90°.

ZCBE+ZF=90°.

AZBMF=90°,ABE1DF.

綜和①②可知，BE=DF,且BE±DF.

例2證明：???△BEC是等邊三角形，

/.BE=CE=BC,ZEBC=ZECB=60°.

???四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD,ZABC=ZDCB=90°.

/.AB=BE=CE=CD,ZABE=ZDCE=30°.

/.△ABE,△DCE是等接三角形.

，ZBAE=ZBEA=ZCDE=ZCED=75°.

AZEAD=ZEDA=90°-75°=15°.

【變式題1】

解：當點E在正方形ABCD外部時，

如圖①，AB=AE,ZBAE=90°4-60°=150°.

.,.ZAEB=15°.

同理可得NDEC=15。.fflCi)

ZBEC=60°-15°-15°=3O°；

當點E在正方形ABCD內部時，如圖②,

AB=AE,ZBAE=90o-60°=30o.

ZAEB=75°.圖②

同理可得NDEC=75。.

JZBEC=360o-750-75o-60°=15()。.

綜上所述，ZBEC的大小為30。或150。.

【變式題2】

(1)證明：???四邊形ABCD是正方形,

AZABC=ZDCB=90°.

PB=PC,

AZPBC=ZPCB.

:.ZABC-ZPBC=ZDCB-ZPCB,

即ZABP=NDCP.

又?.?AB=DC,PB=PC,

AAAPB^ADPC.

(2)

證明：???四邊形ABCD是正方形，

.,.ZBAC=ZDAC=45°.

VAAPB^ADPC,/.AE=DP.

又YAP=AB=AD,

:.DP=AP=AD,

即△APD是等邊三角形.

AZDAP=60°.

AZPAC=ZDAP-ZDAC=15。，

ZBAP=ZDAB-ZDAP=30°.

AZBAP=2ZPAC.

嘗試?交流

(1)條件：另外兩個頂點在正方形對角線BD上，且關于AC對稱(或到AC與BD交

點的距離相等)。

理由：菱形對角線互相垂直平分，

正方形中BD1AC且互相平分，滿足菱形性質。

(2)條件：AE=CG、AH=CF

(或鄰邊互相垂直)。

理由：可證EFGH是平行四邊形且有直角，符合矩形定義。