圓與圓的位置關(guān)系【八大題型】-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（原卷版）

專題2.8圓與圓的位置關(guān)系【八大題型】

【人教A版(2019)]

>題型梳理

【題型1判斷圓與圓的位置關(guān)系】................................................................2

【題型2根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】.........................................................2

【題型3兩圓的公切線長】......................................................................4

【題型4求兩圓的公切線方程】..................................................................5

【題型5兩圓的公切線條數(shù)問題】................................................................5

【題型6相交圓的公共弦方程】.................................................................6

【題型7兩圓的公共弦長問題】.................................................................7

【題型8圓系方程及其應(yīng)用】....................................................................8

A舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系及判定】

i.圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法

(1)圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切

統(tǒng)稱為相切.

外離外切相交

內(nèi)切內(nèi)含

(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

2222

設(shè)兩圓(x—a])+(y—Z>))=r；與(x—a2)+(y-b)=r;的圓心距為",則

d=—Qi)?十(十一”尸，兩國的位置關(guān)系表示如下：

位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)

外離d>r\+n四條

外切d=r\+n0?三條

\n-r2\<d<r\+r

相交兩條

2

內(nèi)切d=\n-n\一條

3

內(nèi)含0<J<|n-r2|無

②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)△>（）時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)△二（）時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)A<0時(shí),

兩圓無公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.

【題型1判斷圓與圓的位置關(guān)系】

【例1】（23-24高二上?北京?期中）已知圓Ci：/+y2+6y+8=0,圓Q:/+y2=9,那么兩圓的位置

關(guān)系是（）

A.相交B.外離C.外切D.內(nèi)含

【變式1-1]（2024.吉林長春.模擬預(yù)測）已知圓E:（%-2）2+（y-4）2=25,l^|F:（x-2）2+（y-2）2=1,

則這兩圓的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)含B.相切C.相交D.外離

【變式1-2]（23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí)）已知圓Ci：/+y2=4,圓C2：M+y2-8x-6y+16=0,

則兩圓的位置關(guān)系（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.相離

【變式1-3]（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測）己知圓M:/+y2-2ax=0（a>0）的圓心到直線2x+y=2距離

是痣，則圓M與圓N:（X-2/+[y+1）2=1的位置關(guān)系是（）

A.外離B.相交C.內(nèi)含D.內(nèi)切

【題型2根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】

【例2】（23-24高二上?山東日照?期末）若兩圓G：/+y"+2%=0與C2：/+yZ-4%-8y+m=0外

離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.m>4B.m.<4C.0<m<4D.4<77i<20

【變式2-1］（23-24高二上?廣東?期末）若圓G：/+V=4與圓。2：（%-3a）2+（y-4a）2=1恰有兩個(gè)公

共點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

【變式2-2］（23-24高二上?安徽蚌埠?期木）若圓g：/+y2=i與圓Q：/+y2-8%-6、+m=。內(nèi)切,

則加=（）

A.29B.9C.-11D.19

【變式2-3］（23-24高三下?全國,階段練習(xí)）己知圓C：7+儼一2ax-2ay+a?=0（。＞0）與曲線

/（%+3）2+y2=2j%2+y2有交點(diǎn),則4的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【知識(shí)點(diǎn)2兩圓的公切線】

1.兩圓的公切線

（1）兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

（2）兩圓的公切線位置的5種情況

①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線;

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線;

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

⑶求兩圓公切淺方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法,

設(shè)公切線的方程為嚴(yán)乙+力，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k力的方程組，求出Z力的值即可.要注意公切線

的斜率可能不存在.

【題型3兩圓的公切線長】

【例3】(23-24高二上?福建福州?階段練習(xí))已知：圓Ci：》2+y2=i與圓C2：/+y2-6x—8y+m=0.

(1)當(dāng)m=8時(shí)，判斷兩圓是否相交，并說明理由.如果相交，求公共弦所在直線的方程.

(2)若兩圓外切，求〃i的值及外公切線的K.

【變式3-1](23-24高二上?廣東云浮?期中)已知圓A的方程為/+y2—2%-2丫-7=0,圓8的方程為

/+y2+2X+2y-2=0.

(1)判斷圓A與圓B是否相交，若相交，求過兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請說明埋由.

⑵求兩圓的公切線長.

【變式3-2](23-24高二上?吉林長春?階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，已知圓G：x2+y2-4x=0,

22

C2：x+y+4x+3=0,及點(diǎn)4(一1,0)和B(l,2).

(1)求圓G和圓。2公切線段的長度；

(2)在圓G上是否存在點(diǎn)P,使得P42+P82=12?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.

22

【變式3-3](23-24高二上?河南?階段練習(xí))已知圓。1：/+y2=*與圓。2：(%-3)+y=r}(rvr2>0)相

交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M位于工軸上方，且兩圓在點(diǎn)M處的切線相互垂直.

(1)求玨+以的值：

（2）若直線I與圓。1、圓。2分別切于P,Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值.

【題型4求兩圓的公切線方程】

[例4]（23-24高三下?山東?開學(xué)考試）圓G：/+y2+8%—2y+9=0和圓Q：/4-y2+6x—4y+11=0

的公切線方程是（）

A.y=—x+1B.y=t+1或y=%+5

C.y=-x+5D.、=%+1或、=2%+5

【變式4-1]（2024高二上?全國?專題練習(xí)）已知圓M:（x—2）2+（y—I）2=1,圓N:式+2）2+（y4-1）2=1,

則下列不足M，N兩圓公切線的更線方程為（）

A.y=0B.4x-3y=0

C.x—2y+V5=0D.x4-2y—V5=0

【變式4-2]（23-24高二上?山東聊城?期末）已知圓G：/+丫2=1與圓。2：/+y2-8x+6y+ni=0ff|

內(nèi)切，則C]與。2的公切線方程為?）

A.3x—4y-5=0B.3%—4y4-5=0

C.4%—3y—5=0D.4x-3y+5=0

【變式4-3]（23-24高三下.四川巴中?階段練習(xí)）曲線Q：y=后左關(guān)于y=無一1對稱后的曲線為Q，

則Q與0公切線為（）

A.x+2y+x/2=0B.x+y—V2=0

C.x+2y—V2=0D.x+y+V2=0

【題型5兩圓的公切線條數(shù)問題】

【例5】（23-24高二上?安徽滁州?期末）圓G：/+y2-8x-8v=0與圓。2：/+y2+8x+4y+12=0^

切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5-1]（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知圓Ci：x2+y2—2mx+m2-36=0與圓。2：x2+y2—4y=

0,若圓G與圓C2有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.±2V2B.±V5C.±275D.±2

【變式5-21(24-25高二上?上海?課后作業(yè))圓G：/+y2+2%+2y-2=0與圓。2：/4-y2-4x-2y+1=

0的公切線有且僅有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【變式5-3](2024高二上?全國?專題練習(xí))已知圓G：/+y2+2%+8y—8=。和圓C2:(x-5)2+(y—4)2=

25,則圓q與圓Q的公切線有()

A.I條B.2條C.3條D.4條

【知識(shí)點(diǎn)3兩圓的公共弦】

1.兩圓的公共弦問題

(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法

兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.

設(shè)圓GiM+V+ax+gy+EuO,①

圓G：工2+y2+。2彳++尸2=0，②

①?②,得(a—2)x+(g-&)y+P—B=0,③

若圓G與圓。2相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若P(x0,%)為圓G與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)

〃(.“,)%)滿足式+yo+A.%+Ety0+尸?=0且式+yo+D2X0+E2yo+戶?=0，所以

(功一。2?0+(笈一段)為+百一入=0.即點(diǎn)尸(右,為)適合直線方程，故P(xo,%)在③所對應(yīng)的直線上，③

表示過兩圓G與。2交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.

(2)求兩圓公共弦長的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)匕解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股

定理求出公共弦長.

【題型6相交圓的公共弦方程】

【例6】(2024高二?全國?專題練習(xí))圓/+丫2-1=0與圓/+,2-4%=0的公共弦所在直線的方程為

()

A.4x-1=0B.4y-1=0C.x+y-l=0D.x-y-1=0

【變式6-1](23-24高二上?天津和平?期末)已知圓G：/+,2=9和圓。2：x2+y2+3x-4y-4=0,

則圓G與圓Q的公共弦所在的直線方程為()

A.3x—4y—5=0B.3x-4y+5=0

C.3x4-4y-5=0D.3x+4y+5=0

【變式6?2】（23-24高二上?廣東東莞?期中）圓/+y2=1與圓M/一2x+2y=2的公共弦所在直線與

兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為（）

A.：B.-C.ID.1

248

2222

【變式6-3]（23-24高二上?四川巴中?期中）已知。。1：x+y-2mx+2y=0,O02tx+y-2x-

4my+1=0,則下列說法中，正確的個(gè)數(shù)右（）個(gè).

（1）若（1,一1）在。。1內(nèi)，則

（2）當(dāng)m=l時(shí)，。。1與。出共有兩條公切線；

（3）當(dāng)m=2時(shí)，。。1與。。2的公共弦所在直線方程為2x-10丫+1=0；

（4）BmER,使得。。1與。。2公共弦的斜率為去

A.1B.2C.3D.4

【題型7兩圓的公共弦長問題】

【例7】（23-24高二上?四川瀘州,期末）已知圓G過點(diǎn)（2,3）,且與直線2%-3丫+6=0相切于點(diǎn)（3,4）.

（1）求圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求圓Q與圓C2：x2+y2-13x+2y+9=0的公共弦長.

【變式7-11（23-24高二上?新疆和田?期末）已知圓G：產(chǎn)+y2+4%+1=0及圓C2：/+y2+2x+2y+1=

0.

⑴判斷兩圓的位置關(guān)系；

（2）求出兩圓的公共弦長.

[變式7-2]（23-24高二上.浙江杭州.期末）已知圓O：/+y2=丁2（=>0）與圓c：（%一4）2+（y-3）2=9

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。，E.

（1）求/的取值范圍;

（2）若r=4,求線段OE的長.

【變式7-3]（23-24高二上?云南昭通?期末）已知圓Ci：/+>2+2〉_3=。和圓C2:/+y2-4x-2y+1=

0.

（1）求證：圓G和圓Q相交：

（2）求圓G與圓C2的公共弦所在直線的方程及公共弦的長.

【知識(shí)點(diǎn)4圓系方程及其應(yīng)用】

1.圓系方程及其應(yīng)用技巧

具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見的圓系方程有以下兒種：

（1）以（4力）為圓心的同心圓系方程是（X—〃）2+（V—6）2=萬（次0）.

⑵與圓一+?2+。工+砂+尸=0同心的圓系方程是一+必+仄+切+2=0

（3）過同一定點(diǎn)（4力）的圓系方程是（X—a）2十（V—人）2+4（X—a）+心（y—份=0.

2

（4）過直線Ax+By+C=0與圓/+y+Dx+￡j^+F=0的交點(diǎn)的圓系方程是一十/+Dx+與,十

2（柢+如+。）=0.

（5）過兩圓6：/+必+。0.+2》+凡=0和。2/2+必+。2工+自曠+/72=0的交點(diǎn)的同系方程是

222