基本不等式及其應用（講義）-2027年高考數學一輪復習（全國I卷地區）解析卷

第4講基本不等式及其應用?講義（解析卷）

一、考情分析....................................1

二、知識清單......................................................................2

1.基本不等式..............................................................2

2.幾個重要的不等式........................................................2

3.均值定理................................................................3

4.常見求最值模型...........................................................3

三、方法總結....................................4

考點一：基本不等式的理解與證明.............................................4

考點二：基本不等式求最值...................................................4

考點三：基本不等式的綜合應用...............................................5

四、典題精講............6

考點一：基本不等式的理解與證明.............................................6

考點二：基本不等式求最值...................................................8

考點三：基本不等式的綜合應用..............................................10

一、考情分析

1.考查頻次與題型

年份題號與題型分值考查內容

第18題解答約4間接考查（在解析幾何題中利用基本不等式求正切值最小

2026

題分值）

第19題解答約4間接考查（在導數綜合題中利用多元基本不等式放縮求最

2025

題分值）

第18題解答約3間接考查（在導數題中利用基本不等式求導函數的最小

2024

題分值）

近三年全國一卷中，基本不等式均未以獨立試題直接考查，而是作為核心代數變形與

放縮工具，自然融入到解析幾何、導數等解答題的壓軸環節中.

2.命題角度與特色

核心考點：基本不等式的結構識別、條件驗證（一正、二定、三相等）及最值求解.

命題趨勢：近三年未直接考杳，而是以間接形式高頻融入其他主干知識模塊.基本不

等式己完全工具化，常作為解決復雜綜合題（如求面積、斜率、角度的最值，或導函數的

最值）的關鍵步驟.

試題特點：隱蔽性極強例如2026年第18題，在求出正切值表達式后，需識別出“對

勾函數”結構并自然使用基本不等式；2024年第18題，在求導后需利用基本不等式對二

次分式結構進行放縮求出最小值.在2025年第19題的另解中，甚至出現了利用五元基本不

等式進行高階放縮的極端考法.

3.備考策略

?強調作為基礎工具的重要性，建議在復習解析幾何、導數等模塊時同步強化基本不

等式的應用意識.

?熟練掌握湊配法、換元法、“1”的代換等代數變形技巧，確保在綜合題中能快速構

造出使用基本不等式的條件.

?嚴格養成檢驗”等號成立條件”的習慣，避免在解答題關鍵步驟中因取不到等號而

失分.

二、知識清單

1.基本不等式

如果Q>0,b>0,那么儷W手，當且僅當Q=b時，等號成立.其中，手叫作

的算術平均數，相叫作的幾何平均數.即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均

數.

?基本不等式1：若a,bWR,則小+匕222出7,當且僅當a=b時取等號；

?基本不等式2：若則與（或a+,當且僅當a=b時取

等號.

【易錯提醒】基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數，

“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.連續使用不等式

要注意取等條件必須一致，否則無法同時取到最值.

2.幾個重要的不等式

.a2>0(aeR),y[a>0(a>0),|a|>0(aeR).

?基本不等式：如果則.（當且僅當“Q=b”時取"=”）.

?特例：a>Oa+->2；^+->2（a,b同號）.

faba

?其他變形：

①小十^之空比（溝通兩和Q+b與兩平方和/+^2的不等關系式）

②ab4巨手（溝通兩積必與兩平方和a?+肝的不等關系式）

2

③帥三（等）（溝通兩積助與兩和Q+b的不等關系式）

Ja2+b2

④重要不等式串：T^T<（Q,b€R+）即調和平均值工兒何平均

值工算數平均值4平方平均值（注意等號成立的條件）.

3.均值定理

已知x,yeR+.

?如果％+y=S（定值），則專;工（等）2=?（當且僅當“x=y”時取"=”）.即

“和為定值，積有最大值”.

?如果xy=P（定值），則％+y>2yfxy=2y[P（當且僅當“x=y”時取“="）.即

“積為定值，和有最小值”.

4.常見求最值模型

?模型一：mx4-->2y/mn（7n>0,n>0）,當且僅當工=戶時等號成立.

xyjm

?模型二：mx+-^―=m（x—a）4--^―4-ma>2>Jmn4-ma（m>0,n>0）,當且僅

x-a、x-a

當X—Q=舊時等號成立.

y/m

?模型三：2=-^-c<-7^-r（a>0,c>0）,當且僅當％=?時等號成立.

ax2+bx+cax+b+-2y/ac+by]a

.模型四：—（m>0,n>0,0<x<^）,

當且僅當％=；時等號成立.

三、方法總結

考點一：基本不等式的理解與證明

考法1:根據基本不等式判斷大小與成立條件

?處理含不等式的充要條件判斷時，舉反例是說明不充分或不必要的快捷手段；證明

成立則需利用不等式的性質或基本不等式進行嚴密推導.

?應用基本不等式求最值或判斷大小關系時，必須嚴格檢驗“一正、二定、三相等”

三個條件是否同時滿足，切忌盲目套用公式.

考法2：利用幾何意義理解基本不等式

?基本不等式的幾何證明常依賴于圓、直角三角形等基本圖形.

?通過將代數式賦予幾何意義（如線段長、面積等），利用幾何圖形的固有性質（如

斜邊大于直角邊、半徑大于半弦等）可直觀得出不等關系結論.

考法3：利用基本不等式證明不等式

?證明不等式時，若條件為乘積形式，常將其代入目標式中轉化為和的形式再進行放

縮.

?多次連用基本不等式并相乘或相加時，必須確保各不等式取等號的條件能嵯同時滿

足.

?若涉及一次式與平方和的關系，柯西不等式是極其有力的工具，需注意構造對應系

數.

考點二：基本不等式求最值

考法4：利用直接法求和與積的最值

■處理“和積混合”的等式條件時，牢記兩個核心轉化：一是將％+y替換為2月求

積的范圍；二是將砂替換為它要求和的范圍.轉化后解一元二次不等式即可.

?靈活運用基本不等式的各種變形形式（如〃+濟之史））是快速判斷和求解的關

鍵.

考法5：利用湊配法求最值

?對于形如佇普上的分式求最值，通用做法是令分母為3將分子用t表示，分離常數

dx+e

后轉化為小+g+c的形式，最后利用基本不等式求解.

?通過觀察分母特征，提取常數構造出和為定值的兩項，再利用基本不等式是解決此

類題目的標準流程.

考法6：利用“1”的代換求最值

?“乘1法”是解決條件最值問題的經典技巧.當遇到Q%+by=c求%+?的最值，或

xy

己知?+：=C求取+by的最值時，均可構造“1”代入展開并應用基本不等式.

?遇到“和等于積”的條件，優先考慮兩邊同除以積，轉化為倒數和為定值的形式，

再利用“乘1法”求解.

考法7：利用換元法與消元法求最值

?消元法是求最值的基本方法之一，將雙變量問題轉化為單變量問題后，再利用基本

不等式求解.

?處理齊次多項式的比值問題，常通過分子分母同除以最高次項轉化為單變量問題.若

轉化后仍較復雜，可尋找整體結構進行二次換元，并結合函數的單調性（如對勾函數）求

解最值.

考點三：基本不等式的綜合應用

考法8：基本不等式與指對數運算結合求最值

?基本不等式與指數結合時，利用指數運算法則將和轉化為指數上的乘積，如談+

砂＞2所又進行轉化.

?與對數結合時，利用對數運算法則將和轉化為積，再利用基本不等式求真數的最值.

?與三角函數結合時，常利用平方和為1（如sin2%+cos2X=l）的隱藏條件進行“1”

的代換與湊配.

考法9：基本不等式與方程、不等式恒成立結合

?處理恒成立問題時，常先通過分離參數或判別式法得到參數滿足的約束條件，再在

此約束下利用基本不等式求最值.

?若涉及不同次幕的乘積，可考慮拆項并使用多元基本不等式（如三元基本不等式）

進行放縮構造.

考法10：利用基本不等式解決實際問題

?在解決實際優化問題時，建立正確的函數模型是第一步，常涉及平均成本、總利潤、

總造價等模型的構建.

?應用基本不等式求最值時，務必檢驗等號成立的條件是否符合實際意義（即是否在

自變量的取值范圍內）.若不在范圍內，則需結合函數的單調性在邊界處取得最值.

四、典題精講

考點一：基本不等式的理解與證明

考法1:根據基本不等式判斷大小與成立條件

例1.（2026?隨州?三模）已知Q>0,b>0,則“Q+b>2”是2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【思路】判斷充分必要條件時，可先嘗試舉反例排除充分性，再通過代數變形結合基本不等式證

明必要性.

【解析】利用基本不等式2癡WQ+b,舉反例，應用必要不充分條件定義的判斷.???a>0,b>

0,Q+b>2,令Q='6=2,得工+：=三>2,則工+：<2不成立，；?“a+b>2”是‘乙+

2ab2aba

1V2”的不充分條件：Ta>0,b>0,-4-i<2,即半V2,得a+bV2ab,又<2而三

babab

Q+b,A-^7<1,???Q+bV2abAa+b>2,I.“Q+b>2”是“工+：V2”的

（a+b）22ab

必要條件；綜上，“a+b>2"是'匕+：<2”的必要不充分條件.

【規律】處理含不等式的充要條件判斷時，舉反例是說明不充分或不必要的快捷手段：證明成立

則需利用不等式的性質或基本不等式進行嚴密推導.

考法2：利用幾何意義理解基本不等式

例2.數學命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現有如圖所示圖形，在等

腰直角三角形△ABC中，點0為斜邊48的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設

AD=a,BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）

A?—N屬(a>0,匕>0)B.-^<Va^(a>0,b>0)

C?等W0,b>0)D.a2+b2>2ab^a>0,d>0)

【答案】C

【思路】觀察圖形中的幾何關系，識別出線段OC為斜邊AB的一半，計算出OD的長度，進而在直

角三角形中利用直角邊不大于斜邊的性質得出不等關系.

【解析】由圖知：0c=手，。。=|08-8D|=|等一切=|等在RS0CD中，

22

CD=yjOC+0D=--0C<CD,即芋WJ^^(a>0fb>0).

【規律】基本不等式的幾何證明常依賴于圓、直角三角形筆基本圖形，通過將代數式賦予幾何意

義(如線段長、面積等)，利用幾何圖形的固有性質(如斜邊大于直角邊、半徑大于半弦等)直

觀得出結論.

考法3：利用基本不等式證明不等式

例3.(2024?河南?階段練習)已知x,y,z為正數，證明:

/1、-比niHil1I1I1,x2+y2+z2

(1)右x,yz=x2y,則z一+-+2-4——-——：

(2)若2x+y+2z=9,則％24-y2+z2>9.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析

【思路】第一問需將目標不等式左邊的倒數項通過已知條件xyz=2轉化為乘積形式，再利用基本

不等式放縮；第二問觀察到已知條件是?次式，目標是二次式的和，自然聯想到利用柯西不等式

進行配湊.

【解析】⑴門"=2——="<手，同理可得;〈年，狂電

將以上三式相加可得：

2,2,2^y2+z2,x2+z2,x2+y2,2.2

1+/音丁+丁+丁=2+y+z2,

兩邊同除以2,故工+工+工二宇z2,

xyz2

當且僅當％=y=z時等號成立.

(2)由柯西不等式可得：

(224-I2+22)(x2+y2+z2)>(2x+y+2z)2,

?19(/+y2+z2)>(2%4-y+2Z)2,

???2x+y+2z=9,

???9(x2+/+22)>92=81,

???/+y2+z2>9,

當且僅當;=y=I，結合2x+y+2z=9即％=2,y=l,z=2時等號成立.

【規律】證明不等式時，若條件為乘積形式，常將其代入目標式中轉化為和的形式再放縮；若涉

及?次式與平方和的關系，柯西不等式是極其有力的工具，需注意構造對應系數.

考點二：基本不等式求最值

考法4：利用直接法求和與積的最值

例4.(多選)己知%>0,y>0,且久+y-%y+3=0,則下列說法正確的是()

A.3<xy<12B.x4-y>6

C.x2+y2>18D.0<-+-<-

/xy3

【答案】BC

【思路】面對含有x+y和孫的關系式，核心策略是將雙變量轉化為單變量.利用x+y22后可得

到關于問的一元二次不等式，從而求出xy的范圍；同理，利用xyW(等了可求出工+y的范圍，

進而解決其他代數式的最值問題.

【解析】對于A：由xy-3=%+yN2，方，得xy-3N2JK，當且僅當％=y時等號成立，

-2yfxy-3>0,解得BPxy>9,故A不正確；

對于B：由x+y+3=xy工(等)，得x+y+3W(等)，當且僅當％=y時等號成立，

§](%+y)2-4(x+y)-12>0,解得x+yZ6,或x+yW-2(舍去)，故B正確；

對于C：%24-y2=(x+y)2-2xy=(%4-y)2-2(x+y+3)=(十+y)2-2(x+y)-6,

令t=%+yN6,則/+y2=t2-2t—6=(t—l)2—7>(6—l)2—7=18,即/+y2>18,

故C正確；

令t=xy>9,貝壯4--=1—y>1-]=即。+工Nj故D不正確.

Jxyt93xy3

【規律】處理“和積混合”的等式條件時，牢記兩個核心轉化：一是將x+y替換為2同求積的范

圍，二是將孫替換為用求和的范圍.轉化后解一元二次不等式即可.

考法5：利用湊配法求最值

例5.若%>1,則"+2-2的最小值為____________

x-l

【答案】2V5+4

【思路】觀察目標分式，分子次數高于分母次數，可考慮分離常數.通過配湊分子的形式，使其含

有分母的因式，從而化為“對勾函數”的形式，再應用基本不等式.

【解析】由4>1,則%—1>O.vx2+2x+2=(%—I)2+4G—1)+5,=(力-1)+

4-4>2/(x-l)-+4=2V5+4,當且僅當％-1=工，即％=通+1時等號成立，故

x-iy、'x-ix-i

立竿的最小值為2遙+4.

X-1

【規律】對于形如喀X的分式求最值，通用做法是令分母為￡,將分子用￡表示，分離常數后轉

化為zu+g+c的形式，最后利用基本不等式求解.

考法6：利用“1”的代換求最值

例6.(2026?十堰?一模)已知正數x,y滿足x+y=xy,則％+4y的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【思路】已知條件為“和等于積”，直接求最值較為困難.將其轉化為倒數和為1的形式后，將目

標式乘以這個“1”，展開后即可構造出互為倒數的兩項，從而使用基本不等式.

【解析】???正數x,y滿足x+y=xy,兩邊同除以xy則工+；=1,

xy

可得x+4y=(%+4y)(-+-)=1+4+—+-=5+—4--

zy\xyjxyxy

>5+2性，=5+4=9,

y

當且僅當冷泉即"2y=3時，等號成立,

??-x+4y的最小值為9.

【規律】“乘1法”是解決條件最值問題的經典技巧.當遇到ax+by=c求%的最值，或已知

“y

￡+]=c求ax+by的最值時，均可構造“1”代入展開并應用基本不等式.

考法7：利用換元法與消元法求最值

例7.已知x>0,y>0,求2：：2+2?2的最大值,

/x2+4y2x2+y2

【答案】平

【思路】面對齊次分式結構，首選策略是分子分母同除以某一項進行降維換元.第一次換元將雙變

量轉化為單變量3通分后再次出現齊次結構，進行第二次換元令〃=t+3最終轉化為關于〃的

對勾函數求最值.

【解析】??次>0,y>0,將原式分子分母同除以孫得：

2xyxy_21

x2+4y2x2+y2：+今

設t=j(t>0),???原式化為：

212tt2t（尸+1）+t（t2+4）

2222

t+it+l-t+4t+l-（t+4）（t+1）

￡t

3t3+6t_3?3+2t）

-t4+5t2+4-t4+5t2+4，

分子分母同除以產得：

3儲）

M+5+專，

令〃=t+^（t>0）,由基本不等式得u>2Jt.\=2V5.

此時“+V=（￡+12-4=I?一%

.?.坊原、八式—=-2_——_=-2--=—r

W4+5U+1u+u

,:函數fQ）=u+:在［2或,+8）上單調遞增，

???當〃=2&時，/（〃）取得最小值2或+壺=芋，

此時原式取得最人值意=品=乎,

4

當且僅當t=p即1=V2,也就是x=或y時等號成立.

故最大值為平.

【規律】處理齊次多項式的比值問題，常通過除以最高次項轉化為單變量問題.若轉化后仍較復雜,

可尋找整體結構進行二次換元，并結合函數的單調性（如對勾函數）求解最值.

考點三：基本不等式的綜合應用

考法8：基本不等式與指對數運算結合求最值

例8.（2026?銅陵?一模）（多選）下列說法正確的是（）

A.若x<l,則函數y=x+±的最小值為3B.若x+2y=3,則2”+4y的最小值

為4魚

仁函數〉二三+3的最小值為3+2&D.若％>0,y>0,且％+2y=2,則

sinzxcos^x

Qy）max=J

【答案】BCD

【思路】綜合判斷各個選項，A選項需注意變量符號，提取負號后使用基本不等式；B選項利用

指數運算法則將和轉化為指數上的乘積；C選項借助三角恒等式sin2x+cos2x=l進行“1”的代

換；D選項直接應用基本不等式求積的最大值.

【解析】對于A,二％V1,-1V0,

...y=x4-^=x-l+^+l=-[-(%-l)+(-^)]+l<-2j-(x-l)x(-^+l=-l,

當且僅當1一%=-二二，即％=0時，取得最大值一1,故A錯誤；

X-1

對于B,2X+4y>2>J2X-4y=2V2^y=2岳=472,

當且僅當2"=4"即x=2y,結合％+2y=3得X=|,y=:時，2"+4丫取到最小值為4vL故B正

確；

對于C,y=(sin2x4-cos2x)=3+2c°fx+>3+

sinzxcoszx\smzxcoszx/sinzxcoszx

2/警x嘩=3+24

XJsinzxcoszx

當且僅當上爭==魚時取等號，故C正確；

smzxcoszx

對于D,當％>0,y>0,且x+2y=2時，2=x+2yN2Jx?2y=2或^^,??yfxy<y,即

xy<p

當且僅當％=2y=1時，xy取最大值(故D正確.

【規律】基本不等式常作為工具與其他模塊結合.與指數結合時，利用談+Q'Z2必行轉化；與

三角結合時，常利用平方和為1的隱藏條件進行湊配.無論何種結合，均需嚴格檢驗等號成立的條

件.

考法9：基本不等式與方程、不等式恒成立結合

例9.(2026?常德?一模)己知實數b>0,若對任意的xER,/一+2-b30恒成立，

則ab的最大值為()

A4傷口8n=10V6.、476

A.—B.—C.------D.—

9993

【答案】B

【思路】首先將一元二次不等式恒成立問題轉化為判別式小于等于0,得到關于a,b的不等式關系

隨后，為了求M的最大值，利用三元基本不等式對a?+2b+2b進行放縮，巧妙構造出含有ab的

項.

【解析】???對任意的％CR,丁一?+2-bN0恒成立，.'?A=a2-4(2-b)W0,Wa2+4b<

8/.-b>0,要求a匕的最大值，只需考慮a>0的情況.由基本不等式可得8>a2+4b=a2+2b+

2b>3VM,2b,2b=3V4a2匕2,當且僅當小=2Z?=-,即a=任■,b=勺時等號成立..二4a2b2<

Joo

(j)3=皆，解得成三居=竽.對應選項B.

【規律】處理恒成立問題時，常先通過分離參數或判別式法得到參數滿足的約束條件，再在此約

束下利用基本不等式求最值.若涉及不同次事的乘積，可考慮拆項并使用多元基本不等式.

考法10：利用基本不等式解決實際問題

例10.（2024?孝感?開學考試）截至2022年12月12日，全國新型冠狀病毒的感染人數突

破4420（X）00人.疫情嚴峻，請同學們利用數學模型解決生活中的實際問題.

【圖片】

（1）我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗

階段.已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間￡