正比例函數、一次函數圖象與性質-【暑假預習】新八年級數學（北師大版）

第十二講正比例函數、一次函數圖象與性質

【學習目標】

1.理解-次函數和正比例函數的概念；

2能根據所給條件寫出簡單的一次函數表達式.

3.了解一次函數兩個變量之間的變化規律.在認識一次函數圖象的基

礎上，掌握一次函數圖象及其簡單性質；

4.經歷對一次函數圖象變化規律的探究過程，學會解決一次函數問題

【基礎知識】

1.一般地，如果），=kr+/7（k,b是常數，kHO）,那么y叫做x的一次函數。

特別地，當一次函數y=Zx+b中的b為。時，（k為常數，kwO）。這時，y叫做x的正比例函數。

2.一次函數的圖像

所有一次函數的圖像都是一條直線

3.一次函數、正比例函數圖像的主要特征：

一次函數），=履+〃的圖像是經過點（0,b）的直線；正比例函數y=Ax的圖像是經過原點（0,0）的直

線。

4.正比例函數的性質

一般地，正比例函數y=有下列性質：

（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

（2）當k<0時,圖像經過第二、四象限.y隨x的增大而減小.

5.一次函數的性質

一般地，一次函數y=有下列性質：

（1）當k>0時，y隨x的增大而增大

（2）當kvO時，y隨x的增大而減小

在卜=丘+仇4。0）中，當攵>0時，，，隨x的增大而增大，此時若人>0,則直線），=云+力經過第一、二、

三象限；若8=0,則直線丁=履+6經過原點及第一、三象限：若〃<0,則直線>=履+人經過第一、三、

四象限；當％<0時，），隨x的增大而減小，此時若〃>（）,則直線了=辰+）經過第一、二、四象限；若8=0

時，則直線），=&+力經過原點及第二、四象限；若b<0,則直線y="+〃經過第二、三、四象限.

【考點剖析】

考點一：確定一次函數的解析式

例I.（1）若》=工+2—3人是正比例函數，則力的值是（)

.八2八23

A.0B.---C.一D.

332

【答案】C

【詳解】

???y=x+2-3b是正比例函數,

2

???2—3/?=0,解得：b=一,

3

故選：C.

(2)已知y與x—i成正比例，且當x=3時，y=4.

(I)求出y與X之間的函數解析式；

(2)當x=i時，求y的值.

【答案】(1)k2x2(2)0

【詳解】

解：(1)設y=k(x-1),

把x=3,y=4代入得(3-1)k=4,解得七2,

所以)，=2(A-1),

即尸2x-2：

(2)當尸1時，

>=2x1-2=0.

考點二：函數圖象上的點

例2.(1)已知點。(〃?,〃)是一次函數y=-2x+l圖像上任意一點，則2〃?+〃的值等于()

A.1R.-1C.-----D.—

22

【答案】A

【詳解】

???點PQn,n)是一次函數y=-2x+1圖象上任意一點，

^,-2m+\=n,

:.2m+n-\.

故選A.

(2)已知點4的坐標為(a,y)和點8的坐標為(a+1,%)都在i次函數y=4x—2圖象上，則%-y的值

為.

【答案】4

【詳解】

解：當x=a時，yi=4t/-2；

當下。+1時，y2=4(a+l)-2=4a+2.

.'.yi-y\=4a+2-(4a-2)=4.

故答案為：4.

考點三：一次函數與坐標軸的交點

例3.(1)如果直線y=〃H+l和丁=心工一4的交點在x軸上，那么勺：勺等于()

A.4B.-4C.1：4D.(-1)：4

【答案】D

【詳解】

解；令y=。，則&1X+i=o,

解得工=一；，

-4=0,

4

解得4=1，

k2

，兩直線交點在入軸上，

1_4

FF

&：%2=1：D.

故選：D.

(2)平面直角坐標系中，點O為坐標原點，若直線y=|x+5與x軸、)，軸分別交于點A,B,則「.AO3

的面積為()

A.—5B.4C.5D.10

【答案】C

【詳解】

把戶0代入y='11+5得產5,

把尸0代入)，=,戈+5得|x+5=0,解得尸-2,

???直線y=[x+5與x軸的交點八的坐標為(-2,0),與y軸的交點4的坐標為(0,5),

：.OA=2,OB=5,

的面積為,倉必5=5.

2

故選C.

考點四：一次函數的圖象性質

例九(1)已知正比例函數產/山的圖象過第一、=象限,則5的取值范圍是()

A.m<0B."EOC.m>0D.m>0

【答案】D

【詳解】

解：???正比例函數嚴〃優的圖象過第一、三象限，

故選D.

（2）在平面直角坐標系中，正比例函數伏〈0）的圖象的大體位置是（）

【答案】B

【詳解】

根據正比例函數圖象的性質，知：

當上<0時，圖象是經過二、四象限的一條直線.

故選:B.

（3）如果函數y=2x十根的圖像經過第二象限，那么小的取值范圍是（）

A./n>0B.m>0C.m<0D.m<0

【答案】A

【詳角牟】

解：根據題意得：m>0,

故選：A.

（4）已知一次函數>，=奴+々+2的圖象與y軸的正半軸相交，且丁隨x的增大而減小，則a的值可以是（）

11

A.-B.-1C.-2D.—

42

【答案】B

【詳解】

解：???一次函數尸以+。+2,），隨x的增大而減小，

又?:一次函數y=ar+a+2的圖象與y軸的正半軸相交，

Z.d+2>（）,

：.-2<a<0,

則”的值可以是-1.

故選擇：B.

（5）已知點（-3,yi）、（1,3）、（2,戶）在一次函數y=E+5的圖象上，則產、”、3的大小關系是

（）

A.3V”VyiB.yi<3<>'2C.j2<.yi<3D.

【答案】D

【詳解】

解：???（1,3）在一次函數）=履+5的圖象上，

/.3=H5,

解得：2=-2,

???函數解析式為y=?2x+5,

???點（-3,yi）、（2,”）在一次函數），=-2計5的圖象上，

.*.>1=6+5=11,

”=-4+5=1,

V1<3<11,

故選：D.

（6）已知一次函數），=3工-4的圖象向上平移〃個單位后經過第二象限，請你寫出一個符合條件的〃的值

為.

【答案】5（答案不唯一,6>4即可）

再根據平移后的一次函數圖象經過第二象限，即可列出關于人的不等式，解出8的解集即可.

【詳解】

一次函數y=3x-4的圖象向上平移〃個單位后得到的新函數解析式為：），=3x-4+〃.

???平移后的圖象經過第二象限，

???T+/;>0,

故答案為：5（答案不唯一，b>4即可）.

考點五：與一次函數有關的規律探究

例5.在平面直角坐標系中，直線/：y=x-i與X軸交于點A，如圖所示依次作正方形AUG。、正方形

2c2G.正方形ASCCi，使得點A、4、A…在直線/上，點c、c?、G…在）’軸正半

軸上，則△4016A201782016的面積是

【詳解】

解：觀察，發現：Ai(1,0),Ai(2,1),As(4,3),A4(8,7),As(16,15),As(32,31),…,

AA?(2n->,2nL1)(n為正整數).

觀察圖形可知：點Bn是線段CnA用的中點，

???點Bn的坐標是(2叫2M),An(2叫2n-'-l)(n為正整數)，

，ZXAnAn+lBn的面積是一(21**1)2=22n-3,

2

???AA20I6A2017B2016的面積=230⑹3=24029,

故答案為：24029.

【真題演練】

1.在平面直角坐標系中，若一個正比例函數的圖象經過A(5,b),B(a,4)兩點，則小》一定滿足的

關系式為()

a3

A.a-b=1B.。+匕=9C.a*b=2()D.—=—

b4

【答案】C

【詳解】

設該正比例函數是y=U(后0),則〃=5億4=ak.

4a

???就=20.

故選：C.

2.已知關于x的一次函數為>4m+3,那么這個函數的圖象一定經過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【詳解】

解：當工="4時，y=Y〃z+4〃i+3=3,

即此一次函數的圖象經過定點（-4,3）,

因為點（-4,3）位于第二象限，

所以這個函數的圖象一定經過第二象限，

故選:B.

3.已知一次函數）=丘+伏&。0）的圖象經過第一、二、四象限，那么以下選項正確的是（）

A.kb>0B.kb<0C.kb>0u.kb<0

【答案】B

【詳解】

解：???一次函數），二履+優々工0）的圖象經過第一、二、四象限，

：.k<0,b>0,

:?kb<0,

故選B.

4.如圖，一次函數），=&+〃和正比例函數>二姑二在同一坐標系內的圖象可能是（）

【詳解】

解：A、???一次函數的圖象經過一、三、四象限，

???女>0,bVO；

：?kb〈O,

???正比例函數產心x應該經過第二、四象限.故本選項不符合;

B、???一次函數的圖象經過一、二、四象限，

：.k<0,h>0.

???妨VO,

???正比例函數y-X〃應該經過第二、四象限.故本選項符合；

C、???一次函數的圖象經過二、三、四象限，

：.k<0,b<0.

:,kb>0,

，正比例函數產Mx應該經過第一、三象限.故本選項不符合;

D、???一次函數的圖象經過一、二、三象限，

???〃>0,/?>0.

:?kb>0,

???正比例函數產心上?應該經過第一、三象限.故本選項不符合；

故選：B.

5.在平面直角坐標系中，將函數的圖象向左平移1個單位長度，則平移后的圖象與y軸的交點坐

標為（）

A.（0,2）B.（0,-2）C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】C

【詳解】

?.?將函數），=2工-1的圖象向左平移1個單位長度的解析式為y=2（x+l）-l=2x+l,

.?.當工=0時，>=1,

???平移后與>軸的交點坐標為（0,1）,

故選：C.

6.已知點A（—l,））6（2,必）在函數'=一"+1的圖像上，則（）

A.x<》2B.y,>C.y,=y2D.凹與為的大小關系不能確定

【答案】B

【詳解】

解：Vk=-9<0,

，y隨x的增大而減小，

V-1<2,

.*.yi>y2，

故選：B.

7.把一次函數y=2x-3先關于元軸對稱，再向左移2個單位，所得直線表達式（）

A.y=-2x-lB.y=2x-lC.y=2x-\0D.>,=-2x+7

【答案】A

【詳解】

解：直線y=2工一3關于x軸對稱的直線所對應的函數表達式為-y=21一3,

即y=-2x+3,

將直線丁=-2工+3向左平移2個單位，函數表達式變形為丁=-2。+2）+3=-2X-1.

故選：A.

8.正方形生GA.A々c3A.按如圖所示的方式放置，點A，A2,4,..和點綜凡,打,..分

別在直線），=工+1上和X軸上，則點G.9的縱坐標是（）

【答案】B

【詳解】

解：當x=0時,y=x+l=l,

???點Ai的坐標為（0,1）.

???四邊形A1B1GA2為正方形，

???點Ci的縱坐標為1,

當X=1時，y=x+l=2,

???點A2的坐標為（1,2）.

???A2B2c2A3為正方形，

???點C2的縱坐標為2.

同理，可知：點A3的坐標為（3,4）,

點C3的縱坐標為4,

???點Cn的縱坐標為2f

???點C1999的縱坐標為2^8.

故選:B.

9.已知），=4fi,若），是大的正比例函數，則4的值是.

【答案】4

【詳解】

由正比例函數的定義得：。工0且。一3二1，

解得：a=4,

故答案為:4.

10.某水果店賣出的香蕉數量（千克）與售價（元）之間的關系如下表:

數量（千克）0.511.522.533.5???

售價（元）1.534.567.5910.5?..

如果賣出的香蕉數量用x（千克）表示，售價用丁（元）表示，則），與x的關系式為

【答案】y=3x

【詳解】

解：根據表格可知香蕉的單價為3元/千克，則y=3x.

故答案為：）=3工

11.已知點（一3,2）在直線），=辦一人"，人為常數，且“00）上，則*的值為______.

I2

【答案】一:.

3

【詳解】

解：???點（-3,2）在直線y=or-/?（小。為常數，且存0）上，

：.2=-3a-b,

:.力=-3a-2,

.a_a_1

…~b+2~—3C7—2+2--3，

故答案為：

3

12.已知一次函數y=2x+4的圖象經過點力（m,8）,那么〃?的值等于.

【答案】2

【詳解】

解：把產8代入一次函數產2計4,得

8=4+4

???A=2,

所以m=2f

故答案為：2

13.已知點A（2a+5,a-3）在直線y=x上，則。=.

【答案】-8

【詳解】

解：???點人（2。+5,。-3）在一次函數〉=%直線上，

**.〃-3=2a+5?

解得。=一8,

故答案為：-8.

14.點2卜心）在函數），=3x+2的圖像上，則代數式助一6。+4的值等于

【答案】8

【詳解】

解：將點尸（ap）代入y=3x+2中,得

/?=3。+2

:.b-3a=2

2/?-6。+4

=2。一%）+4

=2x2+4

=8

故答案為：8.

15.寫出下列各題中y與x之間的關系式，并判斷y是否為x的一-次函數.

（1）在時速為80千米的勻速運動中，路程y（千米）與時間x（時）之間的關系；

（2）汽車從A站駛出，先走了4千米，再以40千米/時的平均速度行駛了x小時，那么汽車離開A站的路

程y（千米）與時間x（時）之間的關系；

（3）某車站規定旅客可以免費攜帶不超過20千克的行李，超過部分每千克收取1.5元的行李費用，則旅客

需交的行李費y（元）與攜帶行李質量x（千克）（x>20）之間的關系.

【答案】（I）y=80x,是一次函數；（2）y=40x+4,是一次函數；（3）y=1.5（x-20）,是一次函數

【詳解】

解：（1）由題可得，y=80x,是一次函數；

（2）由題可得，y=40x+4,是一次函數；

（3）由題可得，y=1.5（x-20）,是一次函數.

16.在平面直角坐標系中，點夕。〃+4,〃?）是一次函數y=-2x+2圖象上一點.

（1）求"？的值.

（2）當TKx<2時，求），的取值范圍.

【答案】（I）m二-2,（2）-2<j<4

【詳解】

解：（1）把工=加+4,）'=加，代入），二-2工+2,得：機二-2（機+4）+2

m--2

（2）當天=-1時，，y=4

當上=2時，y=-2

???上<0,y隨x的增大而減小

-2<y<4

【過關檢測】

1.下列函數中，y是x的正比例函數的是（）

A.y=6x—1B.y=—C.y=x2D.y=——x

X2

【答案】D

【詳解】

解：A、y=6.T-l是一次函數，不是正比例函數，故此選項不合題意；

B、是反比例函數，不是正比例函數，故此選項不合題意；

x

C、y二V是二次函數，不是正比例函數，故此選項不合題意；

D、），二一；不是正比例函數，故此選項符合題意：

故選：D.

2.下面各點中，在函數y=-；x+3圖象上的點是（）

A.（3,0）B.（-2,2）C.（2,-2）D.（4,1）

【答案】D

【詳解】

1331

解：A、當x=3時，y=---x+3=---+3=—#）,則（3,0）不在函數了=----x+3圖象上，所以A選項

2222

不符合題意；

B、當_r=-2時，y=-g.r+3=1+3=4#2,則（-2,2）不在函數y=-g.r+3圖象上，所以4選項不符

合翹意；

C、當x=2時，y=-gx+3=-1+3=2,-2,則（2,-2）不在函數y=-yx+3圖象上，所以C選項不

符合；

D、當工=4時，y=-y.v+3=-2+3=1,則（4,1）在函數產--1-x+3圖象上，所以。選項符合題意.

故選：D.

3.如表中是正比例函數），=心的芻變量x與函數y的對應值，則〃的值為（）

X-21

y4P

A.2B.-2C.ID.4

【答案】B

【詳解】

解：由表格可得：當--2時，尸4,代入正比例函數解析式可得：4=—2k,

解得：k=2

:.正比例函數解析式為y=-2x,

把戶1代入得：丁=-2,即〃=-2.

故選B.

4.已知點P（2,機）在一次函數>=如一3帆+2的圖像上，則加的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【詳解】

把點P（2,小）的坐標代入一次函數y=如一3m+2中，

得2〃L3〃Z+2=〃？

—2〃z+2=0

/.-2m=-2

ni=1

故選：C.

5.已知點A（—2,蘆）,8（6,丁2）在一次函數>'=（/+1卜一〃（。，〃為常數）的圖象上，則力與為的大

小關系為（）

A.%>力B.y=%C.凹<為D.無法判斷

【答案】C

【詳解】

解：因為；〃2+]>0,'隨X的增大而減大，

又-2V6,

所以，yv%

故選:c.

6.已知一次函數），=公+〃,。〃>0,且），隨x的增大而增大，則此圖像不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【詳解】

解：在一次函數丁=辦+人中，ab>0,

??）隨x的增大而增大，

，。>0,

???一次函數>=依+人經過第一、二、三象限，不經過第四象限,

故選D.

7.一次函數y=3x+6的圖象經過()

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限

【答案】A

【詳解】

解：*.*一次函數尸3工+6中.1=3>0,Z>=6>(),

???此函數的圖象經過一、二、三象限，

故選：A.

8.在同一坐標系中，若直線y=-x+b與直線y二日一4的交點在第一象限，則下列關于A、8的判斷正

確的是()

A.k<0,b<()B.k<。，b>()

C.k〉0,b<()D.k>0,b>0

【答案】D

【詳解】

直線y=-x+Z?與直線)，=k.x-4的交點在第一象限，

即直線y=r+直線y=4的圖象都經過第一象限，

/./>>0,A:>0

故選:D.

9.在平面直角坐標系中，將直線)，="-6沿x軸向右平移3個單位后恰好經過原點，則左的值為()

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】A

【詳解】

解：將直線尸履-6沿x軸向右平移3個單位后得到y=A(x-3)-6,

???直線經過原點，

：.G=k(0-3)-6,

解得：k=?2,

故選：A.

10.已知一次函數>>，=依+力的圖象如圖所示，則)，=-2丘-〃的圖象可能是()

【答案】c

【詳解】

解：???一次函數），=履+〃的圖象經過二、三、四象限，

KO,b＜0,

???函數y=?2U?b的圖象經過第一、二、三象限，

???因為因＜|-2川，

所以一次函數）=匕+〃的圖象比＞=-2h-〃的圖象的傾斜度小，

綜上所述，符合條件的圖象是C選項.

故選：C.

11.直線y=4x+l與x軸交點坐標為.

【答案】卜川

【詳解】

解：當y=0時，4x+l=0,解得：x=--

4

:.目線y=4x+1與矛軸交點坐標為（一;,0）

故答案為：（一

12.有一種動畫設計，屏幕上的4ABe是黑色區域（含三角形的邊界）.其中A（-1,1）,仇2,1）,C（l,3）.用

信號槍沿直線），=丘-2發射信號，當信號遇到黑色區域時，區域便由黑變白，則能夠使黑色區域變白的攵

的取值范圍是_________.

3

【答案】K-3或挺二

2

【詳解】

解：VA(-1,1),8(2,1),C(1,3).

:.當直線y=kx-2經過點A時,4-2=1,解得k=-3；

3

當直線產6-2經過點8時，2k-2=l,解得七；，

AA<-3或后之，

2

故答案為：仁-3或化之.

2

13.正方形的面積S是邊長x的函數，它的表達式是S=f.如果正方形的邊長的變化范圍很小，例如k從

1變至IJL08,我們來觀察面積S的變化情況：

X11.021.041.061.08

S11.0401.0821.1241.166

(1)分別計算x從1變到1.02,從1.02變到1.04,從1.04變到1.06,從1.06變到1.08時,面積S增大了

多少；

(2)根據第(1)題的計算結果，當邊長x從1變到1.08時，正方形的面枳S可不可以看成邊長x的一次

函數？由此受到啟發，你能做出什么猜測？

【答案】3)面積S依次增大了0.040,0.042,0.042,0.042；(2)不可以，猜測：面積與邊長不成一次

函數關系

【詳解】

解：⑴1.040-1=0.040,

1.082-1.()40=0.042,

1.124-1.082=0.042,

1.166-1.124=0.042,

即上從I變到1.02,從1.02變到1.04,從1.04變到1.06,從1.06變到1.08時，面積S依次增大了0.040,

0.042,0.042,0.042；

(2)因為x由1變到1.08時，正方形面積S的變化值不是定值，所以正方形的面積S不可以看成邊長x的

一次函數，

猜測：面積與邊長不成一次函數關系.

14.已知一次函數y=(4+2m)x+m-4,求：

(1)m為何值時，y隨x的增大而減少？

(2)m為何值時，函數圖象與y軸的交點在x軸下方？

（3）若m=l時，求此函數圖象與兩坐標軸的交點坐標？

【答案】（l）m