2026年中考數學二輪復習：高效培優練06 圓的證明與計算原卷版

F-V-

專題06圓的證明與計算

A題型01圓的基本性質應用/

》技巧提煉

1.概念關聯：利用“同圓或等圓中，弧相等Q弦相等O弦心距相等O圓心角相等”的連鎖關系，將

弧、弦、角的問題互相轉化。

方法

2.圓周角定理：直徑所對圓周角為直角；同弧所對圓周角相等；圓內接四邊形對角互補、外角等

于內對角。

然

3.輔助線技巧：遇直徑連圓周角（得直角）；遇弦連圓心與端點（得等腰三角形）；遇圓內接四

邊形連對角線（轉化角關系）。

易錯

1.忽略“同圓或等圓”前提：如“相等的弧所對的弦相等”需強調“同圓或等圓”，否則不成立。

2.圓內接四邊形外角與內對角混淆：外角等于“與它相鄰內角的對角”，而非任意內對角。

辨析

?例題剖析

【典例01】（2026?湖南長沙一模）如圖，相為。0的直徑，弦CD與4B交于點、E,若EO=EC,

ZCOE=50°,則N8O。的度數為（）

【典例02】（2026?山西太原?一模）如圖，在平面直角坐標系中，以點。為圓心的圓與反比例函數y=3

x

在第一象限的圖象交于48兩點.已知點4的橫坐標為1,點8的橫坐標為G，連接0408,則標的

長為.（結果保留兀）

?鞏固訓繩，

【訓練01】（2026?湖北襄陽二模）如圖，43是。。的直徑，弦CD交AB于點F,CEJ.AB于點、E,

若/尸=2,BF=8,CF=4,則CE的長為（）.

【訓I練02】（25-26九年級上?湖北黃岡?期中）如圖，己知力（4,0）、8（0,3）,以點4為圓心，力4的長為

半徑畫圓，交N軸正半軸于點。，則線段力C的長度等于

B

O

【訓練03】（25-26九年級上江蘇南通期末）如圖，在四邊形48CO中，/ACB=/ADB=90°,

DE:BE=3:5,sinZDAE=g,則tan/BQC=

A題型02切線的判定與性質/

1.切線判定：

（1）有公共點：連半徑，證垂直（如“切點處的半徑與切線垂直”）；

方法（2）無公共點：作垂線，證半徑（如“圓心到直線的距離等于半徑”）。

2.切線性質：切線垂直于過切點的半徑；過圓心且垂直于切線的直線必過切點；過切點且垂直于

總結切線的直線必過圓心。

3.輔助線：必連“切點與圓心”，構造直角三角形（如切線與半徑形成直角，用于勾股定理計

算）。

1.判定方法混淆：“有公共點”時需證“垂直”，“元公共點”時需證“距離等于半徑”，二者

易錯

不可顛倒。

2.忽略“切點”：切線性質中“垂直”僅針對“過切點的半徑”，若半徑不過切點，無法用切線

辨析

性質。

?例題物

【典例01］（2026?江蘇蘇州?模擬預測）如圖，48是。。的直徑，弦CQ與48相交于點￡.過點。作

DF//AB,交C力的延長線于點=CZ),N/=67.5。.

B

戶D

(1)試判斷直線。戶與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若DE?DC=2,求。。的半徑.

【典例02](2026?廣西南寧?二模)如圖，8。是△力8c的外接圓。。的直徑，線段8E與。。相切于點

R,連接CE,交BD,/1B于有、F,G,NEBG=/BFE.

至D

匕B匕B

圖1圖2

(1)求證：CG1/18；

(2)求證：ACBC=BDCG；

(3)如圖2,若AC=R、AG=y!5BG4BC=60,求陰影部分的面積.

?鞏固訓練?

【訓練01】(2026?安徽蕪湖?一模)如圖,已知48是。。的直徑，點。為。。上一點，過點C的切線交

助延長線于點尸，且尸C=BC.

(1)求證：AP=AC；

(2)過點。作CO〃48交。。于點。，若48=8,求CO的長.

【訓1練02】(2026?貴州遵義一模)如圖，48是O。的直徑,力上是。0的弦，過點。作儀交4E

于點尸，連接力C交€>0于點D,若CE=CF.

⑴求證：是。。的切線：

(2)連接A。，過點4作4M〃BE交OO于點M,連接&W,根據題意，補全圖形，猜想四邊形/化4M的

形狀，并說明理由；

(3)若力。=3,。尸=加，求CQ的長.

【訓練03】(2026?云南楚雄?一模)如圖，C是以為直徑的。。上一點，8_148于點。，過點B

作。。的切線，與力。的延長線相交于點E,〃是。。的中點，連接力〃并延長與朋相交于點G,連接CG

并延長與的延長線相交十點〃，。。的半徑為3.

(1)若4。=5,求點。和點"間的距離；

(2)求證：C”是。。的切線；

(3)當8。=2時，請判斷下列結論哪個成立？①/G>CG=8G,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG,

并說明理由.

A題型03垂徑定理的應用<

》技巧提煉

1.核心模型：垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧”，常構造“弦心距、弦長一

半、半徑”的直角三角形(勾股定理)。

方法2.步驟：

(1)作弦心距(過圓心作弦的垂線)：

總結Q)用垂徑定理得“弦長一半”；

(3)勾股定理列方程(半徑2=弦心距2+弦長一半2)。

3.實際應用：將實際問題轉化為圓的問題(如拱門的最高點為圓心，地面弦的中點為垂足)，用

垂徑定理求半徑。

1.垂徑定理的“平分弦”需排除“弦為直徑”：若弦是直徑，平分它的直徑不一定垂直于它。

2.弦心距的位置：弦心距是“圓心到弦的距離”，而非“圓心到弦端點的距離”（后者是半徑）。

?例題剖析,

【典例01】（2026?湖北隨州一模）如圖，。。的直徑48垂直于弦C。，垂足是￡,已知

NC4B=22.5。,OE=g，貝!C。的長為（）

【典例02】2026?陜西榆林?一模）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章記

載了計算弧田面積所用的經驗公式.如圖，OA.08、OC是。。的半徑，OCt4B于點D,《方田》

章計算弧田面積所用的經驗公式：S陰影=g（/18?CQ+a）2）,若48=8,。4=5,按照這個公式計算，S陰影

的值為.

?鞏固訓練

【訓練01】（2026?廣西南寧?二模）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分.

如果M是€>0中弦CO的中點.經過圓心。交。。于點￡,并且CO=4m,￡W=6m.則。。的半

徑為（）

5

A.—mB.3mD.4m

2

【訓練02】（2026?陜西西安二模）如圖，秦嶺終南山公路隧道是亞洲最長的公路隧道，位于陜西秦嶺

山脈之中，其建設技術和規模都處于世界領先水平，是溝通中國南北交通的重要樞紐高速公路.已知隧

道的最大高度48為8m,隧道入口寬CO為10m,該隧道的截面近似看作一段圓弧，該圓弧所在圓的圓

心為。，則這個圓的半徑是.

【訓練03】（2026?浙江溫州?模擬預測）如圖，48為。。的直徑，弦CO1月8于點〃，點E為。。上

一點，CD=BE＞連接。上交48于點尸.若力〃=1,48=10,則“E的長為

A題型04圓周角定理的應用/

》技巧提煉

1.角度轉化：將圓周角轉化為圓心角（乘以2）,或利用“同弧所對圓周角相等”轉移角。

方法

2.直徑的應用：直徑所對圓周角為直角，常用于構造直角三角形（如“直徑+圓周角”得直角，用

于勾股定理）。

總結

3.分類討論：非直徑弦所對圓周角有兩種情況（互補），需考慮全面。

易借1.漏解：如“弦AB所對的圓周角”需考慮“弦AB在圓心的同側或異側”，兩種情況角度互補。

2.圓心角與圓周角的關系混淆：圓周角是圓心角的一注，而非兩倍（如“弧AB所南圓心角為

辨析

100°,則圓周角為50°”）。

?例題剖析?

【典例01】（2026?湖北十堰一模）如圖，。力是。。的半徑，分別以點力和點。為圓心，大于;。力的

長為半徑作弧，兩弧交丁河，N兩點，作直線M/V交O。丁點C,連接CO并延長交OO丁點氏連接

BA,則/48c的度數是（）

C.40°

【典例02］（2026?安徽蚌埠一模）如圖，△/水?內接于。。，2NOBC=90°+NOAB.

⑴求證：4=2乙EC、

(2)若CEA.OB交OB于E點,求證：AB=2CE.

鞏固訓練

【訓練01］（2026?山西太原一模）如圖，相是。。的直徑，點C,。是上位于異側的兩點,

連接力C,AD,CD.若NO4=36。，則/4QC的度數為（）

D

A.36°B.72°C.54°D.64°

【訓練02】（2026?安徽阜陽一模）如圖，48,。是。。上不同的三個點.若NOBA=72。,則NC的度

數為______

【訓練03】（2026?安徽阜陽一模）如圖，在△力8c中，480=90。，"=8，8C=6,A/是平面內

的一動點，ZBAM+ZABM=90°f連接CM,N是力。的中點，連接MN,則下列結論錯誤的是（）

A.CM的最小值是2萬-4B.CM的最大值是2JF+4

C.MN的最小值是1D.點N到4"的最大距離為2石

?題型05圓與多邊形綜合《

分技巧提煉

1.圓與三角形：三角形的外接圓（外心是三邊垂直平分線交點）、內切圓（內心是角平分線交

點）；直徑所對圓周角為直角（如“直角三角形的外接回直徑是斜邊”）。

方法

2.圓與四邊形：圓內接四邊形（對角互補）；外切四邊形（對邊和相等）；特殊四邊形（如菱形

內接于圓，則菱形是正方形）。

總結

3.輔助線：連對角線（轉化角關系）：作高（構造直角三角形）：連半徑（用切線或圓周角性

質）。

1.外心與內心混淆：外心是“外接圓圓心”（到三個頂點距離相等），內心是“內切圓圓心”（到

易錯

三邊距離相等）。

2.特殊四邊形的條件：如“菱形內接于圓”需滿足“對角線相等”（即正方形），否則無法內接

辨析

于圓。

?例題剖析

【典例01］（2026?廣西南寧?一模）如圖，四邊形力4CQ內接于。。，若乙1=68。，則/8CQ的大小為

A.92°B.112°C.132°D.142°

【典例02］（2026?湖南張家界?一模）如圖，四邊形4?。。內接于力。1c的延長線相交于點￡

力C,8。相交于點尸，G是44上一點，GD交AC于點、H,LAB=AC,BG=DG.

（1）請直接寫出/4?。與/。8￡,/￡的數量關系：；

（2）求證：AH2=HF2+HFFCx

（3）若tan/48C=逐，AD=2DE,CD=&,求的周長.

?鞏固訓練，

【訓I練01】（2026?山西運城一模）窗花是我們節日裝飾的元素之一.如圖，這是一個花瓣造型的窗花

示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，點O為正六邊形的中心，前所

在圓的圓心C恰好是△力的內心，且04=2,則圖中陰影部分的面積為（）

A.-B.—it—2\/3C.—兀-2A/JD.4H-65/3

9333

【訓練02】（2026,安徽淮南?一模）如圖，四邊形/4C。內接于0。,￡是5c延長線上一點，為。。

的切線，DC=DE.若NCDE=50°,。0的半徑為2,則就的長是

【訓練03】（2026?湖南長沙一模）如圖1,4c是。。的直徑，力。是。。的弦，/力。。的平分線

交。。于點8,交4C于〃，連接48、CB.

圖1圖2圖3

AD2CD2ADCDDMDM

⑴填空:------r-I------r-------F----------+----;（直接將結果

AB'CH-BDBDADCD

寫在相應的橫線上）

（2）如圖2,過點。作。N/4C,垂足為M若AD=2小CN,求的值;

⑶如圖3,記DC=m,DA=nt

①試用含小，〃的式子表示

②若點/是“CQ的內心，試用含加，〃的式子表示黑.

A題型06圓的綜合計算4

》技巧提煉

1.弧長與扇形面積：

方法

（1）弧長公式：/=等（〃為圓心角度數，廠為半徑）；

180

（2）扇形面積公式：S=竺日=L,,（/為弧長）。

總結

3602

2.圓錐與扇形：圓錐的例面展開圖是扇形，扇形半徑=圓錐母線長，扇形弧長=圓錐底面周長

（2加?=乙史，/?為圓錐底面半徑，/為母線長）。

180

3.動態問題：用“函數思想”，設變量（如角度、時間），表示弧長或面積，求函數關系。

易錯1.公式混淆，避免“弧長用面積公式”或“扇形面積用弧長公式”。

2.圓錐參數的對應：圓錐底面半徑八母線長人扇形圓心角〃的關系.需明確“扇形半經是母線長”

辨析“扇形弧長是底面周長”。

?例題剖析

【典例01】（2025?云南臨滄?一模）如圖，。。是△力8c的外接圓，AC是。O的直徑，平分/月4。

交。。于點O,連接40,過點。作。尸〃4C交的延長線于點尸.

⑴求證：OQ是0。的切線.

（2）若筋=石，求證：四邊形4。尸。是平行四邊形?

（3）設力。與8。交于點G,若。。的半徑為5,AB=6,求G。的長.

【典例02】（2023?廣東陽江?一?模）如圖，在矩形48c。中，AB=C，40=3,連接4C，點芯為力。

上一個動點，點尸為8c上一個動點，連接4區EF,且始終滿足48E=N8收，則線段8尸的最小值

為（）

A.1B.-|

?鞏固訓練〉

【訓練01】（2023?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，43是OO的直徑，。是O。上一點過點C作CD_L/1A

于點E,交。。于點。，點尸是48延長線上一點，連接。尸，AD,NFCD=2NDAF.

⑴求證：C尸是。。切線；

2

（2）若力尸=10,sinF=—,求CQ的長.

3

【訓練02】（2024?浙江寧波?模擬預測）在RS相。中，已知乙4c8=90。，CZ）=1jC,過力、D,B

三點畫圓0,"'是直徑，的平分線恰好過圓心。，交6。于點E,且OC_L8O.

⑴求證：ZBAF=45°.

(2)求tanZJ5D的值.

（3）若OE=1,CB的延長線與"'的延長線交于點，，直接寫出8〃的長.

【訓練03】（2023?四川德陽?中考真題）如圖，。。的直徑48=10，DE是弦,ABIDE,

CEB=EBD，sinZ^C=|,力。的延長線與的延長線相交于點尸，的延長線與。￡的延長線相

交于點G,連接CG.下列結論中正確的個數是（）

①/DBF=3/DAB；

②CG是。。的切線；

③&E兩點間的距離是加；

④成邛.

cG

E

AB

O

D

F

A.1B.2C.3D.4

題型強化訓練

一、單選題

1.（2025?江蘇南京?中考真題）下列圖形中，一定有外接圓的是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

2.（2025?山東東營?中考真題）小華用鐵皮制作一個煙囪帽，煙囪帽的三視圖如圖所示，已知主視圖和左

視圖均為邊長是l（）cm的等邊三角形，則所需鐵皮面積（接縫面積忽略不計）為（）

A.50cm2B.50^-cnrC.100cm2D.100^-cm2

3.（2025?四川?中考真題）如圖，點4B,C在OO上,若/。=64。,則4=()

A.16°B.32°C.48°D.64°

4.（2021?山東淄博?中考真題）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材,

埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何？”用現在的幾何語言表達即：如

圖，弦力8_LCO,垂足為點。，8=1寸，/B=l尺（1（）寸），則圓的直徑長度是（）

c

A.12寸B.24寸D.26寸

5.（2025?山東濱州?中考真題）如圖，E、F、G、〃四點分別在正方形力8。的四條邊上,

AF=BG=CH=DE.若AB=17,EF=13,則△GC〃的內切圓半徑為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

6.（2025?山東濱州?中考真題）如圖，點力，B,C,。在。。上，OC工AB,4toe=60。，則sin/BD。的

值為

7.（2025?山東東營?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與x軸交于點胡、N,與y軸相切于點

0,點夕的坐標為（5,-3）,則點N的坐標為.

8.（2025?江蘇南京?中考真題）如圖，扇形。力8的圓心角為260。，若點P在該扇形內，則//P8的度數的

范圍是

o.

9.（2025?陜西?中考真題）如圖，點48CQ在真。上,若/1+/2=100。，則的度數為—

10.（2025?四川攀枝花?中考真題）類比圓面積公式的推導，我們對扇形的面積公式進行如下探究：將扇形

均勻分割成〃個“小扇形”（如圖1）,扇形的面枳就是這些“小扇形'’的面枳和，當〃尢限大時，這些“小

扇形”可以近似的看成底邊長分別為4,J…，，高為〃的“小三角形”，它們的面積和為

……即扇形面積S=；＞.

請根據這樣的方法繼續思考：如圖2,扇形OOG與扇形OE廣有共同的圓心角，且瓠長分別為3和7,

DE=4,則圖中陰影部分面積是.

圖1圖2

三、解答題

11.（2025?山東東營?中考真題）如圖，相是。。的直徑，C、。是。。上的兩點，AD=DC=CB^DF1BC

于點F,延長尸。交的延長線于點￡,連接8Q.

F

D