2026年陜西省北師大版高中二年級數學下冊第5章課后練習

2026年陜西省北師大版高中二年級數學下冊第5章課后練習一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知函數f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，則a的取值范圍是（）A．(-1，0)∪(1，+∞)B．(-1，0)C．(0，1)D．(1，+∞)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，則g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。當x∈(-1，0)時，g'(x)＞0，g(x)單調遞增；當x∈(0，+∞)時，g'(x)＜0，g(x)單調遞減。又g(0)=0，故g(x)在(-1，+∞)上只有1個零點，即a=0。因此a的取值范圍是(0，1)。2.若函數f(x)=x3-3x2+2在區間[-1，3]上的最大值與最小值分別為M和m，則M+m的值為（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故M=2，m=-4，M+m=-2。3.已知數列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則a?的值為（）A．31B．63C．127D．255解析：由a???=2a?+1得a???+1=2(a?+1)，即{a?+1}是首項為2，公比為2的等比數列。故a?+1=2×2??1=2?，a?=2?-1。a?=2?-1=31。4.不等式|2x-1|＜3的解集為（）A．(-1，2)B．(-2，4)C．(-1，4)D．(-2，2)解析：由|2x-1|＜3得-3＜2x-1＜3，即-2＜2x＜4，解得-1＜x＜2。5.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心C到直線3x-4y+5=0的距離為（）A．1B．2C．3D．4解析：圓心C(1，-2)，直線3x-4y+5=0，故距離d=|3×1-4×(-2)+5|/√(32+(-4)2)=|3+8+5|/5=16/5=3.2≈3。6.已知函數f(x)=sin(2x+π/3)，則f(π/6)的值為（）A．1/2B．√3/2C．-1/2D．-√3/2解析：f(π/6)=sin(2×π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2。7.已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點到準線的距離為3，則p的值為（）A．3B．6C．9D．12解析：拋物線焦點為(?p，0)，準線為x=-?p，故焦點到準線的距離為?p-(-?p)=p=3。8.已知函數f(x)=e?-1，若f(x)在x=x?處的切線斜率為1，則x?的值為（）A．0B．1C．ln2D．ln3解析：f'(x)=e?，f'(x?)=e??=1，故x?=0。9.已知函數f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區間[-1，2]上的最小值為（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(2)=3，故最小值為2。10.已知數列{a?}的前n項和為S?=3n2-2n，則a?的值為（）A．24B．30C．36D．42解析：a?=S?-S???=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5，a?=6×5-5=25。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數f(x)=x3-3x+1，則f(x)在區間[-2，2]上的最大值為________。參考答案：8解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值為8。2.不等式x2-5x+6＞0的解集為________。參考答案：(2，3)解析：x2-5x+6=(x-2)(x-3)，故解集為{x|x＜2或x＞3}。3.已知數列{a?}滿足a?=2，a???=?a?+1，則a?的值為________。參考答案：3解析：a?=?×2+1=2，a?=?×2+1=3。4.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=9，則圓C的圓心坐標為________。參考答案：(-1，2)解析：圓心坐標為(-1，2)。5.已知函數f(x)=sin(πx)，則f(1/2)的值為________。參考答案：1解析：f(1/2)=sin(π×1/2)=sin(π/2)=1。6.已知拋物線y2=8x，則拋物線的焦點坐標為________。參考答案：(2，0)解析：焦點坐標為(?p，0)，p=8，故焦點為(4，0)。7.已知函數f(x)=ln(x+1)，則f(x)的定義域為________。參考答案：(-1，+∞)解析：x+1＞0，故x＞-1。8.已知數列{a?}的前n項和為S?=2n2+n，則a?的值為________。參考答案：41解析：a?=S?-S???=4n-1，a?=4×5-1=19。9.已知函數f(x)=e?，若f(x)在x=x?處的切線斜率為2，則x?的值為________。參考答案：ln2解析：f'(x)=e?，e??=2，故x?=ln2。10.已知函數f(x)=x2-4x+4，則f(x)在區間[1，4]上的最小值為________。參考答案：0解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。f(1)=-3，f(2)=0，f(4)=4，故最小值為0。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若函數f(x)在區間[a，b]上單調遞增，則f(x)在區間[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)。參考答案：正確解析：單調遞增函數的最大值為右端點值，最小值為左端點值。2.不等式|3x-2|＞5的解集為(-∞，-1)∪(3，+∞)。參考答案：正確解析：3x-2＞5或3x-2＜-5，解得x＞3或x＜-1。3.已知數列{a?}滿足a?=1，a???=2a?，則{a?}是等比數列。參考答案：正確解析：公比為2，是等比數列。4.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓C的半徑為2。參考答案：正確解析：半徑為√4=2。5.已知函數f(x)=cos(πx)，則f(1/2)的值為0。參考答案：正確解析：f(1/2)=cos(π×1/2)=cos(π/2)=0。6.已知拋物線y2=4x，則拋物線的焦點坐標為(1，0)。參考答案：正確解析：焦點坐標為(?p，0)，p=4，故焦點為(2，0)。7.已知函數f(x)=ln(x-1)，則f(x)的定義域為(1，+∞)。參考答案：正確解析：x-1＞0，故x＞1。8.已知數列{a?}的前n項和為S?=n2+n，則a?=2n。參考答案：錯誤解析：a?=S?-S???=2n。9.已知函數f(x)=e?，若f(x)在x=x?處的切線斜率為1，則x?的值為0。參考答案：正確解析：e??=1，故x?=0。10.已知函數f(x)=x2-6x+9，則f(x)在區間[1，4]上的最大值為0。參考答案：錯誤解析：f'(x)=2x-6，令f'(x)=0得x=3。f(1)=-2，f(3)=0，f(4)=-1，故最大值為-2。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求函數f(x)=x3-3x2+2的單調區間。參考答案：減區間(-∞，1)，增區間(1，+∞)解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。當x∈(-∞，0)時，f'(x)＞0；當x∈(0，2)時，f'(x)＜0；當x∈(2，+∞)時，f'(x)＞0。2.求不等式x2-4x+3＜0的解集。參考答案：(1，3)解析：x2-4x+3=(x-1)(x-3)，故解集為{x|1＜x＜3}。3.求數列{a?}的通項公式，其中a?=1，a???=3a?+2。參考答案：a?=3?-1解析：a???+1=3(a?+1)，{a?+1}是首項為2，公比為3的等比數列，a?+1=2×3??1=3??1，a?=3??1-1。4.求圓C的方程為(x-2)2+(y+1)2=9的圓心坐標和半徑。參考答案：圓心(2，-1)，半徑3解析：圓心為(2，-1)，半徑為√9=3。5.求函數f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期。參考答案：π解析：周期T=2π/|ω|=2π/2=π。6.求拋物線y2=12x的焦點坐標和準線方程。參考答案：焦點(3，0)，準線x=-3解析：焦點為(?p，0)，p=12，故焦點為(6，0)，準線為x=-6。7.求函數f(x)=ln(x+2)的定義域。參考答案：(-2，+∞)解析：x+2＞0，故x＞-2。8.求數列{a?}的前n項和S?，其中a?=2n-1。參考答案：S?=n2解析：S?=1+3+5+…+(2n-1)=n2。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數f(x)=x2-2x+3，求f(x)在區間[-1，3]上的最大值和最小值。參考答案：最大值7，最小值2解析：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(3)=6，故最大值為7，最小值為2。2.已知數列{a?}的前n項和為S?=4n2-3n，求a?的值。參考答案：37解析：a?=S?-S?=76-39=37。3.已知圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=16，求圓C的圓心到直線3x-4y+5=0的距離。參考答案：3解析：圓心(-1，2)，距離d=|3×(-1)-4×2+5|/√(32+(-4)2)=|-3-8+5|/5=6/5=3。4.已知函數f(x)=sin(πx)，求f(1/3)的值。參考答案：√3/2解析：f(1/3)=sin(π×1/3)=sin(π/3)=√3/2。5.已知拋物線y2=8x，求拋物線的焦點坐標。參考答案：(2，0)解析：焦點為(?p，0)，p=8，故焦點為(4，0)。6.已知函數f(x)=ln(x+1)，求f(x)的定義域。參考答案：(-1，+∞)解析：x+1＞0，故x＞-1。7.已知數列{a?}的前n項和為S?=2n2+n，求a?的值。參考答案：19解析：a?=S?-S?=45-32=19。8.已知函數f(x)=x2-4x+4，求f(x)在區間[1，4]上的最小值。參考答案：0解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。f(1)=-3，f(2)=0，f(4)=4，故最小值為0。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.C2.C3.A4.A5.C6.B7.A8.A9.B10.B解析：1.由f(a)=0得ln(a+1)=a，令g(x)=ln(x+1)-x，g'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，g(0)=0，故a=0。2.由f'(x)=3x2-6x得x=0或x=2，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值8，最小值-1。3.由a???=2a?+1得a???+1=2(a?+1)，{a?+1}是首項為3，公比為2的等比數列，a?+1=3×2??1，a?=31。4.|2x-1|＜3得-3＜2x-1＜3，即-2＜2x＜4，解得-1＜x＜2。5.圓心(1，-2)，直線3x-4y+5=0，距離d=|3×1-4×(-2)+5|/√(32+(-4)2)=16/5=3.2≈3。6.f(π/6)=sin(2×π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2。7.拋物線焦點為(?p，0)，p=6，故焦點為(3，0)。8.f'(x)=e?，f'(x?)=e??=1，故x?=0。9.f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。f(-1)=6，f(1)=2，f(2)=3，故最小值為2。10.a?=S?-S???=4n-1，a?=19。二、填空題1.82.(2，3)3.34.(-1，2)5.16.(2，0)7.(-1，+∞)8.199.ln210.0解析：1.由f'(x)=3x2-3得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=8，故最大值為8。2.x2-5x+6=(x-2)(x-3)，故解集為{x|x＜2或x＞3}。3.a?=?×2+1=2，a?=?×2+1=3。4.圓心坐標為(-1，2)。5.f(1/2)=sin(π×1/2)=sin(π/2)=1。6.焦點坐標為(?p，0)，p=8，故焦點為(4，0)。7.x+1＞0，故x＞-1。8.a?=S?-S???=4n-1，a?=19。9.f'(x)=e?，f'(x?)=e??=1，故x?=0。10.f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=3。f(1)=-3，f(3)=0，f(4)=-1，故最小值為-3。三、判斷題1.正確2.正確3.正確4.正確5.正確6.正確7.正確8.錯誤9.正確10.錯誤解析：1.單調遞增函數的最大值為右端點值，最小值為左端點值。2.3x-2＞5或3x-2＜-5，解得x＞3或x＜-1。3.公比為2，是等比數列。4.半徑為√4=2。5.f(1/2)=cos(π×1/2)=cos(π/2)=0。6.焦點坐標為(?p，0)，p=4，故焦點為(2，0)。7.x-1＞0，故x＞1。8.a?=S?-S???=2n，a?=10。9.f'(x)=e?，f'(x?)=e??=1，故x?=0。10.f'(x)=2x-6，令f'(x)=0得x=3。f(1)=-3，f(3)=0，f(4)=-1，故最大值為-3。四、簡答題1.減區間(-∞，1)，增區間(1，+∞)解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。當x∈(-∞，0)時，f'(x)＞0；當x∈(0，2)時，f'(x)＜0；當x∈(2，+∞)時，f'(x)＞0。2.{1，3}解析：x2-4x+3=(x-1)