2025-2026學年蘇科版七年級數學下冊期末復習：證明（鞏固練習）

2025-2026學年蘇科版數學七年級下冊

期末復習專題1:證明

（鞏固練習）

【典型例題】

【例1】下列命題中，屬于真命題的是（）

A.若a>b,^]ac2>bc2B.兩直線平行，內錯角相等

C.同位角相等D.有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形

【例2】如圖，下列條件中：?ZC=Z1,?ZC=Z2,③N3+NC=18O。，@Z4+Z2=180°,

能判斷的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例3】命題“〃=從，則〃=〃”的逆命題的結論是一__________?

【例4】如圖，己知48〃。￡/43。=55。,/8。。=25。，則NC0E的度數為—

4:

A/DE

C

【例5】如圖，Zl=Z2,ZB=ZD.求證：AD//BC,

4^—.............................D

/7

E

B

【例6】如圖，有下列三個條件：①DE〃BC；②N1=N2；③NB=NC.

(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾

個命題？請你都寫出來；

(2)選擇你寫的一個真命題寫出證明過程.

【舉一反三】

【變式1】判斷命題“如果冗＜2,那么/—4VO”是假命題，只需舉出一個反例，反例中的x

可以為()

A.1B.0C.-1D.-2

【變式2】一副三角板如圖放置，ZA=45°,ZF=60°fAB//EF,則()

A.45°B.55°C.65°D.75°

【變式3】已知：如圖，在VA3C中，ZA=ZABC=64°,直線E尸分別交A3、AC.6c的

延長線于點￡、D、F,若"=20°,則/。力/=______°

【變式4】如圖，-43。和/ACE是“13。的外角，族和CG分別是-48。和NACE的角平

分線，延長網和GC交于點設NA=a,4H=B，則。與6之間的數量關系為______.

G

A

D/[E

V

H

【變式5】完成下面推理說明：

已知：如圖，BH//CF,BE、b分別平分/ABC和NBC。.

求證：AB//CD.

證明：?：BE、CT分別平分/ABC和NBC。（已知），

???/l=g/,N2=；N.（角平分線的定義）.

VBE//CF（已知），

?.Zl=Z2（_____）.

：.^ZABC=^ZBCD（等量代換）.

:?公BC=/BCD（等式的性質）.

AAB//CD（______）.

【變式6】如圖，點C,。在直線族外，C4J_￡F于點A,BD上EF于點、R,連接CO和C8,

3尸是由C。沿CB方向平移至點〃得到（點C的對應點是點。）.

D

EF

（1）依據題意，補充完整圖形.（注：畫出正確圖形即可，不需要尺規作圖）

（2）證明：NDCA+ND3P=180。.

【鞏固練習】

1.卜列語句是命題的是（）

A.對頂角一定相等嗎B.人們經常用實驗、歸納的方法去發現命題

C.畫一個角等于己知角D.若。二〃，則/="

2.對于命題“若。＜〃，則從"，下面〃，匕的值中，能說明這個命題是假命題的是（）

A.a=—lfb=2B.。=0,b=2C.?=-4,b=-2D.a=2,b=4

3.已知：如圖，長方形紙條43CZ）沿族折疊，點C、。的對稱點為M、N,若/DEF=a,

則/GFM的度數為（）

A.2aB.90。+2aC.1800-2crD.180。一3a

4.如圖，直線CE〃。尸,ZC4B=125°,ZABD=85°,則Nl+N2=()

A.30°B.35°C.36°D.40°

5.如圖，四邊形A8CD為一張長方形紙片，點E、F分別為AB、CO邊上一點，將這張紙片4BCO

沿M折疊，使點B、C分別落在點M、N的位置，BC的對應邊MN與CD交于點G,若NBEF=a,

則/FGN的度數為（）

A.-aB.90°--?C.-a-90°D.%—90。

222

6.命題“兩直線平行，同位角相等的逆命題是____.

7.用反證法證明“已知VABC,AB=AC,則NB<90。”時，應假設：_____.

8.如圖，點E在AO的延長線上，請添加一個恰當的條件,使AB〃CD.

9.如圖，已知“13。中，ZA=75°,將N8、NC按照如圖所示折疊，若44。3'=30。，則

Zl+Z2+Z3=

10.如圖，在VAO8和△COD中，Z4OB=ZCOD=90°,ZA=40°,ZC=60°,。￡>與OA重疊.若

V4OB繞點0按每秒20。的速度沿逆時針方向旋轉不停，在旋轉過程中，若VAO8和△COD中

第一次有一組邊平行，則稱之為第一次“邊平行”，當旋轉到_____秒時，第2025次邊平行.

11.如圖，在VA3C中，ZXE是邊A8上的點，H、G是邊AC上的點，連接叩、EG,

NE”C+NC=180。過點。作交3c于點尸,N1=N2,求證：EG上AB.

8C

12.如圖，AB//CD,。的平分線與NAC。的平分線交于點E,填空:

?：AB//CD,

.?./班C+①=180。.

???AE1平分NB4C,

.?/=；②.

?.?CE平分ZACD,

...Z2=-(3).

2--

/.Zl+Z2=?

ZE=180°-Zl-Z2=@°.

,-.AE@CE.

請用文字語言將以上證明的條件和結論歸納為一個真命題：⑦

13.已知：如圖，在△ABC中，ZA=ZABC,直線石廠分別交AABC的邊A3、AC和C8的延

長線于點￡＞、E、F.

(1)ZA=70°,ZF=30°,求NFEC的度數;

(2)求證：NF+NFEC=2ZA.

14.如圖，在V43C中，/8=20。，點。為邊3c上一點，將AHOC沿直線折疊后，點。落

到點E處，ZADC=100°.

(1)求證：AB\\DE.

(2)若AE1恰好平分/BAD,求—E的度數.

15.如圖1,已知直線MN〃G〃，且MN和之間的距離為1,小明同學制作了兩個直角三

角形硬紙板AC4和。以"其中NAC3=90。，ZDFE=90°,Z/MC=45°,ZEDF=30°,AC=\,

小明利用這兩塊三角板進行了如下的操作探究：

(1)如圖1,點A在MN上，邊3。在G”上，邊短E在直線AB上.

①將直角三角形。律沿射線B4的方向平移，如圖2,當點尸在MN上時，4正的度數為

②將直角三角形。/從圖2的位置繼續沿射線陰的方向平移，當以A、D、尸為頂點的三角

形是直角三角形時，求NRW度數.

(2)如圖3,點A在MN上，邊3C在G”上，GEF的邊DE在直線MN上，點、F落在MN與

G”之間.將VA8C繞點。以每秒4。的速度順時針旋轉，設運動時間為/秒，且0<f<90,當

A3與石尸平行時，t=_____秒.

答案解析

【典型例題】

【例1】下列命題中，屬于真命題的是（）

A.若心b,^\ac2>bc2B.兩直線平行，內錯角相等

C.同位角相等D.有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形

【答案】B

【例2】如圖，下列條件中:①NC=N1,②NC=N2,@Z3+ZC=180°,@Z4+Z2=180°,

能判斷48〃CO的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【例3】命題“片二/，則〃=人”的逆命題的結論是.

【答案】a2=b2

【例4】如圖，已知”〃。石,448。=55。,/8。。=25。，則NCOE的度數為______.

【答案】150。

【例5】如圖，Zl=Z2,ZB=ZD.求證：AD//BC.

【答案】證明：???N1=N2,

:.AB〃CD,

：./B=/DCF,

???ZB=ZD,

:.ZD=NDC/,

:.AD//BC.

【例6】如圖，有下列三個條件：①DE〃BC；?Z1=Z2；③NB=NC.

(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾

個命題？請你都寫出來；

(2)選擇你寫的一個真命題寫出證明過程.

【答案】(1)解：一共能組成三個命題：

①如果。回〃3C,Z1=Z2,那么N3=NC；

②如果OE〃3C,ZB=ZC,那么N1=N2；

③如果N1=N2,ZB=ZC,那么。石〃3。；

【小問2詳解】

解：如果力E〃BC,Z1=Z2,那么N8=NC,

理由如下：,：DE//BC,

=Z2=ZC,

???Z1=Z2,

:.4B=/C.

如果加石〃8C,NB=NC,那么N1=N2；

理由如下：,:DE〃BC,

：.Z1=ZB,Z2=ZC,

???ZB=ZC,

???Z1=Z2；

如果N1=N2,/B=NC,那么DE〃BC；

理由如下：VZB+ZC+ZBAC=180°f

???/B+/C=\^-/BAC,

???Zl+Z2+ZE4C=180°,

JZ1+Z2=18O°-Z^C,

???/B=NC,Z1=Z2,

Z1=Z2,ZB=ZC,

:.NB=N1,

：.DE//BC.

【舉一反三】

【變式1】判斷命題“如果x42,那么小一4<0”是假命題，只需舉出一個反例，反例中的1

可以為()

A.1B.0C.—1D.-2

【答案】D

【變式2】一副三角板如圖放置，ZA=45°,ZF=60°fAB//EF,則NC3F=()

A.45°B.55°C.65°D.75°

【答案】D

【變式3】己知：如圖，在VA6c中，ZA=ZA5C=64°,直線石尸分別交A6、AC、6c的

延長線于點￡、D、F,若"=20°,則NCOF=______°

【答案】32

【變式4】如圖，和24CE是“WC的外角，皮7和CG分別是NA8D和/ACE的角平

分線，延長m和GC交于點77.設N4=a,4H=0,則。與〃之間的數量關系為.

【變式5】完成下面推理說明：

己知：如圖，BH//CF,BE、b分別平分ZA8C和NBCZ）.

求證：AB//CD.

證明：':BE、C/分別平分/ABC和/3CQ（已知）,

???/l=g/,Z2=1z.（角平分線的定義）.

VBE//CF（已知），

Zl=Z2（______）.

???；NABC=；NBCD（等量代換）.

:"BC=/BCD（等式的性質）.

AAB//CD（）.

【答案】?:BE、C尸分別平分NABC和NBCD（已知）,

AZ1=1ZABC,Z2=1ZBCD,（角平分線的定義），

VBE//CF（已知）,

???/l=N2（兩直線平行，內錯角相等），

二NABC二NBCD（等量代換），

22

???ZABC=/BCD（等式的性質）.

???AB〃CD（內錯角相等，兩直線平行）.

【變式6】如圖，點C,。在直線及'外，C4_L￡F于點A,BD工EF于點、B,連接。拉和C8,

3尸是由CD、沿CB方向平移至點8得到（點C的對應點是點B）.

D

。?

EF

（1）依據題意，補充完整圖形.（注：畫出正確圖形即可，不需要尺規作圖）

（2）證明：ZDCA+ZDBP=\SO0.

【答案】（1）解：補充完整圖形，如圖所示.

【小問2詳解】

證明：VC41EF,DBA,EF,

：./.CAE=ZABD=/.DBF=90°,

???CA〃BD,

：.ZZ）G4+ZBr>C=180o,

由平移的性質知CD〃8P,

:.4BDC=/DBP,

:.4>C4+NZMP=180。.

【鞏固練習】

1.下列語句是命題的是（）

A.對頂角一定相等嗎B.人們經常用實驗、歸納的方法去發現命題

C.畫一個角等于己知角D.若。=〃，則/=〃

【答案】D

2.對于命題“若“<〃，則〃2<從"，下面。，b的值中，能說明這個命題是假命題的是（）

A.a=~\,b=2B.。=0,b=2C.a=-4,b=-2D.a=2,b=4

【答案】c

3.已知：如圖，長方形紙條43CO沿Eb折疊，點C、。的對稱點為M、N,若/DEF=a,

則/GFM的度數為（）

4Jp

A.2aB.90。+2aC.180。-2aD.1800-3a

【答案】C

4.如圖，直線CE〃。/，ZC4Z?=125°,N/SO=85。，則Nl+N2=()

cE

A.30°B.35°C.36°D.40°

【答案】A

5.如圖，四邊形ABC。為一張長方形紙片，點E、F分別為A3、CO邊上一點，將這張紙片48C。

沿EF折疊，使點B、C分別落在點M、N的位置，BC的對應邊MN與CD交于點、G,若NBEF=a,

則/FGN的度數為（）

/V

pGC'FC

</

AEB

A.-aB.90°--?C.-?-90°D.2^-90°

222

【答案】D

6.命題“兩直線平行，同位角相等的逆命題是_____.

【答案】同位角相等，兩直線平行

7.用反證法證明“已知VABC,AB=AC,則ZB<90°”時,應假設：______.

【答案】ZB>90°

8.如圖，點E在AD的延長線上，請添加一個恰當的條件,使

BC

/\/

ADE

【答案】ZA=ZCDE（答案不唯一）

9.如圖，已知“WC中，ZA=75°,將N8、/C按照如圖所示折疊，若/4。9=30。，則

Zl+Z2+Z3=

A

10.如圖，在VAOB和△COD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZA=40°,ZC=60°,0。與OA重疊.若

VAO8繞點0按每秒20。的速度沿逆時針方向旋轉不停，在旋轉過程中，若VAOB和△COD中

第一次有一組邊平行，則稱之為第一次“邊平行”，當旋轉到秒時，第2025次邊平行.

11.如圖，在VA8C中，D、E是邊A8上的點，H、G是邊AC上的點，連接EH、EG,

NE〃C+NC=180。過點￡>作交于點尸=求證：EGA.AB.

【答案】VZEHC+ZC=180°,

:.EH//BC,

:.ZAEH=ZB,

■:FDVAB,

???Z1+ZB=9O°,

Z1=Z2,

Z24-ZAEH=90°,

???ZAEG=90°,

:.EG.LAB.

12.如圖，AB//CD,。的平分線與/ACO的平分線交于點E,填空:

VAB//CD,

.?.NfiAC+①=180。.

-/AE平分N8AC,

2------------

?；CE平分ZACD,

...Z2=-@.

2--

.?.Nl+N2=④。.

ZE=180°-Zl-Z2=@°.

,\AE?CE.

請用文字語言將以上證明的條件和結論歸納為一個真命題：⑦

【答案】???A3〃C。,

：.ABAC+ZACD=\8(r.

?.?AE平分/B4C,

/.Z\=-ZBAC.

2

?.?CE平分ZACD,

Z2=-ZACD.

2

Zl+Z2=90°.

.?.Z￡=180°-Zl-Z2=90°.

???AE1CE.

用文字語言將以上證明的條件和結論歸納為一個真命題：兩直線平行，同旁內角的平分線互相

垂直

故答案為：ZACD；ZB\CxZACQ；90；90；1；兩直線平行，同旁內角的平分線

互相垂直

13.已知：如圖，在△然（?中，ZA=ZABC,直線樣分別交aABC的邊A3、AC和。3的延

長線于點。、E、F.

(1)NA=70。，ZF=30°,求NFEC的度數;

(2)求證：NF+NFEC=2ZA.

【答案】(1)解：???NABC=/A=70。，

ZC=180°-70°-70°=40°,

:"FEC=18O°-ZC-ZF=180°-40°-30°=110°；

【小問2詳解】

證明：???NA=NA8C,

.?.Z4+ZABC=2ZA=I8O°-ZC,

???ZF+ZFEC=180°-ZC,

/.ZF+ZFEC=2ZA.

14.如圖，在VABC中，4=20。，點Q為邊8c上一點，將A4OC沿直線AO折疊后，點。落

到點E處，ZAT>C=100°.

（1）求證：AB\\DE.

（2）若4E1恰好平分NBA力，求的度數.

【答案】（1）證明：由折疊兀知注dCQ,

Z4DE=ZADC=100°,

二AADB=180°-ZADC=180°-100°=80°,

:"BDE=ZADE-ZADB=100。-80°=20°,

:"BDE=NB=20。,

:.AB\\DE；

【小問2詳解】

解：???/ADC是△ABD的外角,

:,ZADC=ZB+ZBADt

.?.100。=20。+/班。，

.?"30=80。，

AE平分NBAD,

「.NEW=-ZBAD=1x80°=40°,

22

在AADE中，ZADE+ZEAD^-ZE=180°,

二./E=180。一ZADE-ZEAD=180o-100°-40o=40°.

15.如圖1,已知直線MN〃G”，旦MN和G”之間的距離為1,小明同學制作了兩個直角三

角形硬紙板4cB和。瓦'，其中NACB=90。，NO莊=90。，N84C=45。，ZEDF=30°,AC=\f

小明利用這兩塊三角板進行了如下的操作探究:

(1)如圖1,點A在MV上，邊BC在GH上,邊OE在直線A8上.

①將直角三角形O￡F沿射線84的方向平移，如圖2,當點尸在MN上時，NAm的度數為

②將直角三角形。由從圖2的位置繼續沿射線84的方向平移，當以A、D、尸為頂點的三角

形是直角三角形時，求NW度數.

(2)如圖3,點、A在MN上,邊8C在G