山東青島市萊西市2025-2026學年高一下學期學業水平階段性檢測（三）數學（解析版）

高一學業水平階段性檢測（三）

數學試題

本試卷共19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘

貼在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，請將答題卡上交.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.列錐的底面半徑為1,高為G，則該圓錐的表面積為（）

A.2nB.37rC.4兀D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先求出母線長，再根據圓錐表面積公式求解即可

【詳解】圓錐母線長/=反？=2,表面積S=/xl2+gx2；Txlx2=3；T

2.已知向量4=（1,2）,b=（2a）f若〃與〃垂直，則實數/的值為（）

33

A.0B.—1C.---D.一

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據向量垂直的坐標表示，列式求值.

【詳解】〃一人=（一1,2—，），且〃二（1,2）,

由題意可知，6/-（f/-/?）=-lxl+（2-r）x2=0,得/=,.

故選：D

3.如圖所示,在二棱臺中,沿平面A3C截夫二棱錐4一43c.則剩余的部分是（）

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺

【答案】B

【解析】

【分析】根據圖形和棱錐的定義及結構特征，即可得出結論.

【詳解】三棱臺A'8'C'_A8C中，沿平面A'BC截去三棱錐剩余的部分是以4為頂點，四邊

形BCC'B'為底面的四棱錐Af-BCCB.

故選：B.

4.在VA8C中，內角A,B,C的對邊分別為小b,c,。=2,b=幣,3=60。,則。=()

A.1B.石C.3D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】根據余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理，/=/+。2一2。。858,即7=4+C2-2C，(C-3)(C+1)=0,解得C=3.

故選：C

5.卜列條件中，能判斷兩個平面平行的是

A.一個平面內的一條直線平行于另一個平面；

B.一個平面內的兩條直線平行于另一個平面

C.一個平面內有無數條直線平行于另一個平面

D.一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面

【答案】D

【解析】

【詳解】設ac〃=/,auaM/〃，則所以A錯誤；%〃///〃，貝必//月///△所以B錯誤;

。內有無數條與/平行的平行直線,則這無數條百線平行￡:所以C錯誤:

D正確.是線面平行的概念.故選D

6.在矩形A8CD中，M,N分別為8C,CO的中點，若AC=2AM+〃8N,則義+〃=()

28

A.B.1D.

5UI5

【答案】D

【解析】

AM=AB+-AD

2

【詳解】在矩形"CO中，由M,N分別為3CCO的中點,

BN=-LAB+AD

2

一4——2—?

AB=-AM——BN

55?C

解得因此AC=AB+4O=—4M+*BN,

5

AD=-AM+-BN

55

A9

而4c=4AM+//8N,且向量AM,8V不共線，則4=—,

5

Q

所以％+〃=一.

7.在VA8C中，CO為角。的平分線，若B=2A，3AD=48D,則cosA等于()

八1-23

A.0B.：C.-D.-

234

【答案】C

【解析】

A(J4

【分析】由CO為角C的平分線，340=480,可得——=-,設AC=4x,BC=3x,然后在

BC3

4r3x

V/U?C中利用正弦定理可得；；一；——化簡計算可得答案

2sinAcosAsinA

An

【詳解】因為CO為角。的平分線，所以一=—

BDBC

AT4

因為3AO=48O,所以——=-

BC3

所以不妨設AC-44，BC-3x

因為在VA3c中，笑=冬，B=2A

sinBsinA

..,.ACBC4x3x

所rr以------=-----=------------=-----

sin2AsinA2sin4cosAsinA

因為在VABC中，sinAwO,xwO

4x3x4「

所以------------=-----=>-------=3

2sinAcosAsinA2cosA

所以cosA=2.

3

故選：c

-.b

8.在VA8C中，內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,=2ACAB'則一的取值范圍為()

c

A.^2--\/3,4-cojB.(2+>/^,+cc)

C.(0,2+@D.(2-5/3,24-x/3)

【答案】D

【解析】

【分析】設BC=2,3C中點為。，化簡區c2=2AC-A8可得卜4=6,再根據余弦定理結合余弦函

數的范圍可得，（7-46,7+4間，進而可得g的取值范圍.

［詳解］不妨設8C=2,8c中點為O,則即4=2（AO+OC）（4O+O4）,故

而+人。（。。+。8）+。。。8=2,即加_］=2，AD=瓜

c2AD2+DB--2AD-08cosZADB

2-gcos/4DC_4

-1,因為ZAOC￡(0,TI),故2+6cosNAQCe(2-6,2+6),

2+\/5cosZ4DC2+V5cosZ/lDC

則2+gc：sN辰c（8-468+時,故/（7—4石,7+4@故g的取值范圍為（2-后2+@.

故選：D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得。分.

9.下列說法正確的是（）

（13、

A.向量q=（2,-3）,能作為平面內所有向量的一組基底

B.已知△OA8中，點。為邊A/e的中點，則必有OP=g（QA+OB）

C.若PA-PB=PC=PC，PA，則"是VA6C的垂心

D.若G是VA8c的重心，則點G滿足條件GA+G3+CG=0

【答案】BC

【解析】

【分析】對A,根據基底向量不共線判斷即可；對B,根據基底向量的運用判斷即可；對C,化簡

夕月.尸。可得C4,P9=0,進而根據垂心的性質判斷即可：對D,由重心可得G4+G8=CG，

即可判斷

【詳解】對A,q=%,故q,/共線，不能作為平面內所有向量的一組基底，故A錯誤；

對B,根據平面向量基本定理可得△0A8中，點。為邊A8的中點，則必有。尸=；（QA+OB）,故B正

確；

對C,由尸4?尸3=尸6尸。可得（尸4一0。）?"=0，即CA?尸6=（），故C4_L必，同理C9_LPA,

AB上PC,故P是VA8C的垂心，故C正確；

對D,若G是VA8C的重心，則點G滿足條件G4+G5=CG，則G4+GB+CG=2CG，故D錯誤；

故選：BC

10.在VA8C中，內角A氏C的對邊分別為〃/,c,則下列說法正確的是（）

A.若sin24-sin26,則VA8C為等腰三角形

B.若，一=一2一，則VA8c為等腰或直角三角形

cosAcosB

C.若VA3C為銳角三角形，則sim4>cos8

D.若A=30，b=4,。=3,則VA3C有兩解

【答案】CD

【解析】

【分析】對于A,由題意可得2A=28或2A+23=7t,即可判斷；對于B,由正弦定理可得tanA=tan3,

所以A=8,即可判斷；對于C,根據A+即4＞弓-3,結合正弦函數的單調性即可判斷；對于D,

根據人sinAv。vb即可判斷.

【詳解】對于A,因為sin2A=sin2B,0＜4+8＜兀，

所以2A=28或24+28=兀，

當2A=28時，即4=3,此時VA8c為等腰三角形，

當2A+2B=TT時，即A+B=工，此時VABC為直角三角形，

2

故VA8c為等腰或直角三角形，故A錯誤；

a「八.ab―一1sinAsinB

對于B,由正弦定理-----=-----可化為AL-----=-----,

cosAcosBcosAcosB

即lanA=tan8,又A￡（0,冗），8￡（0,兀），

故A=8,所以VA3C為等腰三角形，故B錯誤；

對于C,因為VA3c為銳角三角形，所以A+3＞］,即

71（71（兀、

又Ac--Be0,-,正弦函數在0,大上單調遞增,

I2J2I2）I2）

所以sin即sin4>cos8,故C正確;

對于D,因為4=30，〃=4,a=3,所以〃sin,

所以VA8C有兩解，故D正確.

271兀上單調，且），=/（/）的圖象關于點（一］,。卜寸

11.已知函數/(x)=cosa)x-^(◎>0)在

一兀,2

3)

稱，則（）

A.“X）的周期為2兀

B.若|/（百）一/（七）|=2,則后一々L=2兀

C.將/（力的圖象向右平移三個單位長度后對應的函數為奇函數

D.函數y=/（1+*在［0,可上有1個零點

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A,根據題意確定周期范圍，再根據圖象關于點一々,0對稱，結合正弦函數的對稱中心求

ID）

解即可；對于B,由Af（x）=cos（；x+H結合余弦函數的最值與周期性質判斷即可；對于C,根據

三角函數平移性質判斷即可；對于D,根據余弦函數值直接求解即可.

[77T|7T

【詳解】對于A,因為函數=?"卜。>0）在一兀節上單調，所以/（幻的最小正周期7

滿足一2--,即一2-—?所以0<,

22co23

因為f（x）的圖象關于點對稱，所以-+4=g+EM€Z,得3二；一3女,女￡Z,

\/.3.3ZZ

1T—@__47r

所以當&=0時，（。=不，所以‘一1一”兀，故A錯誤;

23

對干B,/(x)=cos

則/（內），/（犬2）分別為I1，財與一天|.為半周期，即2兀，故B正確：

對于C,將/（X）的圖象向右平移楙個單位長度后得g（x）=cosg卜一三卜半=—singx的圖象,

g（x）為奇函數，故C正確;

cosf-x+—1+—=0,即cos(L+&]=

對于D,

123J2U3)2

令i=+如，當xe[0,7i]時,271771,故僅有[=龍，故D正確.

/G

23T,T4

故選：BCD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖所示，等腰直角三角形。W9是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'3'=2,則原圖形的

周長為.

【答案】8+4&##4及+8

【解析】

【分析】根據斜二測畫法可得原圖形三邊長，進而可得周長.

【詳解】由題意，O'B'=2,則。'4=2血，故原圖形中。4=4夜，03=2,

AB=+22=6，周長為8+4拉.

故答案為：8+4及

13.sin40(tan10_0)=

【答案】-1

【解析】

【分析】利用三角恒等變換先化簡，結合誘導公式即可求解.

Jsin10/r|..osin10cos10

【詳解】由題意得：sin40(tan10-V3)=sin4Qx--------一，3=sin40nx-----------------------

、cos10,cos10

2—sin10--coslO

。I2202sin(10-60)

=sin40x--------------------------=sin40x————-~L

cos10cos10

c

o2sin(-50)2sin40sin5()

=sin40x——o

cos10cos10

2sin40sin(90-40)_2sin40°cos40、

cos1()cos1()

sin80°sin（90-10）cos10°t

cos10cos10cos10

故答案為：一1.

14.某公園有一個人工湖，若要測量如圖所示的人工湖的口徑/I、8兩點間的距離，現在人工湖岸邊取C、

D兩點,測得CQ=40m,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°tZACB=120°,則A、B兩點的距離

為m.

DC

【答案】40x/5

【解析】

【分析】在,AC。中根據角度關系易得4）=CQ=40,再在△BCD中，由正弦定理得到8D,然后在

△A3。中，利用余弦定理求解.

【詳解】在.AC力中，因為N8DC=NOC4=150,4O8=135。，故NADC=150。，ZC4D=15%

所以ZACD=NC4。，則AO=CO=40.

在4BCD中，因為NBDC=15°,/BCD=135°,ZCBD=30c,CD=40,

CDBD

所以由正弦定理

sin30°sin135°

得^“=4。后

在△A3。中，因為/ADB=ZADC-4BDC=135°,AD=40,BD=40后，

所以由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2Ao-BD-cosZADB=402x5?

故AB=406m.

故答案為：4075

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知4都是銳角，s山a=叵，cos（a+/?）=-.

10v75

（1）求cos2a和tan2a+-的值；

4J

（2）求sin/7的值.

4

【答案】（I）二，7

⑵還

50

【解析】

【分析】（1）由同角三角函數的基本關系及二倍角的正余弦公式求解;

（2）根據角的變換，利用兩角差的正弦公式求解.

【小問1詳解】

Qa是銳角，§出（1=叵,

10

.r-「""T3M

..cosa=vl-sin（7=J1---=-----,

Vioio

cos2a=1-2sin2?=1-2x—=—,

105

sin2a=2sinacosa=一，

5

csin2a3

tan2a=-----=—,

cos2a4

c兀31

(\tanla+tan——+1

ton|2a+—|=------------==7.

I4J1-tan2crtan—1——

44

【小問2詳解】

Qa,9都是銳角,

:.Q<a+

3

又cos(a+￡)=g,

/.sin(a+/?)=-Jl-cos2(6z+/?)={"云=?,

sin(3=sin[(a+/?)-a]=sin(a+/7)cosa-cos(a+〃)sina

43>/io3Vio

=—x--------x----

510510

=-9-V-T-O-?

50

16.已知半圓圓心為0,直徑A/=4,C為半圓弧上靠近點4的三等分點，若P為半徑OC上的動點，以

O點為坐標原點，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.

(1)求。4在OC上投影向量的坐標;

(2)若,，=雨，0,當y取得最小值時，求點P的坐標及y的最小值.

【答案】⑴

1(1向

(2)最小值為---，此時點尸的坐標為一~I-

4I44J

【解析】

【分析】(1)先求解0A在0C上投影向量大小，進而可得投影向量坐標；

(2)設OP=/OC(OWf《l),即可表示出帖、PO,再結合平面向量數量積的坐標運算及二次函數的

性質計算可得.

【小問1詳解】

因為半圓的直徑A8=4,所以力(-2,0),3(2,0),

又OC=2,Z.BOC=—,則c|2cos—^-,2sin—,即C(—

3\33J

?,、一/cOAOC2,

故。4=(一2,0),<9C=(-l,5/3),OA在OC上投影為一^~=5=1，故04在OC上投影向量的坐

11nr-(1⑻

標為岡同

【小問2詳解】

設OP=/OC(OWY1),

由（1）知，OP=/（—1,5/3j=,

故PO=（，,一,PA=^—2+z,--s/3/j

Av=PAPO=t（-2+t）+3r=4t2-2t=4（t--）2--,

44

XV0<r<l,=y=PA網>有最小值為一L

44

此時點。的坐標為一1￡

i44j

17.在①tan4+tan3+且=GtanAtanB；②（4/一2aO）cosC+〃="+/；③

（。+々一〃）（5足。-4114+58）=〃4113這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.

問題：在VA3C中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.

（1）求角C；

（2）若VA8C的內切圓半徑，?二火，〃=4,求VA8C的外接圓半徑R

2

【答案】（1）C=-

3

⑵遞

6

【解析】

【分析】（1）選擇①根據兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②根據余弦定理化簡，再根據正弦定理邊化

角，結合三角恒等變換求解即可，選擇③由正弦定理統一為邊，再由余弦定理求解：

57

（2）由余弦定理及三角形面積公式聯立求解可得。進而根據正弦定理求解即可.

22

【小問I詳解】

選擇①：由已知得tanA+tanB=>/3（tanAtanB-1）,

lan4+tanA

所以lanC=-ian(A+3)=一=-75?

1-tanAtanB

Jr

在VA8C中，。￡（0,兀），所以C=一.

3

選擇②：由題意（4/-2a〃）cosC=/+/=2accos8,故（加一〃）cosC=ccos3,由正弦定理

(2sinA-sinB)cosC=sinCeosB,即2sinAcosC=sinCcos8+sinBcosC=sin(^+C),又

sin(B+C)=sin(7i-A)=sin,故cosC=g,因為Cw(0,兀)，故C=]

選擇③：由已知及正弦定理得（C+〃-b）（c-a+b）=ab,

所以/+/—(？=4〃，所以COSC=a+"———=—

2ab2

TT

因為OVCVTI,所以C=一.

3

【小問2詳解】

由余弦定理得片="+〃一必=］6+/-牝，①

由等面積公式得'（。十力十（7），，=14。5也。.

22

艮fJ；(4+Z?+C)X日="立

22

整理得3〃=4+c,②

7_

聯立①②，解得a=2，c=(，由正弦定理2R=1J,即R=—=—^=——

22sinC「。3273o

2x——

.I.71,

18.已知向量a=（2sinx,、Q）,b=\2cosx+—,1記函數

II3,f(x)=a-b.

⑴將/（x）化為丁=Asin（公￥+°）+8卜＞0,口＞0,冏＜］形式，并求最小正周期T；

JTJT

（2）求函數外”在區間上的值域；

一■

（3）將函數/（力圖象向右平移J個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍得

到y=g（x）的圖象，若），=g（x）在區間［-覃］上至少有100個最大值，求a的取值范圍.

【答案】（1）/（x）=2sin2犬+弓；兀

3

(2)[—6,2]

4

(3)0<a<----

199兀

【解析】

【分析】（1）利用數量積坐標公式及三角恒等變換化簡即可得解;

（2）根據自變量的范圍求出2戈+：的范圍，利用正弦函數求解;

3

（3）根據三角函數圖象變換求出g（x）,利用三角函數的性質可得.

【小問1詳解】

?./?.=2.sinx-2cosx+-兀+73=2sinxcosx-2>/3sin2x+百

/W=I3j

=sin2x+\f3cos2x=2sin(2x+—).

3

,丁2兀

?=----=71

2

【小問2詳解】

71兀，c兀717C4兀

當上￡一,一時，2x+一€

12236'T

二.--<sin(2x+^)<1?

~\/3<2sin(2xH—)?2,

即函數/(x)在區間一盍,方上的值域為[-6,2].

【小問3詳解】

將函數”6圖象向右平移△個單位，得到y=2sin[2(x—2)+=]=2sin2x,

663

2

再將所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的。(0<。<1)倍得到g(x)=2sin-x的圖象,

.L兀C〃兀，，r

令一為二一+2%兀=>x=—+％eZ,

a24

要使y=g("在區間[―1』上至少有100個最大值,

-1<----5()。兀

4

由正弦函數的性質可得〈=心高

—+49〃兀<1

4

4

199兀

19.如圖，在四棱錐P—A8CZ)中，ZBCD=45>AD=1，BC=6,PD+CD=4,

ADCD=ADAB=ADPD=O^設PD=t,其中0<fv3.

p

（i）求證：平面平面PC。：

（2）若尸C=3,求二面角產一AD—3的余弦的取值范圍；

（3）當N'POC=2兀時，求三梭錐尸一38的外接球體積的最小值.

3

【答案】（1）證明見解析

⑵匕.8小；

39

（3）—4

3

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直去證明面面垂直即可：

（2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解；

（3）由于是不規則四面體的外接球，轉化為過三角形外接圓