2026年高考數學復習講義+強化訓練：概率與統計綜合問題的（3大核心壓軸題型）學生版+解析

壓軸23概率與統計綜合問題的3大核心題型

統計與概率的綜合問題是命制生活實踐情境類試題的最佳切入點，所考查內容涉及數據分析、數學建

模、數學運算、邏輯推理等核心素養，是近幾年高考追逐的熱點之一，處理此類問題的關鍵是把握概率、

統計的本質，合理構造模型，正確進行數學運算和必要的邏輯推理.

A題型01概率與統計圖表的綜合

技法指導

統計圖表與概率綜合問題的求解策略

(1)正確識讀統計圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數據：

(2)根據統計原理即用樣本數字特征估計總體的思想，結合樣點中各統計量之間的關系構造教學模型(函

數模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態分布模型等)；

(3)正確進行運算，求出樣本數據中能夠說明問題的特征值，從而用此數據估計總體或作出科學的決策

與判斷.

1.12025?北京朝陽?二模)某電商平臺為了解用戶對配送服務的滿意度，分別從人地區和8地區隨機抽取了

500名和100名用戶進行問卷評分調查，將評分數據按［40,50),［50,60),…，［90,100］分組整理得到如下

(I)從A地區抽取的50()名用戶中隨機抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；

⑵從8地區評分為［80,100］的樣本中隨機抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數為X,求X的分布列和

數學期望；

⑶根據圖中的樣本數據，假設同組中每個數據用該組區間的中點值代替，設A地區評分的平均值估計為〃…

A,8兩地區評分的平均值估計為〃，比較必與〃的大小關系.：直接寫出結論)

2.(2025?廣東廣州?三模)為減少環境污染，保護生態環境，某校進行了“垃圾分類知識普及活動”，并對高

一、高二全體學生進行了相關知識測試.現從高一、高二各隨機抽取了20名學生，對他們的成績(百分制)

進行了整理和分析后得到如下信息：

高一年級成績分布表

成績[50,60)[60,70)[70.80)[80,90)[90J00]

人數123410

高二年級成績頻率分布直方圖

f頻率

組距

0.030.............

0.025--------------------

0.020----------國I

0.015.......i=l

0.010———

5060708090100茄

(1)從高一和高二樣本中各抽取一人，求這兩人成績都不低于90分的概率;

(2)用頻率估計概率，分別從高一全體學生中抽取一人，從高二全體學生中抽取兩人，隨機變量X表示這三

人中成績不低于90分的人數，求X的分布列和數學期望.

A地型02概率與獨立性檢驗的綜合

技法指導

獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路

本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數據列出2X2

列聯表，并按照公式求得￡的值后進行比較，其次再按照隨機變量滿足的榻率模型求解.

3.12025?遼寧本溪-模)電信詐騙是指通過電話、網絡和短信方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實

施遠程、非接觸式詐騙的犯罪行為為打擊電信詐騙犯罪活動，我國各地積極開展各類“反詐”知識宣傳，并取

得了顯著的效果.某社區為調查該社區市民對“反詐”知識的熟悉情況，進行了一次抽樣調查.調查結果如列聯

表所示.

是否熟悉“反詐”知識

性別合計

不熟悉熟悉

男241640

女124860

合計3664100

（1）依據小概率值a=0.（X）l的獨立性檢驗，能否認為該社區市民是否熟悉“反詐”知識與性別有關？

⑵為了增強市民的防范意識，該社區舉辦了一次"反詐''知識競賽已知參加本次知識競賽的市民的競賽成績

X近似服從正態分布N（86,9）,若有15.865%的參賽市民的成績低于本次知識競賽預期的平均成績，試估計

本次知識競賽預期的平均成績；

⑶為了進?步增強市民的“反詐”意以，參加了知識競賽的市民可繼續參加該社區組織的答題贈話費活動，

活動規則如下：每人需回答3道題，每答對一道題獲得30元話費.已知參加了知識競賽的市民小王答對每道

題的概率均為（，且每道題答對與否相互獨立，記小王獲得話費為y元，求y的期望儀丫）和方差。（丫）.

參考公式…)(L)(a+)c)S+d)'"=

-a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

X2.7063.8416.6357.87910.828

參考數據：若隨機變量X~N（從/），則

P(〃一bWXW〃+cr)k0.6827,P(〃-2bWXW〃+2b)k0.9545,P(〃-3cFWXW4+3b)N0.9973.

4.（2025?上海靜安?三模）“趕大集”出圈彰顯了傳統民俗的獨特魅力.為了解年輕人對“趕大集”的態度，隨機

調查了200位年輕人，得到的統計數據如下面的不完整的2x2列聯表所示（單位：人）.

非常喜歡感覺?般合計

男性31100

女性t

合計60

（1）求/的值，試根據小概率a=001的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態度與性別有關；

⑵從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕

大集”現從這?名代表中任選？名男性和2名女性進一步交流，記Y為這S人中非常喜歡“趕大集”的人數，

求X的分布列及數學期望E”）.

-bc)~

參考公式：2=其中〃=a+〃+c+d.

Z(a+8)(c+d)(a+c)(/?+d)

a0.10.050.01???

42.7063.8416.635???

A題型03概率與回歸分析的綜合

技法指導

回歸分析與概率綜合問題的解題思路

（1）此類問題的特點為：同一生活實踐情境下設計兩類問題，即：①求經驗回歸方程（預測）；②求某

隨機變量的概率（范圍）、均值、方差等；

（2）充分利用題目中提供的成對樣本數據（散點圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解

射要充分利用已知數據，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的目的；

（3）明確所求問題所屬事件的類型，準確構建概率模型.

5.12025?山東淄博?二模）汽車尾氣排放超標是導致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強

調可持續發展，加大新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產業迅速發展.某汽車制造企業對某地

區新能源汽車的銷售情況進行調查，得到下面的統計表：

年份，20152016201720182019

年份代碼x（x=r-2014）12345

銷量y（萬輛）1012172026

（1）計算銷量y關于年份代碼x的線性相關系數八并判斷是否可?以認為），與x有較強的線性相關關系（若

MX）.75,則認為有較強的線性相關關系）.若是，求出），關于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；

（2）為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統燃油汽車）的情況，該企業乂隨機調查了該

地區100位購車車主的購車情況，假設一位車主只購一輛車.男性車主中購置傳統燃油汽車的有40名，購

置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車.洛頻率視為概率，已知一位車主購得新能源

汽車，請問這位車主是女性的概率.

附：若（%"）（￡，/），為樣本點，

Z（七一元）（K-y）Zwy一際

i-I=i—1

相關系數公式:y=1+〃為回歸方程，則

3①）》*②

2（蒼一于）5-y）Zxy-師

b=J-----------=母---------，a=y-bx-

￡（玉-君2-疝2

r=l，=1

6.（2026?河南鄭州二模）某高中數學興趣小組，在學習了統計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的

臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數據：

X159165170176180

y6771737678

⑴根據上表數據，可用線性回歸模型擬合y與4的關系，請用相關系數加以說明:

⑵建立），關于x的回歸方程（系數精確到0.01）；

⑶從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X,求E（X）.

參考數據：,入冽=62194,JZ（X-G）2=8.6,V282?I6.8

參考公式:1可歸方程），=°+/忒中斜率和截距的最小二乘估計公式分

.￡（%二）（）小?。?/p>

別為〃=0---------a=y-bx-

1=1

1.12025?云南曲靖一模）某學校對高中生體質健康調研，隨機抽取100名學生的體重（單位：kg）得到如

下頻數分布表：

分組[40,50)[50,60)[60.70)[70,80)[80,90]

10

頻數5254020

（1）估計樣本的中位數；

（2）從樣本［60,70）和［70,80）中按分層抽樣抽取學生6人，再從這6人中隨機抽取3人，其中體重在［60,70）,

［70,80）的人數分別為x,九記

（i）求X的分布列及期望；

（ii）求ZX2X+1）.

2.（2025?江蘇徐州二模）某品牌新能源汽車在某城市2024年1月至5月的銷售量如下表所示：

月份X12345

銷售量W輛32486380107

⑴求），關于x的經驗回歸方程；

⑵用（1）中所求的方程來擬合數據時，定義殘差的絕對值大于3的一對數據為“異常數據”，現從這5對數

據中任取3對做殘差分析，求取到的數據中“異常數據”的對數X的概率分布和數學期望.

ZCE)(升-刃

附：經驗回歸直線亍=哀+&中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：&='-----------,a=y-bx.

Z(x/-J)2

l-l

3.(2025?海南?模擬預測)交通強國，鐵路先行，每年我國鐵路部門都會根據運輸需求進行鐵路調圖，一鐵

路線/上有自東向西依次編號為1,2,21的21個車站.

(1)為調查乘客對調圖的滿意度，在編號為10和11兩個站點多次乘坐列車戶的旅客中，隨機抽取100名旅

客，得出數據(不完整)如下表所示：

車站編滿不滿合

號意意計

103550

II30

合計55

完善表格數據并計算分析：依據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，在這兩個車站中，能否認為旅客滿意程度

與車站編號有關聯？

⑵根據以往調圖經驗，列車產在編號為8至14的終到站每次調圖時有)的概率改為當前終到站的西側一站,

4

有:的概率改為當前終到站的東側一站，每次調圖之間相互獨立.已知原定終到站編號為11的列車，經歷

4

了3次調圖，第3次調圖后的終到站編號記為X,求X的分布列及均值.

2

n/l->n(cu/—be)

附---7V7---7^----B7V，其中”=a+〃+c+d.

(〃+〃)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

4.(2025?甘肅白銀?二模)從全校學生中隨機選取100人，統計了他們在寒假期間，一周參加體育鍛煉的時

間(單位：小時)，分別位于區間[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),股⑵，[12,14],用頻率分布直方圖表示

如圖，假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.

(I)求。的值，并估計全校學生在寒假期間一周參加體育鍛煉的時間位于區間【8,12)的概率；

(2)完成2x2列聯表，并依據小概率值。=。1的獨立性檢驗，能否認為性別與學生在寒假期間一周參加體育

鍛煉的時間有關聯？

⑶以頻率作為概率，從全校學生中隨機選取3人，記X表示這3人寒假期間一周參加體育鍛煉的時間在區

間口0,12)的人數，求X的分布列和數學期望E(X).

鍛煉時間[2,10)[10,14]合計

男生30

女生25

合計100

附：/=言而士肅而？其中〃=+

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

5.(2026?陜西商洛?二模)漢中藤編久負盛名，被列入國家非物質文化遺產.一根藤，牽起千年的記憶，也

編織出鄉村振興的新圖景.漢中某藤編制作工坊積極探索線上推廣渠道，藤編產品銷量逐年增長.該工坊

為了科學規劃生產，統計了2021-2025年藤編產品的銷量數據如下表：

年份〃年20212022202320242025

年份代碼

12345

xix=r-2020)

銷量)'/萬件67101215

(1)統計表明銷量)'與年份代碼x有較強的線性相關關系，求)'關于X的線性回歸方程，并預測該工坊2026

年藤編產品的銷量；

(2)已知該工坊2025年售出的藤編產品中，有9萬件通過線上售出，用頻率估計概率，現從2025年售出的

藤編產品中隨機抽取4件，求其中線上售出數量X的分布列及數學期望.

X(^-x)(x-y)

附：$，=加+4為回歸直線方程，其中月二上\-----------，a=y-bx.

l-l

6.(2026?重慶?一模)某地區從高一年級的物理測試中隨機抽取了100名學生的物理成績，整理得到如圖所

示的頻率分布宜方圖.

，頻率/組距

a.....................—

0.025...............—1

0.020...........

0.010....................

0.005-］—

0^405060708090100

⑴該地區某學校建議此次物理測試成績在本地區前60%的學生選科報物理方向，試估計報物理方向的學生

本次成績不低于多少分？（結果保留整數）

⑵從成績位于區間［80,90）和［90,100］的答卷中，采用分層抽樣隨機抽取7份，再從這7份中隨機抽取3份，

設成績在［90,100］的答卷份數為隨機變量X,求X的分布列及數學期望.

7.12026?河北承德?一模）2025年9月3日在天安門廣場舉行紀念中國人民抗口戰爭暨世界反法西斯戰爭勝

利80周年閱兵式，這不僅是一場軍事盛宴，更是一次民族精神的洗禮.某中學為了增強學生的愛國主義情

懷，減輕學習壓力，決定組織一次軍事知識競賽.為了了解學生喜歡軍事是否與性別有關，隨機抽取了100

名學生進行調查，已知女生中有15名喜歡軍事，男生中有1的人喜歡軍事，喜歡軍事的學生中有1■是男生.參

JJ

加競賽的學生從喜歡軍事的學生中選取，測試題型分為選擇題與填空題兩種，每次由電腦隨機選出一道，

選擇題與填空題出現的頻率之比為2:1,已知學生答對選擇題的概率為。，答對填空題的概率為:，每次答

42

題互不影響.

喜歡軍事不喜歡軍事合計

男生

女生15

合計

（1）艱據已知條件補充完整上表，并根據小概率值。=0.001的獨立性檢驗，分析該校學生喜歡軍事是否與性

別有關；

（2）若每位學生答3題，求該學生答對題數X的分布列和數學期叟.

2

附.zZ=_______,其中〃f+〃+c+d

陽'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

8.（2026.江蘇鎮江.一模）AI幻覺，是指A1模型生成看似合理但實際不正確或篤無事實依據的信息的現象,

AI幻覺率是指AI模型產生AI幻覺的概率.現抽取了某公司研發的14個使用率較高的AI模型，其幻覺率如

下表所示:

AI

模1234567891011121314

型

幻

覺1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%

率

⑴從表中提供的AI模型中任取一個，求該模型幻覺率小于2%的概率;

⑵從表中提供的幻覺率小于2%的AI模型中任取3個，用隨機變量X表示其中幻覺率個「1.3%的模型個數,

求隨機變量X的分布列和數學期望.

9.（2026?湖南邵陽?二模）為比較甲、乙兩所學校學生的數學水平，采用簡單隨機抽樣的方法從甲、乙兩所

學校共抽取120名學生.通過測驗得到如下數據：甲校50名學生中有10名學生的數學成績優秀；乙校70名

學生中有10名學生的數學成績優秀.根據抽樣數據的分析，得到不完整抽樣數據列聯表，如表（一）所示.

單位：人

數學成績

學校合計

不優秀優秀

甲校1050

乙校1()70

合計

表（一）

（1）完成表（一）列聯表，依據小概率值。=0.1的/獨立性檢驗，能否據此推斷兩校學生的數學成績優秀率

有差異？

（2）已知甲、乙兩所學校利用AI自習室幫助數學不優秀的學生進行成績有效轉化，且轉化數據如下：甲校數

學不優秀學生成績有效轉化的概率為:，乙校數學不優秀學生成績有效轉化的概率為3.若從甲，乙兩所學

校數學不優秀的學生中采用隨機抽樣的方式抽出1名學生，用樣本估計總體，用頻率估計概率，求該學生

數學成績有效轉化的概率.

參考公式與數據：

/=_________________________

(</+b)(c+d)(a+c)(b+〃)，

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

10.（2026?貴州畢節?二模）某電商公司為研究直播帶貨中平臺流量推廣投入x（單位：萬元）與銷售額），（單

位：萬元）的關系，統計了最近10場直播帶貨中平臺流量推廣投入和銷售額數據，計算得：

10101010

工再=50,2另=400.工1/=2200,Xv=300-

r=l2I

⑴求銷售額y關于直播帶貨中平臺流量推廣投入x的線性回歸方程：

⑵該公司計劃下一場直播投入總領10萬元，現有兩種方案：方案一；全部用于平臺流量推廣；方案二：部

分用于平臺流量推廣，部分用于主播傭金激勵.其中平臺流量推廣投入x萬元（OKxWIO）,主播傭金激勵投

入（10-x）萬元.根據以往經驗，主播傭金激勵投入，萬元的銷售額為（12/--）萬元；平臺流量推廣的效

果仍符合（I）中的回歸方程.比較兩種方案，如何分配投入才能使銷售額最大？并求出最大銷售額.

x

'AZ（r-^）（x-y）.

參考公式：線性回歸方程?=良+1中，b=-..------------,a=y-bx.

fa-

1=1

壓軸23概率與統計綜合問題的3大核心題型

統計與概率的綜合問題是命制生活實踐情境類試題的最佳切入點，所考查內容涉及數據分析、數學建

模、數學運算、邏輯推理等核心素養，是近幾年高考追逐的熱點之一，處理此類問題的關鍵是把握概率、

統計的本質，合理構造模型，正確進行數學運算和必要的邏輯推理.

A題型01概率與統計圖表的綜合

技法指導

統計圖表與概率綜合問題的求解策略

（1）正確識讀統計圖表，從圖展中提取有效信息及樣本數據；

12）根據統計原理即用樣本數字特征估計總體的思想，結合樣點中各統計量之間的關系構造教學模型（函

教模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態分布模型等）；

（3）正確進行運算，求出樣本數據中能夠說明問題的特征值，從而用此數據估計總體或作出科學的決策

與判斷.

1.12025?北京朝陽?二模）某電商平臺為了解用戶對配送服務的滿意度，分別從A地區和8地區隨機抽取了

500名和100名用戶進行問卷評分調查,將評分數據按［40,50）,［50,60），…，［90,100］分組整理得到如下

（1）從4地區抽取的500名用戶中隨機抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；

⑵從B地區評分為［80,100］的樣本中隨機抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數為X,求X的分布列和

數學期望；

⑶根據圖中的樣本數據，假設同組中每個數據用該組區間的中點值代替，設4地區評分的平均值估計為M，

A，B兩地區評分的平均值估計為〃，比較必與〃的大小關系.：直接寫出結論）

【解】(1)設事件M：從八地區抽取的500名用戶中隨機抽取一名，該用戶評分不低于60分.

由頻率分布直方圖可知，A地區抽取的500名用戶中評分不低于的人數為

5(X)x(0.025+0.035+().015+O.(X)5)xl()=4(X),

所以尸(加)=募=0.8

(2)5地區評分為［80,100］的樣本用戶共有100x(0.01+0.005)x10=15人,

其中評分不低于90分的人數為5人.

由題意可知，X的所有可能取值為()，I,2.

2

P(X=0)=*C，3

S等吟

2

P(X=2)=WC，2.

第21

所以X的分布列為:

X012

3102

P

7212?

31()?2

則X的數學期望1。寧喘+2叼=3

(3)必>〃.

根據頻率分布直方圖A地區評分的平均值為

//,=45x0.05+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.05=70.5,

8地區評分的平均值為45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.25+85x0.1+95x0.05=67，

所以A,4兩地區評分的平均值〃＜必；

2.(2025?廣東廣州?三模)為減少環境污染，保護生態環境，某校進行了“垃圾分類知識普及活動”，并對高

一、高二全體學生進行了相關知識測試..現從高一、高二各隨機抽取了20名學生，對他們的成績(百分制)

進行了整理和分析后得到如下信息：

高一年級成績分布表

成績[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數123410

高二年級成績頻率分布直方圖

（2）用頻率估計概率，分別從高一全體學生中抽取一人，從高二全體學生中抽取兩人，隨機變量X表示這三

人中成績不低于90分的人數，求X的分布列和數學期望.

【解】（1）從高一年級成績分布表可以看出，成績不低于90分的概率為

從高二年級成績頻率分布直方圖中可以看出，成績不低于90分的概率為0.025x10=0.25.

所以從高一和高二樣本中各抽取1人，這兩人的成績都不低于90分的概率為：^x0.25=1

2o

（2）根據題意可知，X的可能取值為0，1，2,3.

當X=0時，即這三個人中成績都低于90分，此時概率為:

P(X=())=

214；(4)32

當X=1時，即這三個人中成績只有1人的成績是不低于90分的，此時概率為:

1

P(X=1)=—x1-1x

2I4八2’4432

當X=2時，即這三個人中成績只有2人的成績是不低于90分的，此時概率為:

P（X=2）=；xC；11117

X—+—X—X—=-----

424432'

當X=3時，即這三個人的成績都是不低于90分的，此時概率為:

p(X=3)=lx-!-xl1

'724432

所以X的分布列為:

X0123

91571

P

32323232

所以數學期望為雙牙）=0X卷+1*+2X\+3X'=L

A題型02概率與獨立性檢驗的綜合

技法指導

獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路

本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數據列出2X2

列聯表，并按照公式求得小的值后進行比較，其次再按照隨機變量滿足的率模型求解.

3.12025?遼寧本溪一模)電信詐騙是指通過電話、網絡和短信方式，編造虛假信息，設置騙局，對受害人實

施遠程、非接觸式詐騙的犯罪行為,為打擊電信詐騙犯罪活動，我國各地積極卅展各類“反詐”知識宣傳，并取

得了顯著的效果.某社區為調杳該社區市民對“反詐”知識的熟悉情況，進行了一次抽樣調杳.調查結果如列聯

表所示.

是否熟悉“反詐”知識

性別合計

不熟悉熟悉

男241640

女124860

合計3664100

⑴依據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為該社區市民是否熟悉“反詐”知識與性別有美？

(2)為了增強市民的防范意識，該社區舉辦了一次“反詐”知識競賽.已知參加本次知識競賽的市民的競賽成績

X近似服從正態分布N(86,9),若有15.865%的參賽市民的成績低于本次知識競賽預期的平均成績，試估計

本次知識競賽預期的平均成績；

(3)為了進一步增強市民的“反詐”意識，參加了知識競賽的市民可繼續參加該社區組織的答題贈話費活動，

活動規則如下：每人需回答3道題，每答對一道題獲得30元話費.已知參加J'知識競賽的市民小王答對每道

題的概率均為彳，且每道題答對?與否相互獨立，記小王獲得話費為y元，求丫的期望石(丫)和方差。(丫).

參考公式f=-——__-,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

X2.7063.8416.6357.87910.828

參考數據：若隨機變量X~N(〃0”則

0.6827,P(/Z-2<T<X<//+2<T)?0.9545,P(//-3<T<X<//+3cr)*0.9973.

【解】(1)零假設為”o：該社區市民是否熟悉“反詐”知識與性別無關，

以、;由組，100x(24x48-12xl6)250,,_

經計算得Z-=一二一/一—=—?116A.A667>10.o828o=%?！埃?/p>

40x60x36x643

所以依據小概率值a=0.(X)l的獨立性檢驗，推斷兒不成立，

即可認為該社區市民是否熟悉"反詐”知識與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.

“、r-iu1P(u-cr<X<p+cr)10.6827

(2)因為尸(X<〃-o)=-----------------——1=---------?0.15865,

2222

又〃a86,cra3,

故本次知識競賽預期的平均成績大約為86-3=83.

(2A

(3)記小王答對題的數量為Z,則y=30Z,由題意得Z~B3,-,

\3)

則E(Z)=3x(=2,O(Z)=3x：x；=；,所以E(y)=30E(Z)=30x2=60,

2

D(K)=900D(Z)=900x-=600.

3

4.(2025?上海靜安?三模)“軒大集”出圈彰顯了傳統民俗的獨特林力.為了解年輕人對“趕大集”的態度，隨機

調查了200位年輕人，得到的統計數據如下面的不完整的2x2列聯表所示(單位：人).

非常喜歡感覺一般合計

男性3;100

女性

合計60

(I)求/的值，試根據小概率a=0.01的獨立性檢驗，能否認為年輕人對“趕大集”的態度與性別有關；

(2)從樣本中篩選出5名男性和3名女性共8人作為代表，這8名代表中有2名男性和2名女性非常喜歡“趕

大集現從這8名代表中任選3名男性和2名女性進一步交流，記X為這5人中非常喜歡“趕大集”的人數,

求X的分布列及數學期望E(X).

n(ad-bc)'

參考公式：2=其中〃=a+〃+c+d.

Z(a+b)(c+d)(ac)(b+d)

a0.10.050.01???

Xa2.7063.8416.635???

【解】(1)由題意可知：3f+(607)=100,解得，=20,

2x2列聯表如下：

非常喜歡感覺一般合計

男性6040100

女性8020100

合計14060200

2

,200x(60x20—80x40)2200x2000n

V2=-------------------L-=------------------------=9.524>6.635.

140x60x100x100140x60x100x100

根據小概率值a=0.01的獨立件檢驗,認為年輕人對“趕大集”的態度與性別有關.

此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.

（2）設進一步交流的男性中非常喜歡“趕大集”的人數為，叫女性中非常喜歡“趕大集”的人數為

則且X的所有可能取值為1,2,3,4.

尸(X=l)=尸(，〃=0,〃=1)=^^=4=、，

P(X=2)=P(M,"=I)+P(…〃=2)=普籌+1g哈，

p(X=3)=PW=2,e)+P('”"=2)=隼爛+簧

p(X=4)=P(/w=2,/?=2)=^^-=—=—.

'，')eg3010

所以X的分布列為

X1234

11321

P

305K)

所以3）=局+2礙+3嚙+4喙Y

A題型03概率與回歸分析的綜合

技法指導

回歸分析與概率綜合問題的解題思路

（1）此類問題的特點為：同一生活實踐情境下設計兩類問題，即：①求經驗回歸方程（預測）：②求某

隨機變量的概率（范圍）、均值、方差等；

（2）充分利用題目中提供的成對樣本數據（散點圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解

▽要充分利用已知數據，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的目的：

（3）明確所求問題所屬事件的類型，準確構建概率模型.

5.12025?山東淄博?二模）汽車尾氣排放超標是導致全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強

調可持續發展，加大新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產業迅速發展.某汽車制造企業對某地

區新能源汽車的銷售情況進行調查，得到下面的統計表：

年份/20152016201720182019

年份代碼”(x=r-2014)12345

銷量y（萬輛）1012172026

（1）計算銷量y關于年份代碼x的線性相關系數〃，并判斷是否可以認為），與k有較湖的線性相關關系（若

團大.75,則認為有較強的線性相關關系）.若是，求出y關于x的線性回歸方程：若不是，說明理由；

（2）為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統燃油汽車）的情況，該企業乂隨機調查了該

地區100位購車車主的購車情況，假設一位車主只購一輛車.男性車主中購置傳統燃油汽車的有40名，購

置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購置新能源汽車.將頻率視為概率，己知一位車主購得新能源

汽車，請問這位車主是女性的概率.

附：若（不凹），（七，必），…為樣本點，

Z（七一元）（》-y）Zwy一際

相關系數公式:y=+4為回歸方程，則

思9》*@"〃丁

o(x-y)Zwy-師

b=~~?=E?a=y-bx-

/=!/=1

【解】(1)由題意得了=((l+2+3+4+5)=3,

3[(10+12+17+20+26)=17,

5525_、

Ew=295,Z%=55，Z(X一?=164，

MMM

舊釁o.976>0.75,

j=l295-5x3x172s

V55-5X32XA/164

序5行"?

因此，銷量y與年份代碼工有較強的線性相關關系:

4,

力工”5丁255-45

/=!

y關于”的線性回歸方程為a=4x+5.

（2）由題意知，該地區100名購車車主中，男車主有70名，女性車主有30名，購置新能源汽車的男性車主

有30名，購置新能源汽車的女性車主有15名.

“一位車主購得新能源汽車”記作事件A,“車主是女性”記作事件B,

一位車主購得新能源汽車，這位車主是女性的概率為:

15

11'尸⑷迎十至3

looToo

6.（2026?河南鄭州二模）某高中數學興趣小組，在學習了統計窠例后，準備利用所學知識研究成年男性的

臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數據:

X159165170176180

y6771737678

（1）艱據上表數據，可用線性回歸模型擬合丫與x的關系，請用相關系數加以說明:

（2）建立），關于x的回歸方程（系數精確到0.01）；

（3）從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X,求七（X）.

參考數據：X.V,=62194,=8.6,x/282^16.8

I=IVi=i

參考公式：相關系數，.=Iu…，回歸方程），=0+以中斜率和截距的最小二乘估計公式分

歸一）？（"丫

.￡")(一)一

別為〃=—~~";,a=y-bx?

Z")

【解】（1）由表中的數據和附注中的參考數據得

55

、=850,i=[70，￡另=365,y=73,

x.-x)2=112+52+02+62+102=282,

2

yf-y)=8.6,若一司(其一亍)=￡內=￡y.=62194-170x73x5=144,

J=lJ=li=l

￡（若-；心-?。?/p>

144

r-1---------?0.997

16.8x8.6

因為y與x的相關系數近似為0.997,說明y與x的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合），

與工的關系.

_,力14424

(2)由y=73及(1)得6=口--------=—=—%0-51*

如T28247

f=1

---24

a=y-bx=73------xl70?-13.81,

,47

所以『關于X的回歸方程為y=-13.81+0.5a.

(3)X的取值依次為2,3,4,5,6,7,9,11,

P(X=2)=/！，p(x=3)=\q,P(X=4)=*q,

P(X=5)=-4=-,P(X=6)=-^=—,P(X=7)=-4=—,

'7C；5*V7C-10V7C；10J

P(X=9)=J_=J_p(x=ll)=-^=J-

')C；10'I7C；10,

X的分布列

X234567911

111111

/P

51010510101010

1J2O25?云南曲靖一模）某學校對高中生體質健康調研，隨機抽取100名學生的體重（單位：kg）得到如

下頻數分布表：

分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

10

頻數5254020

⑴估計樣本的中位數；

（2）從樣本［60,70）和［70,80）中按分層抽樣抽取學生6人，再從這6人中隨機抽取3人，其中體重在［60,70）,

［70,80）的人數分別為x,記X=x-y.

（i）求X的分布列及期望；

(ii)求。(2X+1).

【解】(1)因為5+25=30v50,5十25十40=70>50,

故樣本的中位數落在［60,70）內，

乂40+2=20,30+20=50,故中位數為歿”=65

（2）⑴［60,70）和［70,80）的人數比為40:20=2:1,