二次函數與一元二次方程、不等式 第1課時

2.3第1課時二次函數與一元二次方程、不等式

基礎練________________________________________________

鞏固新知夯實基礎

1.1多選）下面所給關于X的不等式，其中一定為一元二次不等式的是（）

A.3x+4<0Bjr+mx-l>0

C.av+4x-7>0D..r<0

2.已知集合M={x|f—3x—280O},N={HF—X—6>0},則MClN為（）

A.{x|一44v—2或3<吐7}B.{x|—4〈吐一2或3芻〈7）

C.{叱-2或x>3}D.{xlxv-2或啟3}

3.一元二次方程加+bx+c=O的根為2,-1,則當。<0時，不等式加+以+企0的解（）

A.{.很<—1或x>2}B.{耳在一1或應2}

C.{x\-\<x<2]D.{A|-1<\<2}

的不等式辦一辦0的解集是（1,+8）,則關于x的不等式3+份。-3）>0的解集是（

A.{巾<-1或x>3}B.{.r|-l<x<3}

C.{.r|l<.v<3}D.{小<1或x>3}

5.若不等式or2—x—c>0的解集為{x|-2<xvl},則函數>=加一x—（?的圖象為（）

，/\,一\-；oL

-2;

-2/1。12\*Z2-1O[\2x<

CD

AB

6.不等式一1<?+2%一修2的解集是________.

7.方程/十（〃]-3求+陽=0的兩根都是負數，則機的取值范圍為____

8.解關于x的不等式：f+a—〃支一〃<（）.

能力練

綜合應用核心素養

9.若0?1,則關于x的不等式(LX)(X—；)>0的解集是()

A.卜B.,〉；或g}

y-4(+6v>()

io.設函數於)=一二一’則不等式小)習(1)的解集是()

x+6,x<0,

A.(-3,1)U(3,+oo)B.(一3,1)U(2,+oo)

C.(-1,1)U(3,H-oo)D.(-00,-3)U(1,3)

11.不等式/一內一4<0的解集是{.r|2〈xv3},則不等式dP-px-AO的解是()

J1-11JI11

A.px<-2^x>—^B.jx—尹<一'

C.x1<r<^1D.{巾<2或i>3}

12.(多選題)已知關于x的方程$+(〃?-3)x+m=0,下列結論正確的是()

A.方程x2+(in—3)A+m=0有實數根的充要條件是{m\m<\或rn>9)

B.方程/+(/〃-3)x+〃?=0有一正一負根的充要條件是根￡{〃加〃<0}

C.方程*+(m一3).r+〃?=0有兩正實數根的充要條件是〃?￡{加0<壯1}

D.方程f+(加-3)x+〃?=0無實數根的必要條件是

13.已知x=1是不等式三v2—6心;+8K)的解，則k的取值范圍是.

14.若關于x的不等式ar—6.r+?2>0的解集為,則a=,m=

15.若不等式aF+bx+c2。的解集為卜|一為《21,求關于x的不等式ex2—歷:+〃<()的解集.

16.解關于x的不等式ar—2(a+l)x+4>0.

2

【參考答案】

1.BD解析：根據一元二次不等式的定義以及特征可判定A一定不是，C不一定是，B,D一定是.

2.A解析：??,"={4?一33一2800}={工|一487},7={_4~一不-6>0}={耳1<一2或x>3},

：.MC\N={x\~4<x<-2或3OW7}.

3.D解析：由方程ad+Zzv+cuO的根為2,-1,知函數y=a*+/?x+c的零點為2,-1,又工函

數？=加+云+。的圖象是開口向下的拋物線，，不等式"2+Z?X+CK)的解集為{x|-1三匕2}.

4.A解析：由題意，知〃>0,且I是ar—b=0的根,所以。=方>0,所以(ar+〃)(x—3)=a(x+l)(x—3)>0,

所以工〈一1或f>3,因此原不等式的解集為{.5V-1或Q3}.

5.B解析：因為不等式的解集為國一20<1},所以KO,排除C、D；又與坐標軸交點的橫坐標為一2,1,

故選B.

x2+2x—3<0,

6.{川一34<一2或0X1}解析：V]一???一34<一2或04區1.

jr+2jt>0,

A—(m—3)2—4w>0?

7.{;n|w>9}解析：???,XI+X2=3-W<0,/.w>9.

JlX2=〃?>0，

8.解：方程x2+(1—a)x—a=0的解為xi=—1,上=。.函數y=f+(1—。的圖象開口向上，所以

(1)當。<—1時，原不等式解集為{x[〃<xv-1};

(2)當”=-1時，原不等式解集為0；

⑶當〃>一1時，原不等式解集為國一1VV7}.

9.D解析：*.*0</<I,.*.y>l,/.(z—.v)(x—y)>0<=^x—/)(x—y)<0<=y<r<y.

10.A解析：/(I)=12—4X]+6=3,當應。時，x2—4x+6>3,解得x>3或08<1；

當工vO時,x+6>3,解得一3<x<0.所以於)41)的解集是(一3,1)U(3,+oo).

2+3=〃，p=5,

11.B解析：易知方程f—p.r—q=O的兩個根是2,3.由根與系數的關系得1x3=_q解得.=一6

不等式t/A2—p.r—1>0為一6f一5x—1>0,解得一

12.BCD解析：在A中，由/=5-3)2—4〃?20得,區1或〃G9,故A錯誤；在B中，當x=0時，函數)，

=f+(〃1一3M+〃?的值為m,由二次函數的圖象知，方程有一正一負根的充要條件是〃?￡{〃力〃K()},故B正

3—m>0,_

確；在C中，由題意得m>0,解得()<心1,故C正確；在D中，由/=(/九一3)—4〃7<0得1</〃<9,又

{m\\<m<9}c{m\m>1},故D正確,故選BCD.

13.右2或k>4解析：x=1是不等式—r2—6履+820的解，把犬=I弋入不等式得42—6攵+運0,解得"4或k<2.

14.-3-3解析：在A中，由/=(，〃-3)2—4〃它0得〃區1或〃它9,故A錯誤；在B中，蘭x=0時，函

數)，=/十(〃?一3)“十用的值為〃?，由一次函數的圖象知，力程有一正一負根的充要條件是〃?匚“川加<0},故

3

3—m>0)-e

B正確；在C中，由題意得m>(),解得0<"區1,故C正確；在D中，由/=。〃-3)2—4〃?<0得

又向1<〃?<9｝Q｛m\m>1｝,故D正確，故選BCD.

可知I,是方程加一6x+a2=()的兩個根，且〃<(),

+〃?=自

ia=—3a=2

.解得，nV片2(舍去).

m=-3-

15解由aF+Ar+cNO的解集為卜|一

，知”0,

Jb

一科2=一￡

且關于k的方程加的兩個根分別為一/52

+/u+c=02,???一飛I,c=一/

-TX2=-

3a

所以不等式ex2—法+〃<0可變形為(一多，v2—(一//｝+4<0,即2aF—5or—34>0.

又因為亦0,所以2?—5工一3<0,所以所求不等式的解集為何一］々<3'

16.解(1)當〃=0時，原不等式可化為一2A+4>0,解得X<2,所以原不等式的解集為｛.中<2｝.

2

(2)當。>0時，原不等式可化為(火一2)(1-2)>0,對應方程的兩個根為川=7也=2.

①當0<〃<1時，觸,所以原不等式的解集為卜A->J或XV2);

2

②當。=1時，，2,所以原不等式的解集為｛?機2｝；

7I?

③當時，;<2,所以原不等式的解集為f卜>2,或ry\

(3)當。<0時，原不等式可化為(一ar+2)(x—2)<0,對應方程的兩個根為x產2系幻=2,則2左2,所以原不等

2

式的解集為1~<x<2.

綜上，。<0時，原不等式的解集為*~<x<2卜

a=0時，原不等式的解集為3歡2｝；

0<^<1時，原不等式的解集為U4，或A，<2｝；

當心1時，原不等式的解集為卜卜>2,或痣｝.

A級必備知識基礎練

1」探究點一(南度2)］不等式爐20的解集為()

1-X

A.{川-6?I}

4

B.{4rel,或x4-6}

C.{x|-6^x<l}

D.{x|x>l,或后-6）

2」探究點一（角度1）偌集合A={x|（2i+l）（x-3）vO},B={x￡N*kW5},則4nB等于（）

A.{1,2,3}

C.{4,5}D.{1,2,3A5}

3.［探究點一（角度1）］不等式的解集是（）

A.{小25,或xW-1}

B.{x|x>5,或x<-l}

D.{升l?5}

4」探究點二］若不等式加+法+6>0的解集為{小v-3或入>-2},則（）

A.a=l力=-5B.a=-\,b=5

C.a=-\,b=-5D.a=l力=5

”探究點一（角度2）］不等式，;22的解集是（）

X-1

A.{x|x<l}B.{x|x>2}

C.{x|l<x<2}D.{x|l4W2}

6」探究點二?2024江蘇連云港高一期中］（多選題）設a.O,c為實數，不等式加+6+c>0的解集是{小<1或￡>3},

則下列說法正確的是（）

A.avO

B.ab<0

C.ac>0

D.a：b：c=l：（-4）：3

7.［探究點二］（多選題）不等式or2+以+c2（）的解集是{升1?},對于系數aQc下列結論正確的是（）

A..a+b=0B.a+Z?+c>0

C.c>0D./?<0

8」探究點二］二次函數產加+/?x+c（x￡R）的部分對應值如下表:

X-3-2-101234

V60-4-6-6-406

則關于x的不等式a^+bx+00的解集是.

9」探究點三］某產品的總成本），（單位:萬元）與產量M單位:臺）之間的函數關系是產3000+201-0.l.r（0<.r<240）,

若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本（銷售收入不小于總成本）時的最低產量是臺.

10.|探究點一（角度I）］求下列不等式的解集：

（1）2^-13x+20>0;

（2）僅+5工+1<0;

5

(3)4f4r+lW0.

B級關鍵能力提升練

11.在R上定義運算“O”：〃O/4時+2a+4則滿足AO（X-2）<0的實數x的取值范圍為（）

A.{x|0<x<2}B.{x|-2<x<l}

C.{x|x<-2或x>l}D.{x|-l<x<2}

12」關于x的不等式f-2ar+a>0的解集為R”的一個必要不充分條件是（）

A.O<a<lB.Ovag

C.OWaWlD.avO或應

13.已知〃>0力>0,則不等式功vgva等價于（）

AM—或W

BT或吟

C.-a<A<0或0<br<7

D.4<V<0或0<x<-

ba

14J2024河北唐山高一期中］（多選題）已知關于x的不等式aF+版+c>（）的解集為<1},則下列結論正

確的是（）

A.?>0

B.c<0

C.a+b>0

D.關于x的不等式cM+Zu—a>。的解集為3-3<x<-l}

15.己知不等式浸-3x+6>4的解集為{小<1,或其>力）.

（I）求4力的值;

（2）解不等式加-3c+母r+/?c<0.

16.已知集合4={XM-4X+3W0},B=.若是上￡夕的必要不充分條件，給出如下三個條件:①

{川如1Wx，）,②3“WxW〃+2},③{xlVHWxW6+3}.請從中任選一個補充到橫線上.若問題中的a存在，求出

。的取值范圍.

C級學科素養創新練

17.在R上定義運算：°b=%/-兒.若不等式卜J8221的解集為R,則實數〃的最大值為_________.

cd（a+lx

6

18.己知關于x的不等式(日-&2_4)(”4)>0的解集為A,其中心R.

(1)若5￡A,求實數k的取值范圍.

⑵求不等式的解集A

(3)是否存在實數公使得上述不等式的解集4中只有有限個整數?若存在，求出使得4中整數個數最少的k的

值;若不存在,請說明理由.

答案：

1.C不等式售20等價于忖①"°,解得-6Wxvl.故解集為國-6&<11.

2.BV(2x+l)(x-3)<0,:.」<xv3.

又工￡N”且xW5,則x=l,2.即ACIB={1,2}.

3.B由./辦?5>2兌得『4?5>0,因為方程/4?5=0的兩根為?1,5,所以不等式/4?5>0的解集為{小或

x>5}.

4.D因為不等式ax2+bx+6>0的解集為口卜<-3或x>-2},所以-3和-2為方程a.r+bx+6=O的兩根，即

9。-36+6=0,4*2h+6=0,解得故選D.

5.D不等式二22可化為二-220,即空20,等價于產；?71)-°麻得L,

X-1x-1x-1(X-1豐0,

所以不等式的解集為31<xW2}.故選D.

6.BCDVuhc為實數，不等式以2+"+。>0的解集是［小<1或二>3},.??〃>04和3是方程加+版+。=0的兩

(1+3=

個根,，ab=-4a<0,c=3a>0,ab<0,ac>0,a：Z?：c=l：(-4):3.故選BCD.

1x3=-a,

7.ABC由不等式a^+bx+c^O的解集是“|-1WxW2)可得。<0,且方程ajr+bx+c=0的兩個艱為-1,2,所以

--=-1+2=1>0,所以b=-a、b>0,故A正確,D錯誤;由￡=-2,則c>0,故C正確;依題意二次函數yuad+bx+c的圖象

aa

開口向下,且二次函數的圖象與x軸的兩個交點橫坐標是-12因此當x=l時，產〃+b+c>0,故B正確.故選ABC.

8.{x\x<-2,或x>3}根據表格可以畫出二次函數嚴加+bx+c(x￡R)的圖象如圖.

由圖象得關于％的不等式ar+Z?A+c>0的解集是{x|xv-2,或x>3}.

9.150依題意得25x23000+20工。1『,整理得x2+50.v-3000020,解得工2150或xW

-200(舍去).因為0<x<240,所以I50Wx<240,即生產者不虧本時的最低產量是150臺.

10.解(1)原不等式對應的方程為2r-l3x+20=0J=(-13)2-4x2x20=9>0,

所以該方程的兩根為即=9乜=4.

442

7

畫出函數>，=源-13x+20的大致圖象，如圖，函數圖象與x軸的交點為(4,0),(|,0).所以不等式2_己13x+20>0的解

集為卜卜>4或x<卦.

(2)原不等式對應的方程為7/+5人+1—0/—5'-屯<7><1--3<0,所以方程無解.畫出函數J-7A9+5A+1的大致圖象,

如圖，圖象與x軸無交點.所以不等式7/+5x+1<0的解集為。.

(3)4f-4rHW0可化為(Zr-lpWO,所以2x-I=0,4

所以x=3.畫出函數)=4/-41+1的大致圖象,如圖，函數圖象與x軸只有一個交點百0).

所以不等式4A2-4x+1W0的解集為｛x卜=：｝.

11.B根據給出的定義得(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=f+x-2=(x+2)(x-l).

又XO(X-2)VO,則a+2)a-l)vo,故x的取值范圍是3-2VXV1｝.

12.C因為不等式fAor+aX)的解集為R,所以/=(27)2-44=4〃&1)<0,解得0<〃<1.選擇的必要不充分條件

的范圍，應該大于包含的范圍，顯然只有C項滿足.故選C.

也

13.B因為dv[va,所以解》/和，力二等>0,即(1+隊)工>0,因為》>0,所以得XV3或工>0;解即

：VQ,

即(1-or)X<0,因為。>0,所以得x<0或x>:.

綜上/〈工或r>--

故選B.

14.BC因為不等式加+/u-+c>0的解集為｛4V%<1｝,所以汐1是方程加+6+”0的兩個根，由根與系數

b1,.

~+1,

的關系可得《JJ解得a=3c,0=-4c(av0),故A錯誤,B正確;a+力=-c>0,故C正確;不等式c?+〃x+a>0變

f1，

為cfYcvToOnF/x+BvO,解得｛x[l<r<3｝,故D錯誤.故選BC.

15.解(I)因為不等式加-3x+6>4的解集為｛川彳<1,或x>。｝,所以M=1與X2=b是方隹ar-3x+2=0的兩個實數

8

根■力>1且。>0.

:::爭得{同

由根與系數的關系，得

a

(2)由⑴知不等式cuc-[ac+b)x+bc<0可化為P(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x?c)<0.

當02時,不等式(42)(『c)<0的解集為32<x<c};

當c<2時,不等式a-2)(x-c)<0的解集為3c、<x<2);

當c=2時,不等式(.卜2)(x-c)v0的解集為。.

16.解A={x*-4x+3W0}={x|lWx