基本不等式鏈和柯西不等式的四大妙用（原卷版及解析）

幅大招04基本不等式蹄J柯西不等不黜的四大妙用

題型01利用不等式鏈判定不等式

題型02利用不等式鏈求最值

題型03利用柯西不等式判定不等式

題型04利用柯西不等式求最值

知識梳理

知識點01基本不等式鏈

之《之疝之12m>0/>0）,當且僅當a=b時,

對于任意的。>0/>0,都有T

——F—

ab

等號成立.

其中分別為ayb平方平均數，算術平均數，幾何平均數，調和平均

數.可利用上述不等式鏈在各平均數間進行放縮、轉化.

知識點02柯西不等式

1.二元柯西不等式

對于任意的cgcdeR,都有（時+她2,,（/+/）32+42）,當且僅當口/二公時取等號

2.〃元柯西不等式

對于任意的￡R（，=1，2,…,〃），都有+齒+…+4）斫+以+…+f）..（〃也+/&+…+。也）2，

取等號的條件：q二①或〃產33=1,2,….

型解析

?題型01利用不等式鏈判定不等式

O030

熟記平方、算術、兒何、調和均值不等式鏈順序，對照式子結構匹配對應均值。統一式子形式，合

理變形化簡，依據均值大小順序直接比對.嚴格滿足各項為正，核對適用條件，結合放縮技巧推導大小關

系，驗證邏輯無誤即可判定不等式成立與否.

【典例1］（多選）（2025?河南南陽模擬）已知正數〃?，〃滿足上+2=2、貝女）

tnn

侖;B./?r4-/?2>2

2

D.3in,〃仁（0,+8）,>mn

【跟蹤訓練】

1.（多選）（25-26高三上?四川眉山?期中）對于a>0,〃〉（），下列不等式中正確的是（）

22

A/.a+b/a+b

A.abs-----BD.7ab±----

22

C.ab<[^\/+b2（a+b

I2J丁一1三

2.（多選）（2026?山東煙臺?一模）若。>0,2>0,a+b=\,則（）

A.ab^—B.\fa+\/b<\C.a+In/?<0D.ew+b<2

4

?題型02利用不等式鏈求最值

策略：依據均值不等式鏈，通過配湊、換元構造和定或積定，遵循和定積最大、積定和最小規

律，靈活選用不同均值快速求最值。

注意事項：滿足一正二定三相等；核驗等號可取性；多次連用不等式需取等條件統一；負數先轉

化為正數，取不到最值改用函數單調性求解。

【典例2?1】巨如4,方為五木相零的主實數，則下列四個石中最大的是（）

D,

c.忘Ap+?

【典例2-2］（多選）（2025?廣西北海模擬）設正實數a,人滿足a+〃一1,貝人）

A.\小有最大值;B.」^+土:有最小值3

2a+2b2a+h

C./+序有最小值;D.&+逐有最大值加

【跟蹤訓練】

1.（多選）（24-25高二下?遼寧?階段練習）已知。>0/>0且4+〃=1,則下列選項正確的是（）

A.他的最大值是:B.?的最大值是公

C.'+學的最小值是1+&D.邑+工的最小值是:

aba+2b+\4

2.設力=5,則4n+/5的最大值為.

?題型03利用柯西不等式判定不等式

oaoa

觀察不等式結構，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通過拆項、湊系數、分組變形，構

造柯西標準結構。保證式子各項有意義、同序適配，利用柯西放縮建立大小關系。再驗證等號成立條

件，依據放縮結果即可判定不等式是否成立。

【典例3］（25-26高一上?江西景德鎮?期中）柯西不等式（Cauc/?y-5c?warz/cequa〃W）是一種在數學和物

理學中廣泛使用的不等式，它是由法國數學家奧古斯丁?路易?柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他

不等式，也可以用于解決一些數學問題.以下是柯西不等式的原始形式：

①對于所有實數。和"有（/+燈卜2+/”3+6/）2.

②等式條件：當且僅當ad-〃c=（）時，等號成立.

例：已知x+2y=2,由柯西不等式卜2+）,2）02+22”（X+2）,）二可得（V+/%=:運用柯百不等式，判

斷以下正確的選項有（）

A.若儲+從=1,則（為+3與2=9

-+^->1=3+2夜

B.若0<a<2,則

C.若0+6=4,則（而1+=2逐

D.若1<"3,則斤+46-2"）=瓜

\/max

【跟蹤訓練】

1.（多選）（2026?河北廊坊?一模）已知a,b,c,d均為實數，則下列說法正確的是（）

A.若a<b,cwO,則二

cc

B.若a>b,c>d,則ac>

23

c.若a>1,/?>1,且a+b=d?,則一^+^~；的最小值為2#

a-\b-\

D.若a>0,b>0,且a十〃=2,則Ja十1十一十2<>/10

2.（25-26高一上?湖南長沙?月考）設。，力為兩個正數，定義〃，。的算術平均數為A（“〃）=等，兒

何平均數為G（a4）=而，則有：G（a,b）<A（a,b）,這是我們熟知的基本不等式.上個世紀五十年代，

美國數學家D.從LMmer提出了"ebmer均值〃，即（（a,〃）='；；”,其中〃為有理數.如：

//_+嚴_」+揚

4式W產二產」一F.下列關系正確的是（）

笈十為

A.L^5（a,b）<A（a,b）B.^（a,b）>G（a.b）

C.Ly^b）^.D,Ln+l（a,b）<Ln（a,b）

?題型04利用柯西不等式求最值

策略：觀察代數式結構，湊配成柯西標準形式，通過分組、添項、配系數構造平方和乘枳結構；

利用柯西不等式放縮，轉化為定值從而求出最值。

注意事項：保證各項實數有意義；嚴格驗證等號成立條件能否取到；多組連用柯西時，需保證等

號條件一致；結構不匹配時先變形、換元再套用。

【典例4?1】（25-26高三上?遼寧沈陽?月考）柯西不等式（Caulhy-SchwarzInequality）是法國數學家柯西

與德國數學家施瓦茨分別獨立發現的，它在數學分析中有廣泛的應用.現給出一個二維柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）\當且僅當N=g時等號成立.根據柯西不等式，已知x>0,yeR,且

ca

丁+不，一工+5y=30,則萬3+J30-3y的最大值為（）

A.75B.RC.2瓜D.3&

【典例4?2】（多選）（2025高三?全國?競賽）已知f+J+z）],則』+2y—2z+3取值范圍是（）

A.[1,4]B.[。網

【跟蹤訓練】

1.（多選）（2026高三?全國?專題練習）已知x,》都在區間（-2,2）內，且盯=-1,則函數

49

-2-+O-f的最小值是（）

4-x9-y

A8c24廣12a12

51175

2.（25-26高二下?河北?期中）柯西不等式是法國數學家柯西與德國數學家施瓦茨分別獨立發現的，它在

數學分析中有廣泛的應用.二維柯西不等式為W+⑹（/+/"3+/叫2,當且僅當〃=兒時等號成

立.已知“>0,〃>0,直線），=2/-3。與曲線y=ln（2x+b）相切，則右+浮的最大值為（）

A.比B.逅C.氈D,"

3332

1.已知正數KV滿足x+2.y=l,則人士后的最大值為（）

A.1B.yf2C.2I）.3

2.（25-26高三?全國?二輪復習）柯西不等式的三元形式如下：對實數%,生,生和々力2也，有

（々；+4；+4；）,：+片+%之（3+生優+。。3）2，當且僅當，=/■=詈等號成立,已知Y+），+Z?=14,請

0]

你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是（)

A.14B.12C.10D.8

3.（2026?北京朝陽?模擬預測）函數=——*的最大值為（）

A.1B.>/2C.2D.20

4.（多選）若心y滿足x2+）尸-肛=1,則（)

A.-v+y<lB.x+y>-2

22.■

C.x2+y2<.2I)..L+y->1

5.（多選）若X，y滿足f+）尸-劃=1,則（)

A.x+y<1B.x+y>-2

22、.

C.X2+>-2<2D.x~+y~>\

6.（多選）設a>0,b>0,則下列不等式中一定成立的是（)

A.c'+Z?+^=>2V2

a+b

I).(a+力(-+-)24

c.FT2a+bab

7.（2025高三?全國?競賽）設2x+y—6z=2,則/+9+z?的最小值為

8.（2025高三?全國?競賽）設第》zeR,且5丁+69+6z?—ByzK1,則x+〉+z的最大值為

9.（25-26高一下?河南鄭州?月考）在VABC中，/A,NB,/C對應的邊分別。，b,c

2sio4sin8sinC-百(sin?8Isin2csin2/4)

⑴求A;

⑵柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.

①用向量證明二維柯西不等式：5用+?為『<（M+貨）（石+￡）

②已知三維分式型柯西不等式：X，K，以CR,3+豆+看之您+公+芻），當且僅當土=￡=工時

y%必力+必+為%乃為

等號成立.若〃=2,〃是V八AC內一點，過月作人5,BC,4c垂線，垂足分別為。，E,F,求

幽幽幽

|PD|\PE\\PF\的最值。

幅大招04基本不等式蹄J柯西不等不黜的四大妙用

題型01利用不等式鏈判定不等式

題型02利用不等式鏈求最值

題型03利用柯西不等式判定不等式

題型04利用柯西不等式求最值

知識梳理

知識點01基本不等式鏈

之《之疝之12m>0/>0）,當且僅當a=b時,

對于任意的。>0/>0,都有T

——F—

ab

等號成立.

其中分別為ayb平方平均數，算術平均數，幾何平均數，調和平均

數.可利用上述不等式鏈在各平均數間進行放縮、轉化.

知識點02柯西不等式

1.二元柯西不等式

對于任意的cgcdeR,都有（時+她2,,（/+/）32+42）,當且僅當口/二公時取等號

2.〃元柯西不等式

對于任意的￡R（，=1，2,…,〃），都有+齒+…+4）斫+以+…+f）..（〃也+/&+…+。也）2，

取等號的條件：q二①或〃產33=1,2,….

型解析

I?題型01利用不等式鏈判定不等式

熟記平方、算術、幾何、調和均值不等式鏈順序，對照式子結構匹配對應均值。統一式子形式，合

理變形化簡，依據均值大小順序直接比對.嚴格滿足各項為正，核對適用條件，結合放縮技巧掛導大小關

系，驗證邏輯無誤即可判定不等式成立與否.

【典例1]（多選）（2025?河南南陽模擬）已知正數〃?，〃滿足L+1=21則（）

mn

A.mn>^B./n2+n2>2

C./n+n>^D.3nG（0>+s）,M）加〃

【答案】AD

【詳解】對于A"+L=2'2[1，則〃吟：，當且僅當〃?=〃=馬寸等號成立，故A正確；對于B,應用重

mnymn22

要不等式得用2+〃22〃〃?。〃=〃時取得等號），由A中mn>^,當m=〃=4時取得等號，得〃，^+/次，*2x：

=1（當加=〃=?時能取得等號），即〃尸+標的最小值為與蘇+〃2%矛盾、故B錯誤；對于C,因為一

+-=22,則3x（」+!）=立x（L+1）=1,〃?+〃=巫x（〃z+〃）（L+-）=^x（2+巴+2），其中巴十222I巴x2=2,

n2^4"4\mn/4\nmJnmyjnm

當且僅當〃1="=￥時取得等號，則加即〃?+〃的最小值為VL且，〃+〃=&<；,故c錯誤；對于

D,>4W/J+—,且，+'=2?,得〃而〃〃7+'之2]〃?〃?'=2,

\2mn）\ntn/\mnJmnmnmnmnMmn

當且僅當""?=1時等號成立，即mm,〃￡（0,4-oo）,mn=\,（三9）=加〃，故D正確.故選AD.

【跟蹤訓練】

1.（多選）（25-26高三上?四川眉山?期中）對于4>0,〃>（）,下列不等式中正確的是（）

A.立江

B.信等

2

'a+bD.-2fa+b

C.ab<

2丁

【答案】ACD

【詳解】選項A：由不等式鏈得

所以"“丘史.，當且僅當。=入時取等號，故A正確；

2

選項B：因為。>0,〃>0,所以a+萬，即，石工人;，

當且僅當〃時取等號，故B錯誤；

選項C：因為a>0,b>0,所以而W絆，T，

當且僅當時取等號，故C正確；

選項D：由不等式鏈得'叵五當且僅當。=力時取等號，所以幺二^2(竺2],故D正確.

V2-22I2J

故選：ACD

2.(多選)(2026?山東煙臺—模)若a>0,b>0,a+b=\,QiJ()

A.ab<—B.4a+x/b<1C.6r+ln/?<0D.e"+力<2

4

【答案】AC

【詳解】對于A項，因。>0,b>0,且。+〃=1,則有(空了=；,

當且僅當。=》=；時取“=”，A正確；

對于B項，因。>0,〃>0,且。+力=1,則由不等式鏈得史上如上叵2=立，

2"V22

所以\[a+\/b<\/2,B錯誤；

對FC項，因。>0,/?>0,且。+〃=1,則。=1一〃，

得a+li仍=1一〃+lnZ?,0<Z?<1,

設f(x)=l-x+lnx,0<x<l,

11__y

r(x)=-i+-=—>0,得函數在(0,1)上單調遞增，

XX

W/U)</(D=0,得l—x+lnx<0,

即1一6+ln〃v0,得a+ln力<0,故C正確；

aaa

對FD項，e+b-2=e+\-a-2=e-a-\y0<a<\,

令g(x)=e'-“-1,0＜工＜1,

得g'（x）=e*—1〉0,得函數H（x）在（0,1）上單調遞增，

得g（x）＞g（0）=0,得e-＞0,即e“+〃＞2,故D錯誤.

I?題型02利用不等式鏈求最值

策略：依據均值不等式鏈，通過配湊、換元構造和定或積定，遵循和定積最大、積定和最小規

律，靈活選用不同均值快速求最值。

注意事項：滿足一正二定三相等；核驗等號可取性；多次連用不等式需取等條件統一；負數先轉

化為正數，取不到最值改用函數單調性求解。

【典例2?1】已知〃，力為互不相等的正實數，則下列四個式手中最大的是（）

AJ-Bl+1

c.高

【答案】B

【詳解】因為0,b為互不相等的正實數，所以出*，方4S，后v得表&

所以最大的是1+：.故選B.

【典例2?2】（多選）（2025.廣西北海模擬）設正實數”，〃滿足〃+3=1,則（）

A.、小有最大值;B.±+丁二有最小值3

22a+h

C/+/有最小值:D.布+網有最大值企

【答案】ACD

【詳解】對于A,由均值不等式可得屬當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B,由

二二一L0竺當3=%普=1,得」行+占4當且僅當a+2b=2a+b,即時等號成立，故B

---1----2222a+h32

/2b2a-hb

錯誤；對于C,由J孚三手=；,得/+啟當且僅當“=〃=；時等號成立，故C正確；對于D,由

W得當且僅當。=〃=；時等號成立，故D正確.故選ACD.

【跟蹤訓練】

1.（多選）（24-25高二下?遼寧?階段練習）已知。＞0力＞0且=則下列選項正確的是（）

A.c活的最大值是:B.G+C的最大值是血

4

c.■!■+學的最小值是1+&D-W+自的最小值是:

ab

【答案】ABD

【詳解】對于A項，因為。＞0力＞。且。+〃=1,所以岫當且僅當4時等號成立,

I2J42

即曲的最大值是;，故A項正確；

4

對于B項，因為。＞0力＞0且。+6=1,所以巫士??9吆=即右+新4血，當且僅當

422

a=〃=g時等號成立，故B項正確；

對于C項，因為，+學=竺2+率=1+2+與21+2拒，當且僅當。=&-1力=2-&時等號成立，所以

ababab

L學的最小值是1+2及，故C項錯誤；

ab

a+2=x,a=x-2,

對干D項，令，所以

b+\=y,b=y-\.

「口?a2b~(x-2Y(y-1)24,I41

所以----+----=-----—+————=X4-——4+y+——n2=X+V+-+——6,

a+2b+\xyxy'xy

因為x+y=a+Z?+3=4,所以"+」~-=-+—-2,

a+2h+Ixy

22

,,,,411/.(4l}if,,4yx)、1“八9crK1ab41

因為，+7=W(x+)')?匕+不上44+1+；+亍卜/(5+4)=“+—=-+--2>?,

21

當且僅當x=2y,即〃=彳/時等號成立，故D項正確.

故選：ABD.

2.設。,。＞。,。+力=5,則而工+而5的最大值為

【答案】3拒

【詳解】由不等式鏈得(。+份242(/+〃)兩邊同時開方即得：〃+力4，2(4+/)(a＞0/＞。且當且僅當

時取“=”)，

從而有，TH+瘋5[23+1+"3)=7^=3及(當且僅當。+1=〃+3,即a=g,8=|時?，"="成立)

”題型03利用柯西不等式判定不等式

觀察不等式結構，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通過拆項、湊系數、分組變形，構

造柯西標準結構。保證式子各項有意義、同序適配，利用柯西放縮建立大小關系。再驗證等號成立條

件，依據放縮結果即可判定不等式是否成立。

【典例3](25-26高一上?江西景德鎮?期中)柯西不等式是一種在數學和物

理學中廣泛使用的不等式，它是由法國數學家奧古斯丁?路易?柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他

不等式，也可以用于解決一些數學問題.以下是柯西不等式的原始形式：

①對于所有實數〃和。，有(。2+切/2+/"俳+川)2.

②等式條件：當且僅當4-慶=0時，等號成立.

例：已知x+2y=2,由柯西不等式(V+y2)(i2+22”(x+2)，)2,可得#十9%=1.運用柯西不等式，判

斷以下正確的選項有()

A.若&2+〃=1,則(勿+3"1a=9

B.若0<〃<2,M|-+T^-I=3+2正

I。2一。人而

C.若a+b=4,則(J〃+1+2"+2)=2不

D.若則-1+16-2a)=5/6

\fnux

【答案】AD

【分析】根據柯西不等式(/+從*2+/)之(如+”)2,等號成立條件為〃/-尻、=0,對每個選項進行分析

計算，判斷其正誤.

【洋解】對于A選項，根據柯西木等式(/+/冷(2?+32)之(2〃+3b)2.

因為/+加=],所以(2?+3?)之(2。+3方產,即132(24+33)2.

所以-后工2〃+3。E>/^，則(2々+33M=而，當且僅當3。二幼時取等號,

A選項正確.

對于B選項，令機=",n=2-a,則〃z+〃=2.

根據柯西不等式(工++(2-a))2(xa+—x(2-.

a2-aVa\2-a

即d+--"22(1+&)2=3+2拉.當且僅當,、(2-〃)=3)<4取等號，

a2—aa2-a

所以(4+:_)2主應1,B選項錯誤.

a2-a2

對于C選項，根據柯西不等式(而T+2x/^+2)2<(1+4)(〃+1+3+2).

因為。+萬=4,所以(>/^TT+2屈1)245、(4+1+2)=35.當且僅當4(4+1)=〃+2取等號.所以

V^TT+2屈工W屈，C選項錯誤.

對于D選項，令x=da-\,y=J3-a，則d+尸=。T+3-〃=2.

根據柯西不等式+j6-2a『=(y/a-1+y/2>j3-a)2=(x+\2y)2<(I+2)(x2+y2).

因為f+y2=2,所以(及二T+#W)246.當且僅當行^=拉>/^二1取等號.

所以V^T+j6-2a?"，D選項正確.

故選：AD.

【跟蹤訓練】

1.(多選)(2026?河北廊坊?一模)已知a,b,c,d均為實數，則下列說法正確的是()

A.若a<.b,c/0,則二<-7

c-c-

B.若a>b,c>d,則ac>bd

23

c.若。>1,b>\,且。+匕="，則;+L-;的最小值為

a-1b-\

D.若a>(),/?>(),Ra+b=2,則4而

【答案】ACD

【詳解】vc*0,c2>0,-^>0,又avZ>,.,.二<2■，故A1E確，

c~c~c~

令a=l,Z?=-l,c=0,d=—2,ac=0<bd=2,故B錯誤，

a+b-ab=0,HPa+b—ah+\=1,/.(a-l)(Z?-l)=1,又a〉l,/?>I,a-\>O,Z>-1>0,

—+-^->2AP=ZX=2V6,當且僅當二7二上時，即。=1+必力=1+如等號成立.故c正

a-\b-\\a-\h-\a-\b-\32

確，

(J〃+1+J〃+2)=(lxja+l+lxJ/?+2)K(I~+1~)(ja+1)+(,.+2),

又〃+Z?=2,(ja+l)+(+2)="+6+3=5,則(ja+l+Jb+2)<2x5=10,

又G+標工>0,...G+gM癡，當且僅當今1=今2,即。=。力=：時等號成立，故D

正確.

2.（25-26高一上?湖南長沙?月考）設〃為兩個正數，定義〃，力的算術平均數為4（4〃）=?,幾

何平均數為G（〃"）=疝，則有：G（a,b）＜A（a,b）f這是我們熟知的基本不等式.上個世紀五十年代,

Zf〃+〃"

美國數學家D.H.LMm4提出了QMmq均值〃，即（（〃1）=……，其中〃為有理數.如:

（V+bf

產+,4a+y/b

4.5（〃，'）=《產+產--jF,下列關系正確的是（）

/忑

A.小（“〃）工人（4〃）B.4（a,〃）NG（“〃）

C.4（〃,〃）“（?〃）D.

【答案】AC

【分析】根據新定義逐個選項代入，化簡后根據基本不等式與柯西不等式判斷即可.

【詳解】A：■（〃，〃）=半￥=疝《審=4（。/），故人對;

&.加

B：￡?（〃力）='=網^-?2：==G（a,b）,故B錯；

al+b'a+b2Jah

，/.xa2+b2.//、a+b

c「：七”）=B'O三

L（a,b）2（r/2+h2）2（/+〃）a2+/?2+r/2+Z?2

而（a+b）'=a、bFab=Hb故'對

如心，與__S”+""）（4+/）J/+好27

D：由柯西不等式,故D錯.

“a，b）〃；+J[an+b"f~（a"+b'^

故選：AC.

A題型04利用柯西不等式求最值

策略：觀察代數式結構，湊配成柯西標準形式，通過分組、添項、配系數構造平方和乘積結構;

利用柯西不等式放縮，轉化為定值從而求出最值。

注意事項：保證各項實數有意義；嚴格驗證等號成立.條件能否取到；多組連用柯西時，需保證等

號條件一致；結構不匹配時先變形、換元再套用。

【典例4?1】(25-26高三上?遼寧沈陽?月考)柯西不等式(Caulhy-Schwarz"equality)是法國數學家柯西

與德國數學家施瓦茨分別獨立發現的，它在數學分析中有廣泛的應用.現給出一個二維柯西不等式：

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)\當且僅當色=§時等號成立.根據柯西不等式，已知x>0,ycR,且

ca

x24-^-A-+5y=3(),則，2-工+小30-3)，的最大值為()

A.75B.x/6C.2x/6D.3及

【答案】C

【詳解】由f+冷，-x+5y=30,得f-x-30+；9，+5y=0,即(x+5)(x+y-6)=。，

由工>0,得x+y=6,則X/^+J30-3），=V^+J12+3X=X/^+6.>/^,

由.r>0,2-x>0,得0<xK2,

由柯西不等式得（萬W+G?"^尸W[『+（6）2].[（后金）2+（歷Q）2]=24,

￡2瓜,當嚕=牛,

因此J2-x+VLj4+x即時取等號,

所以+j3O-3y的最大值為26.

故選：C

【典例4?2】(多選)(2025高三?全國?競賽)己知f+y2+z2“],則f+2y-2z+3取值范圍是()

A.[1,4]B.[0,75]

C.[3-2四,3+2夜]D.(血,5+我)

【答案】C

【詳解】因為0+(—Z)]2?(1+1)F+(_Z)[W2(/+)，2+Z2)42,

則y-zZ-0,Hx2>0，可得寸+2y—2z+320+2(—夜)+3=3—2點，

當且僅當x=0,y=—旦z.博時,等號成立；

*22

乂因為X2+/+?<1,則A2^1-r-r,

可得x2+2y-2z+3<4（/-I-z2-2y-l2z）.

且y2+z2-2y+2z=(y-l)2+(z+l)2-2,

設點和標準單位圓面內點尸(y,z),則(.y-lf+(z+l)2-2=|必「一2,

又因為|。4|-0川引。4|+1，所以及-閆融區0+1,

所以|PA「N3-2立,可得(y—l『+(z+l『一2N1-2a,

!lliJx2+2y-2z+3<4-(y2+z2-2y+2z)<3+2V2,

當且僅當x=O.y=Y2,z=—Y2時，等號成￡

22

綜上所述：所求取值范圍是[3-2頁,3+20].

故選:C.

【跟蹤訓練】

1.(多選)(2026高三?全國?專題練習)已知x,V都在區間(-2,2)內，且書=-1,則函數

49

二？+"的最小值是()

241212

A?B.—C.—D.

5II7T

【答案】D

【詳解】解法一：因為"=-1，

所以y=」，且(XHO),

X

又因為x,ye(-2,2),

所以xe(—2,—!)512),

22

4949/49x2-l+l,4I

,+--------=,+,=,+,=]+,+---------

4-x29一)尸4-x29x2-14-.r9.r-l4-x29x2-l

36X2-4+4-X2,35/35

1+-------；------；-----=14-------：--------7——=1+——7--------7-y

2一

(4-x)(91-1)-9.?+37/437-9X2+4

因為xe(-2,-fug,2),

所以八(2

所以9/+等2/941=12,當且僅當9小=9，即f=：時等號成立,

35~35二7

所以可7斕一才.

所以〃之1+7(=?12,

所以〃的最小值為1?2.

解法二：因為冷，=-1,

所以尸,，且(—0),

X

「「，4949x249X2-1+1,41

所以〃=-----+-----=-----+-;=-----+---;----=1+----+-；

4一廠9-y-4一廠9.V-14一廠9廠一14一廠9x--l

12

所以〃的最小值為

故選：D.

2.(25-26高二下?河北?期中)柯西不等式是法國數學家柯西與德國數學家施瓦茨分別獨立.發現的，它在

數學分析中有廣泛的應用.二維柯西不等式為(/+⑹(/+/"俳+4『，當且僅當"=權對等號成

立.已知。>0)>。，直線y=2x-3a與曲線y=ln(2x+9相切，則右+半的最大值為()

A有R瓜r26nx/6

3332

【答案】B

【詳解】設直線y=2x-3a與曲線y=In(2x+〃)相切的切點為(%.%),

22

由y=ln(2x+A)得，則^—-=2,即2.%+8=1,

%=2A\-3a,、

則jy=Inj2Ao+bY得2/_3〃=ln(2%+b)=\n\=O,

所以為=芋，代入2%+人=1得3a+b=l,

因為〃>(),〃>(),所以

>>/3dX-^=+y/bX

［阿+（可圖+1

1Y⑷一小，\22

因為+=(3?+/?)x-=-,

」W3

所以E=&八+叵,當且僅當瓦乂走=揚xj=,即。：等號成立.

V3333662

故選：B.

鞏固提升

1.已知正數X，「滿足XI2y=l,則6+后的最大值為（）

A.1B.72C.2D.3

【答案】B

【詳解】由基本不等式鏈得立十嚴WJ'手=4'所以五十而K0，故選B.

2.（25-26高三?全國?二輪復習）柯西不等式的三元形式如下：對實數4M9和〃也也，有

（a；+5+a；）（月+6+硝？（岫+ab+她『，當且僅當2=詈=f等號成立，已知/+），+z?

22=14,請

你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【分析】根據柯西不等式的三元形式，構造（/+>2+22）（12+22+32）2（1+2），+32）2求解即可.

【詳解】因為V+y2+z2=14,

根據題目中柯西不等式的三元形式可知1+當任+2?+32卜（x+2y+3z『，

所以（x+2y+3z『<14x14,x+2y+3z<14

x=1

當且僅當：=1=即r，=2時等號成立，

［z=3

所以x+2y+3z的最大值是14,

故選：A

3.（2026?北京朝陽?模擬預測）函數/（.r）=G7+"77F的最大值為（）

A.1B.拉C.2D.2&

【答案】C

【分析】由柯西不等式求解即可.

【詳解】/（X）=Jx（i-A-）+JX（4-A）,由｛~,解得0CW1,

4文一x>0

當x=0時，/（x）=0,當X=l,/（A）=75,

當0cx<1,M/（A-）>O,

此時1T>O且4T>0,

由柯西不等式可得［6（7）+小（4-川飛卜+（4-切［（1一力+入］=4,

當且僅當一一=上三，即工=2時取等號，此時r（x）?4,即/⑺W2,

l-.vx5

所以函數/（'=4-42+J4X-3的最大值為2.

故選：C.

4.（多選）若x,y滿足丁+）?一孫=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.Jr2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

哈&1（。>0力>0）

【詳解】由基本不等式鏈:7T

一+一

ab

a1+b2

可得<（。㈤R）,

22

對于C,由/+y2一個=1可變形為（/+9）-1=冷，二話21,解得Y+y2K2,當且僅當^二'二±]時取等

號，所以C正確

因為出早父生（〃/iR）,由f+y2—肛=1可變形為，（“+）,）2_[=3與*3（字）一,解得

-2<x+y<2,當且僅當x=y=—1時，x+y=-2,當且僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正

確：故選AC.

5.（多選）若x,y滿足f+丁-孫=1,則（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【詳解】由基本不等式鏈：產等NJ茄

a+b

可得"《等）匕名/（。血R），

對干C,由丁+9_g，=1可變形為卜2+）,2）_]=切，4三小二，解得/+）,242,當且僅當x=y=±l時取等

號，所以C正確

因為"（a,blR）,由/+./-歲=1可