2027年廣東省高考數學押題試卷-附答案解析

2027年廣東省高考數學押題試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4=32*>2},8=3b=/}，則/G4=()

A.(1,2]B.(0,2]C.[0,+oo)D.(1,+8)

2.已知單位向量Z,b滿足QJL(a+2小，則cos(Z,b)=()

11V3

A.-*B.0C.-D.

Izg

3.若兔數z滿足^丁=1+i,則z=()

z

A.1-iB.1+/C.-1-zD.-1+z

4.已知/(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，/(x)=2、+4”,則/(7og23)=()

28282828

A.B.-C.—D.-

7°Tav

5.已知數列｛a〃｝為等差數列，設甲：附=畫，乙：。5=0,則()

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

6.已知函數/'(x)="sin2x+cos2丫，若/(1一%)=f(5+X)，則f(普)=()

A.-V3B.V3C.-1D.1

7.已知6W(0,j),若￡即(8—*)sE2。-cos29=1,則tan26=()

、后V3

A.-1B.-2C.—D.—

22

8.已知雙曲線C：喘一\=l(a>0,2?>0)的右焦點為人設O為坐標原點，以O尸為直徑的圓與雙曲

線。的一條漸近線交于點力(異于原點O),點P在雙曲線。上，若筋=而，則雙曲線C的離心率為

()

A.V6B.V5C.2D.V2

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.某公益組織為了更好地安排志愿服務工作，抽取了1000位志愿者作為樣本，并統計了其年齡的數據，

按區間[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35)，[35,40]分組，制成了如下圖所示的頻率

第1頁(共18頁)

分布直方圖，則（)

A.樣本數據的眾數估計為22.5歲

B.樣本中年齡在［30,35）的人數為175

310

C.估計志愿者年齡的中位數為■歲

JLJ

D.若從所有志愿者中任選兩人，則其年齡均介于［25,30）的概率為（）.2

10.在棱長為2的正方體/I8CD81Goi中，〃是線段力。上的動點（包含兩個端點），則下列結論正確

的是（）

A.41P與小。是異面直線

B.過點夕與垂直的平面a截正方體所得截面的面積為日

C.cos/。181P的最大值為7

D.8iP+小產的最小值為/為+44

II已知函數/（x）=（.x-a）（X-h）（x-h-\其中〃>0>江且當xNO時，f（.x）>0,貝U（）

A.-\<b<Q

B.a=b+\

2

C.f（x）的極大值為方

D.若f>0且/（x）</（田7）恒成立，則￡2孥

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若拋物線爐=以上一點P到其焦點F的距離為5,O為坐標原點，則|OP|=.

13,已知一個行李箱密碼由四個正自然數組成，且四個數字之和為7,則該密碼共有種可能.

14.已知某圓錐的側面積為定值，則當該圓錐的內切球的體枳最大時，其母線與底面所成角的余弦值

為.

第2頁（共18頁）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.（13分）4月6FI,河南鄭州街頭出現人形機器人“店員”，為顧客提供智能售賣服務.已知每次獨立

執行高難度動作時，力機器人成功的概率為0.6,失敗的概率為0.4；4機器人成功的概率為0.8,失敗

的概率為（）.2.

（1）若從力，夕兩個機器人中等可能地選用一個機器人獨立執行一次高難度動作，求該機器人失敗的

概率；

（2）若48兩個機器人各自獨立執行一次高難度動作，記這兩個機器人失敗的總次數為X,求X的

分布列和數學期望.

第3頁（共18頁）

16.(15分)記△48C的內角4B,C的對邊分別為a,b,c，已知csinB+KbcosC=0.

(1)求C；

(2)設6(a+b)=2c,且48邊上的高為1,求△X8。的周長.

第4頁(共18頁)

17.（15分）如圖，在四棱錐尸-48c。中，△玄。為正三角形，ZJDC=120°,AD=DC=2,PC=VlO.

（1）證明：平面R1O_L平面N8CZ）；

2V7

（2）若乙48C=120°,且銳二面角8-/尸-。的正弦值為7-,求相.

第5頁（共18頁）

9yJy2

18.（17分）已知函數/（x）=令+/x—寫

（1）若f（x）為增函數，求實數4的取值范圍;

（2）證明：函數/（X）有且僅有一個零點.

第6頁（共18頁）

19.（17分）已知橢圓C：苴+噲=l（a>b>0）的左、右焦點分別為Q、Fi,|Q尸2尸2,點M在橢圓C

上，且的面積的最大值為VI

（1）求橢圓。的方程；

（2）設G為△MBF2的重心，/為△叱正2的內心，/、G兩點不重合.

①證明：Gl//F\Fix

②點P,0在橢圓。匕且而=的，求△/P。的面積的取值范圍.

第7頁（共18頁）

2027年廣東省高考數學押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4=32、＞2},B={y\y=^},則4n8=()

A.(1,2]B.(0,2]C.[0,十8)1,十8)

解：因為y=2”是增函數,所以力="|2、＞2}="以＞1},

又因為8=3力，20}，所以/「8=(1,+8).故選：D.

2.已知單位向量Q,b滿足al(a+2b),則cos(a,b)=(

A.一

解：己知單位向量a,匕滿足a_L(a+2匕)，則a?(a+2b)=0,HPa2+2a-b=0^

TTTTTT1

又|Q|=|〃=1,所以1+2x1x1xCOS(Q,b)=0,故cos(a,b)=—故選：A.

Izl2

3.若復數z滿足=1+i,貝ijz=()

z

A.1-iB.1+/C.-1-zD.-1+/

解：由已知兩邊取模可得|騫|=嘲=|2|=|1+"=/，

Z\z\

29

所以==1+i,所以5=yr=l—i,故z=l+i.故選：B.

4.已知/(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，/(x)=2'+4汽則/(?log23)=()

28282828

八A―.―9R——3JC——3D——9

解:由題可得：/(-10g23)=-f(log23)=-(2，。&3+47。923)=-(34-1)=一等.

故選：A.

5.已知數列{斯}為等差數列,設甲：|?3|=|同,乙：。5=0,則()

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

解：知數列{"〃}為等差數列，4〃=。5+(〃?5)4,則43=45?2d,47=45+23,

當d=0,45"0時，|。3|=|。7|成立，但45=0不成立，充分性不成立：

當45=0時，m=-2d,47=24,所以同=|。7|，必要性成立.故選：B.

第8頁(共18頁)

6.已知函數/（x）=asin2r+cos2x,若/（1-%）=/（1+,），則/（詈）=（）

A.-V3B.V3C.-ID.I

解：由函數/（x）=asin2x+ccs數,/（j-x）=/（j+x）,所以函數/（數關于x=，對稱,

可得％=掾是/（X）的一個駐點，W/tf）=O,且/（x）=2acosZv-2sin2x,

所以/'<&）=2ax（-；）一2乂空一。，解得a一—百，

可得/'（%）=-V^sin2x+cos2x=2cos（2x+與），所以/'（普）=2cos粵=一1.故選：C.

7.已知6W（0,當），若tm（6一1）s譏2。—cos28=1,則tan26=（）

A.-1B.-2C.-苧D.y

解：因為￡an（8—*）s》2e-cos2e=l,所以tan（8—、）==/嚷s6=焉，

所以￡an（6-*）￡an6=1,即cos（6一,）cos6—sin（0-，）sind=0,所以cos（26-，）=0,

因為8W（0,1）,所以26—.￡（—*,,26—.=所以為=tan26="I.故選：A.

8.已知雙曲線C：條一屋=l（a>0,b>0）的右焦點為R設。為坐標原點，以。尸為直徑的圓與雙曲

線C的一條漸近線交于點力（異于原點。），點尸在雙曲線。上，若筋=而，則雙曲線C的離心率為

（）

A.V6B.V5C.2D.V2

解：聯立以OE為直徑的圓與雙曲線的漸近線方程，求點力的坐標.

以。產為直徑的圓的方程為（工一彳）2+y2=（斤，即v2“肝爐口；

雙曲線的漸近線方程為y=，X，聯立兩式，代人得%2-"+夕2=0,

解得x=O（含去）或.對應y=孚.故4（《，孚）.

LVUV.

由6=而，可知尸為線段力尸的中點，F（c,0）,

故P的坐標為（肆，掣）=（聯，鄲.

/y2

將夕點坐標代入雙曲線方程滔-正=1?

第9頁（共18頁）

（02+。2）202

化簡得：七號一溟二L

兩邊同乘442（，2,整理得（（r+c2）2-a4=4a2c2,展開并化簡得。,-2“2c2=（）,

由cWO,得02=2/，故離心率e=,=V^.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

9.某公益組織為了更好地安排志愿服務工作，抽取了1000位志愿者作為樣本，并統計了其年齡的數據，

按區間［10,15）,［15,20）,［20,25）,［25,30）,［30,35）.［35,40］分組，制成了如下圖所示的頻率

分布直方圖，則（）

頻率

f瀛

0.065......J—I

0.040……H…卜

o.olo|r^.44--FH

°10152025303540年齡

A.樣本數據的眾數估計為22.5歲

B.樣本中年齡在［30,35）的人數為175

310

c.估計志愿者年齡的中位數為彳1歲

D.若從所有志愿者中任選兩人，則其年齡均介于［25,30）的概率為0.2

解：因為某公益組織為了更好地安排志愿服務工作，抽取了1000位志愿者作為樣本，制成頻率分布直

方圖，

所以針對各個選項分析如下：

對■于兒觀察圖可知，樣本數據的頻率最大的一組為［20,25）,

所以樣本數據的眾數估計為22.5,因此4選項正確；

對于8,樣本中年齡在［30,35）的頻率為1-0.01X5-0.04X5-0.065X5-0.04X5-0.01X5=0.175,

所以樣本中年齡在［30,35）的人數為0.175X1000=175,8選項正確；

對于C,前三組的頻率為0.01X5+0.04X5+0.065><5=0.575>0.5,所以中位數在第三組中，

因此志愿者年齡的中位數為如=20+噌”2=20+能=誓，C選項正確：

對于。，設任意一個人的年齡為X，則尸（25WXV30）=0.040X5=0.2,

所以從所有志愿者中任選兩人且兩人年齡均介于［25,30）的概率為0.2X0.2=0.04,故。選項錯誤.

第10頁（共18頁）

故選：ABC.

10.在棱長為2的正方體力歸中，P是線段4C上的動點(包含兩個端點)，則下列結論正確

的是()

A.81P與小。是異面直線

反

B.過點P與8U垂直的平面a截正方體所得截面的面積為k

乙

/g

C.cos/G8]P的最大值為

D.DPM"的最小值為J為+4巡

解：根據題意作出示意圖如下：

因為力Cl〃4C,所以A\C\與AC確定平面ACCiA\,

又尸6平面ZCG4,8摩平面NCG小,小Ciu平面4CC小，PgJiCi,

所以根據異面直線的判定定理可得B】P與JiCi是異面直線，所以.4選項正確：

根據三垂線定理易得BD\VB\C,又力Cn8C=C,

所以4Q1_L平面力C8i，

所以截面面積為△48|C的面積，其面積為3x2，？xx亍=2，5,所以4選項錯誤；

因為81P=GP,顯然，當尸是線段力。的中點時，NOiPAi取得最大值，

此時N。141P取得最小值，cos/。141P取得最大值為w，所以C選項正確；

將△45i。沿力C翻折至△力。C,使得。、力、C、由四點共面，

所以根據余弦定理可得B、P+A\P的最小值為：

。小=14+8-2x2x2企><亨=J12+4瓜,所以。選項正確.

故選：ACD.

11.已知函數/(x)=(x-a)Cx-b)(x-/>-1),其中a>0>b,且當x20時，/(x)20,則()

A.-

第11頁(共18頁)

B.a=b+\

2

C.f(x)的極大值為歷

D.若/>()且/(x)W/(x+f)恒成立，則tN攣

解：對于力，若bW-l,則6+1W0,丁〃〉。，???當0<xV“時，/(4)<0,不符合題意，???-1<6<0,

故4正確；

對于8,若a>b+l,則當6+1VXVQ時，/(x)<0,不符合題意；

若aVHl,則當aVxV6+l時，f(x)<0,不符題意：

若。=6+1,則/'(x)=(x-/>)Cx-b-1)2,符合題意，故B正確；

對于C,f(x)=(x-b-1)2+2(x-b-1)(x?b)=(.x-b-1)(3x-3/>-1),

：.x=獨牡為f(x)的極大值點，???/1(駕i)=￡x(-￡)2=^,故C錯誤；

對于。，f(x+z)-/(x)=43/+(3/4-2)〃+尸+小其中〃=x?/)-1,

，3〃2+(3/+2)v+a+f2。恒成立，J△=(3/+2)2-12(戶+Z)WO,解得t2坐，故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若拋物線爐=4x上一點P到其焦點廠的距離為5,。為坐標原點，則|。尸|=_4、泛_.

解：拋物線丁=公上一點P到其焦點廠的距離為5,。為坐標原點，

設夕(加，〃)，

因為|Pf]=/w+l=5,所以加=4,

則〃2=4〃?=16,所以|川=4,

所以|0P|=4A/2.

故答案為：4戊.

13,已知一個行李箱密碼由四個正自然數組成，且四個數字之和為7,則該密碼共有20種可能.

解：設四個數字分別為XI，X2,X3>X4?

滿足XI+X2+“3+X4=7,且內21(i=l,2,3,4).

根據隔板法，解的個數為C丈；=以=器甥=20,共有20種可能.

JX4X1

故答案為：20.

14.已知某圓錐的側面積為定值，則當該圓錐的內切球的體積最大時，其母線與底面所成隹的余弦值為

V2-1

第12頁(共18頁)

解：設側面積為S,圓錐的底面半徑為八母線長為/,

則由等面積法，該圓錐的內切球半徑為/?=斗手，

易知S=Jx27rrx],即日=工，

27T

汨工-77為相徜R2_r2a2T2)r2(/_r)_r(p-2)

忙7r_p為定值，R-__^一飛石一

=3累2)=3p-(p+r2+<3p-2](p+評)x落？=3p-2何，

即R2<(V2-l)2p,

當且僅當p+/=券，即p+戶=&p時等號成立，即「2=(魚一1)刀，此時：=6一1,

所以圓錐的內切球體積最大時，其母線與底面所成角的余弦值為e-L

故答案為：V2-1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.(13分)4月6日，河南鄭州街頭出現人形機器人“店員”，為顧客提供智能售賣服務.已知每次獨立

執行高難度動作時，力機器人成功的概率為0.6,失敗的概率為0.4；8機器人成功的概率為0.8,失敗

的概率為0.2.

(1)若從4，3兩個機器人中等可能地選用一個機器人獨立執行一次高難度動作，求該機器人失敗的

概率；

(2)若力，8兩個機器人各自獨立執行一次高難度動作，記這兩個機器人失敗的總次數為X,求X的

分布列和數學期望.

解：(1)設事件力為選用機器人4事件8為選用機器人&用事件。表示機器人失敗，

則尸(A)=0.5,P(8)=0.5,P(C\A)=0.4,P(C|8)=0.2,

得P(C)=P(A)P(C\A)+P(B)P(C\B)=0.5X0.4+Ci.5X0.2=0.3.

(2)X的取值可能為()，I,2.

P(%=0)=0.6X0.8=0.48,

P(%=1)=0.6X0.2+0.4X0.8=0.44,

P(X=2)=0.2X0.4=0.08,

X的分布列為:

X012

P0.480.440.08

E(A9—0X0.48+1X0.44+2X0.08-0.6.

第13頁(共18頁)

16.(15分)記△48C的內角4B,C的對邊分別為。，b,c,已知cs譏B+gbcosC=0.

(1)求C；

(2)設V5(a+b)=2c,且48邊上的高為1,求△/18C的周氏.

解：(1)由正弦定理，sinCsinB+yf3sinBcosC=0,

VBE(0,n),/.sini?>0,.*.sinC4-y/3cosC=0,tanC=->/3,

VCE(0,IT),：,C=~

(2)由(1)和余弦定理，cosC=a^~c2=-L

LabL

又6(a+b)=2c,則c2=,

：.cr-2ab+b2=0,HPa=b,

Ac=y/3a=

?J/lb邊上的面為1,AS—^absin^?-=ic=-^a?則a=b=2,

:AABC的周長為4+2V3.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-N4CO中，△以。為正三角形，ZJDC=120°,AD=DC=2,PC=

(1)證明：平面％。_1_平面NBC。；

2V7

(2)若N4?C=120°,且銳二面角4-4尸-。的正弦值為7-,求力從

解：（1）證明：因為在四棱錐尸-N4CQ中，叢PAD為正三角形，ZJDC=120°,AD=DC=2,PC=x^lO.

取棱力。的中點￡貝iJOE=LCE=y/CD2+DE2-2CD-DE-cosl200=V7,

又△以。為等邊三角形，所以PE=g,又PC=VTU,

所以尸E2+C￡2=PC2,所以P￡_LCE,

又PE上AD,ADCiCE=E,

所以PE_L平面力灰力，又PEu平面以。，

所以平面以OL平面ABCD,

（2）以力為坐標原點，辦的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。-牛，

第14頁（共18頁）

由題設得力(2,0,0),P(l,0,V3),

又由N/出。=120°,可得點4在以。為圓心，2為半徑，過點力的圓上，有40=2,

設8(2cos6,2sin0,0),則贏=(1,0,-V3),AB=(2cos6-2,2sin0,0),

易知平面玄。的一個法向量為茄=(0,L0),

設平面口8的一個法向量為1=(X,y,z),

-n=0nn(x-V3z=0

，

Ufi.；=012(COS0-l)x+(2si〃6)y=0,

取九=(bsE6,V3(l-cosO'),sinO'),

記銳二面角8-的大小為a,a6(0,分

則c"a=4M=/再(1-36)=(第2=孝，

kn||n|J(cos0+7)(l-cos0)、/‘

化簡得cos?。-cos8=0,且cosOWl,所以cosB=0,sin6=l,

所以幾=(一2,2,0),所以AB=2a.

932

18.(17分)已知函數f(x)=等r+/nx-零nY.

O乙

(1)若/(X)為增函數，求實數。的取值范圍；

(2)證明：函數/(工)有且僅有一個零點.

解：(1)函數/(%)=竽+inx—嚶.函數的定義域為：｛x\x>0],可得/"G)=2d+q—ax=

2x3-ax2+l,c、

——-——(Q0)，

若/(x)為增函數，則垢￡(0,+8),/a)20,

即2x3-ax^+\20對任意x>0恒成立，即a<2x+多恒成立.

17?3_o

令g(%)=2x++，96)=2-/=丁r一，

第15頁(共18頁)

令g'(x)=0,得x=l,

當xW(0,1)時，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上單調遞減；

當xW(1,+8)時，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上單調遞增，

，g(x)而〃=g⑴=3,即a的取值范圍是(?8,3］；

(2)證明：令/'(x)=0,可得a=g%+^令h(x)=a,

，九3=)+1([?，_2xlnx)=|+^(1-2lnx)=備(苧+1-2伍盼,

設m(%)=岑+1-2lnx且K>0,則m(x)=2x2-

當OVxVl時〃/(x)<0,當x>l時機'(x)>0,

???〃？(x)在區間(0,1)單請遞減，在區間(1,+8)單調遞增，

/.m(x)>m(l)=

:.h'(x)>0,h(x)在(0,+8)上單調遞增，

取，7>1,且幾>半，則八(九)二［九+^^^一一a>［x*a—a=0,

取巾VI,且mVeh,則h(m)=+avg+2/nnt-aV*-Q+=0,

:.h(x)在區間(m?n)存在唯一零點，

???/a)有且僅有一個零點.

19.(17分)已知橢圓C：今十番=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸|、尸2，尸I尸2|=2,點歷在橢圓C

上，且乃的面積的最大值為VI(1)求橢圓。的方程；

(2)設G為△財月入的重心，/為△,的］凡的內心，/、G兩點不重合.

①證明：GI//F\F2X②點夕，。在橢圓C上，且P"=G。,求△/P。的面積的取值范圍.

解：(1)因為回廣2|=2C=2,所以e=l,因為SaMf/z=/IF/zllyol，心=人，