第六節(jié) 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用-2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

模塊四三角形

第六講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1:銳角三角形

在咫中，ZC=90,A,8,C的對(duì)邊分別為〃，

b,coA

4的正弦：sinA=________?

銳角三角形函數(shù)的定義

A的余弦：cosA=________b

A的正切：tanA=_________1

CaB

若A+B=90貝』

互余兩角的三角函數(shù)關(guān)sinsin(90-A)=cosA

系cos8=cos(9()-A)=sinA

tanA-tanB=\

知識(shí)點(diǎn)2:特殊角的三角函數(shù)值

1.圖表記憶

a

三角函數(shù)圖形記憶

30°45°60°

j_V2

sina在

2~22

V2\_

cosa在

2~22i

V3,LM

tana~T1731

2.規(guī)律記憶_

30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次為1,V2,6;

30°,45°,60°角的余弦值分別是60°,45°,30°角的正弦值。

知識(shí)點(diǎn)3:解直角三角形的常用關(guān)系

1.常見關(guān)系

三邊關(guān)系______________（勾股定理）

兩銳角間關(guān)系D/R

邊角關(guān)系sinA=cosB=_

cosA=sinB=______，產(chǎn)

tanA=_______AbL

tanB=

面積關(guān)系

解直角三角形時(shí)的原則：有角求角，無角求邊；有斜用弦，無斜用切；寧乘勿余,

取原避中；化斜為直，方程相助。

2.常見解法

兩條邊一條邊一個(gè)角

條

斜邊和一條斜邊和一一直角邊

件兩條直角邊

直角邊銳角和一銳角

:ZK

圖

形

?

Ca，c-r€B

4a

tanA=—,sinB=-^-,

0乙3二好_乙1,

乙8二90。一4A,

45二90。-4A,

解乙a-b?tanA,

Z.4=90°-B,a=c?sin.4,

法a

a=c?sinAb

~sinAb-c?cosA0-sinB

或Q=Vc2-b2

或c二^Ja2+b2

知識(shí)點(diǎn)4:解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

概念定義圖形

在視線與水平線所成的銳角中，視鉛

垂w

俯角、仰角線在水平線上方的角叫仰角,初線線~水平線

在水平線下方的角叫俯角.

、視線

坡面的鉛直高度h與水平寬度1的T

坡度（坡比）、坡比叫坡度（坡比），用字母i表示.坡h

角面與水平面的夾角a叫坡

11

角,i=tana=.H-/——

一般指以觀測(cè)者的位置為中心，將

正北或正南方向作為起始方向旋

轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角（一般指

銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東

（西）XX度，方向角的角度值在

方向角

0°?90。.如圖，點(diǎn)A,B,C關(guān)于。點(diǎn)

的方向角分別是北偏東30°、南偏

東60°、北偏西45°（也稱西北方

向）.

2.測(cè)量物體高度的常見三角形模型

(3)測(cè)量底部不可達(dá)到的物體的高度(/?)

數(shù)學(xué)模型應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系

Iana==>x=J.

仰角叫館xUna

山仰仇高度

lari0=—n.r=------2,

xtanp

a

型X由①②可求徨①，進(jìn)而可求得力.

a-ha-A小

tana-nx-<1J,

俯角明俯xtana-

角6,高度

atanB=-=x=；-胃②.

xtanfi

a

由①2）可求得反

h\

tana=---------=a,+x=

a*

仰角明仰2

h、、

角￡.測(cè)用D

-taMna-.

產(chǎn)'月儀的高度

hh、h、._、

。|.水平距tanfl=-----=------------=2、

xtanB

離

由①-②“r求得M&怯二

母

、

子h+a1.

型

h-ah-a/.?、

tana=--------=x=QJ,

仰角明仰xtana

chhe

h角6,高度

rtik<.......Ian0=-----=>x=行②，

xtunp

a

由①2）可求得也

hh

Iana=-----nx-⑴T.

仰角明仰xtana

J??

角0,高度z>〃+-h+a/K、

tanB----------n*-L"^'?

hxIanfj

a

X由①②可求得人

直擊中考勝券在握

1.（2021?天津中考）tan30。的值等于（）

A.3B,也C.

32

2.己知Rta48c中，0C=9O°,AC=2f8c=3,那么下列各式中正確的是（）

.2222

A.sinA=—B.tan4=一C.tanfi=—D.cosB=—

3333

3.在RtA8C中，AC=8,BC=6,則cosA的值等于（）

3B"「4T小八42g

A.C.二或——D.二或----

545457

4.在RlZXABC中，ZC=90°,cosB=-,則tanA的值為（）

3

A.2B.且C.也

NIOVIO

11343

5.(2020?安徽省中考)如圖，出-ABC中，ZC=90°,點(diǎn)。在AC上，ZDBC=ZA.若

4-

AC=4,cosA=-t則8。的長度為()

C

91215

A.-B.—C.—D.4

6.如圖，在自AA8C中，ZBC4=90°,CD_LA8于。，下列結(jié)論錯(cuò)誤的有（）個(gè)

An

①圖中有兩對(duì)相似三角形；②sin8=f；③8cAe="?8；④若8c=2石，AO=8,

AC

則CD=4.

A.0B.IC.2D.3

7.在MBC中，若|cosA」|+(1-tanB)2=0,貝胞C的度數(shù)是()

A.45°B.60℃.75°D.105°

8.如圖，在等腰心AA8C中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一點(diǎn)，若tanNQ84=(,貝lj4。

A.2B.6C.V2D.1

3

9.（如21?云南中考）在AHC中，ZABC=90°f若AC=100,sinA=j則A〃的長足（）

50（）503

A.一B.一C.60D.80

35

10.（2021?桂林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3,4）,連接OP,則OP與x

軸正方向所夾銳角a的正弦值是（）

11.（2021?金華中考）如圖是一架人字梯，己知A3=AC=2米，AC與地面BC的夾角為。，

則兩梯腳之間的距離8c為（）

4

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.--------米

cosa

12.（2021?宜昌中考）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，貝iJcosZAAC的值為（）

.x/2"叵「4n2>/2

A?，，C?D?

3233

13.（2021?福建中考）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校4與河對(duì)岸工廠8之間的距離，

在學(xué)校附近選一點(diǎn)&利用測(cè)量儀器測(cè)得乙4=60。.NC=90MC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校

與工廠之間的距離4B等于（）

A.2kmB.3kmC.2>/3kirD.4km

14.（2021?吉林長春中考）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖.已知A、8兩

點(diǎn)間的距離為30米，ZA=a,則纜車從A點(diǎn)到達(dá)8點(diǎn)，上升的高度（8C的長）為（）

B.里米30

A.30sina米C.30cosa米D.米

sinacosa

15.（2020?重慶A卷）如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一

個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比）/=1:0.75,山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離C/）=45m,

在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28。，居民樓48與山坡CD的剖面在同一平面

內(nèi)，則居民樓人8的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin28°?0.47,cos28°?0.88,lan280no.53）

A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m

16.（2021?隨州中考）如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所

成角為。時(shí)，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)A處，底端落在水平地面的點(diǎn)8處，現(xiàn)將梯子底端

向墻面靠近，使梯子與地面所成角為夕，已知sina=cos/?=],則梯子頂端上升了（）

4

17.如圖，RtELA8c中，回C=90。，點(diǎn)。在AC上，團(tuán)。8c=財(cái).若AC=4,cosZl=-,貝!JBD

的長度為.

18.如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)

上，AB、CD相交于點(diǎn)P,則tan回APD的值是.

19.（2021?梧州中考）某市跨江大橋即將竣工，某學(xué)生做了一個(gè)平面示意圖（如圖），點(diǎn)A

到橋的距離是40米，測(cè)得初=83。，則大橋BC的長度是一米.（結(jié)果精確到1米）（參考

數(shù)據(jù)：sin83°20.99,cos83°=0.12,tan83°=8.14）

20.（2021?湖北荊州中考）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,3c可分

別繞點(diǎn)A,〃轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC=8cm,A〃=16cm.當(dāng)/W,〃。轉(zhuǎn)動(dòng)到,

NA8C=50。時(shí)，點(diǎn)C到4E的距離為cm.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)

據(jù)：sin70°*0.94,73^1.73）

圖1圖2

21.（2021?湖南省邵陽市中考）如圖，在矩形A4C。中，DE±ACf垂足為點(diǎn)E.若

4

sinZADE=-fAD=4f則A8的長為.

J

22.（2021?四川綿陽中考）在宜角八8c中，ZC=90°,的角平分線

tanAtanB2

交AB于點(diǎn)且CQ=2&,斜邊AB的值是.

23.（2021?廣西百色中考）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為測(cè)量山頂電視塔的高度，在塔的橢圓平臺(tái)遙控?zé)o

人機(jī).當(dāng)無人機(jī)飛到點(diǎn)P處時(shí)，與平臺(tái)中心。點(diǎn)的水平距離為15米，測(cè)得塔頂A點(diǎn)的仰角

為30。，塔底8點(diǎn)的俯角為60。，則電視塔的高度為米.

A

0°a

60°

B

24.（2021?遼寧阜新中考）如圖，甲樓高21m,由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5。，看乙樓底

的俯角是30。，則乙樓高度約為m（結(jié)果精確到lm,V3?1.7）.

25.（2021?廣西貴港?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，8。是對(duì)角線，AEHBD,垂足為E,

連接C￡,若tanNAQ8=則tan由D￡C的值是,

26.（2021?江蘇常州中考）如圖，在58c中，AC=3,3C=4,點(diǎn)D、E分別在C4、CR上,

點(diǎn)F在A4C內(nèi).若四邊形CD正是邊長為1的正方形，則sinN/^A=

C

D

B

27.（2021?湖北黃石中考）如圖，直立于地面上的電線桿A/3在陽光下落在水平地面和坡

面上的影子分別是BC、CD,測(cè)得8c=5米，。=4米，ZBCD=150°,在/）處測(cè)得電線

桿頂端A的仰角為45。，則電線桿A8的高度約為米.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.4I4,

73?1.732,結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）

28.（2021?遼寧本溪中考）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)48,C都在

格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)。，貝iJtan/AOC=.

29.（2021?湖北天門中考）如圖，某活動(dòng)小組利用無人機(jī)航拍校園，己知無人機(jī)的飛行速度

為3nVs,從A處沿水平方向飛行至8處需10s,同時(shí)在地面C處分別測(cè)得A處的仰角為75。，

B處的仰角為好.則這架無人機(jī)的飛行高度大約是m（6?1.732,結(jié)果保留整數(shù)）

30.計(jì)算：

(1)6tan2300-75sin600-2tan450；

(2)sin60°cos600+sin450cos450-sin30acos300.

tan450-cos60°

(3)Vl-cos30°+?tan30°

ccs30°

4

31.(2021?上海中考)已知在△ABO中，AC±BD,BC=8,CD=4,cos^ABC=-tBF為

4。邊上的中線.

(1)求AC的長，

(2)求lan/FBD的值.

32.(2021?四川省成都中考)越來越多太陽能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我

市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措.某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽能路燈電池板離地面

的高度.如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角

Z/WBC=33°,在與點(diǎn)4相距3.5米的測(cè)點(diǎn)。處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角NMEC=45。

（點(diǎn)A,。與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN的長.（結(jié)果精確到1米；參考

數(shù)據(jù)：sin33°?0.54,cos33°?0.84,tan33°=0.65）

33.（2021?甘肅省武威市中考）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔〃，始建于明嘉靖十四

年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與蛇帽山的凌空

塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量"大明寶塔的高度〃的實(shí)踐

活動(dòng)，具體過程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,寶塔CD垂直于地面，在地面上選取兩處分別測(cè)得NC4D和NCA。的

度數(shù)（AD3在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測(cè)量：地面上A4兩點(diǎn)的距離為58口］,/。。=42。,/。比＞=58。.

問題解決：求寶塔。。的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,

sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過程.

34.（2021?天津市中考）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔