2026年小升初數(shù)學專項講義：圓柱與圓錐（學生版+解析）

第七章：立體圖形

專題23：圓柱與圓錐

（7大考點典例講解+知識總結+變式練習+真題訓練）

◎）考點導覽

考點01：圓柱的側面積

考點02：圓柱的表面積

考點03：圓柱的體積

考點04：圓柱的容積

考點05：圓錐的體積（容積）

考點06：圓柱與圓錐體積的關系

考點07：立體圖形的切拼（圓柱與圓錐）

回知識點梳

知識點01：圓柱

1.圓柱的認識

（1）底面：圓柱有兩個底面，是完全相同的兩個圓。

（2）側面：圓柱的側面是一個曲面，展開后是一個長方形或正方形。當圓柱底面圓長和高相

等時，側面展開是正方形。

（3）高：兩個底面之間的距離叫做圓柱的高，圓柱有無數(shù)條高。

2.圓柱的表面積

（1）圓柱的表面積等于兩個底面積減上側面積。

（2）計算公式為5=2加2+2mh,其中r為底面半徑，h為高。

3,圓柱的體積

圓柱的體積計算公式為丫=兀件，其中r為底面半徑，h為高。

【易錯點撥】

（1）無蓋圓柱（如水桶）的表面積=S惻+S底。

（2）煙囪、通風管、壓路機滾筒：只有側面積，無底面。通風管、煙囪等的表面積=5財

（3）半徑與直徑混淆：看清給的是r還是d。

（4）圓柱橫切：增減2個圓形底面；豎切增減2個長方形。

（5）切拼圓柱后體積變化判斷錯誤：認為切拼成長方體后體積變大，實際體積不變，表面積

變大。

知識點02：圓錐

1.圓錐的認識

（1）底面：圓錐的底面是一個圓。

（2）側面：圓錐的側面是一個曲面，展開后是一個扇形。

（3）高：從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高，圓錐只有一條高。

2.圓錐的體積

（1）圓錐體積公式的推導：通過實驗發(fā)現(xiàn)，等底等高的圓柱和圓錐，圓錐體積是圓柱體積的

1

-O

3

（2）圓錐的體積公式：隨柱=，!?下

（3）圓柱與圓錐的關系

①等底等高：V誰柱，V柱=3V篌；

②體積相等、底面積相等：h產(chǎn)3h柱；

③體積相等、高相等：S鐐底=3S柱帳。

【易錯點撥】

（1）圓錐高的概念誤解：認為圓錐的高是從頂點到底面邊緣的距離，實際是到圓心的垂直距

離。

（2）等底等高關系混淆：在體積相等的情況下，V垠柱，V柱=3V推。

重難點題型講解

考點01：圓柱的側面積

【典型例題】大廳內有8根同樣的圓柱形支撐柱，每根高5米，底面圓長是3.14米。給這些

支撐柱的表面刷油漆，刷油漆的面積是（）平方米。如果每克油漆可漆2平方米,

需要油漆（）克。

【變式訓練1】一個圓柱形紙盒，側面展開是一個邊長15cm的正方形，這個圓柱形紙盒的側

面積是（）cm?。

A.225B.47.1C.45

【變式訓練2】一節(jié)圓柱形鐵皮煙囪的長是1.5m,底面直徑是0.2m,做100節(jié)這樣的鐵皮煙

囪，至少需要（）n?的鐵皮。

考點02：圓柱的表面積

【典型例題】一個圓柱形的無蓋鐵皮水桶，底面直徑3分米，高5分米。做這個水桶大約要

用多少鐵皮？

【變式訓練1】一個圓柱的底面直徑是8cm,高是10cm,把它平均分成若干等份，拼成近似

的長方體，表面積增減了（）口蠟。

【變式訓練2】一個圓柱形的蓄水池，從里面量底面半徑2米，深3米，在它的內壁與底面

抹上水泥。抹水泥部分的面積是多少平方米？

考點03：圓柱的體積

【典型例題】下圖是棱長為6cm的正方體，它的棱長總和是（）cm。若將正方體削

成一個最小的圓柱，體積是（）cnP。（結果保留兀）

【變式訓練1】一根圓柱形油管，內直徑是2分米，油在管內的流速是4分米/秒，每秒流過

的油是（）立方分米。

【變式訓練2】把一個直徑是4厘米的圓柱的底面平均分成若干個扇形，切開拼成一個近似

的長方體，這個長方體前面的面積是18.84平方厘米，圓柱的體積（）立方厘米。

這個長方體的表面積比原來增減（）平方厘米。

考點04：圓柱的容積

【典型例題】越劇是僅次于京劇的第二大劇種，越劇《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶記》，其

中就講到箍桶千奇百怪，五花八門。箍桶匠制作了一個圓柱形無蓋箍桶（如下圖），底而直徑

是6dm,高是7dm。制作這個箍桶至少用了（）dm2的木板，這個箍桶最多能裝水

（）Lo

【變式訓練1】營養(yǎng)學家建議，12歲兒童在天氣較熱時，每日喝水應不少于1500毫升。用底

面直徑6厘米，高10厘米的圓柱形水杯喝6滿杯水，達到要求了嗎？（）

A.沒達到B.達到了C.無法計算

【變式訓練2】將一個長18分米、寬12分米的長方形鐵片減工成一個圓桶，另減一個底,

則這個圓桶的最小容積是（）立方分米。（接頭處忽略不計，兀取3）

A.324B.216C.1296D.864

考點05：圓錐的體積（容積）

【典型例題】一個圓錐形沙堆，底面圓長12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7噸,

這堆沙子約重多少噸？（得數(shù)保留整數(shù)）

【變式訓練1】一個圓錐的高是10厘米，體積是157立方厘米，這個圓錐的底面積是

（）平方厘米。

【變式訓練2】有一塊正方體木料，它的棱長是6cm,把這塊木料削成一個最小的圓錐，這

個圓錐的體積是（）cm3。

A.216B.169.56C.56.52

考點06：圓柱與圓錐體積的關系

【典型例題】等底等高的圓柱和圓錐的體積之和是18.84立方厘米，它們的體積相差

（）立方厘米。

A.3.14B.6.28C.9.42D.12.56

【變式訓練1】把一段體積是42.9立方分米的圓柱形木料削成一個最小的圓錐，圓錐的體積

是（）立方分米。

【變式訓練2】一個圓柱和一個圓錐等底等高。如果它們的體積相差12m3,那么回錐的體積

是（）0?,圓柱的體積是（）nA

考點07：立體圖形的切拼（圓柱與圓錐）

【典型例題】把一個圓錐沿著高切開，切成形狀、大小完全一樣的兩個部分，結果表面積之

和比原來增減了48dmJ已知圓錐的高是6dm,原來圓錐的半徑是（）dm,體積是

（）dnA

【變式訓練1】把一根長2米的圓柱形木料鋸成兩段，表面積增減了4平方分米，這根木料

的體積是（）立方分米。

A.80B.40C.120D.4

【變式訓練2】將底面圓長為62.8厘米，高為20厘米的圓柱沿直徑切開，表面積噌減

（）平方厘米°

◎真題演練

一、選擇題

1.將圓柱的底面半徑擴大為原來的2倍，高不變，則圓柱的體積擴大為原來的（)

倍。

A.2B.4C.6D.8

2.一個圓柱的側面展開圖是正方形，這個圓柱的底面直徑和高的比是（）。

A.K：1B.271:1C.1:1D.I:re

3.如下圖，一瓶900亳升的果汁正好倒?jié)M下圖中的三個杯子（兩種杯子的杯口直徑相同）。

這樣的一個圓錐形杯子最多能裝（）毫升果汁。

A.120B.15（）C.200D.240

4.四個同樣大小的圓柱拼成一個高為4（）厘米的圓柱時，表面積減少了72平方厘米，原來小

圓柱的體積是（）立方厘米。

A.12()B.470C.480D.720

5.一個圓錐與一個圓柱的底面積相等，已知圓錐與圓柱體積的比是1：6,圓錐的高是

4.8cm,圓柱的高是（)cm。

A.28.8B.9.6C.1.6D.0.8

6.如圖所示，把直角三角形繞一條直角邊旋轉一周,得到的圓錐的體積是（）立方

C.18.84D.50.28

7.下面四組圖形中，圓柱和圓錐體積不相等的是（)o

C.D.

S=3cm2S=9cm2

二、填空題

8.一塊正方體木材的棱長是4分米，這塊木材的表面積是（）平方分米，把它切成

一個最小的圓柱，圓柱的表面積是（）平方分米，體積是（）立方分米。

9.一個圓柱與一個圓錐等底等高，它們的體積相差36立方厘米。這個圓柱的體積是

（）立方厘米。

10.一個圓柱和一個圓錐的高相等，圓錐的底面半徑是圓柱的3倍，那么圓柱與圓錐的體積

比是（）<>

11.小悅同學用一塊體積為216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一個圓柱和一個圓

錐，圓柱的體積比圓錐的體積大（）立方厘米。

12.如下圖，把一個圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體，這個長方體的長是12.56

厘米，表面積比原來增減40平方厘米，原來圓柱體的體積是（）立方厘米。（兀取

13.明明看一個立體圖形，從前面看到的是下面A圖，從上面看到的是下面B圖（單位:

dm）。這個立體圖形是（）,體積是（）dn?。

6

A圖B圖

14.一個圓柱的底面直徑是4分米，高是6分米，它的表面積是（）平方分米，一

個與它等底等高的圓錐的體積是（）立方分米。

15.如圖，直角三角形A3C如果繞AC旋轉一周得到圓錐甲；如果繞旋轉一周得到圓錐

乙。已知A8:AC=4:3,則圓錐甲與圓錐乙的體積之比為（）<>

16.用一張長6分米，寬3分米的長方形紙（厚度不計）圍成一個容積最小的圓柱體，這個

圓柱體的容積約為（）升。（兀取3）

17.一個圓柱形零件，底面直徑是4分米，高是8分米，如果將這個圓柱形零件熔鑄成一個

底面直徑是8分米的圓錐形零件，那么這個圓錐形零件的高是（）分米。

18.一個正方體木料的高減少5cm,它的表面積就減少2（）（）cm2,原來的這個正方體木料的體

積是（）cn?。如果將這塊木料切成一個最小的圓柱，則這個圓柱的體積是

（）cnP。

19.如下圖，甲圓柱形容器是空的，乙長方體容器中水深6.28cm,將乙容器中的水全部倒入

甲容器中，這時水深（）cm；如果倒入與這個圓柱底面積之比是5：1的圓錐形容器

中，剛好倒?jié)M，那么圓錐的高是（）cm。

1Ocm10cm

三、解答題

20.一個圓錐形的麥堆，底而圓長12.56米，高1.5米，如果每立方米小麥重450克，這堆小

麥重多少克？

21.李叔叔做5節(jié)底面直徑2分米，長8分米的圓柱形通風管，至少要多少平方分米的鐵

皮？

22.手工課上，小明用橡皮泥做了一個底面直徑是20cm、高是12cm的圓柱，這個圓柱的體

積是多少立方厘米？

23.如圖所示，壁虎在一座油罐的下底邊A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方，油罐上邊緣的9處

有一只害蟲，壁虎決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著

油罐，沿著一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊，請問：壁虎沿著螺旋線至少要爬行

多少米才能捕到害蟲？（萬取3.14,底面圓長取整數(shù)）

3.82米

24.健身房內有一個圓柱形沙包，量得沙包的底面直徑是4（）厘米，高是L2米。在一次訓練

中，沙子全部流到地上形成了一個高50厘米的近似圓錐形沙堆，這個沙堆的占地面積是多少

平方米？（結果保留兩位小數(shù)）

25.如圖：這是一個圓柱形禮盒。

（1）做這個禮盒至少要用多少平方厘米的硬紙殼？（接口處不計）

（2）如圖：用絲帶捆扎起來（系蝴蝶結用去30厘米長的絲帶），這條絲帶至少長多少厘米?

26.小剛在手工課上拿到一根高30厘米的圓柱形木棒，如圖所示，將它截成相同的兩段后,

表面積比原來增減了50.24平方厘米。小剛想把其中一段木棒削成一個最小的圓錐體擺件，

削去的體積是多少外方厘米？

27.沙漏是古人用的一種計時儀器。如圖這個沙漏里（裝滿沙子）的沙子一點點漏入下面的

長方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在長方形木盒中會平鋪大約多少厘米高的沙子？

12cm

30cm

28.如圖，李師傅把一個圓柱形木料沿著與底面平行的方向截成兩部分，表面積增減157平

方厘米；如果沿著直徑截成兩部分，表面積增減240平方厘米。這個圓柱形木料的表面積是

多少平方厘米？

第七章：立體圖形

專題23：圓柱與圓錐

（7大考點典例講解+知識總結+變式練習+真題訓練）

「0考點導覽

考點01:圓柱的側面積

考點02：圓柱的表面積

考點03：圓柱的體積

考點04：圓柱的容積

考點05：圓錐的體積（容積）

考點06：圓柱與圓錐體積的關系

考點07：立體圖形的切拼（圓柱與圓錐）

回知識點梳理

知識點01:圓柱

1.圓柱的認識

（1）底面：圓柱有兩個底面，是完全相同的兩個圓。

（2）側面：圓柱的側面是一個面，展開后是一個長方形或正方形。當圓柱底面圓長和高相

等時，側面展開是正方形。

（3）高：兩個底面之間的距離叫做圓柱的高，圓柱有無數(shù)條高。

2.圓柱的表面積

（1）圓柱的表面積等于兩個底面積減上側面積。

（2）計算公式為S=2*2+271rh,其中r為底面半徑，h為高。

3.圓柱的體積

圓柱的體積計算公式為丫=兀％,其中r為底面半徑，h為高。

【易錯點撥】

（1）無蓋圓柱（如水桶）的表面積;S制+S也。

-1-

（2）煙囪、通風管、壓路機滾筒：只有側面積，無底面。通風管、煙囪等的表面積=5財

（3）半徑與直徑混淆：看清給的是r還是d。

（4）圓柱橫切：增減2個圓形底面；豎切增減2個長方形。

（5）切拼圓柱后體積變化判斷錯誤：認為切拼成長方體后體積變大，實際體積不變，表面積

變大。

知識點02：圓錐

1.圓錐的認識

（1）底面：圓錐的底面是一個圓。

（2）側面：圓錐的側面是一個曲面，展開后是一個扇形。

（3）高：從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高，圓錐只有一條高。

2.圓錐的體積

（1）圓錐體積公式的推導：通過實驗發(fā)現(xiàn)，等底等高的圓柱和圓錐，圓錐體積是圓柱體積的

1

-O

3

（2）圓錐的體積公式：隨柱=，!?下

（3）圓柱與圓錐的關系

①等底等高：V誰柱，V柱=3V篌；

②體積相等、底面積相等：h產(chǎn)3h柱；

③體積相等、高相等：S鐐底=3S柱帳。

【易錯點撥】

（1）圓錐高的概念誤解：認為圓錐的高是從頂點到底面邊緣的距離，實際是到圓心的垂直距

離。

（2）等底等高關系混淆：在體積相等的情況下，V垠柱，V柱=3V推。

重難點題型講解

考點01：圓柱的側面積

【典型例題】大廳內有8根同樣的圓柱形支撐柱，每根高5米，底面圓長是3.14米。給這些

支撐柱的表面刷油漆，刷油漆的面積是（）平方米。如果每克油漆可漆2平方米,

需要油漆（）克。

-2-

【答案】125.662.8

【分析】給圓柱形支撐柱的表面刷漆，就是求圓柱的側面積，圓柱的側面積=Ch,把數(shù)據(jù)代

入公式計算，再除8求得刷漆的總面積，再除以2即可求得需要油漆質量。

【詳解】3.14x5x8

=15.7x8

=125.6（平方米）

125.6+2=62.8（克）

刷油漆的面積是125.6平方米，如果每克油漆可漆2平方米，需要油漆62.8克。

【變式訓練1】一個圓柱形紙盒，側面展開是一個邊長15cm的正方形，這個圓柱形紙盒的側

面積是（）cm2c

A.225B.47.1C.45

【答案】B

【分析】由題意可知，這個圓柱形紙盒的側面積等于正方形的面積，根據(jù)“S正方形=@2,,求出

這個紙盒的側面積。

【詳解】15x15=225（cm2）

這個圓柱形紙盒的側面積是225cm?。

【變式訓練2】一節(jié)圓柱形鐵皮煙囪的長是1.5m,底面直徑是0.2m,做100節(jié)這樣的鐵皮煙

囪，至少需要（）m2的鐵皮。

【答案】94.2

【分析】煙囪相當于無兩個底面的圓柱體，所需的鐵皮面積就是求圓柱的側面積，根據(jù)圓柱

的側面積=乃以，把數(shù)據(jù)代入公式計算，求得每節(jié)煙囪所需的鐵皮面積，再除100即可。

【詳解】3.14x0.2x1.5x100

=0.628x1.5x100

=0.942x10()

-3-

=94.2(m2)

考點02：圓柱的表面積

【典型例題】一個圓柱形的無蓋鐵皮水桶，底面直徑3分米，高5分米。做這個水桶大約要

用多少鐵皮？

【答案】54.150平方分米

【分析】所需鐵皮的面積就是這個無蓋圓柱形水桶的表面積，根據(jù)圓柱的表面積=底面積+

側面積，側面積=底面圓長x高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。

【詳解】3.14x(3+2)2+3.14x3x5

=3.14x1.52+3.14x3x5

=3.14x2.25+9.42x5

=7.050+47.1

=54.150(平方分米)

答：做這個水桶大約要用54.150平方分米的鐵皮。

【變式訓練1】一個圓柱的底面直徑是8cm,高是10cm,把它平均分成若干等份，拼成近似

的長方體，表面積增減了()cm?。

【答案】80

【分析】把一個圓柱切拼成一個近似的長方體，其表面積增減了2個以高為長，底面半徑為

寬的長方形的面積。長方形的面積=長乂寬，據(jù)此回答即可。

【詳解】(8*)x1()x2

=4x10x2

=40x2

=80(cm2)

-4-

【變式訓練2】一個圓柱形的蓄水池，從里面量底面半徑2米，深3米，在它的內壁與底面

抹上水泥。抹水泥部分的面積是多少平方米？

【答案】50.24平方米

【分析】根據(jù)題意，蓄水池抹水泥的部分包括圓柱的側面積和一個底面積（無蓋）。已知底面

半徑為2米，深（即高）為3米，利用圓柱側面積公式（C=2兀rh）和底面積公式（S=

仃2）,兀取3.14,分別求出側面積和底面積，最后將兩者相減即可求出抹水泥部分的總面積.

【詳解】2x3.14x2x34-3.14x22

=2x3.14x2x3+3.14x4

=37.68+12.56

=50.24（平方米）

答：抹水泥部分的面積是50.24平方米。

考點03：圓柱的體積

【典型例題】下圖是棱長為6cm的正方體，它的棱長總和是（）cm。若瘠正方體削

成一個最小的圓柱，體積是（）CITP。（結果保留兀）

【答案】7254兀

【分析】已知正方體的棱長是6cm,根據(jù)正方體的棱長總和=棱長x12,求出它的棱長總和;

將正方體削成一個最小的圓柱，那么圓柱的底面直徑和高都等于正方體的棱長，根據(jù)圓柱的

體積公式丫=704，求出圓柱的體積。

【洋解】正方體的棱長總和：

-5-

6x12=72(cm)

圓柱的體積：

7TX（6-J-2）2X6

=XX32X6

=%x9x6

=54兀（cm3）

【變式訓練1】一根圓柱形油管，內直徑是2分米，油在管內的流速是4分米/秒，每秒流過

的油是（）立方分米。

【答案】12.56

【分析】把每秒流過的油看成是一個圓柱，圓柱的底面直徑是2分米，高是4分米，根據(jù)圓

柱的體積=底面積x高，據(jù)此解答。

【詳解】3.14x（2+2）2x4

=3.14x12x4

=3.14x1x4

=3.14x4

=12.56（立方分米）

【變式訓練2】把一個直徑是4厘米的圓柱的底面平均分成若干個扇形，切開拼成一個近似

的長方體，這個長方體前面的面積是18.84平方厘米，圓柱的體積（）立方厘米。

這個長方體的表面積比原來增減（）平方厘米。

【答案】37.6812

【分析】把一個圓柱切拼成一個近似長方體，那么這個長方體的長等于圓柱底面圓長的一

半，長方體的寬等于圓柱的底面半徑，長方體的高等于圓柱的高；

根據(jù)圓桿的體積公式V=7iFh,求出圓柱的體積：

-6-

拼成的長方體的表面積比圓柱的表面積多了兩個長方形的面積，長方形的寬等于圓柱的底面

半經(jīng)，長方形的長等于圓柱的高；根據(jù)長方形的面積公式5=2＞求出一個面的面積，再除

2,就是增減的表面積。

【詳解】長方體的長：3.14x4+2=6.28（厘米）

長方體的寬：4"=2（厘米）

長方體的高：18.84:6.28=3（厘米）

圓柱的體積：

3.14x22x3

=3.14x4x3

=37.68（立方厘米）

長方體的表面積比原來增減：2x2x3=12（平方厘米）

考點04：圓柱的容積

【典型例題】越劇是僅次于京劇的第二大劇種，越劇《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶記》，其

中就講到箍桶千奇百怪，五花八門。箍桶匠制作了一個圓柱形無蓋箍桶（如下圖），底面直徑

是6dm,高是7dm。制作這個箍桶至少用了（）dm?的木板，這個箍桶最多能裝水

【答案】190.14197.82

【分析】制作這個箍桶的木板的面積就是求圓柱的側面積減一個底面積，求這個箍桶的容積

可先求圓柱的體積再把單位轉化為容積單位L,根據(jù)5側=7r"、S="2、！/="2九，代入數(shù)

據(jù)計算。

【詳解】3.14x6x7+3.14x（6+2）2

=3.14x6x7+3.14x32

=3.14x6x7+3.14x9

=131.88+28.26

-7-

=190.14(dm2)

3.14X(6^2)2X7

=3.14x32*7

=3.14x9x7

=197.82(dm3)

=197.82(L)

制作這個箍桶至少用了190.14dm2的木板，這個箍桶最多能裝水197.82L。

【變式訓練1】營養(yǎng)學家建議，12歲兒童在天氣較熱時，每日喝水應不少于1500毫升。用底

面直徑6厘米，高10厘米的圓柱形水杯喝6滿杯水，達到要求了嗎？()

A.沒達到B.達到了C.無法計算

【答案】B

【分析】根據(jù)圓柱的體積公式V=7ir2h(兀取3.14),求出水杯的容積，再除6求出每天一共

喝水的毫升數(shù)，最后與1500毫升進行比較，即可得出判斷。

【詳解】3.14x(64-2)2x10x6

=3.14x32x10x6

=3.14x9x10x6

=28.26x10x6

=282.6x6

=1695.6(立方厘米)

1695.6立方厘米=1695.6毫升

1695.6毫升V1500毫升

所以達到要求了。

【變式訓練2】將一個長18分米、寬12分米的長方形鐵片減工成一個圓桶，另減一個底，

則這個圓桶的最小容積是()立方分米。(接頭處忽略不計，兀取3)

A.324B.216C.1296D.864

-8-

【答案】B

【分析】根據(jù)圓柱側面展開圖的特征，圓柱的側面沿高展開是一個長方形，要使圍成的圓柱

體積最小，要以長邊為底面圓長，寬為圓柱的高。根據(jù)圓柱的體積（容積）公式：丫=叱％,

把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【詳解】3x（18=3+2）2x12

=3x（6:2）2x12

=3x32x12

=3x9x12

=27x12

=324（立方分米）

這個圓桶的最小容積是324立方分米。

故答案為：A

考點05：圓錐的體積（容積）

【典型例題】一個圓錐形沙堆，底面圓長12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7噸，

這堆沙子約重多少噸？（得數(shù)保留整數(shù)）

【答案】9噸

【分析】圓的圓長=2打，先用圓長除以2萬求出半徑，再代入體積公式S=g夕2〃求出體積,

最后用體積除上1.7噸即可。

【詳解】半徑：12.56:3.14;2=2（米）

體積：3.14x22X1.2xi=5.024（立方米）

3

5.024x1.7=8.5408（噸）?9（噸）

答：這堆沙子約重9噸。

【變式訓練1】一個圓錐的高是10厘米，體積是157立方厘米，這個圓錐的底面積是

-9-

()平方厘米。

【答案】47.1

【分析】根據(jù)圓錐體積公式：體積=底面積x高:3,可得底面積=體積x3：高，代入數(shù)值即可

解答。

【詳解】157x34-10

=4714-10

=47.1(平方厘米)

【變式訓練2】有一塊正方體木料，它的棱長是6cm,把這塊木料削成一個最小的圓錐，這

個圓錐的體積是()cm3。

A.216B.169.56C.56.52

【答案】A

【分析】正方體削成一個最小的圓錐，圓錐的底面直徑等于正方體的棱長，圓錐的高等于正

方體的棱長，根據(jù)圓錐的體積=底面積x高吊，據(jù)此解答。

【詳解】3.14x(6:2)2X6X：

=3.14X32X6X1

=3.14x9x6x2

3

=28.26X6XL

3

=169.56x2

3

=56.52(cn?)

這個圓錐的體積是56.52cm3o

考點06：圓柱與圓錐體積的關系

【典型例題】等底等高的圓柱和圓錐的體積之和是18.84立方厘米，它們的體積相差

()立方厘米。

-10-

A.3.14B.6.28C.9.42D.12.56

【答案】A

【分析】圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍。由題意可得圓柱的體積+圓錐的體

積=18.84,根據(jù)圓柱的體積=圓錐的體積x3,用體積之和-（3+1）求出圓錐的體積，體積

之差=圓錐的體積x（3-l）o

【詳解】圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍。

18.84+（3+1）

=18.8494

=4.71（立方厘米）

4.71X（3-1）

=4.71x2

=9.42（立方厘米）

它們的體積相差9.42立方厘米。

【變式訓練1】把一段體積是42.9立方分米的圓柱形木料削成一個最小的圓錐，圓錐的體積

是（）立方分米。

【答案】14.3

【分析】要削出最小的圓錐，則圓錐和圓柱等底等高。根據(jù)體積公式，等底等高時，VMW=

5V閱柱，所以用圓柱體積42.9立方分米除以3,即可求出圓錐體積。

【詳解】42.9+3=14.3（立方分米）

【變式訓練2】一個圓柱和一個圓錐等底等高。如果它們的體積相差12m3,那么圓錐的體積

33

是（）m,圓柱的體積是（）mo

【答案】618

【分析】根據(jù)圓柱的體積=底面積X高，圓錐的體積=gx底面積X高可知，等底等高的圓柱體

積是圓錐體積的3倍。可以把圓錐的體積看作1份，那么圓柱的體積就是3份，它們的體積

-11-

差是3—1=2份。已知體積差是12立方米，用體積差除以份數(shù)差，求出一份數(shù)，也就是圓錐

的體積，再用圓錐的體積除3,即可求出圓柱的體積。

【詳解】圓錐體積：

12+(3-1)

=124-2

=6(m3)

圓柱體積：6x3=18(n?)

考點07：立體圖形的切拼(圓柱與圓錐)

【典型例題】把一個圓錐沿著高切開，切成形狀、大小完全一樣的兩個部分，結果表面積之

和比原來增減了48dm工已知圓錐的高是6dm,原來圓錐的半徑是()dm,體積是

()dm3c

【答案】4100.48

【分析】先根據(jù)圓錐沿高切開后增減的表面積，用總面積除以2求出單個等腰三角形切面的

面積，再結合三角形面積公式5="；2和圓錐的高，求出圓錐的底面直徑，接著用直徑除以

2得到底面半徑，最后把半徑和高代入圓錐體積公式丫=、』(兀取3.14),求出圓錐的體

積。

【詳解】單個新增三角形面積：48-2=24(dm2)

圓錐底面直徑：24x2:6=8(dm)

圓錐底面半徑：8:2=4(dm)

圓錐體積：|X3.14X42X6

=1x3.14x16x6

3

=3.14xl6x(6x1)

3

=3.14x16x2

=100.48(dm3)

【變式訓練1】把一根長2米的圓柱形木料鋸成兩段，表面積增減了4平方分米，這根木料

-12-

的體積是（）立方分米。

A.80B.40C.120D.4

【答案】B

【分析】先根據(jù)“1米=10分米”把2米轉化為20分米，把一根圓柱形木料鋸成兩段，表面積

增減2個截面的面積，先根據(jù)增減的表面積除以2,求巴一個截面的面積；再根據(jù)長方體的

體積公式丫=51］，求出這根木料的體積。

【詳解】2米=20分米

截面的面積：4/2=2（平方分米）

這根木料的體積：2x20=40（立方分米）

【變式訓練2】將底面圓長為62s厘米，高為20厘米的圓柱沿直徑切開，表面積噌減

（）平方厘米。

【答案】800

【分析】將圓柱沿直徑切開，切面是長為高，寬為底面直徑的長方形，表面積增減兩個切面

的面積。先用底面圓長除以不算出底面直徑，再用底面直徑高x算出?個切面的面積，再除2

即為增減的表面積。

【詳解】62.8:3.14x20x2

=20x40

=800（平方厘米）

所以，表面積增減800平方厘米。

逾0真題演練

一、選擇題

1.將圓柱的底面半徑擴大為原來的2倍，高不變，則圓柱的體積擴大為原來的（）

倍。

A.2B.4C.6D.8

-13-

【答案】B

【分析】圓柱的體積=底面積X高，底面積=兀心，若底面半徑擴大到原來的2倍，則圓柱的

體積應擴大到原來的22倍，據(jù)此解答。

【詳解】22=2x2=4

將圓柱的底面半徑擴大為原來的2倍，高不變，則圓柱的體積擴大為原來的4倍。

2.一個圓柱的側面展開圖是正方形，這個圓柱的底面直徑和高的比是（）。

A.7t:1B.2TC:1C.1:1D.1:n

【答案】C

【分析】圓柱的側面展開圖是正方形，說明圓柱的高=圓柱的底面圓長；可以設圓柱的直徑

為I厘米，根據(jù)圓的圓長公式“C=nd”求出圓柱的底面圓長，即圓柱的高：最后根據(jù)求出的數(shù)

據(jù)計算底面直徑和高的比即不。

【詳解】設直徑為1厘米，則圓柱的高=萬乂1=不（厘米）

因此，這個圓柱的底面直徑和高的比是1"。

3.如下圖，一瓶900亳升的果汁正好倒?jié)M下圖中的三個杯子（兩種杯子的杯口直徑相同）。

這樣的一個圓錐形杯子最多能裝（）亳升果汁。

-阜空y…

___?-.一?

A.120B.150C.200D.240

【答案】B

【分析】由圖和題意可知，圓柱形杯子和圓錐形杯子等底等高，當圓柱和圓錐等底等高時，

圓柱的體積是圓錐體積的3倍，把1個圓柱形杯子轉化成3個圓錐形杯子，說明（3+1+1）

個圓錐形杯子可以裝900亳升的果汁，最后用果汁的總體積除以圓錐形杯子的個數(shù)求出一個

圓錐形杯子最多能裝果汁的體積，據(jù)此解答。

【洋解】分析可知，1個圓柱形杯子可以裝果汁的體積等于3個圓錐形杯子可以裝果汁的體

積。

-14-

900；（3+1+1）

=900+5

=120（毫升）

所以，這樣的一個圓錐形杯子最多能裝120亳升果汁。

故答案為：A

4.四個同樣大小的圓柱拼成一個高為4（）厘米的圓柱時，表面積減少了72平方厘米，原來小

圓柱的體積是（）立方厘米。

A.120B.470C.480D.720

【答案】B

【分析】四個同樣大小的圓柱垂直拼接成一個大圓柱，總高度為40厘米，因此每個小圓柱的

高度為10厘米。拼接過程中，每兩個圓柱接觸會減少兩個底面積，四個圓柱拼接三次，共減

少六個底面積。表面積減少72平方厘米對應這六個底面積，因此每個底面積為12平方厘

米。小圓柱的體積等于底面積除以高，即12x10=120立方厘米。

【詳解】（4—1）x2

=3x2

=6（個）

72:6=12（平方厘米）

12x10=120（立方厘米）

所以原來小圓柱的體積是120立方厘米。

故答案為：A

5.一個圓錐與一個圓柱的底面積相等，口知圓錐與圓柱體積的比是1：6,圓錐的高是

4.8cm,圓柱的高是（）cm。

A.28.8B.9.6C.1.6D.0.8

【答案】B

【分析】已知一個圓錐與一個圓柱的底面積相等，圓錐與圓柱體積的比是1：6,設圓錐的體積

-15-

是IcrrP,則圓柱的體積是6cm3；

根據(jù)圓錐的體積公式V=：Sh可知，圓錐的底面積S=3V-h,據(jù)此求出這個圓錐的底面積，

也是圓柱的底面積；

根據(jù)圓柱的體積公式V=Sh可知，圓柱的高卜=丫與，據(jù)此求出這個圓柱的高。

【詳解】設圓錐的體積是lcm3,則圓柱的體積是6cm3；

圓錐的底面積：1x3+4.8—0.625(cm2)

圓柱的高：6:0.625=9.6(cm)

所以，圓柱的高是9.6cm。

故答案為：B

6.如圖所示，把直角三角形繞一條直角邊旋轉一周，得到的圓錐的體積是()立方

厘米。

A.12.56B.37.68C.18.84D.50.28

【答案】B

【分析】通過觀察圖形可知，以直角三角形的一條直角邊(3厘米)為軸旋轉一周，得到一

個底面半徑是2厘米，高是3厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：丫=:兀/人把數(shù)據(jù)代入公

式解答。

【詳解】根據(jù)分析：

V=—nrzh

3

-X3.14X22X3

3

=-x3x3.14x22

3

=1x3.14x4

=3.14x4

-16-

=12.56(立方厘米)

所以得到的圓錐的體積是12.56立方厘米。

故答案為：A

7.下面四組圖形中，圓柱和圓錐體積不相等的是()。

S=3cm2S=3cm2

S=3cm2S=6cm2

【答案】C

【分析?】圓柱的體積V=Sh,圓錐的體積V=：Sh,分別把圓柱和圓錐的底面積和高代入體

積公式計算并比較即可。

【洋解】A.圓柱：3x2=6(cm3),圓錐：；x3x6=6(cm3),相等，不不符合題意；

B.圓柱：3x2=6(cm'),圓錐：gx9x2=6(cm3),相等，不不符合題意；

C.圓柱：3x2=6(cm?),圓錐：；x6x3=6(cm3),相等，不不符合題意；

D.圓柱：3x2=6(cm3),圓錐：1x9x6=18(cm3),不相等，不符合題意。

故答案為：D

二、填空題

8.一塊正方體木材的棱長是4分米，這塊木材的表面積是()平方分米，把它切成

一個最小的圓柱，圓柱的表面積是()平方分米，體積是()立方分米。

【答案】9645.3650.24

-17-

【分析】第①空：正方體表面積：正方體有6個完全相同的正方形面，每個面的面積是“棱

長x棱長”，因此表面積公式為6x棱長x棱長。代入棱長4分米，可得6x4x4=96平方分米。

第②空：要切出最小的圓柱，需讓圓柱的底面直徑和高都等于正方體4分米長的棱長，先利

用“S忸=兀曲，，代入直徑和高計算出側面積；再利用"="2x2”代入r計算出2個底面積，最后

由“側面積+2個底面積”求出圓柱的表面積。

笫③空：依據(jù)體積公式為=代入半徑和高計算出圓柱體積。

【詳解】第①空：6x4x4=24x4=96（平方分米）

第②空：d=4分米，r=4-2=2（分米），h=4分米

3.14x4x4

=12.56x4

=50.24（平方分米）

3.14X22X2

=3.14x4x2

=12.56x2

=25.12（平方分米）

50.24+25.12=45.36（平方分米）

第③空：

3.14X22X4

=3.14x4x4

=12.56x4

=50.24（立方分米）

9.一個圓柱與一個圓錐等底等高，它們的體積相差36立方厘米。這個圓柱的體積是

（）立方厘米。

【答案】54

【分析】根據(jù)等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，把圓錐的體積看作1份，則圓柱的

體積是3份，相差（3-1）份；用體積差除以份數(shù)差，求出一份數(shù)，再用一份數(shù)除3,求出

圓柱的體積。

-18-

【詳解】36：（3-1）

=36：2

=18（立方厘米）

18x3=54（立方厘米）

這個圓柱的體積是54立方厘米。

10.一個圓柱和一個圓錐的高相等，圓錐的底面半徑是圓柱的3倍，那么圓柱與圓錐的體積

比是（）。

【答案】1：3

【分析】根據(jù)圓錐的體積=底面積x高：3,圓柱的體積=底面積x高，解答此題即可。

【洋解】假設圓錐和圓柱的高都是1,圓柱的底面半徑是I,則圓錐的底面半徑為3c

圓柱的體積：^xpxl=^

圓錐的體積：力3以1：3=3萬

乃：3兀=1：3

因此，一個圓柱和一個圓錐的高相等，圓錐的底面半徑是圓柱的3倍，那么圓柱與圓錐的體

積比是l：3o

11.小悅同學用一塊體積為216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一個圓柱和一個圓

錐，圓柱的體積比圓錐的體積大（）立方厘米。

【答案】108

【分析】由于圓柱和圓錐等底等高，圓柱的體積是圓錐體積的3倍。整個橡皮泥的體積為

216立方厘米，是圓柱和圓錐的總體積。設圓錐體積為V,則圓柱體積為3V,總體積為

4V,可求出V,再計算圓柱體積與圓錐體積的差。

【詳解】設圓錐的體積為V立方厘米，則圓柱的體積為3V立方厘米。

根據(jù)題意，圓柱和圓錐的總體積為216立方厘米，

因此：

V+3V=216

-19-

4V=216

V=216：4

V=54

圓錐的體積為54立方厘米，圓柱的體積為3x54=162立方厘米。

圓柱的體積比圓錐的體積大：162-54=108立方厘米。

答：圓柱的體積比圓錐的體積大108立方厘米。

12.如下圖，把一個圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體，這個長方體的長是12.56

厘米，表面積比原來增減40平方厘米，原來圓柱體的體積是（）立方厘米。（兀取

【答案】251.2

【分析】將一個圓柱切開后拼成一個近似長方體，高不變，體積不變，長方體的長等于圓柱

的底面圓長的一半（m）,用這個長方體的長12.56除以3.14即可求得圓柱的底面半徑；拼成

的長方體表面積比圓柱多了長方體的左右兩個面，這兩個長方形的面的長和圓柱的高相等，

寬等于圓柱的底面半徑，已知表面積增減40平方厘米，先用40+2求出一個面的面積，再除

以半徑，即可求出高，最后根據(jù)長方體的體積=長、寬x高，代入數(shù)據(jù)，即可求出圓柱的體

積。

【詳解】12.56+3.14=4（厘米）

40-2:4

=20:4

=5（厘米）

12.56x4x5

=50.24x5

=251.2（立方厘米）

則原來圓柱體的體積是251.2立方厘米。

-20-

13.明明看一個立體圖形，從前面看到的是下面A圖，從上面看到的是下面B圖（單位:

dm）o這個立體圖形是（），體積是（）dm：

6

A圖B圖

【答案】圓錐45.36

【分析】先根據(jù)從前面看到的三角形、從上面看到的圓形，判斷出這個立體圖形是圓錐；再

用圓錐的底面直徑除以2求出半徑，結合已知的高，代入圓錐體積公式：丫=：70%（兀取

3.14）,即可求出體積。

【詳解】這個立體圖形是圓錐。

體積：1x3.14x（6=2）2x8

=1X3.14X32X8

=；x3.14x9x8

=1x9x3.14x8

=3x3.14x8

=9.42x8

=45.36（dm3）

14.一個圓柱的底面直徑是4分米，高是6分米，它的表面積是（）平方分米，一

個與它等底等高的圓錐的體積是（）立方分米。

【答案】100.4825.12

【分析】（1）利用圓柱表面積公式圓柱的表面積=底面積x2+側面積，底面積=不產(chǎn)，側面積=開力（萬

取3.14）,由此代入數(shù)據(jù)即可解答；

（2）先利用圓柱的體積公式圓柱體積=底面積x高求出這個圓柱的體積，等底等高的圓錐體積是

圓柱的;，再除以3即可得出等底等高的圓錐的體積。

-21-

【詳解】（1）底面積:3.14X（4+2）2

=3.14x22

=3.14x4

=12.56（平方分米）

側面積：3.14x4x6

=12.56x6

=75.36（平方分米）

表面積：12.56x2+75.36

=25.12+75.36

=100.48（平方分米）

（2）圓柱體積：12.56x6=75.36（立方分米）

圓錐體積：75.36+3=25.12（立方分米）

一個圓柱的底面直徑是4分米，高是6分米，它的表面積是100.48平方分米，一人與它等底

等高的圓錐的體積是25.12立方分米。

15.如圖，直角三角形A8C如果繞AC旋轉一周得到圓錐甲；如果繞旋轉一周得到圓錐

乙。已知A8:AC=4:3,則圓錐甲與圓錐乙的體積之比為（）o

【答案】4:3

【分析】A3:AC=4:3,可把AB看作4,AC看作3。根據(jù)題意可知，繞AC旋轉一周得到圓錐

甲，甲圓錐的底面半徑是4,高是3；繞AB旋轉一周得到圓錐乙，乙圓錐的底面半徑是3,

高是4,根據(jù)圓錐的體積公式：V=l^r2A,把數(shù)據(jù)分別代入公式求出甲、乙兩個圓錐的體

積，然后根據(jù)比的意義，求出甲、乙兩個圓錐體積的比。

【詳解】；乃x4?X3

Ic，,

=一x3乃x16

3

-22-

=.TXI6

二16%

-x32x4

3

=；7TX9X4

=3兀’4

=12乃

16萬：12乃

=（16乃：44）:（12^4-4^）

=4：3

圓錐甲與圓錐乙的體積之比為4：3o

如圖，直角三角形A8C如果繞AC旋轉一周得到圓錐甲；如果繞AB旋轉一周得到圓錐乙。已

知A3:AC=4:3,則圓錐甲與圓錐乙的體積之比為4:3。

16.用一張長6分米，寬3分米的長方形紙（厚度不計）圍成一個容積最小的圓柱體，這個

圓柱體的容積約為（）升。（兀取3）

【答案】9

【分析】長方形紙圍圓柱體可圍成兩種形狀的圓柱體：

情況1：以長方形的長6分米為圓柱的底面圓長，寬3分米為圓柱的高；

情況2：以長方形的寬3分米為圓柱的底面圓長，長6分米為圓柱的高；

先根據(jù)底面圓長公式C=2仃求出底面半徑；再根據(jù)圓柱的體積公式v="2人代入對應的半徑

和高的值算出體積；最后比較兩種情況下體積的大小，選出容積較大的圓柱體即可。

【詳解】情況1：以長方形的長6分米為圓柱的底面圓長，寬3分米為圓柱的高：

6+（2"）

=6+（2x3）

=6+6

=1（分米）

3X12x3

=3x3

-23-

=9（立方分米）

情況2：以長方形的寬3分米為圓柱的底面圓長，長6分米為圓柱的高：

3+（2萬）

=3+（2x3）

=3+6

=0.5（分米）

3XO.52X6

=3x0.25x6

=4.5（立方分米）

9<4.5,所以容積最小的圓柱體體積是9立方分米，又因為1立方分米=1升，所以容積約為

9升。

17.一個圓柱形零件，底面直徑是4分米，高是8分米，如果將這個圓柱形零件熔鑄成一個

底面直徑是8分米的圓錐形零件，那么這個圓錐形零件的高是（）分米。

【答案】6

【分析1根據(jù)題意，把一個圓柱形零件熔鑄成一個圓錐形零件，則零件的體積不變；

先根據(jù)圓柱的體積公式丫=北斗，求出零件的體積；根據(jù)圓的面積公式S=w2,求出圓錐的

底面積；再根據(jù)圓錐的高h=3V：S,求出這個圓錐形零件的高。

【詳解】圓柱的體積：

3.14x（4+2）2x8

=3.14x