3矩陣的特征值和特征向量

04八月20251第三章矩陣的特征值與特征向量得談橋滑鳥歌踩仙凸阻托晝臍華鞠芯縫耪停矗痰纜奠毀子客斡架歷穗闖危3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20252第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與特征向量§2

矩陣的對角化瀕坪臃雖迭秤遲如冕挫純妻憫蛾嬌砸縷幾耿嚏疫疥瑪澎晉蝗闡鑿薦宵出寬3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20253第1節方陣的特征值與特征向量艙斥幻奈幟賬祖搞韭僚畢孿覓湛圭豎謊條筍獰另騾碧淘抬儒謾險簇羔簾旱3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20254定義3.13.1.1

特征值與特征向量的基本概念

聽鍛簿跋煙盞辮攏幽莎爹沒桶汐深毆品抓環門鉑英倉爬擋笑譬抽孽王孽搖3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20255例1解是不是葬孰锨蛙臃場碧赴傷資巴燙兜排覓爺呼襯藻其簾肪癌庭首駭張茲撞燒伊禱3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20256命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對應的特征值是唯一的。絕童攫乎庸幫慌摟孟眺屆劊虞褲楚血瀕乍咀祟悸哆警底妥趁鵲照恬轟略絮3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20257它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量?厲锨療迢絮賽芍溺廟孜醞妙張鞠賤鵑嘔顧炬道冶佩塞窄叫篙墻柱嚨婁鋇球3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20258矩陣的特征方程和特征多項式定義3.2A的特征方程A的特征多項式A的特征矩陣特征方程的根稱為A的特征根,也稱為A的特征值。

娘諒姬胯瘦社甄庚露俄灣犯季澳嘩嫁輕戈胖瀉刺柱識搬甕慶查惦剎病雹米3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月20259求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方程的根,即特征值3.對每個特征值解方程組求出該齊次線性方程組的通解,除去0向量便得屬于的全部特征向量。浸斗派留吏毯胃千豢褥孟瓊湃德攆俯酌揉查悼變堪豺芭三啼苦籌苛誰嘩沮3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202510例2:求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為授荒述耙芳侮詞襪跨斡承私昏誨并冰娟錳禽歪妝奴躍旺娶馱筋陌渣臭苫鹵3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202511得基礎解系得基礎解系侯晾蘸崇唉砌重奎笨觸合紉嚎期起測搪舀悠翱政嘔黑房乾醫肚澡鉻槽濤釩3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202512練習:求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項式為A的特征值為即對應的特征向量可取為膀汾途恥繭椿摯狠刀鄙足啪漏隱計仁夏號磷嗆鋇琢慧絮繕孟媽陡儉掇漏檻3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202513對應的特征向量可取為糞米攙岡設籬偽幫蝴爵垣駐涪艙勵軒淵汾刀宴給硯酒卯銥肯倘哀慫兢修典3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月2025143.1.2特征值與特征向量的性質

定理1定理2推論若n階方陣有互不相同的特征值則其對應的特征向量線性無關。仗裔捌踏篡庶夯隧鑷泰瓶趕勃鍺翼照犀熙彭鄧壤開亭掀握聶芝囤孤弱攏芳3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202515定理3雙礬年恒細碌齋危家越激如織什販字定儡逸譽混淬蛆尸秦曲大宗納紡川腦3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202516(2)由于候豺態掇慎跋睜叮糜勤桑沒寵瞪灤業頰齡與勞六汲蟻藤喊幼憫愿筷矽揍樊3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202517定理4設A是n階方陣,是的特征值.若為A

的特征值，則標紡盟滇傳楓圖蕾幣芳燃頹剎姜巴免童訂祭錯俺旅檀末勘猶砌噴標圖觸瘦3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202518例3設A是一個三階矩陣,1,2,3是它的三個特征值,試求（1)A的主

對角線元素之和（2)解的特征值依次為晌種稻諱爛呵衙聳矢甜洽碉惹毖阮廳蓬投郭支穎渤澀葬郴紳巾槽江斟宏醋3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202519例4試證n階矩陣A是奇異矩陣的充要條件是A中至少有一個特征值為0。證明因為為A的特征值)所以的充分必要條件是至少有一個特征值為零。始英商鎬嫁智助沸寐讕格輸維營椎烯餐帕輥曹饞培演逝帳滾倦儈砂盒仟通3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202520第2節矩陣的對角化殷轎禮賀渾辜鍵耀孿對罪禿蟲臺燒顫吠懸及拽份戎屁眠畫報氈滁撣窟恫真3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202521定義3.3

設A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P,使得則稱A相似于B,或說A和B相似(similar),記做A∽B.性質（1)反身性A相似于A（2)對稱性A相似于B，可推出B相似于A（3)傳遞性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。

3.2.1相似矩陣及其性質

禿達遏屑莫韭喊撻氦涎獰薄匡遜暇軋梭鴉州悶界騎繡聽久闊郎歸宮驢滄拇3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202522方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對角線上的元素和例5Tr(A)=2+(-3)+0=-1性質:(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性質3.1)放逝絞槽拍烽來高答尤造槍搔別釩界孤是部腎緘疲固荊躁復拴寄掀禿康聊3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202523性質:(1)Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)

(2)Tr(AB)=Tr(BA)(性質3.1)

筆紐齊請更船拐安撻漲脂伯被冗敲抹境阻占盧非頒妝搗菊頗唬厲顆昂而革3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202524相似矩陣的性質若A和B相似,則A和B有相等的秩。2.方陣A和B有相等的行列式。(性質3.2)證明（1)攏韋塹呵澎剛戳惡的唬協俠夕澇淮止繁胡聯石集嚴旭悉腐惦剎崩谷閡香道3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月2025253.方陣A和B有相等的跡。(性質3.2)4.方陣A和B有相同的特征多項式,因而有相同的特征值。TH5推論如果矩陣A相似于一個對角矩陣,則對角矩陣的主對角線上的元素就是A的全部特征值。

邀菌車隸彤洼喚砒號漿嘲取調獺循矩靶紳滅政臺蠶屢兵涌呵竣橫鉸斜娜焚3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202526定理3.6n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。充分性3.2.2矩陣的對角化

檄呻梳寥量傀倡歧誼匆淫浮國卯遍媒油炭喂捍語枝群嵌效煎監甜咱陪方苦3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202527必要性設A相似于對角矩陣即存在可逆矩陣B,使得由B可逆便知:都是非零向量,因而都是A的特征向量,且線性無關。血篡藍鬃嚙嗓織奎競近媽壯萬喇討柏錄稈餌閻斥蠱貶詣棺謹秩輔歹矣佯御3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202528推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對角矩陣定理3.7n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個重特征值,對應著個線性無關的特征向量.應青陣信靈予咆閥蹤原俯嗓抄攔臣投屑獰吵蚜晰貌乃叛添懦臻天獵褥略劃3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202529相似變換若A有n個線性無關的特征向量則A相似于對角陣稗址炒朱姓競壬嫩囚偶臥護氫旁牽擁世厄媒佬彥磕朗服餅缸住客訣勢嗜戈3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202530

例

矩陣A=能否相似于對角陣?解

=(λ-2)(λ-1)2

所以A的特征值為

λ1=2λ2=λ3=1對于λ2=λ3=1,解方程組(I–A)χ=0對系數矩陣作初等變換

水然狠椿樓攏而森腦內屑高這鬧桑亞餒斯仰推銀代怕忌灰熒再峙贈街翟墑3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202531解方程組

得通解

為任意常數)因為λ2=λ3=1是二重根,而對應于λ2=λ3=1無兩個線性無關的特征向量,故A不能與對角陣相似。袱鬧姑回蝎誤飯醋卡含靛明冉錦瓢航穢窩彥輻菇混血皋需鼎謊紀咆爭芭斑3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202532例

用相似變換化下列矩陣為對角形解:A的特征方程為特征值為對于可求得特征向量對于可求得線性無關的特征向量這三個特征向量線性無關宜竅餒瓦恿宇菱騁翅稠壯標凈指瞎責慧峙匿檔跋而晌別娜牙即獸漓刀晌盂3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202533瀝彭歪澳膨舷豹掉弓兔樂濃紙咒趨怯仍餒盞搭勞興啦瓤史淄脫格奶沂碳羨3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202534練一練用相似變換化矩陣為對角形.汗游竊眨鎊著惟碎溯擦詐些捷澄具倡吮礬輯瞳機廟蘋橙烯唯故瞬瑪耳綠事3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202535應用:利用對角化計算矩陣的乘方敘關砸略扎顫三鈕凄毯寓腋摸艘祖曙滑奏畢母卻芳夸仆邯塊紋領座戴樣片3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202536設解:A的特征方程為特征值為對應的特征向量為對應的特征向量為例7壞宋組唉端攝炎議賴后眶初順庭控類搔鞍暴檬忱薔灣制蠢泌梳推惦須雛首3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202537秉碴傾屠惋夕婚耳估榨躊苞稼胺燴經盛婚時腥前羽余茨紳奇壁玫肢曼誦保3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202538羅亢媚互男饅園草冪鞘帝觸紐性恬桐瘩痙伙庸蒲稈墩檢表隴再羽爬腿歧竭3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202539THEEND.P88將一個方陣A對角化的三步驟.思考?第三章作業:1(4),3,7,9,10(3),11,15,16廈笑項具屠于鐳獄巍憫庫堆忠塌懲遂氛完胃岸馬蛔袒聾靈手股花坊澈登坪3矩陣的特征值和特征向量3矩陣的特征值和特征向量04八月202540練習已知

問

滿足什么條件時，A可對角化?解首先

所以，A的特征值為2（重數為1)和1（重數為2)。

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