山東省淄博市沂源縣2025-2026學(xué)年九年級下學(xué)期（五四學(xué)制）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2025-2026學(xué)年山東省淄博市沂源縣九年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（五四

學(xué)制）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在2,-1,兀，?通四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-、后B.2C.7iD.-1

2.未來將是一個可以預(yù)見的4時(shí)代.4一般指人工智能，它是一門研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智

能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的新的技術(shù)科學(xué).卜列是世界著名人工智能品牌公司的圖標(biāo)，其中是軸對

稱圖形也是中心對稱圖形的是（）

3.2025年1月29號《哪吒之魔童鬧海》在我國首映，截至3月10號全球累計(jì)票房已超過149億元，目前

位列全球影史票房第6名.其中149億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

A.14.9X109B.1.49X109C.1.49X1O10D.0.149X10"

4.下列幾何體中，俯視圖與主視圖形狀相同的是（）

5.下列運(yùn)算正確的是（

A.(。加)2=a2bGB.a3+a2=a5C.涼?。2=〃6D.2(a-b)=2a-b

6.為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受中國的傳統(tǒng)文化，某學(xué)校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)-“抖空竹”引入陽光特色大課

間.下面圖1是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個瞬間，小聰把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知”||8,乙￡48=70°,

第1頁，共13頁

ZECD=100°，則NE的度數(shù)是（）

圖1圖2

A.30°B.40°C.60°D.70°

7.某校為了解九年級學(xué)生在校的鍛煉情況，隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記錄他們某一天在校的鍛煉時(shí)間（單位:

分鐘）：55,57,65,55,65,70,65,78,68,70.對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（）

A.方差為3B.平均數(shù)為65C.眾數(shù)為65D.中位數(shù)為67.5

8.如圖，正方形48C。的頂點(diǎn)〃在x軸上，點(diǎn)力，點(diǎn)C在反比例函數(shù)v

x

（AX）,x>0）圖象上，若直線8c的函數(shù)表達(dá)式為”I,則〃值為

（）

A.6

B.12

C.：6

D.24

9.如圖，在矩形48CQ中，AB=4,BC=3,以8為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧,

交BD,BC于M,N兩點(diǎn)、;再分別以N為圓心，大于1.UN的長為半徑畫

弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線8P交CO于點(diǎn)色再以8為圓心，8。的長為半徑

畫弧，交射線8P于點(diǎn)￡,則b的長為（）

A.那

B.入：C.5D.5-2遙

第2頁，共13頁

10.在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)稱為“方形點(diǎn)”，例如：（；，-今,

（V，4）…都是“方形點(diǎn)”.下列結(jié)論：

①直線尸-4x+3上存在“方形點(diǎn)”；

②拋物線尸35/3上的2個“方形點(diǎn)”之間的距離是10；

③若二次函數(shù)尸n：2+3x+cQwo）的圖象上有且只有一個“方形點(diǎn)”（2,-2）,當(dāng)-KW陽時(shí)，二次函數(shù)

一

產(chǎn)加+3x+c（〃工0）的最小值為-8,最大值為一；，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是-1W〃忘4：

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。

11.因式分解：3/.12=.

12.己知〃和6是方程N(yùn)+2（）25X-4=0的兩個解，則42+2（）24止人的俏為.

13.如圖①是一塊弘揚(yáng)“新時(shí)代青年勵志奮斗”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以

。為圓心,04,。8長分別為半徑，圓心角40=120°形成的扇面，若。力=4”,08=2嘰則陰影部分的面積為一.

（計(jì)算結(jié)果保留幾）

AYCV

圖①1物

14.張華和王亮平時(shí)的耐力與速度相差無幾,李老師設(shè)計(jì)了一個200/〃賽跑方案，賽跑的全過程如圖所示，

甲，乙分別代表張華和王亮距起點(diǎn)的距離s（〃?）與出發(fā)時(shí)間I（s）的關(guān)系.當(dāng)兩人相距20加時(shí)，出發(fā)的時(shí)間

是___S.

s/m

2°°/m

：—甲

0253740t/s

y,、

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，有一個等腰直角三角形力04/0/14=90°

直角邊AO在x軸上，且力。=1.將R/△/08繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等

第3頁，共13頁/M-

Bz

腰直角三角形40以，且AiO=2AO,再將必△40%,繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形/2O82,

旦上82小。依此規(guī)律，得到等腰直角三角形^2025^2025,則點(diǎn)8202s的坐標(biāo)為一

三、解答題：本題共8小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題10分）

(1)計(jì)算：(2025)0+4sin60°+卜2■兀卜2」.

fih

1\,并求值（請從小宇和小麗的對話中確定〃力的值）.

a-b

小宇小麗

17.（本小題10分）

如圖，四邊形48co是菱形，點(diǎn)E、/分別在邊力B、AD的延長線上，且BE=DF,連接CE、CE求證：CE=CF.

18.（本小題10分）

為加強(qiáng)法制和安全教育，某學(xué)校臼發(fā)了上級主管部門的“法治和安全等知識”學(xué)習(xí)材料.經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)

習(xí)，同學(xué)們都表示有了提高，為了解具體情況，學(xué)校開展了?次全校性競賽活動，王老師抽取了這次競賽

中部分同學(xué)的成績，并繪制了下而不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

第4頁，共13頁

參賽成績60?7070WxV8080?9090WT00

人數(shù)m15n40

級別及格中等良好優(yōu)秀

請根據(jù)所給的信息解答下列問題:

（1）王老師抽取了名學(xué)生的參賽成績；

（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）若該校有160（）名學(xué)生，請估計(jì)競賽成績在良好以上（x280）的學(xué)生有多少人？

（4）在本次競賽中，學(xué)校發(fā)現(xiàn)六（1）班、七（4）班的成績不理想，要求這兩個班加強(qiáng)學(xué)習(xí)一段時(shí)間后,

再由電腦隨機(jī)從兒B,C,。四套試卷中給每班派發(fā)一套試卷進(jìn)行測試，請用列表或畫樹狀圖的方法求出

兩個班同時(shí)選中同一套試卷的概率.

及格中等良好優(yōu)秀級別

19.（本小題10分）

新能源汽車有著動力強(qiáng)、油耗低的特點(diǎn)，正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某汽車4s店決定采購新能源甲型

和乙型兩款汽車，已知每輛甲型汽車的進(jìn)價(jià)是每輛乙型汽車進(jìn)價(jià)的1.2倍，若用2400萬元購正甲型汽車的

數(shù)量比用1800萬元購進(jìn)乙型汽車的數(shù)量多20輛.

（1）求每輛甲型汽車和乙型汽車的進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？

（2）該汽車4s店決定購進(jìn)甲型汽車和乙型汽車共100輛，要求購進(jìn)的甲型汽車不少于乙型汽車的1.5倍,

問購進(jìn)乙型汽車多少輛時(shí)，可使投資總額最少？最少投資總額是多少萬元？

20.（本小題12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y產(chǎn)於+力與反比例函數(shù)的"（x>0）的圖象交

X

于,4（2,利）、B（4,2）兩點(diǎn).

（1）求一次函數(shù)戶與反比例函數(shù)"的解析式；

（2）根據(jù)圖象回答，當(dāng)+/&U時(shí)，*的取值范圍為______；

（3）y軸上有一點(diǎn)P,當(dāng)以點(diǎn)。、P、A、8為頂點(diǎn)的四邊形的面積為7時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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21.（本小題12分）

如圖，A,B,C,。是。。上的匹點(diǎn)，4C是直徑，AB=BD,過點(diǎn)4作4E1OE交0c的延長線于點(diǎn)￡

（1）求證：是。。的切線;

（2）若\"=3%,BE=3,求0。的半徑.

22.（本小題13分）

二次函數(shù)尸"2+隊(duì)-3的圖象與x軸交于/（-3,0）、夕（I,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（I）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,點(diǎn)E是第三象限內(nèi)的拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EZ）亞軸，交x軸于點(diǎn)。，四邊形CD4E的

面積是否存在最大值？若存在，請求出￡點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖2,點(diǎn)尸是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交早點(diǎn)。，在x軸上有一點(diǎn)N（?5,0），連接

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NP,在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)“，使得乙“NP+48co=45°,若存在，請求出點(diǎn)〃的坐標(biāo).

23.（本小題13分）

（一）模型呈現(xiàn)

（1）如圖1,點(diǎn)力在直線/上，乙BAD=90°,AB=AD,過點(diǎn)8作8C1/于點(diǎn)C,過點(diǎn)。作。以/于點(diǎn)￡,由

41-42=22+4。=90°,得乙1=,。，又UCB=AED=9G,可以奉理得到△^。^△。花，進(jìn)而得到力。=

，BC=.我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；

（二）模型體驗(yàn)

（2）如圖2,在。中，點(diǎn)。為/“上一點(diǎn)，DE=DF=3,乙4=^EDF=cB,四邊形CKZ）廠的周長為10,

△"C的周長為18.小誠同學(xué)發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型可以推理得到△力短石絲^所。，進(jìn)而得到力AD=BF,那

么,48=力￡+8凡再根據(jù)題目中周長信息就可得AB=______；

（三）模型拓展

（3）如圖3,在△48C中，乙4cB=90°,AC=2BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且力O1MN于點(diǎn)。，BE1MN于點(diǎn)

￡請猜想線段。￡，AD,8七之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；

（四）模型應(yīng)用

（4）如圖4,已知在矩形/18C。中，AB=\4,BC=7,點(diǎn)石在CO邊上，且。E=4.P是對角線4C上一動點(diǎn)，

。是邊力。上一動點(diǎn)，且滿足“加NFPQ:小，當(dāng)P在/C上運(yùn)動時(shí)，請求線段/。的最大值，并求出此

5

第7頁，共13頁

時(shí)線段4P的長度.

D

圖2

圖4

第8頁，共13頁

1.【答案】A

2.【答案】。

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】3(x+2)(x-2)

12.【答案】2029

13.【答案】4兀謂

14.【答案】20或26.5

15.【答案】(22。25,_22025)

16.【答案】.,+2\&+兀；

11

a-b'5

17.【答案】解：???四邊形48co是菱形，

:.BC=CD,乙4BC=UDC,

???乙48。+/。8￡=180°,乙ADC+乙CDF=T80°,

:.(CBE=cCDF,

在和△C3E中，

CD=CB

<KDF-KBE,

DF=BE

???△CDFdCBE(SAS),

:CE=CF.

18.【答案】100.

見解答.

第9頁，共13頁

約1200人.

19.【答案】每輛甲型汽車的進(jìn)價(jià)為12萬元，每輛乙型汽車的進(jìn)價(jià)為10萬元;

購進(jìn)乙型汽車4()輛，可使投資總額最少，最少投資總額是112()萬元.

20.【答案】一次函數(shù)yi的解析式為yi=?x+6；

07xW2或Q4；

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)或(0,-0.5).

21.【答案】(1)證明：如圖，連接80并延長交4)于點(diǎn)“，連接OZ),

-：AB=BD,OA=OD,

.?.8。垂直平分力￡>,

:.乙BHD=90°，

?MC為。O的直徑,

?Z4QC=9O°,

,-BEIDE,

.?4=90°,

匹邊形BEDH為矩形,

；/OBE=9C,

???OB為。。的半徑，

??.8E為。。的切線；

(2)解：在RtABDE中,

-BDAB八月，BE=3,

:?DE?《'，、'、二3乃，

?.?匹邊形8EQH為矩形，

:.DH=BE=3,BH=DE=3隗，

第10頁，共13頁

設(shè)。。的半徑為二

則。〃=3而一7,OD=r,

在Rt^ODH中，(3\/5-r)2+32=戶,

解得1'M,

5

即0。的半徑為"v§.

5

22.【答案】尸32。3；

四邊形C2ME的面積存在最大值；￡點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4)；

在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)凡使得4/NP+MCO=45°；點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(1.。或(-1,-12).

■5

23.【答案】解：(1)DE；AE；

??.土1+42=22+41>90°,

.*.zl=zZ),

在△力8c和△D4E中，

'Nl=NO

,AACB=ADEAt

AB=AD

???△AB8ADAE(SAS)

:.AC=DE,BC=AE,

故答案為：DE；AE；

(2)7.

vzy/DF=Z.B+Z-BFD=Z.ADE+Z.EDF,且LA=^B=￡EDF,

/.Z.ADE=Z-BFD,

在△力。E和△8。中，

fN/l=￡B

{Z.ADE-znm,

IDE=DF

:.△ADE/ABFD(AAS),

:.AE=BD,AD=BF,

???匹邊形CEO產(chǎn)的周長為10,DE=DF=3,

:.CE+CF=25DE-DF=10-3-3=4,

乂???△48C的周長為18,

第11頁，共13頁

.XE+AD+BD+BF=18-(CE+CF)=18-4=14,

,:AE=BD,AD=BF,

.*.2(AD+BD)=14,

:.AD+BD=7,

即,48=7.,

故答案為:7；

(3)數(shù)量關(guān)系為：DE=2BE--AD,

2

理由：/CB=90°,

^4CD+Z-BCE=9O°,

又；N,BELMN,

山CC=BEC=9Q0,

.?.乙4CQ+QO=9(T,

:?乙BCE=cCAD,

:.△