第一章 三角形的證明及其應(yīng)用 單元培優(yōu)題（含解析）2025-2026北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

第一章三角形的證明及其應(yīng)用單元培優(yōu)題2025-2026北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)下

冊(cè)

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，△力8C中，AB=AC,N6=40°,D為線段8c上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合），連接力。，作N

ADE=40°,OE交線段力。于E,以下四個(gè)結(jié)論：@ZCDE=ZBAD；②當(dāng)。為8c中點(diǎn)時(shí)，DE±

AC；③當(dāng)△力。￡為等腰三角形時(shí)，ZBAD=20a；④當(dāng)NB4）=3O°時(shí)，BD=CE,其中正確的結(jié)論

的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

2.如圖，在四邊形力8C。中，NDAB=NBCD=90°,分別以四邊形44CQ的四條邊為邊向外作四個(gè)正

方形，面積分別為a,b,e,d.若。=2,b+c=12,則4為（）

A.8B.10C.12D.14

3.如圖，在△力3。中，彳。是高，力E是角平分線，若NB=a,ZC=p,貝1叱。力5=（

90°-a+/?90。+/

仁-2~D."I-

4.如圖，在△力8C中，ZABC.24C8的角平分線交于點(diǎn)P,將沿。￡折疊使得點(diǎn)力與點(diǎn)。重合,

若Nl+N2=80°,則N8PC的度數(shù)是（）

第1頁(yè)（共39頁(yè)）

B

A.100°B.110°C.120°D.130°

5.如圖，OP=1,過(guò)點(diǎn)P作PP_LOP,得001=魚(yú)：再過(guò)點(diǎn)Pi作PIP2_LOPI，且P1P2=1，得。。2=遮：

又過(guò)點(diǎn)P2作P2P3_LOP2，且P2P3=1得OP3=2,依此法繼續(xù)作下去，得OP2018=（）

OP

A.V2018B.2018C.V2019D.1

二.填空題（共5小題）

6.在。中，AB=\3cm,AC=20cm，8C邊上的高為12a小則△力8c的面積為_(kāi)____________cm2.

7.三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則N1+N2+N3的度數(shù)是___________.

8.在直線/上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正

放置的四個(gè)正方形的面積依次是Sl，S2，$3，S4，則S+S2+S3+S4=_

53s]

I

9.如圖，△4BE和△力CO是△力8c分別以48、4C為對(duì)稱軸翻折180°形成的，若Nl：Z2：Z3=29：

4：3,則Na的度數(shù)為_(kāi)_________.

第2頁(yè)（共39頁(yè)）

10.如圖，在第1個(gè)△/a小中，N8=40°,ZBAA\=ZBA\A,在力用上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)44|至1」42，使

得在第2個(gè)△小。2中，ZJiC/12=ZJ1/I2C：在A1C上取一點(diǎn)D,延長(zhǎng)AIA2到43,使得在第3個(gè)△力山3

中，//力力3=/4乂3。；…，按此做法進(jìn)行下去，第3個(gè)三角形中以43為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)

11.作圖題：（不寫(xiě)作法，但必須保留作圖痕跡）

如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)歷，N表示大學(xué)，AO,40表示公路）.現(xiàn)計(jì)劃修建一

座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等.你能確定倉(cāng)庫(kù)P應(yīng)該建在

什么位置嗎？在所給的圖形中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)方案.

12.如圖，△48C絲△力EQ,點(diǎn)E在線段8C上，Zl=64°,求N3的度數(shù).

13.如圖，在△48。中，48邊的垂直平分線A交8c于點(diǎn)。，力。邊的垂直平分線/2交AC于點(diǎn)區(qū)/1與

/2相交于點(diǎn)。，連接08,OC,若△力OE的周長(zhǎng)為6c“3△08C的周長(zhǎng)為16a”.

（1）求線段4C的長(zhǎng)：

（2）連接CM,求線段04的長(zhǎng)；

（3）若NB4C=120°,求/。4七的度數(shù).

第3頁(yè)（共39頁(yè)）

A

If

BDV~/EC

14.如圖，在△/16C中，AB=AC,6c=10c,〃,點(diǎn)。在力8上，且6。=6c〃：點(diǎn)M從6出發(fā)以每秒lc，〃

的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從。出發(fā)向點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，連接。A/、MN.

(1)用含/的式子表示8必、MC;

(2)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒比小，/為何值時(shí)，△DBM/AMCN；

(3)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)”的速度不相等，要使△OBMgANCW,則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為多少？全

等時(shí)z為多少？

A

15.如圖，在△43。中，AB=AC,尸是射線4c上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PELAC,垂足分別為。，E,

過(guò)點(diǎn)“作2戶_L4C.垂足為凡連接4P.

(I)如圖1,點(diǎn)P在邊AC上，寫(xiě)出線段?。，PE,4廠之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,點(diǎn)P在8C的延長(zhǎng)線上.當(dāng)S/\”c=10,AB=5,PE=2時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng).

圖1圖2

16.已知：如圖，在中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)沿射線8c以1cm/s

的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

(1)求8c邊的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△力3尸為直角三角形時(shí)，求/的值；

第4頁(yè)(共39頁(yè))

（3）當(dāng)△48〃為等腰三角形時(shí)，求/的值.

17.如圖，中EC=6,點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿射線84移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿線段

4C的延K線移動(dòng)，已知點(diǎn)產(chǎn)、。移動(dòng)的速度相同，產(chǎn)。與直線6C相交卜點(diǎn)。.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)。為的中點(diǎn)時(shí)，求CO的長(zhǎng)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作直線8C的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、。在移動(dòng)的過(guò)程中，線段BE、DE、CO中

是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段

的等式，這種解決問(wèn)題的方法我們稱之為面積法.學(xué)有所用：在等腰三角形中，AB=AC,其一腰

上的高為從M是底邊BC上的任意一點(diǎn)，M到腰/出、/1C的距離分別為/小hi.

（1）請(qǐng)你結(jié)合圖形來(lái)證明：h\+h2=h；

（2）當(dāng)點(diǎn)“在延長(zhǎng)線上時(shí)，hi、In、力之間乂有什么樣的結(jié)論.請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出結(jié)論

不必證明；

（3）利用以上結(jié)論解答，如圖在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線小產(chǎn)條+3,在尸?3x+3,若/2上的

3

一點(diǎn)M到/|的距離是5求點(diǎn)M的坐標(biāo).

第5頁(yè)（共39頁(yè)）

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊直角三角尺XYZ放置在△/出。上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)兒C,

/4=54°,則°；

②如圖3,DC平分/<DB,EC平分/^EB,若ND4E=a,NDBE=0,請(qǐng)用含a和p的式子表示NOCK

的度數(shù).

20.圖1,線段48、CO相交于點(diǎn)O,連接4。、C8,我們把形如圖1的圖形稱之為“8"字型.如圖2,

在圖1的條件下，ND48和N3CO的平分線/P和C尸相交于點(diǎn)P,并且與分別相交于M、N.試

解答下列問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出乙八/B、NC、NQ之間的數(shù)量關(guān)系：；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；

（3）圖2中，當(dāng)/。=50度，/月=40度時(shí)，求/尸的度數(shù).

（4）圖2中/。和4B為任意角時(shí),其他條件不變，試問(wèn)ZP與ND、/B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.（直

接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）.

第6頁(yè)（共39頁(yè)）

D

D

AM

圖1圖2

21.如圖，已知四邊形/168中，AB//CD,BC=AD=4,AB=CD=\D,NZX?6=90°,E為8邊上的

一點(diǎn)，DE=1,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊力4向終點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，連接。石，設(shè)點(diǎn)

產(chǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

（1）求8f的長(zhǎng);

（2）若ABPE為直角三角形,求/的值.

22.在△力BC中，AB=AC.

(1)如圖1,如果N比10=30°,力。是8C上的高，AD=AE.則NE0C=

(2)如圖2,如果NMO=4Q°,力。是〃。上的高，AD=AE,則NKOC=

(3)思考：通過(guò)以上兩題，你發(fā)現(xiàn)/B/1。與NEOC之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表示:

如圖3,如果力。不是8c上的高，AD=AE,是否仍有上述關(guān)系？如有，請(qǐng)你寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明理

由.

圖2圖3

23.現(xiàn)有一張△NBC紙片，點(diǎn)力、￡分別是邊上兩點(diǎn)，若沿直線QE折疊.

研究（1）：如果折成圖①的形狀，使點(diǎn)力落在CE上，則N1與N/1的數(shù)量關(guān)系是

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想N1+N2與N4的數(shù)量關(guān)系是；

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想Nl、N2和/力的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

第7頁(yè)（共39頁(yè)）

圖①圖②圖③

24.如圖，乙408=90°,點(diǎn)C、。分別在射線。力、08上，CE是乙1。的平分線，CE的反向延長(zhǎng)線與

的平分線交于點(diǎn)反

(1)當(dāng)NOCO=50。(圖1),試求NF.

（2）當(dāng)C、。在射線。/、08上任意移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)0重合）（圖2）,N尸的大小是否變化？若變化,

（1）如圖1,將E8延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。

①求證：BE=AD\

②用含a的式子表示N4O4的度數(shù)（直接寫(xiě)出結(jié)果）:

<2）如圖2,當(dāng)a=45。時(shí)，連接〃。、AE,作CW_!_/￡■于“點(diǎn)，延長(zhǎng)/WC與8Z）交于點(diǎn)M求證：N

是4。的中點(diǎn).

第8頁(yè)（共39頁(yè)）

第一章三角形的證明及其應(yīng)用單元培優(yōu)題2025-2026北師大數(shù)學(xué)八年級(jí)下

冊(cè)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

題號(hào)12345

答案CBABC

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，△/AC中，AB=AC,/5=40°,。為線段8c上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4,。重合），連接力力，作N

ADE=40°,。石交線段4C于巴以下四個(gè)結(jié)論：①NCDE=NB4D；②當(dāng)。為8c中點(diǎn)時(shí)，DEL

AC；③當(dāng)△力。E為等腰三角形時(shí)，ZBAD=2Q°；④當(dāng)NB4O=30°時(shí)，BD=CE.其中正確的結(jié)論

的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N8=NC=40°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到/

BAD=ZCDE；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到4Q_L8C,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到。E_L4C；根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)得到/4￡。>40°,求得N4OEWN4EO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得

至|JN84D=6O°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

【解答】解：①???45=/C,

???NB=NC=40°,

40=180°-40°-/ADB,NCQE=180°-40°-/ADB,

???/8力￡>=/。。匕故①正確；

②???￡）為8c中點(diǎn)，AB=AC,

：?AD1BC,

AZADC=90°,

AZCDE—50°,

第9頁(yè)（共39頁(yè)）

VZC=40°,

AZDEC=90°,

：.DE±AC,故②正確；

（3）VZC=40°,

AZAED>40°,

JNADE于NAED,

???△4OE為等腰三角形，

：.AE=DE,

：.ZDAE=ZADE=40（i,

VZZ?JC=1800-40°-40°=100°,

：.ABAD=W,

或,??△/QE為等腰三角形，

；?AD=DE,

：.^DAE=ZAED=70°,

VZ5JC=180°-40°-40°=100°,

：?NBAD=30°,

故③錯(cuò)誤，

④TN24￡）=30°,

：.ZCDE=30°,

:?/ADC=70°,

AZCJD=180°-70°-40°=70°,

???ZDAC=ZADC,

：?CD=AC,

*：AB=AC,

：.CD=AB,

:.△ABIY^RDCE（ASA）,

故④正確：

故選：C.

第10頁(yè)（共39頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一:角形的內(nèi)角和，正確的識(shí)別圖形

是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在四邊形48。中，/DAB=/BCD=90°,分別以四邊形力8CQ的四條邊為邊向外作四個(gè)正

若a=2,b+c=12,則"為()

C.12D.14

【分析】利用勾股定理的幾何意義解答.

【解答】解：由題意可知：a=AB2,b=BC2,c=CD2,d=AD2.

如圖，連接A。，

在直角△44。和△8CQ中，BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,

即a+d=b+cf

?二。=2,b+c=12,

t/=12-2=10.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是利用兩個(gè)直角三角形公共的斜邊.

3.如圖，在中，力。是高，力E是角平分線，若NB=a,ZC=p,貝()

第11頁(yè)(共39頁(yè))

A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，用a和。表示出ZD4E?的度數(shù)即可.

【解答】解：VZ^C+Z5+ZC=180°,NB=a,NC=p,

工/B4c=180°-a-p.

HE平分NA4C,

：.ZCAE=^ZBAC=90°

?；ADtBC,

???/。。=90°-p,

:?/DAE=/CAD?NCAE=900-p-(90°一一:?)=竽.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在△44C中，NABC、NT/CB的角平分線交于點(diǎn)P,將△川9c沿。E折疊使得點(diǎn)力與點(diǎn)尸重合,

若/1+N2=*O°,則NAPC的度數(shù)是()

【分析】根據(jù)折疊得出NPOE=N4)E,/PED=/AED,再由三角形內(nèi)角和和平角定義求出4力=

1(zl+z2)=40°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N48C+N4cB=180°-ZJ,根據(jù)角平分線的定義可

得N〃PC=180°-QPBC+/PCB)=90°+*乙4，由此即可得答案.

【解答】解：???將△48。沿。￡折疊使得點(diǎn)力與點(diǎn)P重合，

???由折疊可知：ZPDE=ZADE,/PED=/AED,

.,.Zl+2ZJ/)E=180o,Z2+2ZJED=180°.

AZ1+Z2+2(ZIADE^ZLAED')=360",

第12頁(yè)(共39頁(yè))

又???N4OE+N4EO=180°?N4

AZ1+Z2+2(180°-ZJ)=360°,SPz/1=y(zl+z2)=40°,

11

■:乙PBC=3乙ABC,乙PCB=5乙ACB,N4BC+/4CB=180,-N4

L乙

，乙PBC+乙PCB=1(^ABC+乙ACB)=1(1800-ZZ1),

AZ5PC=ISO0-(ZPBC+ZPCB)=90°4-1z/l.

:.乙BPC=90o+1x40°=110°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180°是解題關(guān)鍵.

5.如圖，OP=\,過(guò)點(diǎn)P作。外_LOP,得OP尸我；再過(guò)點(diǎn)P作P|P2_LOPI，且夕產(chǎn)2=1，得。。2=遮;

又過(guò)點(diǎn)P2作尸2P3，。乃，且尸2P3=1，得0尸3=2,依此法繼續(xù)作下去，得。。2018=（）

A.V2018B.2018C.72019D.1

【分析】根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案.

【解答】解：VOP=1,OP\=V2,OP2=x/3.OPy=x/4=2,OP4=x/5,

以此類推，OP20i8=V2019.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，解

此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律.

二.填空題（共5小題）

6.在△48C中，AB=\3cm,AC=20cm,8。邊上的高為120〃，則△X8C的面積為126或66c〃/.

【分析】此題分兩種情況：為銳角或/48c為鈍角已知力片、力C的值，利用勾股定理即可求出8C

的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式得結(jié)果.

【解答】解：當(dāng)為銳角時(shí)（如圖1）,

在心△48。中，

BD=7AB2—=V132—122=3（cm）?

第13頁(yè)（共39頁(yè)）

在RtZL4OC中，

CD=yjAC2-AD2=V202—122=16(cm),

：.BC=2\,

^SMBC=i-BC-=Ix21X12=126(cw2)；

當(dāng)N/出。為鈍角時(shí)(如圖2),

在Rt△月6。中，

BD=>JAB2-AD2=V132-1Z2=5(cm),

在Rt△力。。中，

CD=y/AC2—AD2=V202—122=16(cm)>

:?BC=CD-BD=\6?5=T1(cm),

2

^?SAABC=J-FC-/ID=Ix11X12=66(cw),

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫(huà)出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵.

7.三個(gè)全等三角形按如圖的形式擺放，則N1+N2+N3的度數(shù)是.180°.

【分析】直接利用平角的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)得出N4+N9+/6=180",

Z5+Z7+Z8=180°,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：如圖所示：

第14頁(yè)（共39頁(yè)）

由圖形可得：Nl+N4+N5+N8+/6+N2+N3+N9+N7=54D°,

???三個(gè)全等三角形，

AZ4+Z9+Z6=180°,

XVZ5+Z7+Z8=180°,

???N1+N2+N3+18O°+180°=540°,

???N1+N2+N3的度數(shù)是180°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，正確掌握全等三角形的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

8.在直線/上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正

放置的四個(gè)止方形的面積依次是Si，S2，S3,S4,則S+S2+S3+S4=l

【分析】運(yùn)用勾股定理可知，每?jī)蓚€(gè)相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答.

【解答】

解：觀察發(fā)現(xiàn),

?；AB=BE,N/1CB=NBDE=9O°,

：,ZABC+ZBAC=90°,NABC+NEBD=90°,

:"BAC=/EBD,

：./\ABC^^BDE(AAS),

:,BC=ED,

第15頁(yè)（共39頁(yè)）

,:AB2=AC2+BC2,

，AB2=AC2+ED2=SI+S2，

即S1+S2=1,

同理S3+S4=3.

則SI+S2+S3+S4=1+3=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理.注意發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和正好是之間的

正方形的面積.

9.如圖，ZX/IBE和△力CO是△/8C分別以力8、4C為對(duì)稱軸翻折180°形成的，若Nl：Z2：Z3=29：

4：3,則Na的度數(shù)為7度.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AABC=/EBA,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°

列式計(jì)算即可N2+N3的度數(shù).然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出Na.

【解答】解：由題可得，ZACB=ZACD,ZABC=ZEBA,

*/Z1：N2：N3=29：4：3,

7

.,.Z2+Z3=180°x套=35°,

AZa=ZEBC+ZDCB=2(N2+N3)=2X35°=70°,

故答案為：70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的

內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并表示出Na是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在第1個(gè)△力8小中，NB=40°,NB44=NB44,在小8上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)力小至1」42，使

得在第個(gè)△力。血中，ZA1A2C；在A1C上取一點(diǎn)D,延長(zhǎng)出血到使得在第個(gè)△加。力

21ZAICA2=43,33

中，/加。43=/彳乂3。；…，按此做法進(jìn)行下去，笫3個(gè)三角形中以加為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為

70°

17.5。；第〃個(gè)三角形中以4為頂點(diǎn)的底角的度數(shù)為_(kāi)后_.

第16頁(yè)(共39頁(yè))

3

■*"A：Ai

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/4的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)

分別求出/。血小，及NE4小的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第〃個(gè)三角形的以4為頂點(diǎn)的底角

的度數(shù).

【解答】解：???在△48小中，N8=40°,AB=A\B,

：.ZBAiA=^(180°?NB)=*(180°-40°)=70°,

,：A\A2=A\C,/〃由力是△出力2。的外角，

/.ZCA2A\=^BA\A=IX705=35°；

11

同理可得,/。4342=/7()。=17.5°,NE4M3=/7()。，

以此類推，第〃個(gè)三角形的以4為頂點(diǎn)的底角的度數(shù)=，3.

70°

故答案為：17.5°,—.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出N。4|，NDAX2及4

E4U3的度數(shù)，進(jìn)而找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

三.解答題(共15小題)

11.作圖題：(不寫(xiě)作法，但必筑保留作圖痕跡)

如圖：某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，(點(diǎn)M,N表示大學(xué)，40,8。表示公路).現(xiàn)計(jì)劃修建一

座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等.你能確定倉(cāng)庫(kù)夕應(yīng)該建在

什么位置嗎？在所給的圖形中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)方案.

>

【分析】先連接MM根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段MN的垂直平分線再作出/力。〃的平

分線。凡OE與。尸相交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求.

第17頁(yè)(共39頁(yè))

【解答】解：如圖所示:

（1）連接A/M分別以M、N為圓心，以大于3/N為半徑畫(huà)圓，兩圓相交于。￡連接OE,則即

為線段MN的垂直平分線；

（2）以。為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，分別交04、08于G、H,再分別以G、〃為圓心，以大于3汨

為半徑畫(huà)圓，兩圓相交于尸，連接。F,則。/即為/408的平分線（或/力。8的外角平分線）；

（3）OE與。/相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線及角平分線的作法及性質(zhì)，熟知此知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，△48cgA4EQ,點(diǎn)E在線段BC上,/]=64。，求/3的度數(shù).

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N^C=NEW,AE=AB,從而得到N2=N1=64°,從而求出

N8+N3=U6°,進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角即可解答.

【解答】解：?：AABCWAAED,

："BAC=NEAD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），AE=AB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

第18頁(yè)（共39頁(yè)）

/.ABAC-ZEAC=/EAD-"AC,

AZ2=Z1=64°,

???N4+N3=1800-N2=180°-64°=116°,

,AE=AB,

???N3=NB=58°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是相關(guān)性質(zhì)和定理的熟練掌握.

13.如圖，在△/3C中，力4邊的垂直平分線八交4C于點(diǎn)。，/C邊的垂直平分線右交4c于點(diǎn)區(qū)/1

/2相交于點(diǎn)。，連接O&OC,若△力。E的周長(zhǎng)為6cm,的周長(zhǎng)為16c/〃.

（1）求線段8C的長(zhǎng)：

（2）連接04求線段04的長(zhǎng)；

（3）若NR4C=12（）°,求ND4七的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。4=。8,EA=EC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：（1）??Z是48邊的垂直平分線

:?D4=DB,

???/2是力。邊的垂直平分線，

:?EA=EC,

BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；

（2）???/］是48邊的垂直平分線，

；?04=08,

???/2是力。邊的垂直平分線，

：,OA=OC,

,：OB+OC+BC=i6cm,

第19頁(yè)（共39頁(yè)）

，OA=OB=OC=5cm；

(3)VZBJC=120°,

AZABC+ZACB=60<>,

*：DA=DB,EA=EC,

:.NBAD=NABC,NEAC=NACB,

JZDAE=NBAC-NB4D-ZfJC=60o.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端

點(diǎn)的距離相等.

14.如圖，在△N8C中，AB=AC,4c=10c〃?，點(diǎn)。在小上，且40=6cm；點(diǎn)M從8出發(fā)以每秒lc〃?

的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從C出發(fā)向點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，連接。必、MN.

(1)用含，的式子表示8M、MC；

(2)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒1。〃?，，為何值時(shí)，△DBM/AMCN；

(3)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)”的速度不相等，要使408朋且△NOW,則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為多少？全

等時(shí)/為多少？

【分析】(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即可；

(2)由點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒lc〃?，則NC=f,8M=NC,再由則MC=8O=6,

所以10-/=6,然后求解即可；

(3)由點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)M的速度不相等，則8MWNC,△DBM^ANCM,則NC=BD

=6,即郵為8c中點(diǎn)，所以尸10一，然后求解即可；

【解答】解：(1)由題意得：BM=t,MC=10-Z：

第20頁(yè)(共39頁(yè))

（2）???點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度也為每秒lew,

：.NC=t,BM=NC,

'：4DBM@/XMCN；BD=6cm,

：.MC=BD=6cm（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），

A10-/=6,

解得/=4,

?丁=4時(shí)，△DBM/4MCN;

（3）由點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和點(diǎn)切的速度不相等，則8MWNC

:.BM=MC,NC=%?=6%（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），

???.”為中點(diǎn)，

A/=10-/,

解得：z=5,

???點(diǎn)N的速度為每秒gem.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

15.如圖，在△48C中，AB=AC,尸是射線8C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD上/IB,PEtAC,垂足分別為Z）,E,

過(guò)點(diǎn)8作8/LL力C,垂足為R連接4P.

（1）如圖1,點(diǎn)尸在邊6c上，寫(xiě)出線段產(chǎn)。，PE,8廠之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖2,點(diǎn)尸在8c的延長(zhǎng)線上.當(dāng)SA48c=1（），AB=5,PE=2時(shí)，求線段。。的長(zhǎng).

圖1圖2

【分析】（1）由題意得出5沙g=5y外+5y小，則有?BF=^AB?PD+|/1C-PF,再結(jié)合AB

乙乙乙

=AC即可得出結(jié)論：

<2）山題意得出打4如=5g18/>--BF=^AB-PD-AC-PF,再結(jié)合

乙乙/1

第21頁(yè)（共39頁(yè)）

得出由三角形的面積求出86的長(zhǎng)，最后即可得出答案.

【解答】解：(I)BF=PD+PE,理由如下：

?:PDLAB,PELAC,BFLAC,

:?SdABC=SAABKS&APC，即;力。?BF=-AB-PD+-AC-PF,

乙乙乙

?：4B=AC,

/.BF=PD+PEx

(2)*：PDLAB,PE1,AC,BFLAC,

111

??S^ABC=S^ABP-S&APC，即34c?BF=-AB-PD--AC-PE

乙乙乙f

*：AB=AC,

:?BF=PD-PE.

**Si\ABC=10?

1

：,-AC*BF=\Q,

2

t：AC=AB=5,

1

-o

2

整理得，58F=20,

解得即=4,

；?PD=BF+PE=4+2=6,

所以線段尸。的長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等積法是解題的關(guān)鍵.

16.已知：如圖，在RI△48。中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿射線AC以\cm/s

的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

（1）求8C邊的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)△48P為直角三角形時(shí)，求/的值：

（3）當(dāng)△力8。為等腰三角形時(shí)，求/的值.

【分析】（I）直接根據(jù)勾股定理求出4C的長(zhǎng)度;

第22頁(yè)（共39頁(yè)）

(2)當(dāng)△48P為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)/4P8為直角時(shí)，②當(dāng)N84。為直角時(shí)，分別求

出此時(shí)的I值即可;

(3)當(dāng)△4B尸為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)力8=4P時(shí)；②當(dāng)0時(shí)；③當(dāng)尸時(shí)，

分別求出8P的長(zhǎng)度，繼而可求得/值.

【解答】解：(1)在RtZ\4?C中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

BC=4(cm)；

(2)由題意知8P=/c加，

①當(dāng)N4P8為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，BP=BC=4cm,即，=4；

②當(dāng)NA4P為直角時(shí)，BP=tcm,CP=(Z-4)cm,AC=3cm,

在RtZX/b中，

4P2=32+(z.4)2,

在Rt△比1尸中，AB2+AP2=BP2,

即：52+[32+(/-4)2]=t2,

解得：/=予，

故當(dāng)△N8P為直角三角形時(shí)，f=4或f=空；

(3)①當(dāng)力8=8。時(shí)，1=5；

②當(dāng)48=力。時(shí)，BP=2BC=8cm,，=8；

③當(dāng)8尸=4。時(shí)，AP=BP=tcm,CP=(4-/)cm,AC=3cm,

在心△4“中，AP2=AC2+CP2,

所以尸=32+(47)2,

解得：/=等.

綜上所述：當(dāng)△力8。為等腰三角形時(shí)，/=5或/=8或/=券.

第23頁(yè)(共39頁(yè))

圖①圖②

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分

情況討論，注意不要漏解.

17.如圖，△48C中力EC=6,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿射線切移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿線段

4C的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)尸、。移動(dòng)的速度相同，與直線8C相交于點(diǎn)。.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸為的中點(diǎn)時(shí)，求。。的長(zhǎng)：

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)尸作直線8c的垂線垂足為￡,當(dāng)點(diǎn)P、。在移動(dòng)的過(guò)程中，線段8E、DE、CQ中

是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（分析］（1）過(guò)點(diǎn)尸作PF平行于AQ,由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由AB=AC,

根據(jù)等邊對(duì)等角得角8和角4c8的相等，根據(jù)等量代換的角8和角尸網(wǎng)的相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得

BP=PF,又因點(diǎn)。和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，且速度相同即4P=CQ,等量代換得尸P=C。，再加上對(duì)等角的

相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=

而又因。是力4的中點(diǎn)，尸尸〃力0得出廠是5C的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的4c的長(zhǎng)，求出CF,即可得出

CD的長(zhǎng).

（2）分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段4月上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得8E=ER再乂第

一問(wèn)的全等可知OP=C。，所以ED=EF+FD=BE+DC=3BC=3,得出線段。E的長(zhǎng)為定值；第二種情

況，尸在8/的延長(zhǎng)線上，作PM平行于4c交〃。的延長(zhǎng)線于根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出

角PMB等于角ACB,而角力C8等于角力8C,根據(jù)等量代換得到角力8。等于角PM8,根據(jù)等角對(duì)等邊

得到等于P8,根據(jù)三線合一，得到等于同理可得△PMO全等于△。8,得到8等于

DM,根據(jù)。E等于EM減。M,把EM換為8c加CM的一半，化簡(jiǎn)后得到值為定值.

【解答】解：（1）如圖，過(guò)P點(diǎn)、作PF//AC文8C于F,

第24頁(yè)（共39頁(yè)）

???點(diǎn)）和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，且速度相同,

：,BP=CQ,

'：PF//AQ,

NPFB=ZACB,NDPF=4CQD,

又?.?48=力。，

:?NB=NACB,

：.4B=/PFB,

:.BP=PF,

：,PF=CQ,又/PDF=/QDC,

，證得△PF。絲△。8,

:,DF=CD=

又因尸是/〃的中點(diǎn)，PE//AQ,

是8c的中點(diǎn)，即尸C="C=3,

:.CD=^CF=I；

（2）分兩種情況討論，得為定值，是不變的線段,

如圖，加果點(diǎn)夕在線段力“上.

過(guò)點(diǎn)P作PF//AC交8C于凡

???△尸8尸為等腰三角形，

:?PB=PF,

BE=EF,

:,PF=CQ、

:.FD=DC,

/.ED=EF+FD=BE+DC=^BC=3,

???七。為定值，

同理，如圖，若q在A4的延長(zhǎng)線上，

第25頁(yè)（共39頁(yè)）

作PM//AC的延長(zhǎng)線于“，

，NPMC=N4CB,

又???48=力。，

:?/B=NACB,

；?4B=/PMC,

：,PM=PB,根據(jù)三線合一得BE=EM,

同理可得△PMOgZi0C。，

所以CD=DM,

?；BE=EM,CD=DM,

:?ED=EM-DM=叱,M_p^=竿+粵-DM=3+DM-DM=3,

綜上所述，線段￡7D的長(zhǎng)度保持不變.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一

道綜合題.

18.大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段

的等式，這種解決問(wèn)題的方法我們稱之為面積法.學(xué)有所用：在等腰三角形48C中，AB=AC,其一腰

上的高為人"是底邊4c上的任意一點(diǎn)，M到腰力以1C的距離分別為加、hi.

（1）請(qǐng)你結(jié)合圖形來(lái)證明:加+〃2=爪

第26頁(yè)（共39頁(yè)）

A

（2）當(dāng)點(diǎn)M在8c延長(zhǎng)線上時(shí)，hi、B、〃之間又有什么樣的結(jié)論.請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出結(jié)論

不必證明；

（3）利用以上結(jié)論解答，如圖在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線尸%+3,田產(chǎn)?3x+3,若/2上的

【分析】（1）根據(jù)S^A/iC=S^ABM+S^AMC即可求出答案；

（2）h\-h2=h；

（3）先求得。為等腰三帶形，再根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分①當(dāng)點(diǎn)用在3C邊上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)“在

CS延長(zhǎng)線上時(shí)，求得M的坐標(biāo).③當(dāng)點(diǎn)M在8c的延長(zhǎng)線上時(shí)，h\=^<h,不存在：

【解答】（1）證明：連接4W,由題意得加=ME,h?=MF,h=BD,

「JSC=A/C?

S^AB.vf=xJZ?XME=gxABXhi，

S^AMC=xJCXMF=X/1CXhi,

又?：SAABC=XAC又BD=xACXh,AB=AC,

111

xACXh=|xABXh\+^x/CX〃2，

,\h\+h2=h.

（2）解：如圖所木:

h\-ln=h.

第27頁(yè)（共39頁(yè)）

(3)解：在了=不￥+3中，令戈=0得y=3；令y=0得x=-4,

所以4(-4,0),B(0,3)同理求得C(1,0).

AB=>/OA2+OB2=5,AC=5,所以力8=%。，

即△〃火;為等腰三角形.

.3OO

①當(dāng)點(diǎn)必在AC邊上時(shí)，由拼+〃2=/?得：-+My=OB,Mv=3-^=^

把它代入尸?3/3中求得：Mx=1,

13

所以此時(shí)M（―,—

②當(dāng)點(diǎn)必在C8延長(zhǎng)線上時(shí)，由指-62=方得：%-3=03%=3+：=2

1

把它代入》=-3x+3中求得：%=-中

19

所以此時(shí)M（-義，-）.

乙Z

③當(dāng)點(diǎn)時(shí)在4C的延長(zhǎng)線上時(shí)，/n=1</n不存在；

1319

綜上所述：點(diǎn)A/的坐標(biāo)為A1%,-）或（一亍

LL乙L

第28頁(yè)（共39頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】（1）（2）的結(jié)果容易得到，解答（3）時(shí)，注意要靈活應(yīng)用（1）（2）的結(jié)果.

19.如圖1,像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品一一圓規(guī)，我們把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，