立方根-【暑假預(yù)習(xí)】新八年級數(shù)學(xué)（北師大版）

第二講立方根

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

了解立方根的概念，會用根號表示??個數(shù)的立方根:會用開立方運算求一個數(shù)的立方根，與立方互為逆運算,

了解立方根的性質(zhì):區(qū)分立方根與平方根的不同：

【基礎(chǔ)知識】

1.如果r=4,則X叫做。的立方根；記作機

2.每個數(shù)4都只有一個立方根。

3.正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)。

4.1的立方根是小即行=%

5.立方根等于本身的數(shù)是0,±1。

【考點剖析】

考點一：立方根的辨析

例1.（1）下列說法中，錯誤的有（）

①任何數(shù)都有算術(shù)平方根；②正數(shù)的平方根一定是正數(shù)；③后的算術(shù)平方根是。；④立方根不可能是正數(shù);

⑤任何實數(shù)都有立方根

A.①②③④B.②③@?C.①②④⑤D.①③④⑤

【答案】A

【詳解】

解：①負數(shù)沒有算術(shù)平方根，故錯誤；

②正數(shù)的平方根為一正一負兩個數(shù)，故錯誤；

③力的算術(shù)平方根是卜卜故錯誤；

④立方根可能是正數(shù)，故錯誤；

⑤任何實數(shù)都有立方根，故正確；

故選A.

（2）按要求填寫下列各數(shù)：

①倒數(shù)是它本身的數(shù)是.

②相反數(shù)是它本身的數(shù)是.

③絕對值是它本身的數(shù)是.

④平方是它本身的數(shù)是.

⑤平方根是它本身的數(shù)是.

⑥算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是_________.

⑦立方是它本身的數(shù)是_________.

⑧立方根是它本身的數(shù)是_________.

【答案】±1;();非負數(shù)；0，I;0；0,1：1,(),/：/，0,1

【詳解】

解：①倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1,

②相反數(shù)是它本身的數(shù)是0,

③絕對值是它本身的數(shù)是非負數(shù)，

④平方是它本身的數(shù)是0,1,

⑤平方根是它本身的數(shù)是0,

⑥算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0,I,

⑦立方是它本身的數(shù)是I，0,-1,

⑧立方根是它本身的數(shù)是0,1,

故答案為：±1，0,非負數(shù)，0,1；0；0,1；1,0,-1：-1,0,1.

考點二：求一個數(shù)的立方根

例2.(1)計算：A-亞布=.

7

【答案】-

2

【詳解】

解：J------27=—I-3=-?

V422

7

故答案為：

2

(2)計算亞可一卜3|=.

【答案】-5

【詳解】解：亞石一|一3|=-2—3=-5,

故答案為：一5.

考點三：利用立方根解方程

例3.解卜列方程：

(1)2x3=-16；

(2)25(x2-1)=24.

【答案】(I)3二一2；(2)x=±-

5

【詳解】

解：(1)0/2A-3=-16,

父=-8，

x=-2?

(2)V25(x2-1)=24,

..X2-1?=-2-4-9

25

._49

..X2=—，

25

?一7

5

考點四：立方根的應(yīng)用

例4.小燕在測量鉛球的半徑時，先將鉛球完全浸沒在一個帶刻度的圓柱形小水桶中，拿出鉛球時，小燕發(fā)

現(xiàn)小水桶中的水面下降了1cm,小燕量得小水桶的直徑為12cm,于是她就算出了鉛球的半徑.你知道她是

4

如何計算的嗎？請求出鉛球的半徑.(球的體積公式丫=二萬，，「為球的半徑.)

3

【答案】3cm.

【詳解】

解：設(shè)球的半徑為r,

???小水桶的直徑為12cm,水面下降了1cm,

...小水桶的半徑為6cm,

，下降的水的體積是"62x1=3水(cnP),

即—冗尸=36兀,

3

解得：,=27，-=3,

答：鉛球的半徑是3cm.

例5.如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一個長方形紙板的面積為

162平方厘米.（提示：182=324）

（1）求正方形紙板的邊長：

（2）若將該正方形紙板進行裁剪，然后拼成一個體積為343立方厘米的正方體，求剩余的正方形紙板的面

【答案】（1）正方形紙板的邊長為18厘米；（2）剩余的正方形紙板的面積為30平方厘米

【詳解】

解：（1）依題意得：7162x2=18（cm）,

答：正方形紙板的邊長為18厘米；

（2）依題意得：^/343=7（cm）,

則剪切紙板的面枳=7x7x6=294（cm2）,

剩余紙板的面積=324-294=30（cm2）

答：剩余的正方形紙板的面積為30平方厘米.

考點五：平方根、立方根的綜合應(yīng)用

例6.已知4x-3的算術(shù)平方根是1,2x+y-6的立方根是2.

（1）求工、V的值；

（2）求3”的平方根.

【答案】（1）x=l,），=12；（2）±6

【詳解】解：（1）??,4X-3的算術(shù)平方根是1,

則4x-3=[2,

解得尸1，

???2r+y?6的立方根是2

:.2x+y-6=23=8,

:.2+y-6=8,

解得尸12,

/.^=1,3=12

(2)當(dāng)x=l,產(chǎn)12時，3xy=3x1x12=36,

V36的平方根是±6,

3xy的平方根土6.

【真題演練】

1.下列各式運算中，正確的是()

A.>/16=±4B.|—5|=-5C.—2?=4D.-^27=-3

【答案】D

【詳解】

解：A、-\/16=4，故選項錯誤；

B.|-5|-5,故選項錯誤；

C、-22=-4,故選項錯誤；

D、一炳二一3,故選項正確：

故選D.

2.下列計算正確的是()

A.也=±3B.^9=-3C.（回=9D.J（一9『二-9

【答案】C

【詳解】

解：A、=3，故錯誤；

B、9H-3，故錯誤；

C、(V9)2=9,故正確：

D、J(-9)2=9,故錯誤；

故選C.

3.下列說法錯誤的是()

A.0的平方根是0B.(-2)2的平方根是±2

C.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是1D.立方根等于它本身的數(shù)是0,±1

【答案】C

【詳解】

解：A、0的平方根是0,故正確，本選項不符合題意；

B、（-2門的平方根是±2,故正確，本選項不符合題意；

C、算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)是。和1,故錯誤，本選項符合題意；

D、立方根等于它本身的數(shù)是0,±1，故正確，本選項不符合題意；

故選C.

4.兆的相反數(shù)（）

A.2B.-2C.±2D.—

—2

【答案】B

【詳解】

解：???我:2,2的相反數(shù)是?2,

???我的相反數(shù)是-2,

故選：B.

5.若/=16,揚=一2,則。+力的值是（）

A.-4B._12或TC.12D.12或4

【答案】B

【詳解】

解：??々=16麗=-2,

/.d=±4,b=-8.

???當(dāng)。=4,/k-8時，a+b=-4；

當(dāng)4=4b=-8時，a+b=-\2.

故選：B.

6.已知4m+15的算術(shù)平方根是3,2-6〃的立方根是-2,則（）

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】C

【詳解】

解：由題意可得：4/n+15=9,2-6/:=-8,解得：zw=-|,〃=《

/.、/6〃-4"i=Jx：-4x-gj=yi6=4

故選:C

27

7.2021的倒數(shù)為產(chǎn)方根為一

【答案】二773

20214

【詳解】

解：V2021X----=1,

2021

A2O21的倒數(shù)為」一，

2021

3、327

V——)=——，

464

273

???——的立方根為-二.

644

13

故答案為：而T-7

8.已知3既是工一4的算術(shù)平方根，又是工+2y-10的立方根，求/），2的平方根是

【答案】±5

【詳解】

解：因為3既是（『4）的算術(shù)平方根，又是（x+2y-10）的立方根,

所以x-4=32=9,x+2y-10=3\

所以x=13,y=12,

=132-122

=25.

???卜貨的平方根為±5；

故答案為：±5.

9.計算：J(-0.5)~+y/s—

【詳解】

解：原式=0.5+2-』二2.

44

10.求出下列等式中x的值：

（1）7/=63；

/

⑵—+5=1.

2

【答案】（1）x=±3；（2）x=-2.

【詳解】

解：（1）7/=63；

f=9，

x=±3；

（2）—+5=1,

2

x3

——=-4，

2

丁=-8，

x=-2.

II.某正數(shù)的兩個不同的平方根分別是〃-12和3〃?-4,求這個數(shù)的立方根.

【答案】這個數(shù)的立方根為4.

【詳解】

解：???某正數(shù)的兩個不同的平方根分別是〃2-12和3〃?一4

...（/〃-12）+（3///-4）=0

m=4

:.3〃［一4=8

，這個數(shù)為64，

，這個數(shù)的立方根為病=4.

12.寫出下列式子所表示的意義，并計算出結(jié)果.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】

解：（1）—J2表示總的負的平方根,

3

結(jié)果是一三；

8

表示2—的立方根,

27

4

結(jié)果是；.

3

13.回答下列問題：

（1）若一個數(shù)的平方根是3〃?一1和4一2〃，求/〃的值，并求出該數(shù)；

（2）已知2工一6的一個平方根是2,2工+丁+5的立方根是3,求f+尸的平方根.

【答案】（1）100：（2）±13

（2）根據(jù)21-6的一個平方根是2,可以得到x的值，根據(jù)23+），+5的立方根是3,可以得到y(tǒng)的值，從

而可以求得f+）3的平方根.

【詳解】

解：（1）依題意得：

3m-l+4-2m=0,

解得：〃?=-3,

???這個數(shù)為［3乂（一3）-17=100；

（2）??，2x-6的一個平方根是2,

.*.A=5,

???2x+y+5的立方根是3,

:.2x+y+5=27,

???尸12,

AX2+/=524-122=169,

則?+))的平方根為±13.

14.(I)已知返=2,癡麗=20?V0.008=0.2?則癡00000=

(2)已知%不=5,2500()=50,溝25=0.5，則/).000125=

(3)從以上的結(jié)果可以看出：被開方數(shù)的小數(shù)點向左或右移動3位，立方根的小數(shù)點則向移動

位.

(4)如果加=〃，則WlOOOx

【答案】(1)200(2)0.05(3)

(2)當(dāng)被開三次方數(shù)的小數(shù)點向左或右移動3位，立方根的小數(shù)點則向左或右移動1位，▼()」)()()125可以

理解為被開方數(shù)小數(shù)點向左移動3位后又向左移動3位，則立方根的小數(shù)點向左移動1位后又向左移動I

位，直接寫出得數(shù)即可.

(3)通過前兩個小題的觀察、驗證，總結(jié)規(guī)律，被開方數(shù)的小數(shù)點向左或右移動3位，立方根的小數(shù)點則

向左或右移動1位.

(4)把發(fā)現(xiàn)、總結(jié)的規(guī)律進行應(yīng)用，直接寫出得數(shù)即可.

【詳解】

解：(1)根據(jù)題意，觀察式子發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被開三次方數(shù)的小數(shù)點向左或右移動3位，立方根的小數(shù)點則向左

或右移動1位.

^8000()0()可以看作為被開方數(shù)8的小數(shù)點向右移動3位后乂向右移動3位，

則立方根2的小數(shù)點向右移動1位后又向右移動1位，

???^80000()0=2(X).

(2)根據(jù)題意，觀察式子發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被開三次方數(shù)的小數(shù)點向左或右移動3位，立方根的小數(shù)點則向左或右

移動1位，

10.000125可以理解為被開方數(shù)125的小數(shù)點向左移動3位后又向左移動3位，

則立方根5的小數(shù)點向左移動1位后又向左移動1位,

?,?[().()()()125=0.()5.

(3)通過前兩個小題的觀察、驗證，

總結(jié)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點向左或右移動3位，立方根的小數(shù)點則向左或右移動I位.

(4)根據(jù)以上小題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，

Vioool可看作被開方數(shù)X向右移動3位，

W=a，x的立方根。向右移動1位，

???執(zhí)0()(比=10〃;

???J—=^/O.OOlx,

V1000

。().0()1]可看作被開方數(shù)%向左移動3位,

ifx=a^x的立方根。向左移動1位，

【過關(guān)檢測】

1.1石的算術(shù)平方根等于()

A.9B.±9C.3D.±3

【答案】C

【詳解】

解：因為93=729?

所以痂5=9,

因此1而的算術(shù)平方根就是9的算術(shù)平方根，

又因為9的算術(shù)平方根為3,即百=3，

所以北國的算術(shù)平方根是3,

答案：C.

2.下列說法正確的個數(shù)是()

(1)平方根等于本身的數(shù)是0，1(2)正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

(3)(-I)?”=1(n為正整數(shù))(4)無理數(shù)加上無理數(shù)一定是無理數(shù)

(5)立方根等于本身的數(shù)是1,-1，0(6)J話的平方根是±4

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】

解：(1)平方根等于本身的數(shù)是0,故說法錯誤；

(2)整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故說法錯誤；

(3)(-l)2n=l(〃為正整數(shù))，故說法正確；

(4)無理數(shù)加上無理數(shù)不一定是無理數(shù)，如不+(一")=0,故說法錯誤；

(5)立力根等于本身的數(shù)是1,-1.0,故說法正確：

(6)Ji%的平方根是±2,故說法錯誤；

故選:B.

3.下列四種說法中：(I)負數(shù)沒有立方根：(2)I的立方根與平方根都是1；(3)取的平方根是±J5；

(4)3/8+1=24-1=2-.其中錯誤的個數(shù)為()

V822

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

解：(I)任何數(shù)都有立方根，故選項錯誤：

(2)1的平方根是±1,1的立方根是1,故選項錯誤；

(3)般的平方根是±&,止確；

所以(1)(2)(4)錯誤.

故選：C.

4.若(Z—1)2=289,則2=；(31_1)3+64=()則1=

【答案】18或-16-1

【詳解】

解：???(z-1)2=289,

z-1=±17?

/.z=18或-16,

??,(3x—廳+64=0,

A(3X-1)3=-64,

A3X-1=-4.

x=—\,

故答案為：18或-16,-1.

5.-舛的平方根是,、歷的算術(shù)平方根是

【答案】±V2G

【詳解】

解：-—2，

2的平方根是土及，

M=3,

3的算術(shù)平方根是G，

故答案為：士近，、萬.

6.如果V2.020=1.264,620.20=2.723,那么W.0202=.

【答案】0.2723

【詳解】

解：V^/2.020=1.264,^20.20=2.723,

???執(zhí)).0202=^20.204-1000=#20.20+朗000=2.723+10=0.2723，

故答案為:0.2723.

7.有一個體積為200cm3的正方體，在它的八個角上分別截去1個大小相同的小正方體，余下部分的體積

是75cm3,則截去的每個小正方體的棱長是.cm.

【答案】2.5

【詳解】

解：截去的8個小正方體的總體積為200-75=125(cm3),則每個小正方體的體積為125+8=15.625(cm3).

設(shè)截去的每個小正方體的棱長為X。"，則2=15.625,

解得x=2.5,

故答案為：2.5.

8.若正實數(shù)x的兩個平方根分別為2。+1和3。一4,實數(shù))'的立方根為一。，則工+了的值為—.

【答案】翟

【詳解】

解：:正實數(shù)x的兩個平方根分別為2。+1和3〃一4,

/.2。+1+3。-4=0,

/.5a=3,

3

/.+1=-y,

fllf121

:.x=\——=——,

⑺25

???實數(shù))'的立方根為一

"(5)125

121(27、578

x+y=——+-----=------.

251\25)125

故答案為：沿.

125

9.(1)已知Jci-\+\lb-5=0,則(a?b)?的平方根是

(2)若W=64,則正=；

(3)如果右的平方根是±3,則〃=

【答案】(1)±4；(2)±2；(3)81

【詳解】

解：（1）???二T+二^=0，

Aa-1=0,8?5=0,

?b=5,

工。-b=\-5=-4,

???（口-〃）2的平方根是_L4；

（2）Vx2=64,

/.A=±8,

***l[x=±2：

（3）???赤'的平方根是±3,

???八一9，

/?d=81.

故答案為：（1）±4；（2）±2；（3）81.

10.己知%?=4，且（?-2c+if+Jc-3=0,求14+//