高二數學下學期期中模擬卷01（人教A版）含答案

2025-2026學年高二下學期期中模擬卷01

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：人教A版（數列+導數+計數原理+概率）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.下列求導止確的（）

11

A.x+—

X)

1

B.[In(2x+D]'=

2x+\

C（門'j（x+l）

.I"一，

D.（xsinx）=sin.v+xcosx

2.已知函數/（x）的導函數為/'（x）,滿足/（x）=3/-4（3）+2,則/⑴=（）

A.-3B.-8C.3D.8

3.某學校在讀書節活動中，甲，乙，丙3個班各有2名同學獲獎，現將這6人站成一排拍照，其中甲班的

2名同學相鄰，且乙班的2名同學不相鄰的站法種數共有（）

A.36種B.72種C.144種D.288種

4.設數列｛%｝滿足=9包，且則。202，=（）

A.—2B.—C.~D.3

32

5.學校要從5名男生和3名女生中選擇2人組成“研學團”,在男生中被選中的條件下，研學團中男生人數

多于女生的概率為（）

142

A.-B.-D.

773

1/10

6.已知函數/（x）=4c「公」在（0,+e）上單調遞增，則。的取值范圍是（）

（c3l（e-'l（e4l「小1

A.心一司B.心司c.d司D.歷叼

7.已知數列｛可｝滿足q=33,-—%=2〃，則半的最小值為（）

21八l—53~33

A.--B.2v33—1C.—D.—

255

8.已知實數》,，滿足ln（4x+y-4）+4—e*3）T-2x-4.yN0,則2x+3y的值為（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得（）分.

9.數列｛q｝的前〃項和為S”，且4川+4=匕-1,下列說法正確的是（）

A.若｛%｝為等差數列，則血｝的公差為1

B.若｛5｝為等差數列，則｛嗎的首項為1

530=445

D.S2n>4/z—3

10.有三個相同的箱子，分別編號1,2,3,其中1號箱內裝有4個綠球、1個紅球，2號箱內裝有2個綠

球、3個紅球，3號箱內裝有5個綠球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能從三個箱子中任取一箱并從中

摸出一個球，事件4表示“取到，?號箱。=1,2,3）”，事件8表示“摸到綠球”，事件C表示“摸到紅球”，則（）

7

A.*可4)=]B.尸(3⑷+P(C|4)=P(4)

D.*忸)=2

\715

11.設函數/（力=2/+3奴2一］,則（）

A.當0>1時，/（》）有三個零點

B.當〃<0時，x=0是/（x）的極大值點

C.存在“力eR,使得X=b為曲線y=/（x）的對稱軸

D.存在awR,使得點（1J⑴）為曲線》=/（x）的對稱中心

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.僅-力6+亡)的展開式中X，的系數為

13.已知等比數列｛《｝的前〃項和S“二h3"-3(%是常數)，則A的值為.

14.若不等式爐-對x.o,+oo)恒成立，則〃?的取值范圍是.

四,解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知的展開式中，第5項與第3項的系數之比為7:6.

(1)求〃的值；

(2)求展開式中二項式系數最大的項；

2n

(3)若(2x-l)"=a(>+a]x+a7x+???+a?x,求1%1+1《l+l的l+…+1。」的值.

16.(15分)甲、乙、丙三人投籃，甲每次投中的概率為乙每次投中的概率為：，丙每次投中的概率為

42

p(Dvp<1),設每人每次投籃是否命中相互之間沒有影響.

(1)甲、乙每人投3次，試比較甲恰好投中1次的概率與乙恰好投中1次的概率的大小；

(2)丙投籃3次，當P為何值時，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.

17.(15分)已知數列｛q｝中，a尸g,且滿足《用-3%+1=0(〃eN*).

⑴證明：數列卜二；,為等比數列：

⑵求｛〃“｝的通項公式；

3"1

(3)令a=------,S"為數列｛"｝的前〃項和，證明：Sn<-.

7

18.(17分)已知函數/(》)=，+/,g(x)=xlnx+(〃+l)x.

⑴當。=1時，求g(x)的單調區間；

(2)若fa)Ng(x),求。的取值范國;

(3)若/(x)=g(x)有兩個實數解不，/，證明：In再+lnx2<0.

19.(17分)已知函數/(x)=sinA-aYcosx,qeR.

⑴當。=1時，求函數/(“在x=f處的切線方程；

⑵Ke］。身時;

(i)若/(x)+sin2x>0,求”的取值范圍;

(ii)證明：sin2x-tanx>x3.

2025-2026學年高二下學期期中模擬卷01

數學參考答案

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

91011

ADACDABI）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.-13

13.3

14.[21n2-2,+<x））

四'解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

【詳解】（1）解：由二項式展開式的通項公式為&=C；（2x）"[+J=（-l）r2-X；r2\（2分）

因為第5項與第3項的系數之比為7:6,可得^^=（〃_2誓—3）（3分）

乙

nHoO

即-50=0，解得〃=10或〃=-5（舍），所以〃=10.（4分）

（2）解：由（1）知二項式（2—1）,（S分）

根據二項展開式的性質，可得展開式中的底6項的二項式系數最大，（7分）

x）H=-8064.（8分）

所以展開式中二項式系數最大的項為7；=C：°（2

（3）解：由（1）知，二項展開式的通項為二1

當"=1,3,5,7,9時,展開式的項的系數為負；

當，=0,2,4,6,8,10時，展開式的項的系數為正,（11分）

5/10

所以1%i+mi+&i+…+1。1（）1=生-。1+6+…+4o

令二=一1，可得141+lqI+&什…+l4ol=%-卬+的一%+…+與=斗，

即@1+1%1+1引+…+14卜弧（13分）

16.（15分）

【詳解】（1）甲恰好投中1次的概率為（：；,（3丫=0，（2分）

乙恰好投中1次的概率為C；-」d=3=*<2,（4分）

2⑴86464

所以甲恰好投中1次的概率大.（5分）

（2）丙恰好投中1次的概率為C；?p-（l-p）2=3p（l-pf.（7分）

令/'（x）=3x（l-x『=-6x2+3;,0<x<l.（9分）

求導得：/'（x）=9/-12x+3.（10分）

由「（力>0,解得0<x<；,故/⑴在（0。上單調遞增：

由/'（力<。，解得gc<l,故/（X）在6,1）上單調遞減，

所以小）2=/《）=?（14分）

所以當p=§1時，丙恰好投中1次的概率最大，最大值為14.（15分）

17.（15分）

I（1\

【詳解】（1）由題意知。”+[-+1=0（〃wN）,所以。“+[-5=3an--,（2分）

乙\乙）

由于故%-g=3工0,

1

%+1-T

故——/=3,（3分）

a?——

”2

故數列｛（一；]是以3為首項，公比為3的等比數列；（4分）

6/10

(2)由(1)知，數列｛(一：］是以3為首項，公比為3的等比數歹力

所以4一;=3X3"T=3",故%=3"+；.(〃wN?)(7分)

(3)由(2)知.勺=3"eN),

J

，(10分)

3n+,+-

2)

11111

—-----------------+-

2rli.211.31

3+-3+-3-+—34—

I2222

由于〃eN*,------——>0故S“<g(〃eN*),(15分)

2?3%1

18.(17分)

【詳解】(1)(1)當〃=1時，g(x)=xlnx+2x(x>0),(1分)

則g'(x)=lnx+3,令g")=0/=5，(2分)

當工€((),｝)吐g'(x)<0,g(x)在(0城)上單調遞減，

當jeg,+8)時,g1)>O,g(A)在(｝，十8)上單調遞增，

所以g(x)單調減區間為(0.J),單調增區間在為(2,+8).(4分)

(2)由/(x)Ng(x)可知，e1+x2>xlnx+(a+l)x,XG(0,+OO),(5分)

BP--Inx+x-(q+1)之0在x￡(。,+8)上恒成立，

X

設=—lnr+x—(a+1),——~~”(：+”).(7分)

X廠

當x?0,l)時,F(x)<0,尸(力在(0,1)單調遞減;

當—)時,F(x)>0,尸⑺在(1,+8)單調遞增,

所以x=l時，尸(x)取得最小值，最小值為Rl)=e-“，(9分)

由題意知e-〃20,即a?e,故。的取值范圍為(e，目；(10分)

(3)方程e'+/=xlnx+(4+l);v有兩實數解怎，々，

7/10

即W-lnx+x-（a+l）=O有兩實數解，不妨設$＜乙,

A

由（2）知方程/（x）=g（x）要有兩實數解，貝峰-"0,即〃〉e,

同時王￡(0,1),X2G(1,4-00),—€(0,1),（11分）

X?

F(x)=---Inx+x-(a+1)?則尸(%)=尸(巧)=。〃（力在（0,1）單調遞減,

1

欲證In$+ln.q<0,即證再為<1，xi<—

x>

等價于尸（』）＞/!，即尸（電）＞尸，I,

\X27kX27)

e”~?

等價于----In々+與＞*x：+In占+一，

整理得曰+lne"——]

——>x、e"+lnxex：(f),（13分）

々2J

Xl

令G(x)=x+lnx,①式為G—>Gx2e,又G(x)在(0,+“)單調遞增,

廣-]

故①式等價于J>羽e”,即"21眸一一>0,(15分)

x2~吃

令Mx)=x-21nx-L,

xx*

當時,〃(力>0,〃卜)在(1,+動單調遞增，

又工2>1，A(x2)>/?(1)=0,Upx2-2Inx2>0,

所以中2<1，則ln±+ln.q<0.(17分)

19.(17分)

【詳解】(1)當。=1時，/(x)=sinx-x-cosx,f'(x)=cosx-(cosx-x-sinx)=x-sinx,/(^)=1-

所以切線方程為：），一1二5（4—5），即心—2^+2—號=0.（3分）

(2)(i)f(x)+sin2x=sinx-ax-cosx+sin2x>0,

即tanx-QX+2sinx>0,xe(09，

71

設g(x)=2sinx+tanx-ax,xe(0,:),

8/10

g/(x)=2cosx+-----a=-—(2cos3x-acos2x+l).

cos'xcos'x

又???g(0)=0,g'(0)=3-a,...g'(0)=3-aN0是g(x)>0的一個必要條件,即a43.(5分)

下正“W3時，滿足式￥)=25出工+611》-0￥>0,》€(0,券

Xg*(x)>—(2cos3x-3cos2X4-1),

cos'x

設(0=2r3-3/2+l./e(0.!)./；(/)=6產-6t=6f(f-1)v0力(f)在(0,1)上單調遞減,

所以姐)>力(1)=0,

又X€(0,扣OSX€(0,1),.-.g[x)>0,即g(x)在(0片)單調遞增.

…嗚)時，g(x)>