二次函數壓軸之線段周長問題-2026年中考數學二輪專練

2026年中考數學二輪專題精練-二次函數壓軸之線段周長問題

I.已知拋物線丁=。12+2仆+°(〃H0)與1軸交于4(-4,0),B兩點(點8在點4右側)，與)，

軸交于點C(0,-4),。為對稱軸與x軸的交點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖，在x軸的上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P,Q兩點，且WDQ

為等腰直角三角形.

(i)求的面枳；

(ii)點G(p,g)為該拋物線AC段上一動點，過點G作GN_Lx軸，GN與直線PO相交于點

N,直接寫出線段GN取得最大值時p的值.

2.如圖，拋物線與x軸交于4、B兩點,與)，軸交于。點，點A的坐標為(2,0),點B的坐

標為(—3,0),點C的坐標為(0,3).

(I)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找出一點Q,使AQ+C。的值最小，并求出點Q的坐標.

(3)點尸是拋物線上位于直線3C上方的點，連接P8、PC,。點的橫坐標為〃bS〉KP=S，

請寫出5與機的函數關系，并求S的最大值.

(4)在平面直角坐標系中，是否存在一點使得以從A、B、C四個點為頂點的四邊形是平

行四邊形，若存在，直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖，已知拋物線)，=/+公+。與x軸交于4、B兩點,與y軸交于點C,頂點、為點E,

已知點B的坐標為(I,。)，經過點B的直線與拋物線另一個交點力的坐標為(-2,-3)，連接AD.

⑵若點”在X軸上，則當M+B的值最小時，求點尸的坐標；

⑶若點^是)，軸上的一點，使得△ACP為等腰三角形，求點P的坐標.

4.已知,拋物線)，=-/+公+。經過點A(TO)和C(0,3).

備用圖

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使△A4C的周長最小？如果存在，請求出點。的坐標,

如果不存在，請說明理由；

(3)設點M在拋物線的對稱軸上，當/XMAC是直角三角形時，求點M的坐標.

5.如圖，在平面宜角坐標系xQy中，拋物線y=/+Zu+c與x軸交于?A(T,。)，B兩點(點、

A在點8左側)，與)，軸交于點。(0,-3),點P為x軸下方拋物線上一點.

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

試卷第2頁，共6頁

(2)如圖，當點夕的橫坐標為2時，，。為直線AP上一點，△08。的周長為7是否成立，若成

立，請求出。點坐標，若不成立，請說明理由；

PH

(3)若直線AP與1y軸交于點M,直線8M與拋物線交于點Q,連接PQ與y軸交于點",求7^7

的值.

6.如圖，已知拋物線)，=加+班+c(〃=0)與x軸交于點力。,0)和點B,與)，軸交于點C(0,4),

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點P是線段4c上的一個動點(不與點B,。重合)，過點P作y軸的平行線交

拋物線于點Q,連接OQ.當線段PQ長度最大時，判斷四邊形。CPQ的形狀并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是OC的中點，過點。的直線與拋物線交于點￡且

ZDQE=2ZODQ.在)，軸上是否存在點R使得為等腰三角形？若存在，求點尸的

坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖,二次函數的圖象交x軸于點2,0),8(8,0),交y軸于點＜7(0,4),連接AG8C,

點P是線段08上一動點.過點尸作直線燈)〃AC,交線段8C于點E,交y軸于點。，交

二次函數的圖象于點R且點尸在第一象限.

備用圖

(I)求二次函數的解析式;

(2)當點P為線段的三等分點時，求點P的坐標；

(3)在點P運動的過程中，是否存在八。=所的情況？若存在.求出點P的坐標；若不存在，

請說明理由.

8.如圖，己知二次函數圖象的頂點為C(LO),直線V=x+m與該二次函數的圖象交于A.B

兩點，其中點4的坐標為(3,4),點“在y軸上.

(1)求〃?的值及此二次函數的表達式：

(2)P為線段A8上的一個動點(點。與點4B不重合)，過點。作x軸的垂線與二次函數的圖

象交于點E,設線段的長為八點P的橫坐標為x,求〃與4之間的函數表達式(寫出自

變量的取值范圍).

9.如圖，拋物線y二/+區+c經過點A(-l,0),8(3,0),C(0,3)三點，。為直線8C上方拋物

(I)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,求線段OE長度的最大值：

⑶如圖2,設AB的中點為F,連接C/),b,是否存在點D,使得中有一個角與NCR?

相等？若存在，求點。的坐標；若存在，請說明理由.

10.如圖,拋物線y=-/+法+c經過點A(3,0)和點8(0,3).

試卷第4頁，共6頁

⑴求拋物線)，=-X2+bx+C的解析式為

(2)若直線/_Lx軸，在第一象限內與拋物線交于點M,與直線44交于點M設線段的

長度為〃，請結合函數圖象求出〃的取值范圍.

⑶若拋物線)，=--+法+。的圖象上存在點P,使△RW的面積等于VAOB的面積的一半，

則這樣的點尸共有一個.

11.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=*+2x+3與X軸交于4,3兩點(點A在點8的

左側)，與y軸交于點。，點。是該拋物線的頂點.

⑴求直線AC的解析式；

(2)求3,。兩點的坐標；

(3)請在拋物線的對稱軸上找一點M,使AACM的周長最小，求出M點的坐標；

(4)點。是x軸上一個動點，點夕作直線川4。交拋物線于點Q,試探究：隨著P點的運動,

在拋物線上是否存在定點Q,使得A,P,0,C為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在,

請直接寫出符合條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

12.如圖，拋物線y=d+瓜+6與x軸交于與-2,0),8(4.0)兩點,與y軸交于點物。是第一

象限內拋物線上的一個動點.

⑴求拋物線的解析式：

(2)當C￡>〃x軸時，求“1CQ的周長；

3

(3)當ABCD的面積等于AAOC面積的二時，求點。的橫坐標.

13.在平面直角坐標系中，已知拋物線加+2經過A(-6,0)、3(2,0)、C(0,2)三點,

拋物線的頂點為。，對稱軸OE交x軸于點E,接EC.

必

(I)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

⑵如圖1,將△COE繞點上旋轉得到點C1能否恰好落在直線上？若能，求出點

G恰好落在直線4。的坐赤，若不能，請說明理由；

⑶如圖2,點A是拋物線上的動點，連接尸C、PE,將AQCE沿CE所在直線對折，點P的

對應點為點片，點4能否落在直線A。上？若能，求出點々恰好落在直線A。上時的點。橫

坐標，若不能，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案

1.(l)y=-x2+x-4

(2)(i)11+2\/10；(ii)P=-2

【分析】(1)代入點坐標，待定系數法求解析式即可；

(2)(i)先通過對稱軸公式求出。的坐標，設出點P的坐標，利用等腰直角三角形的性質，

確定尸。的中點與點尸和點。的關系，并構建方程求出點尸的坐標，即可計算求出各線段

長，進而計算出面積；

(ii)待定系數法求出直線尸。的解析式,從而表示出點N的坐標，進而用含〃的式子表示GN,

得到GN關于〃的二次函數，利用二次函數求最值的方法求解即可.

【詳解】⑴解：代入4-4,0)和(0,-4),得，?

L=i

解得2,

c=-4

:.y=gx2+x-4；

(2)解：(i)由(I),得拋物線的對稱軸為直線1=-多=-1,

2a

???。(-LO),

如圖，設PQ的中點為E,則。￡=P￡=Q￡=g。。，DE±PQ,

,PE=—1—/?,DE=—nr+in-4,

2

?/PE=DE,

/.—1—m=—m2+4,

2

答案第1頁，共32頁

解得加=一2-質，或〃?=一2+加(不合題意，舍去),

，DE=PE=-\-m=\+^,PQ=2DE=2+2>/W,

p(-2-Vio,i+>/io),

ASAPD2=ioEP2=^(l-Vio)(2+2>/io)=ll+2Vio；

(ii)設,直線￡>P：y=kx+b,

卜2-婀攵+O=1+W

代入P(—2-而，1+加)，D(-1,O),得<

-k+b=O

k二—T

解得L?

b=-\

y=-x—\,

由題意，得Ngp-l),G[pip24-p-4|,

A=(-/?-1)--p2+p-41=5PJ2p+3,

V--<0,

2

b-2

p-------=------“時，GN取得最大值.

當2a2x

<-2

11,

2.⑴y=——X2——x+3

22

15、

⑵Q「5句

(3)s=q,+|)S最大值為蚤

⑷(5,3)或(T,-3)或(-5,3)

【分析】(1)根據點人B,C的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的解析式；

(2)利用二次函數的性質可得出拋物線對稱軸為直線x=-；,作點。關于拋物線對稱軸的

對稱點C,連接47,交拋物線對稱軸于點Q,此時AQ+CQ取最小值，求出直線AC'的

解析式，即可解答；

(3)由題得P(〃?,彳川_]?+3)-3<〃?<()),過點「作工軸的垂線，交BC于點G,求出

答案笫2頁，共32頁

直線8c的解析式，則G(m,m+3),求出PG,根據，叩，=3。3陣|,再利用二次函數的性

質即可解答；

(4)設七(e,q),利用平行四邊形的性質，分以AC為對角線，以AB為對角線，以A石為對

角線三種情況討論即可.

【詳解】(1)解:設拋物線的解析式為)，=以2+法+4〃工0),

1

-

?=i9

-

4a+2b+c=0I

A

-=一

則，9a—3力+c=0,解得＜2-

c=3C-3

???拋物線的解析式為y=-T/一：x+3；

(2)解：???拋物線的解析式為)，=-：/一：x+3,

???拋物線的對稱軸為直線五=六、=-J,

2x/

I2)

作點C關于拋物線對稱軸的對稱點C，連接AC,交拋物線對稱軸于點Q,

則QC=QU,C(-l,3),

此時AQ+C。取最小值，

設直線AC的解析式為y=sx+f(swO),

,(2s+t=0,,(5=-1

則＜o,解得個,

-s+r=3(r=2

???直線AC'的解析式為)，=-X+2,

將x=-g代入y=-x+2,則y=g,

答案第3頁，共32頁

(3)解：???P點的橫坐標為

設直線BC的解析式為尸質+3(〃/0),

則一3%+3=0,解得々=1,

???直線3C的解析式為y=x+3,

則G(”〃+3)

PG=--nr--m+3-(rn+3)=--ni2-—m

22'’22

??一

1”II1(123)Q3293(3Y21R3

g2il2122)44412)164

327

???當〃1=-彳時，S有最大值，最大值為二；

216

(4)解：設E(eq),

當以AC為對角線，四邊形AEC8是平行四邊形時，如圖:

???￡(5,3)；

當以A8為對角線，四邊形4C8E是平行四邊形時，如圖:

答案笫4頁，共32頁

???E(--3)；

當以AE為對角線，四邊形ACE8是平行四邊形時，如圖:

，E(-5,3)；

綜上，存在點E坐標為(5,3)或(-1,-3)或(-5,3)時，以&A、B、C四個點為頂點的四邊形

是平行四邊形.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、待定系

數法求一次函數解析式、二次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的

性質，熟練運用分類討論的思想是解題的關鍵.

3.⑴拋物線解析式為y=/+2x-3；直線8。的解析式為廣工-1

(2)卜別

⑶他「3-3夜)或(0,-3+3夜)或(0,3)或(0,0)

【分析】本題主要考查了二次函數綜合，待定系數法求函數解析式，勾股定理等等，利用分

答案第5頁，共32頁

類討論的思想求解是解題的關鍵.

(1)利用待定系數法求解即可；

(2)可求出。(0,-3),頂點￡的坐標為(TT)；,作點C關于x軸的對稱點G,連接EGFG,

則G(0,3),b=G/，可證明當石、F、G三點共線時，EF+GF有最小值,即此時M+b

有最小值；求出直線EG的解析式，進而求出直線EG與x軸的交點坐標即可得到答案；

(3)求出點4坐標，進而求出AC的長，再分C4=CP=3&，AC=AP和AP=b三種情

況，討論求解即可.

.1+Z?+c=O

【詳解】⑴解：把點B和點。的坐標代入y=x2+/u—c中得'".

4-2Z?+c=-3

他=2

c=-3

???拋物線解析式為)，=/+2.r-3；

設直線的解析式為)，=履+〃，

.卜+方'=0

2八〃=-3'

[k=\

b=一】

，直線8。的解析式為

(2)解:在)，=丁+2]一3中，當x=0時，)=一3,

:.C(0,-3)；

拋物線解析式為)，=V-2x—3=(x+1『一4,

???頂點￡的坐標為(TT)；

如圖所示，作點。關于x軸的對稱點G,連接EG,FG,則G((),3),CF=GF,

EF+CF=EF+GF,

，當E、尸、G三點共線時，所+G/有最小值，即此時所+b有最小值；

設直線EG的解析式為)，=k、x+a,

答案笫6頁，共32頁

甘+向=-4

a=3

K=7

4二3

???直線EG的解析式為），=7.r+3,

3

在），=7x+3中，當），=7x+3=。時，,x=

7

(3)解：在y=N+2x-3中，當),=/+2工-3=0時，解得x=—3或x=l,

???A(-3,0),

VC(0,-3),

：.OA=OC=3,

?*-AC=>1OA2+OC2=y/2；

當C4=CP=3夜時，則點p的坐標為僅，-3-3&)或(0,-3+3@；

當AC=A。時，*：OA±CP,

：.0P=0C=3,

二點P的坐標為(0,3)；

當4P=b時，設點尸的坐標為(0,p),

.,.(-3-O)2+(O-p)2=(-3-/?)2,

解得〃=0,

，點P的坐標為(0,0)；

答案第7頁，共32頁

綜上所述，點P的坐標為(。，-3-3&)或僅,-3+3夜)或(0,3)或(0,0).

2

4.(\)y=-x+2x+3f(1,4)

⑵存在，點P坐標為(1,2)

(3)當△MAC是直角三角形時，點M的坐標為。/)或(1,2)或(弓)或

【分析】(1)由點A、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式，再將拋物線的

一般式轉化為頂點式進而求出拋物線的頂點；

(2)設拋物線與x軸的另一個交點為點8,連接8c交拋物線對稱軸于點P,此時4c的

最小值為AC+CP+AP=AC+CB,利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點8的坐標，

由點4、C的坐標利用待定系數法即可求出直線5C的解析式，利用拋物線頂點式可求出拋

物線的對稱軸，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；

(3)設點M的坐標為(1,加)，則收42=(1+1『+小=4+〃/，

MC-=(1-O)2+(//z-3)2=l+(7Z7-3)2,AC2=[O-(-l)]2+(3-O)2=lO,分ZACM=90°、

ZAMC=90°>NCAA/=90。三種情況，利用勾股定理可得出關于，〃的一元二次方程或一元

一次方程，解之可得出，〃的值，進而即可得出點M的坐標.

【詳解】(1)解：由題意知，將A(TO),C((),3)代入廣-丁+法+c中，

-l-b+c=0b=2

得c=3'解得：

c=3

???拋物線的解析式為y=-d+2x+3,

將拋物線的一般解析式轉化為頂點式為)，=-/+2.r+3=-(x-l)2+4,

當x=l時，y=4,

，拋物線的頂點坐標為(1.4).

(2)解：存在，

如圖，設拋物線與入軸的另一個交點為點8,連接8C交拋物線對稱軸于點P,此時△PAC的

最小值為AC+CP+AP=AC+C3,

答案第8頁,共32頁

解得：$=-1,~=3,

，點B的坐標為（3,0）,

,?,拋物線的解析式為），=*+2工+3=《-1）2+4,

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

設直線3c的解析式為>=履+〃（攵工0）,

將8（3,0）、。（0,3）代入》="+6中,

k=-\

得：b=3,解得：

b=3'

???直線BC的解析式為y=-x+3,

?.?當x=l時，y=-x+3=2,

J當△Q4C周長最小時，點P的坐標為（1,2）.

（3）解：如圖，設點M的坐標為（1,小），

由勾股定理得，力僅2=(1+11+〃/=4+〃/,

22

MC--(IO)I(山3)-1I(m3)2,

答案第9頁，共32頁

4C2=[0-(-l)]2+(3-0)2=l0,

此時分三種情況考慮:

①當ZACM=90。時，有AA/2=AC2+CM2,BP4+/n2=10+1+(/?-3)2,

解得：mg

.,.點M的坐標為

②當Z4MC=90。時，有AC2=AM2+CM?,gpio=4+m2+1+(/H-3)2,

解得：町=1,閉2=2,

???點M的坐標為(1,1)或(1,2),

③當NC4M=9O。時，有CM2=AA/2+AC2,即1+(〃?一3f=4+>+10,

2

解得：///=--,

???點M的坐標為,

綜上所述，當AllAC是直角三角形時，點M的坐標為(11)或(1,2)或，g)或

【點睛】本題考查了拋物線的解析式求解、求拋物線的頂點坐標、動點最值問題求解對稱軸

上點的坐標、勾股定理及直角三角形的性質應用.

5.(\]y=x2-2.X-3

(2)不成立，理由見解析

(3)3

【分析】(1)將A(TO),。((),-3)兩點代入解析式即可求解；

(2)過夕作PGJ_x軸,作。關于直線AP的對稱點。，連接AO',BO\80'與AP交于

連接0。，可推出此時，BD+OD最小.由翻折可得：VA8W47。，進而得在

中，BO=OD+BD=4AO、AB2=布，。。+5。最小值為后，

心刈)最小值為08+00+80=3+后，據此即可判斷；

(3)過P作刊7JLy軸交于凡過。作PNJLx軸交于M過。作。石人y軸交于￡過Q作

QK_Lx軸交于K,設P(”?,m2一26一3),QU，"-2”-3),可推出VA/WsVAMO得

答案第10頁，共32頁

=QM="?-3：再證V8KQsV80M得,OM=-3〃-3；進而得〃?=-3〃；

ANPNDKQK

最后證VQHEsVP”尸，即可求解；

【詳解】⑴解：:拋物線"爐+加+c過A(-1,O),C(0,-3)兩點，

\-b+c=0

\b=-2

解得，，，

c=-3

???拋物線的解析式為廣？-2x-3；

(2)解：不成立.理由如下：

過P作PG_Lx軸，

由題意得：當x=2時，y=22-2x2-3=-3,

???P（2,-3）,

???OG=2,PG=3,

???AG=OA+OG=3.

：.AG=PG,

???ZPGA=90°,

???^PAG=ZAPG=45n,

作。關于直線AP的對稱點O',連接AO]BO\BO'與AP交于D,連接OO,

此時8力+00最小.

由翻折可得：VAOD^VA（7D,

AAO=AOr=LOD=OD,NOV）=NOAP=45。，

BO=OD+BD=OD+BD,NBA。=ZBAD+ZCTAD=90°,

當）'=0時，x2-2x-3=0,

答案第II頁，共32頁

解得用=-1,占=3,

???4(3,0).

，08=3,

???AB=OA+OI3=4,

在RS84。中，B(y=OD+BD=ylA(y2+AB2=V17，

，00+8。最小值為J萬，

??koBD最小值為0B+OD+BD=3+J17,

V3+VT7>7,

???△03。的周長不可能為7；

(3)解：過P作Pb_Ly軸交于立過P作尸N_Lx軸交于N,過。作。￡_Ly軸交于日過

Q作QK_Lx軸交于K,

設P(〃?,nr-2m-3),Q(〃,n2-2n-3),

APF=\n^取=|加一2初—3|,QE=|〃|,Q/C=|n2-2/1-31,

???PN_Lx軸，ZPNA=ZMOA=9(r.

，OM//PN,

/.YAPNKAMO,

.AOOM

??俞一麗’

1_oM

**m+1(/??+l)(/?z-3)

OM=in—3，

同理可得：VBKQsVBOW,

答案第12頁，共32頁

.OBOM

??茄一謔’

.3_OM

**3-n+-3)，

AOM=-3/i-3,

m-3=-3n-3,

:?m=-3/?,

TP尸J_y軸,QE_Ly軸，

/QEH=/PFH=90。,

又??,4QHE=4PHF,

???MQHEsVPHF,

.&竺=也［=囹

,,加一至一時一百’

.?“二I-3〃|二3|〃|

,?麗-可-『一

【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，涉及了待定系數法、翻折、相似三角形的判定與

性質等知識點，綜合性較強，需要學生具備扎實的幾何和函數基礎.

6.(l)y=x2-5A+4

(2)四邊形OC'PQ是平行四邊形，理由見解析

⑶(0年)或(0，1)或(0,7)

【分析】(1)設拋物線)，1)。-4),根據待定系數法，即可求解；

(2)先求出直線的解析式為：>=一1+4,設尸(％-1+4),則。(.1,/一51+4),(04工44),

得到PQ=-(x-2產+4,從而求出線段PQ長度最大值，進而即可得到結論；

<3)過點。作軸，過點Q作QN〃y軸，過點E作EN〃人軸，交丁點N,推出

/MDQ=NDQN=NEQN,從而得M就Q二N而E，進而求出反5.4),設R0,y),分三種情況

討論，即可求解.

【詳解】(1)解：：拋物線y=ax2+bx+c(a/0)與x軸交于點4(1,0)和B,與丫軸交于點C,

對稱軸為直線x=|,

/.8(4,0),

答案第13頁，共32頁

設拋物線y=a(x—D*—4),把C(0,4)代入得：4=67(0-1)X(0-4),

解得：4=1,

，拋物線的解析式為：y=(x-l)(x-4)=x2-5x+4；

(2)解：???8(4,0)((0,4),

設直線8c的解析式為：y="+4,

則軟+4=(),

解得：k=—\,

???直線3C的解析式為：v=-x+4,

設P(x,-x+4),則Q(x,V-5x+4),(0<x<4),

PQ=-x+4-_5x+4)=-f+4x=-(x-2)2+4,

???當x=2時，線段P。長度最大=4,

???此時，PQ=CO,

又VPQ//CO,

???四邊形OCPQ是平行四邊形；

(3)解：過點Q作軸，過點Q作QN〃),軸，過點石作EN〃八軸，交丁點N,

答案第14頁，共32頁

由(2)得：。(2,-2),

?.?。是OC的中點，

/.￡>(0,2),

?「QN〃y軸，

NOOQ=NQQN,

又丁NDQE=2NODQ,

NDQE=2/DQN,

ZMDQ=乙DQN=/EQN,

：.tanZMDQ=tanZ.EQN.

MQNE

即麗=而，

設E(x,爐一5x+4),

則NE=X-ZNQ=X2-5X+4-(-2),

VM0=2,MD=2-(-2)=4,

?__2________x_-_2_____

**4-X2-5X+4-(-2)F

整理得：./一71+]0=0,

解得：內=5,勺=2（舍去）,

???￡(5,4),

答案第15頁，共32頁

設尸(0,y),

則BF2=(4-0)2+(0-y)2=16+/,

EF2=(5-0)2+(4-y)2=25+(4-)，『，

BE2=(5-4)2+(4-0)2=17,

①當班'=石廠時，16+y2=25+(4-y)2，

25(

解得：)，二一，則點尸的坐標為0,丁;

Ok07

②當斯=8E時，16+)3=17,

解得：y=i或y=T,

則點尸的坐標為(0,1)或(0,7);

③當￡F=3E時，25+(4->')2=17,無解，

綜上所述：點尸的坐標為：(。，1)或(0」)或(0，-1).

【點睛】本題主要考查二次函數與平面幾何的綜合，涉及解直角三角形，等腰三角形的性質，

勾股定理，二次函數與特殊三角形，平行四邊形的判定等知識點，掌握二次函數的性質以及

圖像I：點的坐標特征，添加輔助線是解題的關鍵.

答案第16頁，共32頁

7.（l）＞,=--.r2+-x+4

42

（84一，16八）

（2）百,0或—,0

（3）不存在，理由見解析

【分析】（1）利用待定系數法求解即可；

（2）利用正切函數求得tanNACO=tan/C8。，即4co=NCBO,推出NAC4=90。.得

（）pIPFnr8-"?

到tan"DP=J=2，設OP=m,則OD=2m,由sinZCBO=?=",得至IjPE=-j=-,

OD2PBBCV5

分兩種情況討論，PE=2PD或PD=2PE,列式計算即可求解；

（3）假設存在.則Eb=AC=2逐，過點r作F〃_LA8于點兒交BC于點G,利用面積

公式得到R7=5,設”（，!，0）,得到FG=-：〃2+2/?=5,利用根的判別式即可判斷.

【詳解】（1）解：???二次函數的圖象交x軸于點A（-2,0）,8（8,0）,

???設二次函數的表達式為>=〃(》+2乂1-8).

將點C(0,4)代入y=a(x+2)(x—8),得。.(O+2)(O—8)=4,解得〃=

113

二次函數的表達式為y=--(A+2)(X-8)=--x2+—x+4；

442

(2)解：???A(—2,0),8(8,0),C(0,4),

???04=2,OC=4,OB=8.

**-AC=y)22+42=275?Z?C=>/42+82=475.

*.*tanZ.ACO=,tanZ.CBO==—

CO2BO2

JtanZACO=tanNC30.

/./ACO=/CBO.

???ZACS=ZACO+zLBCO=zLCBO十乙BCO=9CT.

?/PD//AC,

/.ZPEB=ZACB=90°,ZACO=NODP.

OP1

tanZ.ODP=tan/.ACO------=—.

OD2

設OP=〃i,則OD=2/〃.

PD=也m>PB=8-〃?.

答案第17頁，共32頁

???

.sinZ/.fCcBO--P--E-=---O--C

PBBC

8-m4V5

,3等,

丁點P為線段DE的三等分點,

,PE-2PD或PD-2PE,即=或右加=2x^^

???T或吁竺

117

???點尸的坐標為倍8,o］或停，。］；

1111zI/7

（3）解：不存在.

理由：假設在線段08上存在點P,使得4C=EE,則E”=AC=2后,

連接/G〃S,如圖所不，

則S^BCF=1^CFE=^X4X/5X2X/5=20.

過點F作FH上AB于點H,交8C于點G,

=；FG(OH+BH)=；FGOB=4FG=2().

：.FG=5.

???3(8,0),C(0,4),

Sk+b=0k=~-

設直線8c的表達式為"則『，解得2,

?二直線4c的表達式為y=-：工+4.

設”(〃,0),則G(〃,—g〃+4),“，h3+4.

I42J

答案第18頁，共32頁

s/1，3J[1八12cu

I42)I2)4

整理,得〃2一8〃+20=0.

VA=(-8)2-4xix20=-l6<0,

???該方程無實數解.

???假設不成立.

???在線段OB上不存在點P,使得AC=斯.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，一次函數的圖象與性質，銳角三角函數，三角

形的面積公式，一元二次方程根的判別式.解決問題的關鍵是轉化條件，列出方程.

8.(1)//Z=I,y=(x-l)2

(2)h=-X2+3x(0<x<3)

【分析】本題考查/用待定系數法求函數解析式，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是：

(1)因為直線y=x+，〃過點A,將4點坐標直接代入解析式即可求得〃7的值；設出二次函

數的頂點式，將A(3,4)代入求解即可；

(2)由于P和E的橫坐標相同，將P點橫坐標代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標表

達式，/?即為二者之差；根據尸、E在二者之間，即可求出x的取值范圍.

【詳解】(1)解:把A(3,4)代入y=x+〃?，得4=3+〃z,

解得〃?=1,

y=x+l,

???二次函數圖象的頂點為C(l,0),

，設二次函數的表達式為尸

把A(3.4)代入得4=〃(3-1):

解得。=1,

Ay=(x-l)2；

(2)解：???點P的橫坐標為x,尸石_Lx軸，

???點E的橫坐標為x,

???點E在拋物線上，點P在線段A3上(點產與點AB不重合)，

答案第19頁，共32頁

工點E的縱坐標為)，=(x-1『=/-2x+l,點P的縱坐標為x+1,0<x<3,

,/?=x+1-(f-2x+1)=-。+3x,

即h=-x2+3x(0<xv3).

9.(\)y=-x2+2x+3

⑵辿

8

(3)存在，。點坐標為停?或目)

【分析】(1)根據待定系數法，可得函數解析式；

(2)根據平行于)，軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得ZW,根據

相似三角形的判定與性質，可得OE的長，根據二次函數的性質，可得答案；

(3)根據正切函數，可得NCF。，根據相似三角形的性質，可得GH,BH,根據待定系數法，

可得CG的解析式，根據解方程組，可得答案.

【詳解】(1)解：???拋物線過點A(T0),8(3,0),C(0,3),

???設拋物線的解析式為y=〃(x+l)(x-3),

把(0,3)代入得3=a(O+l)(O-3),解得。=-1,

y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3；

(2)設直線BC的解析式為y=h+4,

???直線/3C過點8(3,0),C(0,3),

3k+"=0

則J

仇=3

解得

4=3

???直線BC的解析式為)，=[1+3,

設/)(〃,-〃2+2〃+3卜0<〃<3),

過點。作。M_Lx軸交8c于M點，如圖1,

答案第20頁，共32頁

佟11

則M(〃,T7+3),

/.DM=+In+3)-+3)=-n2+3〃,

???DM_Lx軸，

.??DM||CO、

NDME=/OCB,

VDEIBC,

：,/DEM=/BOC=舒,

.△DEMs/\BOC,

,DE二OB

???8(3,0),C((),3)

,?*OB=3?OC=3,BC=\/32+32=3\/2,

.DE_3y/2

DM=372=T?

“二62夜23夜6（3丫9x/2

2222\2）8

V2

--------<0n，

2

二.當時，OE取最大值，最大值是逑；

（3）存在.

假設存在這樣的點。，△（?￡）￡中有一個角與NCR?相等,

???點/為A4的中點，A（—l,0）,“（3,0）,

AF(l,0),

答案第21頁，共32頁

oc

,-.OF=I,tanZCFO=—=3,

OF

過點3作BG_LBC,交CD的延長線于G點，過點G作G〃_L.r軸，垂足為“，如圖2,

圖2

①若NDCE=NCFO,

tanZDC￡：=—=3,

BC

:.BG=90，

'：ZCOB=NCBG=NBHG=90°，

???4CB0=/BGH=舒-4HBG,

:?AGBHSABCO,

,GHHB二GB

~Bd~~6c~~BC，

:.GH=9,BH=9,

/.0/7=12,

/.G（12,9）,

設直線CG的解析式為y=/x+Z/,

b'=3

-12/+//=9'

r=l

解得~2

//=3

「?直線CG的解析式為y=gx+3,

1c

H-y=-x+3

聯“'2,

^=-x2+2.r+3

3

解得x=或x=0（舍），

答案第22頁，共32頁

"點坐標為(［J3小15、；

②若NCDE=NCFO,

同理可得G”=1,8”=1,

???G(4,l),

同理可得，直線CG的解析式為)，=-gx+3,

聯立卜T+3,

y=-x1+2x+3

解得x="|或x=0(舍)，

???。點坐標為(［］5，］7｝、

綜上所述,存在點。，使得QE中有一個角與4F0相等，點D的坐標為傳印或傳J'.

【點睛】本題考查了一次函數和二次函數綜合題，相似三角形的性質和判定，解直角三角形

等知識，解(1)的關鍵是待定系數法，解(2)的關鍵是利用相似三角形的性質得出力￡的長，

又利用了二次函數的性質；解(3)的關鍵是利用相似三角形的性質得出G點的坐標，利用了

待定系數法求函數解析式，解方程組求得橫坐標.

10.(\］y=-x2+2x+3

9

(2)0<n<-

(3)4

【分析】本題考查了一次函數和二次函數的綜合應用，熟練掌握函數圖象的相關性質是解題

的關鍵.

(1)把A、3的坐標代入函數解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；

(2)求出直線A8的解析式，設點“橫坐標為機，根據函數解析式得出點M的坐標為

伽-1+2〃汁3),點N的坐標為(〃?,fz+3),求出〃的值，再化為頂點式，即可得出答案；

(3)根據△Q48的面積等于V4OB的面枳的一半，求得之力^二彳，在分情況討論即可求出

點。的情況.

【詳解】⑴解：???拋物線尸+飯+。經過點4(3,0)和點3(0,3),

答案第23頁，共32頁

-9+3/?+c=0

c=3

[b=2

解得

c=3

???拋物線的解析式為y=-爐+2x+3；

(2)設宜線A8的解析式為)，=依+3,

把A(3,0)代入,得女+3=0,

解得A=—1,

二.直線AB的解析式為)，=f+3,

如圖，設點M橫坐標為次，

則點例的坐標為("?，-〃7'+2〃7+3),點%的坐標為("7,-〃2十3),

又?.?點M、N在第一象限，

線段MN的長度n=-m2+2m+3-(-in+3)=-nr+3/?i=,

當〃?=；3時，〃有最大值，最大值為9:，

9

n的取值范圍是。<〃<7：

4

⑶?.?04=3,08=3,

??.SNO8=gx3x3=g,

???△八43的面積等于VAOB的面積的一半，

9

*'?S^PAB=T?

設點。的坐標為(4-〃+2〃+3),當點P在第一象限時，

答案第24頁，共32頁

+5-.一5"。8=3'3〃+3、3.(-42+24+3)-2=(

2

3±g

解得。

~2~

???尸0￥,-多3)或尸

f3-V3G+3,

22

???在第一象限內有兩個符合條件的點P;

當點P在第二象限時，過點P作PQ〃x軸，則。(/-〃,-/+24+3),

=g(q2_2a_a)3=；,

解得"手

,3+屈屈、’3-而呵

:.P或。

2222

??.在第二象限內有一個符合條件的點P,在第四象限內有一個符合條件的點P；

綜上所述，這樣的點。共有4個.

11.⑴y=3x+3

答案第25頁，共32頁

⑵8(3,0),Q(l,4)

⑶(1,2)

(4)(2,3)或(1+",-3)或(1-療,-3)

【分析】本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線與x軸的交點問題，待定系數法求二

次函數解析式，軸對稱確定最短路線問題，平行四邊形的對邊平行且相等的性質;

（1）令y=。，解方程求出A、力的坐標，再令x=0求出點C的坐標，然后利用待定系數

法求一次函數解析式求解即可;

（2）把函數解析式整理成頂點式形式求出頂點。的坐標，即可求解;

（3）根據軸對稱確定最短路線問題，連接8C,與對稱軸的交點即為所求的點然后求

出直線BC的解析式，再求解即可;

（4）分點〃在點。的左功和右功兩種情況，根據平行四功形的對動平行H相等，從點工、C

的坐標關系，用點。的坐標表示出點。的坐標，然后把點。的坐標代入拋物線解析式求解即

可.

【詳解】（1）解：令），=0,則一/+2X+3=0,

整理得，/一2X—3=0,

解得X=T,々=3,

所以，點A（—1,O）,8（3,0）,

令x=0,則y=3,

所以，點。的坐標為（0,3）,

設直線AC的解析式為y=心+從

-k+b=0

則

〃=3

k=3

解得

b=3

所以，直線AC的解析式為y=3x+3；

(2)vy=-x2+2x+3=-(x-l)24-4,

「?頂點。的坐標為（1,4）,

答案第26頁，共32頁

由（1）可得B（3,0）

B（3,0）,D（l,4）

（3）?.?A、8關于對稱軸直線x=l對稱軸,

???直線4c與對稱軸的交點即使的周長最小的點,

設直線BC的解析式為V=，柳十幾

,3/〃+〃=0

所以，直線的解析式為y=-x+3,

當x=l時，y=-l+3=2,

所以，點M的坐標為（1,2）；

（4）?.?直線

...4Q||AC且4Q=AC,

VA（-1,O）,C（0,3）,

設點P的坐標為（工,0）,

則①若點Q在-v軸上方，則點。的坐標為（x+1,3）,

此時，-（x+l『+2（x+l）+3=3,

解得$=T（舍去），々=1，

所以，點Q的坐標為（2,3）,

②若點。在X軸下方，則點Q的坐標為3）,

此時，_（1『+2（1）_3;_3,

整理得，X2-4X-3=0，

解得內=2+近，0=2-幣,

綜上所述，點Q的坐標為：（2,3）或（1+收-3）或（1-五-3）

答案第27頁，共32頁

3、3

12.(1)y=——x2+-x+6

42

Q)2(M+E+1)

（3）1或3

【分析】本題考查了二次函數解析式的求解、二次函數的對稱性、一次函數解析式的求解、

勾股定理的應用以及三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練