正弦定理和余弦定理-高考數學重難點題型講義（新高考地區專用）解析版

專題4.11正弦定理和余弦定理.重難點題型精講

衣

???aa??■■■??.■■■..MM??a?^BB

1.余弦定理

(1)余弦定理及其推論的表示

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

文字表述

與它們夾角的余弦的積的兩倍.

fl2=62+c2-26ccosA,b2=a2+c2-2accosB、d=a2+62-

公式表述

2aAosC.

46?+c?-a'Da?+c?-6?八o'+6'-c?

推論C08A=---------------CO8D=c.COSC=A,

2bc92ac2ab

(2)對余弦定理的理解

①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題.用余弦

定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.

2.正弦定理

(1)正弦定理的表示

在MBC中，若角ABC對應的邊分別是〃力c則各邊和它所對角的正弦的比相等，即=、二一萬:

sinC

(2)正弦定理的常見變形

在“此中，由正弦定理得北廠導=云=3°)'則斫3"'Esin4,EsinC,由此可得

正弦定理的下列變形:

①嗎=$吟,，苦,，.展麗人，〃sinC=csinA,加inGcsing

smBbsinAasinCc

哂a_b_c_a+?_a+c_b+c_a+b+c

sinAsinBsinCsinA4-sinBsinA+sinCsinB+sinCsin力+sin4+sinC'

③a:〃:c=sinA:sin8:sinC：

④"二二/五=/7；=2/?,(R為AABC外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

(3)三角形的邊角關系

由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.

3.解三角形

(1)解三角形的概念

一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊〃力,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個

元素求其他元素的過程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的應用

利用余弦定理可以解決以卜.兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

③已知三邊，求三角形的三個角.

(3)正弦定理在解三角形中的應用

公式號二f反映了三角形的邊角關系.

sinAsinBsinC

由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為：‘二二/五，&■=r三,二彳=七.上述的

sinAsinBsinBsinCsinAsinC

每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方

程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.

4.測量問題

(1)測量距離問題的基本類型和解決方案

當A8的長度不可直接測量時，求A3的距離有以下三種類型：

(2)測量高度問題的基本類型和解決方案

當AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型:

類型筒圖計等方法

測得8C'=a.C的大小,A8=a?tanC.

測得CO=a及LACB與LADB的度數.

點8與

先由正弦定理求出AC或A2再解良角

共線

三角形得.48的值.

測得CD=a及乙BCD,乙BDC,乙ACB的

度數.

在ABCD中由正弦定理求得BC,再解直

角三角形得.48的值.

(3)測量角度問題

測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方

位角等概念，若是觀察建筑物、由峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關鍵是根據題意、圖

形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

5.對三角形解的個數的研究

已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現一解、兩解或無解的情況，三

角形不能被唯—確定.

(1)從代數的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角“時三角形解的情況，下面以已知

“力和A,解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數的有界性及三角形的性質可得：

①若sinB二寫W>1,則滿足條件的三角形的個數為0：

②若sinB=吟4=1,則滿足條件的三角形的個數為1：

③若sinB=生乎■<1,則滿足條件的三角形的個數為1或2.

顯然由0。泊4=號4<1可得4有兩個值，一個大于90、，一個小于90、考慮到“大邊對大角”、“三

角形內角和等于180。”等，此時需進行討論.

(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中?邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知〃力和

6.三角形的面積公式

(1)常用的三角形的面積計算公式

①S"BC=;兒hc(兒,心,兒分別為邊a，,c上的高).

②將兒二人sinC,/%=csinA,九.二asin/3代入上式可得8c=J“〃sinC=g/?csin4=；acsin/工即三

角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.

(2)三角形的其他面積公式

①S△皿=：4z+Hc)=yr/,其中匚/分別為。的內切圓半徑及△43C的周長.

乙乙

與、12sinAsinC1sinJsinC1sintsinB

b22

②叉皿,=^a~sin/l'S4ABC=2-sin4'2C~sinC

短儲千一更三

【題型1利用正弦定理解三角形】

【方法點撥】

事實上，所謂解三角形本質上就是解基于邊角的內蘊方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時：

⑴由三角形內角和定理A+B+C=180°,可以計算出三角形的第三個角；

(2)由正弦定理高=熹二七，可計算出三角形的另兩邊

sinAsmDsinC

【例1】(2022.江西贛州.高三期中(理))在448。中，角力㈤C所對的邊分別為a,瓦c,若a=4,4=巳C=2,

412

則方=()

A.2V3B.2V5C.2V6D.6

【解題思路】三角形三內角和為兀，故可求角B,利用正弦定理即可求b.

【解答過程】因為=*所以BULA—CW，

4123

因為啖=白，所以8=誓=緋=孥=2遍.

sinzlsinBsin4sin-if

42

故選：c.

【變式1?1】(2022?浙江?高一期中)在A4BC中,內角48,C的對邊分別是4瓦c,且a=3,c==2”,

則坐等于()

sm3C

A.1B.V3C.3D.3V3

【解題思路】根據正弦定理，結合已知條件，即可容易求得結果.

【解答過程】在三角形ABC中，當=點吟=筆々=誓

sin3csin(2C+C)sin(B+C)s\nA

由正弦定理可得：^=-=1.

sinAa

故選:A.

【變式1-2］（2022?河南南陽?高三期中（理））在△ABC中，C=30。，b=W，c=x.若滿足條件的△ABC有

且只有一個，則》的可能取值是（）

A.-B.—C.1D.V3

22

【解題思路】利用正弦定理得到sinB=3，再分0<B￡30°和B>300兩種情況討論，結合正弦函數的性質

求出”的取值范圍，即可判斷.

【解答過程】解：由正弦定理七=三，即二,所以sinB=W，

sinesinCsinfisin302x

因為△ABC只有一解，

若B>30°,則8=90°,

若。<8430°顯然滿足題意，

所以0<sinB轉或sinB=l,所以°<算工意媛=1，

解得%>企或%=圣

故選：D.

【變式1?3】（2022?河南南陽?高三期中（理））在44BC中,角A,B,C所對的邊分別為a,匕,c,V2（c-bcosA）=

a,8=3a則4力8。的外接圓面積為（）

A.47rB.67rC.87rD.97r

【解題思路】首先利用三角恒等變形化簡，并利用同角三角函數公式求得sin8=中，并利用正弦定理求外

接圓半徑，即可求得三角形的面積.

【解答過程】由正弦定理可知,&{sinC-sinFcos/l）=sin4

即、方sin（4+B）—sinBcos川=sin/1

x/2sin/lcosfi=sin/1,因為sin/1W0,cosF=—,

2

sin3=V1—cos2B=—,

2

根據正弦定理可知2R=-。=6,得/?=3,

sinF

則AABC的外接圓面積s=nR2=97r.

故選;D.

【題型2利用余弦定理解三角形】

【方法點撥】

根據具體題目，利用余弦定理或其推論，進行轉化求解即可.

【例2】(2023?廣東?高三學業考試)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c.若A=60。，b=2,

c=3,則a=()

A.V7B.V10

C.4D.回

【解題思路】利用余弦定理求解艮]可.

【解答過程】VA=60°,b=2,c=3,

由余弦定理得2/?ccosA=4+9—2x2x3x^=7,

d=s/7.

故選：A.

【變式2?l】(2022?全國?高一課時練習)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,瓦c.若上萼=",則。=

a+ft-c

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】化簡已知等式可得。2+》2-c2=ab,由余弦定理邊化角可求得cosC,由此可得C.

【蟀答過程】山。"3一〃=c?得：十廬一c?=c2(a+匕-c)=c2(a十b)—”，

a+b-c

??a3+b3=(a4-b)(a2—ab+b2)=c2(a+b),

???Q+bHO,???a2—ab+b2=c2?BPa2+b2—c2=ab,

:，cusC=a'+b3二3又0°vC<180°,C=60°.

2ab2

故選:B.

【變式2-2](2022.安徽省高三階段練習)在△/1BC中，ZC=pAC=2,M為49邊上的中點，且CM的長度

為"，則AB=()

A.2V3B.4C.2V7D.6

【解題思路】根據cosN/IMC=-cosNBMC,結合余弦定理可得到4C2+8C2=2(CM2+/1M2),由此可整理得到

2BC2-20=AB2；在△4BC中，利用余弦定理可得4+8。2_28。=力爐，解方程組可求得48.

A

CB

【解答過程】

/……AM2+CM2AC2

在中，cosZi4MC=———；

2AMCM

在ABCM中，COSZ8MC=BM^CM2'BC2；

2BMCM

*：^AMC+ZBMC=n,AcosZ/lMC=-cosZBMC,又

.AM2+CM2-AC2AM2+CM2-BC2

??=-9

2AMCM2AMCM

整理可得：4C2Tse2=2（CM2+AM?）,即4+3。2=2（7+4”2）,

:.2AM2=^AB2=BC2-\0,J2BC2-20=AB2；

在△4BC中，AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=4+BC2-2BC=AB2,

：.4+BC2-2BC=2BC2-20,解得：BC=-6（舍）或BC=4,

：.AB=y/2BC2-20=2V3.

故選:A.

【變式2?3】（2022.福建省高三階段練習）如圖，在△力"中，NBAC=5而=2而,P為CD上一點、,且滿

足而=mm+；而，若|而|=2,|而|=3,則|4P|的值為（）

A.<13B.—C.—D.—

234

【解題思路】設而=a而，根據平面向量線性運算及平面向量基本定理求出入m的值，依題意可得△/me為

等邊三角形，求出CP,再由余弦定理求出力P即可：

【解答過程】解:設而=入而，

則方=而+而=而+入前=m+；1(|AB-AC)=IAAB+(1-A)AC=JAB+mAC,

3A=2,解得

I,

m=\-Am=4

因為|通|=3,所以＜。=豺8=2,又I冠|=2,ZBAC^,所以△ADC為等邊三角形，

所以N"D=W，CP=；CD=；,

342

由^&IAP2=AC2+CD2-2ACCDCOSZACD=22+(1)2-2X2X“：=?，

所以4。=孚

故選：B.

【題型3判斷三角形的形狀】

【方法點撥】

判定三角形形狀的途徑：

⑴化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；

⑵化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.

【例3】(2022?江西?高三階段練習(文))在AAB。中，己知sinC=2sin(B+C)cosB,那么△ABC一定是()

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

【解題思路】由兩角和的正弦公式結合正弦定理和余弦定理可求出a=從即可判斷△48。的形狀.

【解答過程】因為sin。=2sin(B+C)cos8,sin(B+C)=sinA,

所以sinC=2sirii4cosB,

所以由正余弦定理得C=2a?：化簡得。2=b2,

2ac

所以a=b,

所以△力8c為等腰三角形.

故選：B.

【變式3-1](2022?全國?高一課時練習)在△A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,4c,若普=2=魚，則

cosfia

該三角形一定是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【解題思路】由余弦定理得到Q2(b2+c2—Q2)=b2(a2+c2—M),結合^二或，得到。2=出十爐,判斷

a

范三角形為直角三角形.

【解答過程】???々=2,

cosBa

Gcos71=bcosB,

■+.r?日b2+c2-a2,a2+c2-b2

由余弦定理可得：=

整理可得：a2（Z>2+c2—a2）=b2（a2+c2-b2'）,①

??'=&

???力2=2a2,②

由①?得c?=3Q2=Q2+》2,

???該三角形是直角三角形.

故選：A.

【變式3-2］（2022?全國?高一課時練習）在△48。中，cos2?=等（a,b,c分別為角的對邊），則△力BC

22C

一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】根據二倍角公式將己知條件變形，然后利用余弦定理進行邊角轉化進行判斷.

【解答過程】Vcos2^=^,A2cos2^=—,即l+cosB=^,

22c2cc

根據余弦定理可得

1十注*="，整理得M+/=。2,

2acc

由勾股定理知，△A6C為直角三角形.

故選：B.

【變式3-3］（2022?內蒙古包頭?高一期末）已知△4BC的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,則下列說

法中錯誤的是（）

A.若也=竿=k，則△ABC一定是等邊三角形

B.若bcosB=acos4,則△48C一定是等腰三角形

C.若acosB+bcosA=a,則△48C一定是等腰三角形

D.若/?2+C2<Q2,則△48C一定是鈍角三角形

【解題思路】根據正余弦定理中，邊角互化即可求解.

【解答過程】對于A:由正弦定理以及等=等=等得黑=篝=舞=tag=tanB=tanC,因為

A,B,CW（0,兀），所以4=B=。,故也48。是等邊三角形，故A對，

對B:由bcosB=acosH以及正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA=s\n2B=sin24，

由于4,8￡（0,兀），24W（0,2TT）,2B￡（0,2兀），因此2B=24或者24+2B=兀，即B=4或者力+B=%故

△4BC為等腰三角形或者直角三角形，故B錯誤，

對C:由正弦定理得sin4cos8+sinBcos力=s\nA=sin（4+B）=sinA,

由于在△4AC中，sin。+B'）=sing因此可得sinA=sinC;

由于4,C€（0,冗）,4+C＜兀，故力=C,故C正確,

對于D:由方+c2V得cos4=vo故4為鈍角，因此D正確

2bc

故選：B.

【題型4和三角形面積有關的問題】

【方法點撥】

根據具體條件，結合三角形面積公式，進行轉化求解即可.

【例4】（2022?重慶高三階段練習）已知△力"中，/B=6/C=2,AD為N84C的角平分線，則△力8c的

面積為（）

A.2&B.4V2C.3A/2D.36

【解題思路】根據S，F8C=SJ8D+SFCD利用三角形面積公式、倍角公式化簡整理可得COS8=￡再求sin。，

4__1/1DC2—i/1DLx/ICU5

代人面積公式運算求解.

【解答過程】設N8/m=Naw=e

，：S^ABC=SAABD+SAACDfAC-sinZBAC=^ABAD-sinZBAD+^ADAC-sinZCAD

即;x6x2xsin28=；x6xVJxsin6+；x2xVJxsin。，可得V5sin20=2sin6=2\/5sin0cos。

Vsin0^0,則COS8=F

2

.,.sin0=Vl-cos0=y,MSAi4BC=S△i4BD+SAXCO=jx6xV3x^+1x2xV3x2^=472

故選:B.

【變式4-1］（2022?陜西?高二階段練習）在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為小b,c,已知a=2,b=

l,cosC=i,則△ABC的面枳為（）

A.乎B.IC.V2D.2V2

【解題思路】由平方關系求得sin。，再由面積公式計算.

【解答過程】因為cosC=$CG(0,7T),

?J

所以sinC=71-cos2c=竽，

所以S=-absinC=-x2xlx—=—.

2233

故選：A.

【變式4-2](2022?全國?高二開學考試)在△力BC中，內角A,8,C的對邊分別為a",c,若cos4=&8=%

54

且AABC的外接圓面積為25花，則△48c的面積為()

A.24B.25C.27D.28

【解題思路】根4A8C的外接圓面積為25?？傻谩鰽BC的外接圓半徑R=5,再根據sinC=sin(A+B),結合

正弦定理化簡可得c=acosB+bcosA=7-y2,再根據面積公式求解即可.

【解.答過程】易知△48c的外接圓半徑R=5.由cos。=洱得sinA=J1一=￡所以a=2RsinA=8,

b=2Rs\nB=5注,由sinC=sinQ4+F)=sinAcosB+sinBcosA,結合正弦定理可得c=acosB+bcosA=

7VL所以SUBC=|acsinB=1x8x772xy=28.

故選：D.

[變式4-3](2022?黑龍江?高二階段練習)已知a,b,c分別為△48c三個內角48,C的對邊,且2ccos8=2a-

b,a=4,S^ABC=3V3,則》=()

A.3B.3A/3C.6D.6竭

【解題思路】根據正弦定理可得2smecosB=2sinA-sinB,由三角形內角和、誘導公式及兩角和的正弦公

式可得2sinBcosC=sinB,由三角形內角的范圍可得C=；,再由面積公式即可求解.

【解答過程】由正弦定理及2ccosB=2a-b得2sinCcosB=2sin力-sinB.

又因為在△ABC中，sin/1=sin(8+C),

所以2sinCcosB=2sin(F4-C)-sinB,整理得2sin8cosC=sinfi.

因為在△ABC,sinB豐0,所以2cosc=1,即cosC=

又因為ce(o,7i),所以c=*

?5

又S4ABe=文bsinC=3V3,a=4,所以b=3.

故選:A.

【題型5正、余弦定理在幾何圖形中的應用】

【方法點撥】

正、余弦定理本身是研究幾何圖形計算的工具，因此在面對幾何圖形時，關鍵是尋找相應的三角形，并在

三角形中運用正、余弦定理，特別是涉及公共邊時，要利用公共邊來進行過渡，即利用公共邊創造的互補

或互余關系列式，其本質是構建關于角的關系的方程.

【例5】（2022?陜西?高一期末）在銳角△A/3C中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,且Be-2bsinC=0.

（I）求角8的大??；

（2）從條件①b=3A/3,a=4；條件②a=2,A=g這兩個條件中選擇一個作為已知，求△ABC的面積.

4

【解題思路】（1）首先利用正弦定理邊化角求出sinB,再結合角的范圍，即可求得.

（2）選條件①：首先利用余弦定理求出c=2+g,再結合三角形面積公式即可求得.

選條件②:首先利用正弦定理求出b，再結合三角函數恒等變換求出sinC,再利用三角形面積公式即可求得.

【解答過程】（1）解：（1）因為V5c-2bsinC=0,由正弦定理VSsinC-2sinBsinC=0.

因為C€（0,力sinC黃0,所以sinB=[.

又因為BE（0,9,所以8=全

（2）選條件①：b=3y/3,a=4；

因為b=3V5,a=4,由（1）得8=%

所以根據余弦定理得匕2=c2+a2—2c-a-cosB,可得c?—4c-11=0,解得c=2+V15.

所以△ABC的面積S=asinB=26+3通，

選條件②：a=2,4=g；

4

由（1）知8=g且A=g

根據正弦定理得上--三，所以b-空乎-n，

sines】nAsinA

因為。=兀一人一8=工，

所以sinC=sin^=sin（巳+9=，

12\46/4

所以△248c的面積S=-asinC=檸".

【變式5-1]在△4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=4,c=3b.

(1)若8$/1=求^ABC的周長；

6

(2)若△ABC內切圓、外接圓的半徑分別為r,R,求r-R的取值范圍.

【解題思路】(1)根據余弦定理列方程，結合已知條件可求a,4c，由此求△力BC的周長；

(2)根據正弦定理可得R=扁，根據內切圓的性質及三角形面積公式可得r=鬻g利用二次函數性質求廣

R的取值范圍.

【解答過程】(1)由余弦定理可得cos4=b+^~a>又cosH=a=4,c=3b,

2bc6

所以今==；,所以c=4,所以A/IBC的周長為V；

6DC633

(2)由正弦定理可得號=2R,所以R=-J，設△48。的面積為S,

sinAsin/1

由內切圓的性質可得gar+^b?'+^cr=S,又S=~bcsinA,

bcsin?l2bc

目「以r=所以r?R乂Q=4,C=3b,

a+》+c'a+b+c'

3

3b21

-

所以2?21

r?/?+-

2+2bb

因為b+c>Q,a+c>b,a+b>c,所以1<匕v2,

令;=3則丁”|點，乒亡<1，所以；<尸+￡<2,所以;<點<±

所以：vr-R<2,所以的取直范圍為2).

【變式5-2X2022?天津北辰?高三期中)已知△力8c的內角A,8,C的對邊分別為a,〃,c,且acosB+VSasinB=

b+c.

(1)求A;

(2)若a=4,△ABC的面積為4百，求△4BC的周長.

【解題思路】(1)根據正弦定理，把邊化為角，結合三角形的內角和定理，利用三角恒等變換化簡可得sinG4-

*)=〈，進一步求得4

O乙

(2)根據(1)的結論，根據三角形的面積公式可得兒=16,再利用余弦定理變形可得b+c=8,進而求

得AABC的周長：

【解答過程】(1)因為acosB+V3asinfi=b+c,由正弦定理得sinAcosB+y/SsinAsinB=sinB+sinC,

所以sinAcosB+V3s\nAsinB=sinB+sin(/l+B),

所以V5sim4sinB=sinB+cosAsinB,

因為sinBH0,所以VSsinA=1+cosA,

即—cosA=1,所以sin（A—工）=工，

62

因為0V力V兀，所以一三<71—-<—,所以？1—-=色即4=-；

666663

（2）因為△力BC的面積為4臼，?=：

由三角形的面積公式得;bcs嗚=473,化簡得be=16,

又根據余弦定理42=h2+c2-2bccosm得力2+c2-be=16,

所以（b+c）2—3bc=16,

所以（b+c）2=16+3bc=164-48=64>所以b+c=8,

故AA8C的周長為a+b+c=4+8=12.

【變式5-3］（2022?山東煙臺?高三期中）在①c=4：②asinB=bcos（力一割文兩個條件中仔詵一個作為己

知條件，補充到下面的橫線上，并給出解答.

問題：已知△力BC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,。是4C邊的中點，a=BD=三由,且______.

⑴求b的值；

⑵若484。的平分線交8C「點E,求A/IBE的周長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解題思路】（1）選①，在△AB0和△80中，應用余弦定理，由cos乙4D8+cos4。。8=0,求得結論；

選②，由正弦定理化邊為角，求得A角，然后設匕=2%,c=y,在AABC和AABZ）中對A角應用余弦定理列

方程組求解：

（2）由SM8E+SMCE=SM8C求得力E，再由角平分線定理求得BE后可得三角形周長.

【解答過程】（1）解：選擇①：設b=2x,則4）=DC=x,

二+哈16

在中,cosz.ADB—/X

在A8C￡）中，cosZ.CDB=

VZ.ADB+乙CDB=7T,COSZ.ADB+COSZ.CDB=0,

即“：弓16+=0所以％=故力=?.

3V7X^Hx；3

選擇②：由正弦定理得，sinAsinB=sinBcos（4-勻,

BE(0,7r),Asinfi>0,.,.sirM=cos(力一*

即sinA=TcosA+：sinA,于是tanA=V5,*.A=p

設匕=2x,c=y,

22I12

在AABD中，cos/l=--&9=：,即/+y2_%y=與G),

.2.2112

在AAS。中，cos/1=\B|J4x24-y2-2xy=-^(ii),

聯立(i)(ii)解得，x=py=4,即c=4,d=

（2）解：由題思得，^^ABE^&ACE=^^ABCf

-4x4x4Exsin30^1x|x^xsin30-=1x4x|xsin60S/ME=手

又??S“8E一B￡一C_3?DP_W7

f

S.ACE-EC-b-2-5，

，收△ABE的周長為AB+BE+RE=4+叱人行

【題型6解三角形的實際應用】

【方法點撥】

正、余弦定理在解決實際問題中的應用，本質上還是正、余弦定理在解決幾何圖形（主要是三角形與四邊形）

問題中的應用，因此利用幾何圖形本身及實際問題中涉及的術語（如方位角等）構建恰當的三角形，在三角形

中運用正弦定理或余弦定理即可.

【例6】（2022.北京海淀?高三期中）某自然保護區為研究動物種群的生活習性，設立了兩個相距12km的觀

測站4和8,觀測人員分別在A,8處觀測該動物種群.如圖，某一時刻，該動物種群出現在點。處，觀測

人員從兩個觀測站分別測得NB4C=30。，448c=60。，經過一段時間后，該動物種群出現在點。處，觀測

人員從兩個觀測站分別測得NB4D=75。，/-ABD=45°.（注：點A,B,C,。在同一平面內）

（1）求△48。的面積;

（2）求點C,。之間的距離.

【解題思路】（1）由正弦定理求得4。的長，利用三角形面積公式，即可求得答案；

（2）求出4c和“力。,由余弦定理即可求得答案.

【解答過程】（1）在AABD中，乙BAD=75。,/-ABD=45°,所以NADB=60。.

由正弦定理：一喂=一嚷，得‘為=」嗅，

sinz4BDsinz/lDBsin450sin60°

.退

所以A。=.AB=-^x12=4而（km）,

y

sin60°2

sin乙BAD=sin75°=sin（45°+30°）=當g+：）=

所以△ABD的面枳為另斗8。=-AB?AD?sin^BAD=-x12x4\/6x叵史=36+12V3（km2）.

224

（2）由484c=30°,乙48c=60°,得4。4。=45。，且乙4c8=90。，

???AC=12cos30°=6V3.

在A4CD中由余弦定理，得

CD2=AC2+AD2-2AC-AD-cosACAD=36x3+16x6-2x6A/3x476xy=60,

所以CD=2715（km）.

即點C,D之間的距離為2代km.

【變式6-1］（2022?浙江?高一期中）如圖，在點4處有一座燈塔，8c是一條直的海岸線，已知48=

4c=1km,從燈塔4處射出的燈光照到線段BC上的線段E凡E、F是線段2C（含端點）上的動點，在轉動

燈光的過程中，始終保持乙￡;4F=：不變.

4

（1）當“48建時，求被燈光照到的區域△4EF的面積；

⑵求海岸線BC上被照到的線段EP長的最小值.

【解題思路】（1）分別利用正弦定理求得4尸,力￡,再根據三角形得面積公式即可得解：

（2）設A到"的距離為d,根據北8c=^AB-AC=^BC-d可求得d,從而可得后產的最小值即為△力“面

積的最小值，設匕BAE=6,0<0<；,分別利用正弦定理求得AFME,再根據三角形得面積公式結合三角

4

恒等變換求得△AEF面積的最小值，從而可得出答案.

【解答過程】(1)解：在中，Z.B=-.Z.EAB=-,LAEB=-,AB=1,

4612

由正弦定理，得篝=3也，所以=為,述:、.二W-1，

在ZMCF中，==1,

由正弦定理，得箏=當，所以”=學.3=今

苧s\n-2siny3

所以S“EF=\AE--=YX(V3-1)Xy=

(2)解:設A到“的距離為d,

由得d=當，

所以E尸的最小值即為△力EF面積的最小值，

設/84E=0,0<0<-,

4

在A/18E中，由正弦定理得*==/lE=—辛―，

sin,sin管-8)2sin("：)

在Ai4CF中，由正弦定理得二=—TT—V=>AF=7^7，

sin-sing+0)2cos6

17tV2V2V2\/21

SAAEF=>4F-sin-=—

乙

2sin0+k（sin。+cos8）cos。

_1_________1___________11

一彳1a1+cos26-2&sin儂+今）+1

2sm26+----2----

>--^-=-(72-1),

2遮+121)

當且僅當e=：時，取“二”，

當面積最小時，由S-EF=/「?[，得EF=2或S-EFN2-應，

所以線段EF的最小值為2-收

【變式6-2](2022?湖北?高二階段練習)如圖，經過村莊A有兩條夾角為60。的公路A8/C,根據規劃在兩條

公路之間的區域內建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=3km.

a

p

N.

AB

(1)當/力時可=30。時，求線段AP的長度；

(2)問如何設計，使得工廠產生的噪音對居民的影響最小？(即工廠與村莊的距離