分式的運算（數學競賽題匯編）-八年級答案

專題03分式的運算

令全國各地競賽真題試題匯編■

1.（24-25八年級上?甘肅）若［一:=貝上+?—2的值是（）

aba-bab

A.-B.--C.1D.-1

22

【答案】D

【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的法則是解答本題的關鍵.把1-:二白:變形

a0a-b

畿+2=i,然后代入2+?-2計算即可.

0aao

【詳解】解：

aba-n

,b-a_1

?aba-b

._g_b)

aba-b

.(u-b)2

*ab=—1?

.a2-2ab+b2

=—1,

：.^-2+-=-1,

ba

??.*=1,

ba

.*.-+7-2=1-2=-1,

ab

故選:D.

2.（24-25八年級下?江蘇南京）若§+*+擊。、8、C均為常數）的計算結果為君急方,則力+B+2C

的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查分式的加減運算，解三元一次方程組，解題的關鍵是正確化簡分式.

(2A=2

先將g+*+*化簡計算得到比嗤詈壽產01則得到方程組4+8+C=1,即可求解48,C,

(34+28+C=0

再代入求值.

【詳解】解:-+47+-77

xx+1x+2

(x+1)(%+2)A+x(x+2)8+x(x+1)C

=x(x+l)(x+2)

(x+1)(%+2)A+x(x+2)8+x(x+1)C

x(x+l)(x+2)

1/15

(x2+3x+2M+(%2+2x)B+(x2+x)C

=x(x+l)(x+2)

_(,4+B+C)X2+(3A+2B+C)X+24

x(x+l)(x+2)'

???d+W+￡(/、B、。均為常數)的計算結果為,,

xx+1x+2x(x+l)(x+2)

(2A=2

AA+B+C=l，

(34+23+C=0

A=1

解律8=-3,

(C=3

：,A+8+2C=1+(-3)+2x3=4,

故選：D.

3.（24-25八年級?江蘇無錫）己知人”是有理數,x是無理數’如果公舒翳舞是有理數,則？

等于.

【答案】-鬻

【分析】本題主要考查了分式的化簡、及無理數、有理數的相關知識等知識點，掌握有理數除以無理數若

等于有理數，則該有理數一定為。是解題的關鍵.

先對分式進行化簡，由于分式的結果是有理數，設分式的結果為川，得到關于〃，的方程，由切、a、6是有

理數，x是無理數，確定m的系數和結果均為0,求出m和a勺值即可.

O

2

【詳解】解:3ax-6ar—2018x4-2x2018

4/,x2-8bx+2017x-2x2017

3ax(x—2)—2018(x—2)

4必(x-2)+2017(X-2)

(x-2)(3ax-2018)

(無一2)(4bx+2017)

x是無理數，

X—2H0,

原[77i式x=3”訴—2赤018，

赤是有理數,

設:則4bznx+2017m=3ax—2018,

4bx+2017

*a、方是有理數，x是無理數，

.0018+2017771=0解得2018a_4m__4x2018__8072

**13a—4mb=0'用牛宣"2017'b~3~~3x2017—6051

故答案為：-翳

b22

4.（23-24七年級上?湖南長沙）已知a,b,c,d,x,y,z,叩是互不相等的非零實數，K-c

i2y2+b2x2b2z2+c2y2

2/15

不妥=電巴則＜+與+4+與的值為

c‘w"+d"xyzwdycz，u,4

【答案】2

a2b2b2C2c2d2abed1日n-a2'y12b2x2b2z2c2y2fZiv2d2Z-xyzw.

【分^5】設?22222222工，即有：而+諼=而+k/+k而=z'

ay+bx~b^+c^y~^W+dZ~xyzw

化簡:=H則有:「中好"瑞=匕哈

7二m，記=渝=〃

即+='=!，-2=-2=-^m+zt=J+%=k,k==mn,則問題即可得解.

xrz，my'w'nc，abed

【詳解】結合a，b,c,d,x,y,z,w是互不相等的非零實數進行下述運彝，

設<42_____________________c_2_*_/2_____abed_1

^a2y2+b2x2~b^+c^y2~c2u-2+dV一xyzwk'

則有：a2y2+b2x2_b2z2+c2y2_c2w2+d2z2_xyzw_&

a2b2b2c202d2abed

HF1右a2y2b2/b2z2,c2/c2iv2,d2z2xyzw.

即有：即+即=而+即=@+m=礪="'

化簡:px+A獷=嗡=匕

r2?2v2盯zw_,

則有：3―，泊

abed

峪=Qm,g==n,

即4=鳥=匕4=d21.Z2W2.

-?m+九=/+k=k,

力zm

則有：m2="fl2y2w2

n=*'m'

即有：女=喏=inn,

abed

rmi右a2,b2c2d2222(m+n)2k

則有：—+-2+^+—=-+-=-----=7=2Q，

xcyrzcwcmnmnk

故答案為：2.

5.(2023八年級上?四川眉山?競賽)(1)若。2-3。+1=0,求3a3-8。2+。+品＞的值；

(2)若：10232-2046X23+232=k+9992-1,求々的值.

【答案】(1)2;(2)2000

【分析】本題考查已知式子的值求代數式的值，分式的加法運算，完全平方公式的應用：

(1)將。2-3Q+1=0變形得出Q3=3。2-Q,a2=3a-1,G2+1=3a,通過等量代換進行降次，可得

答案；

(2)等式左邊利用完全平方公式變形為(1023—23)2=1+9992—1,即可求解.

【詳解】(1)解：由a?-3Q+1=0(a芋0),可得標=3次一如a2=3a-1,a24-1=3a.

原式=3a(3a—1)—8(3a—1)+a+二

3a

1

=9a2?—3Q-24Q+8+QH—

1

=9(3a-l)-26a+8+-

3/15

1

=27Q—9—26Q+84—

a

1

=GH-----1

a

G2+1

=----------1

a

3a

=-----1

a

=2.

(2)解：V10232-2046x23+232=/c+9992-1,

A10232-2x1023x23+232=/c+9992—1,

，(1023-23)2=〃+9992-1,

即10002=1+9992—1,

???(999+=k+9992-1,

A9992+2x999x1+1=k+9992-1,

：.k-l=2X999+1,

：.k=2x999+2=2x(9994-1)=2000.

6.(2024九年級下?江蘇無錫?競賽)先化簡，再求值：(第-1+力+乒譽］，其中"滿足/一%一2=0.

【答案】x2+X,6

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件以及解一元二次方程等知識點，化簡分式是

解答本題的關鍵，確定x的值是解答本題的易錯點.

先解一元二次方程，再根據分式的混合運算法則把原式化簡，再代入計算即可.

【詳解】解：???/一%-2=0,

.??解得：%=2或%二一1,

/2x+1\x+2

\x+l)X2+2x+1

2x+1+x2-1(x+I)2

x4-1x+2

x(x+2)—+1)2

x+1x+2

=x(無+1)

=A2+X,

..?當時，分式無意義，故x=2,

當x=2時，X2+X=6.

7.(24-25八年級上?浙江溫州)已知1+:+!=+，求證：

abca+b+c

(l)Q,b,C三個數中必有兩數之和為零；

⑵對于仟意奇數九均叫+?為春=高寸

4/15

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查分式的計算，掌握分式的運算法則是解題的關鍵.

(I)先去分母轉化為整式，然后分解因式為(。+8)(。+。)(8+弓=0解題即可；

(2)由(1)可得。+匕,。+。,6+。中必有一個為0,不妨設a+b=O,然后代入得到然后再

cn

根據；=之即可得到結論,

(a+b+c)”cn

【詳解】(1)證明：2+1+1=$-，L+：=士一二

abca+b+caba+b+cc

.a+b_-(a+b)

ab(a+b+c)c

:.(a+b)(Q+b+c)c+(a+b)ab=0.

???(a+b)(ac+be+c2+ab)=0,

(a+b)(a+c)(b+c)=0,

a4-b=0或a+c=0或匕+c=0,

?，a、b、c三個數中必有兩數之和為0；

(2)證明：???Q+b,Q+c,b+c中必有一個為0,

不妨設Q+b=0，則Q=-8.

幾為奇數，

?3+那=0,

1,1an+bn

:.--h—=----

/bnanbn

cf+W一6,

(c+b+c)n中'

1,1.111

,-+—+—=-------=--------

a"bn0n(a+b+c)”

8.(24-25八年級下?廣東)通過分式的學習，我們已經認識到：分式不僅能如分數般理解性質、開展運算,

還與方程、不等式、函數等代數內容緊密相連.已知2x+y-3=0,解決下列問題:

⑴求訴訴的值:

⑵若=1+尋求小B的值,

(l-2x)(4x+2)

⑶分式嗝的值為止數時，工應滿足什么條件？

【答案】⑴]

(2)

'7

5/15

(3)l<x<1.

【分析】本題主要考查了分式的化簡、二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解題時要熟練

掌握并能根據題意列出關系式是關鍵.

(1)由已知得2x+y=3,再根據分式化簡的步驟求解即可：

(2)由已知得、一1二一2無+2,由分式的性質得到普];1,據此求解即可；

(3)由題意得到或結合y=-2x+3,據此求解即可.

【詳解】(1)解：???2x+y—3=0,

/.2x+y=3.

.]

4x2+4xy+y2

1

=(2x+y)2

i

(2)解：V2x+y-3=0,

.\2x+y=3,

/.>?—1=-2%+2,

.i-y

?,(l-2x)(4x+2)

-i2-y-

(1-2x)(2%+1)

y-i

(2x-l)(2x+l)

_-x+l

一(2x-l)(2x+D，

ABA(2x+1)+B(2x-1)

------+------=---------------------

2x-12x+l(2x-l)(2x+l)

_2(A+8)x+G4-B)

一(2x-l)(2x+l)>

..1-y_』.B

?(t-2x)(4x+2)-2x-l十2x+l'

?f2(4+F)=-1

RA-B=I'

解得「3；

r-；

(3)解：???分式了的值為正數時，

2y

2y>0叫2y<0，

又,：y――2X十3,

6/15

?[1-(-2x+3)>0或fl-(-2x+3)<0

2(-2x+3)>0-“I2(-2%+3)<0'

解得1<x<|.

9.(2024九年級下?浙江寧波?競賽)(1)己知。2-7。-1=0,求3a2-14。+/的值.

(2)已知？一：二一1,先化簡再求值：學畀+。氏

hh^-ab+b6

【答案】(1)53；(2)9.

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值、運用乘法公式進行化簡.乘法公式包括完全平方公式和平方差

公式，完全平方公式是(a+匕尸=a?+2時+/,平方差公式是(a+b)(a-b)二層一匕2

(1)首先把次一7"一1=0整理，可得：。2-7。=1和。一十=7,把多項式3a2-14Q+/整理可得：原式

=2(a2-7a)4-(a-丁+2a嗎,再整體代入進行求值即可：

(2)整理三一9=-1可得a+b=3,把竽解+ab整理可得：原式=(a+b)2,再整體代入求值即可.

bba-ab+b*'

【詳解】(1)解：a2-7a-1=0,

移項得：a2-7a=1,

把a2-7a-1=0兩邊同時除以a可得：a—7—^=0,

a——=7,

???3/T4a+/

=(2a2-14a)+^a2+

22

=2(a-7a)+(a-2ax^+l+2ax^)

21

=2(a2—7a)+(a+2。*而

=2x1+724-2

=53；

(2)解：U1,

uD

兩邊同時乘以力可得：。一3=-乩

整理得：a+b=3,

a44-c^b2+b4

~?-----；----7T~+Qb

az-ab+bz

牌Y)。沖

+ab

ab

――1+—]ab

、ba)

7/15

22

(/a廬+2+b]-\

r/ab\/ab\

T+-+1r+-1

=abx~~^+1

a,b

萬+“

/ab\

=abXkb+a+2)

=a2+b2+2ah

=(a+b)2

=32

=9.

10.(23-24九年級下?上海?自主招生)正實數滿足孫+yz+zx工1,且(丫…⑶-)+-J)+

xyyz

QJ)(Z2-1)=[,

xz

(1)求工+—+工?的值；

xyyzxz

(2)證明:9(x+y)(y+z)(x+z)>8xyz(xy+yz+zx).

【答案】⑴1

(2)見解析

【分析】本題考查了分式的加減法，單項式與多項式，多項式與多項式的乘法運算及提公因式，比較復雜,

正確計算是關鍵.

(1)先去分母、去括號，重新分組后分解因式可得[xyz-(無+y+z)](xy+yz+zx-1)=0,從而得xyz=

x+y+z,將所求分式通分后代人可得結論；

(2)計算兩邊的差，把(1)中*yz=x+y+z代入并計算可得差之0,從而得結論.

【詳解】(1)由等式①一】)wT)+y&一1)*(/2一1)①一』=4

xyyzzx

去分母得z(%2—l)(y2—1)+x(y2—l)(z2-1)+y(z2—l)(x2-1)=4xyz

x2y2z+xy2z2+x2yz2—[x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz]+(%+y+z)—xyz=0

xyz{xy+yz+zx)一(無+y+z)(xy+yz+zx)+(%+y+z)—xyz=0,

[xyz-{x+y+z)]{xy+yz+zx-1)=0,

8'15

\*xy+yz+zx工1,

xy+yz+zx—1w0,

xyz-(x+y+z)=0,

/.xyz=x+y+z,

?..原式=也t=1;

xyz

(2)由(1)得:％yz=%+y+z,

又為正實數，

:.9(無+y)(y+z)(z+x)-8xyz(xy+yz+zx)

=9(x+y)(y+z)(z+x)-8(x+y+z)(xy+yz+zx)

=x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)—6xyz

=x(y-z)24-y{z—x)2+z(x-y)2>0,

AS(x+y)(y4-z)(z4-x)>8xyz(xy+yz+zx).

2

11.(24-25八年級下?江西)已知不相等的兩個正數a,b滿足Q2-5a=-2,b-5b=-2,求下列各式的

【答案】（1）午

（2“5+2近

【分析】本題考查根與系數的關系，二次根式的混合運算，解題的關鍵是構造以a,b為解的一元二次方程：

（1）根據題意，得到Q,匕是爐-5%二一2的兩個實數根，根據根與系數的關系，得到Q+b=5,ab=2,整

體代入法進行計算即可；

（2）根據Q?-5a=-2,b2-Sb=-2,得到Sa-a2=2,b2+2=5b,整體代入卜？廠;）+。e+了

7b，+2a-b.（口a一

+（論一甯），進行化簡，得到器+J，再根據a,6為正數，且a+b=5,a匕=2,得到Jj+￡=口+

Vb=J（V^+江）2=>/a+b+2Vab=J5+2魚,即口J.

【詳解】（1）解：???不相等的兩個正數Q,b滿足。2一5。=一2,b2-5b=-2,

???a,b是方程/-5%+2=0的兩個實數根，

?二a+b=5,ab=2,

:.(a+b)2=a2+b2+2ab=a24-b2+4=52?

/.a24-b2=21,

/.(a—b)2=a2+bz-2ab=21-4=17,

9/15

：.\a-b\=V17,

.3a2_泌+3b2_3(a2+F)-ab_3x21-2_61VT7

?'―\a-b\—~|a-b|-B~17；

(2)Va2-5a=-2,b2-Sb=-2,

.*.5a-a2=2,b2+2=56,

.5(5a-a2)a-<fa+by/bT)

?Jb2+2+a-b

5x2ay/a+b4bby/2a—b\[a—aVb—bVb

+

5ba-b-abb

(/?—a)d2ab(—\[ab+Q+b)b

ab(a-b)byfa—a\[b—bVb

,?，a,b為正數,且a+b=5,ab=2,

班=j(四+?2

=yja+b+2\[ab=,5+2夜.

今全國聯賽真題試題匯編「

1.（2。24八年級?全國?競賽）若分式■的值為正數,則”的取值范圍是（）

A.1<x<2或不<-2B.x<-2或x>2

C.-2<%<1或%>2D.-2<%<2

【答案】C

【分析】根據題意列出不等式組，解不等式組則可.此題考查分式的值，解不等式組，解題關鍵在于根據

題意列出不等式組.

【詳解】解：???分式三）的值為正數，

1罔一2

10/15

?[1^1—2>0—2<0

**lx-1>0x-1<01

解得：一2VXV1或%>2.

故選：C.

2.(2024八年級?全國?競賽)在1?2016這2016個整數中，使得注是最簡分數的〃共有______個.

n+l

【答案】1008

【分析【本題考查了完全平方公式、分式的除法，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵.先將曾轉化為九-1+

n+l

二，從而可得要使出?是最簡分數，則只需二二是最簡分數，再判斷出n是偶數，由此即可得.

n+ln+ln+l

【詳解】解：—=(^1)2-2(^1)+2=n-1+—,

n+ln+ln+l

要使得電是最簡分數，則只需々■是最簡分數，

n+ln+l

所以八+1是奇數，即n是偶數，

因為在1?2016這2016個整數中，共有等=1008個偶數，

所以使得可是最簡分數的n共有1008個，

n+l

故答案為：1008.

3.(2024八年級?全國?競賽)己知實數心y滿足條件工一工二三，則代數式夫一機=______.

xyx+y2x2y

【答案】1

[分析】本題主要考查代數式求值,先將:卜高變形為2xy=(y-x)(y+%)，再把仝-點變形為出繆之

然后代入計算即可.

【詳解】解：

xyx+y

?-2xy=(y-x)(y+x),

??上一二

2x2y

y2-x2

~2xy

(y-x)(y4-x)

2xy

_(y一無)(y+%)

~(y-%)(y+%)

=i?

故答案為：i.

4.(2024八年級?全國?競賽)若z為正數，且％-1=3,則丁三二____________.

XA—

【答案】陪

【分析】先求：1q2+4=11.再求+最后整體代入二三二仁進求解即可.此題考查了分

Lxx^-x+1x-l+-

11/15

式的運算和二次根式的運算，熟練掌握運算法則和靈活變形是解題的關鍵.

【詳解】解：??“為正數，且

X

?二（％-：）=9,x+^>0?

即，+當=11,

X

2

，（％+：）=x24-+2=13,

A+-=V13,

X

.x_1_1_m+i

",

=7T?X=7TTT=_72

故答案為：誓

5.（2024八年級?全國?競賽）某車間接到生產任務，要求生產240個零件.原計劃每小時生產a個零件，實

際每小時生產的零件個數比原計劃每小時生產的零件個數多了10個，那么實際比原計劃可以提前.

小時完成生產任務.

【答案】言今

a（a+10）

【分析】本題考查了分式的加減運算的應用，根據題意正確列出分式即可.

【詳解】解：根據題意：-=

aa+10a（a+10）

故答案沏

6.（2024八年級?全國?競賽）已知實數戈、》滿足條件：則代數式'+工的值為________.

xyx+yxy

【答案】±2V2

【分析】此題考查了分式的混合運算、完全平方公式、開平方等知識，先求出工-三=2,令？=3則t-1=2,

xyxt

求出產+"=6,則（亡+7=產+2+捻=8,開平方即可得到答案.

【詳解】解：---=—

xyx+y

兩邊同乘以x+y得，

x+yx+y_2

xy'

???1+、1—=2,

xy

?y

『2,

令?二t,則亡一：二2,

1\2

-)+2=6,

.??《+》2=￡2+2+/=8,

所堤+>￡+>±2&

12/15

故答案為：±2&.

7.(2024八年級?全國?競賽)設〃、6、c是互不相等的實數，且Q+：=b+'=c+2，則abc=________.

bca

【答案】±8

【分析】本題考查分式的化簡求值，由Q+[=Z)+士可得反=華9同理可得碇=等，Qb=%出，由

bca-bb-cc-a

此三式相乘即可解答.

【詳解】解：???Q+：=b+±=C+士，

bca

?.444(b-c),444(c-a)444(a-6)

??a-b=---=\,b-c=-=——L,c-a=---=,,

cbbeacacbaab

?.4(b-c)4(c-a).4(a-b)

?.cc=----->ac=-.......,ab=-,

a-bb-cc-a

：.a2b2c2="H?%2效%包=64,

a-bb-cc-a

abc=±8.

故答案為：±8.

8.(2024八年級?全國?競賽)己知VTT的小數部分為則生普+三一冬=

【答案】一誓/一看位

【分析】本題考查了分式的混合運算，無理數的估算，分母有理化，先根據分式的運算法則把所給代數式

化簡，再求出a的值，然后代入化簡后的結果計算即可.

【詳解】解：嘗言+三一白

a+7a+12a+4a+3

(Q—3)2Q+4a

--------------------X--------------------

(a+3)(Q+4)Q—3Q+3

G—3a

a+3Q+3

=總

V3<VT1<4,

???VTT的整數部分3,

/.a=VTl—3.

故答案為：-警.

9.(2024八年級?全國?競賽)(1)計算內xJ-4XJjx(2015-V2016)0；

(先化簡，再求值：(孑?各，其中，滿足百

2)\X2/:xy二+y―yx/xxyyvm