吉林省吉林市吉林高新技術產業開發區2025-2026學年九年級上學期11月期中數學試卷(含答案)

吉林省吉林市吉林高新技術產業開發區2025-2026學年九年級上學期11月期中數學試題一、單選題1．已知二次函數，那么該二次函數圖象的對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線2．下列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．已知的半徑，則點P與的位置關系是（

）A．點P在內 B．點P在外 C．點P在上 D．無法確定4．如圖，，是的半徑，若，則的度數是（

）A． B． C． D．5．為積極響應國家促進消費政策，江西大力推行以舊換新活動，新增實施手機等3類數碼產品購新補貼，將手機、平板電腦（含學習機）、智能手表（手環）等3類數碼產品納入補貼范圍．某商家銷售一款學習機時，實行先降價再享補貼的雙重優惠促銷活動，經過兩次降價，單價由2200元降為1980元．若兩次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．6．二次函數的圖象如圖所示，若一元二次方程有實數根，則的最大值為（

）A．4 B． C．3 D．二、填空題7．如圖，該圖形繞其中心旋轉能與其自身完全重合，則其旋轉角最小為______度

8．一元二次方程的一次項系數是______．9．將二次函數的圖象向左平移個單位，再向下平移個單位，則平移后拋物線的表達式為__________．10．如圖，、分別切于A、B兩點，并與的另一條切線分別相交于C、D兩點，已知，則的周長為______．11．太原市迎澤公園的噴泉以其激動人心的表演和世界級的設計而聞名．圖1中的一條水柱可以近似看作一條拋物線，建立平面直角坐標系，如圖2所示，噴口為點O，水柱的高度與距噴口的水平距離之間滿足（），則該水柱的最大高度為______．三、解答題12．用適當的方法解方程：．13．已知二次函數的圖象過點，頂點坐標為，求二次函數的解析式．14．如圖，四邊形內接于，是的直徑，，求的度數．15．如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上，已知點C的坐標為．(1)直接寫出點B關于原點對稱的點的坐標_____；(2)畫出以點C為旋轉中心，將按順時針方向旋轉后得到的；(3)求點A經過的路徑的長（結果保留根號和π）．16．關于x的方程．(1)若該方程沒有實數根，求k的取值范圍；(2)若是該方程的一個根，請求出它的另一個根．17．如圖，是的直徑，四邊形內接于，是的中點，交的延長線于點E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．18．某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．(1)不妨設該種品牌玩具的銷售單價為元（），請你用的代數式來表示銷售該品牌玩具銷售量為_____件（請化簡）．(2)在（1）問條件下，問當單價為多少時商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤？最大利潤是多少？19．如圖，是的外接圓，半徑為，連接，，，(1)過點作，交于點，若，求的長；(2)若，求陰影部分的面積．20．閱讀情境：在綜合實踐課上，同學們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”．如圖①，，其中，，此時，點C與點E重合．(1)操作探究1：小凡將圖①中的兩個全等的和按圖②方式擺放，點B落在上，所在直線交所在直線于點M，連接，求證：；(2)操作探究2：小彬將圖①中的繞點A按逆時針方向旋轉角度，然后，分別延長、，它們相交于點F．如圖③，在操作中，小彬提出如下問題，請你解答：①當時，求證：是等邊三角形；②當______時，．21．如圖，在等腰直角三角形中，，邊上的高．點P從點A出發，沿以的速度向終點B運動，當點P不與點A、B重合時，過點P作，交邊或邊于點Q，以為邊向下作正方形，設正方形與重疊部分圖形的面積為，點P運動的時間為．(1)求的長；(2)直接寫出點M落在邊上時t的值；(3)求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．22．如圖，拋物線經過點，與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)當時，直接寫出y的取值范圍；(3)拋物線的對稱軸上有一點P，當的值最小時，求點P的坐標；(4)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．C【詳解】解：∵二次函數的解析式為，∴該二次函數的對稱軸為直線，故選：C．2．D【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選D．3．B【詳解】解：∵的半徑，∴∴點P與的位置關系是：點P在外．故選：B．4．C【詳解】解：∵，∴，故選：C．5．B【詳解】解：由題意得，，故選：B．6．C【詳解】解：∵一元二次方程有實數解，∴可以理解為和有交點，由圖可得，，∴，∴的最大值為．故選C．7．60【詳解】解：圖形可看作由一個基本圖形每次旋轉，旋轉次所組成，故最小旋轉角為．故答案為：．8．【詳解】解：一元二次方程中，一次項為，因此一次項系數是．故答案為：．9．【詳解】解：∵將二次函數的圖象向左平移個單位，∴函數解析式變為：，∵將解析式再向下平移個單位，∴函數解析式變為：，故答案為：；10．【詳解】解：如圖，設與切于點，，，分別切⊙于點，，，，，，的周長，故答案為：．11．【詳解】解：拋物線形水柱，其解析式為，，水柱的最大高度是．故答案為：．12．，【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，解得，．13．【詳解】解：設二次函數解析式為，∵二次函數的圖象過點，∴，∴，∴二次函數解析式為．14．【詳解】解：∵四邊形內接于，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴．15．(1)；(2)如圖，即為所求；(3)點A經過的路徑的長為．【詳解】（1）解：由圖可知，則點B關于原點對稱的點的坐標為，故答案為：；（2）略（3）解：點A經過的路徑的長．16．(1)(2)【詳解】（1）解：∵關于x的方程沒有實數根，∴，解得；（2）解：設方程的另一個根為，由根與系數的關系可得，∴，∴原方程的另一個根為．17．(1)證明：如圖，連接，∵是的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．(2)2【詳解】（1）略（2）解：如圖，過點作于點，∵是的中點，∴，∴，，∴平分，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，設，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長為2．18．(1)(2)當單價為元時商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤，最大利潤為元．【詳解】（1）解：漲價元，則少售出件，則銷量為件，故答案為：．（2）設總利潤為w元，由題意可得，，，，當時，w取得最大值，答：當單價為元時商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤，最大利潤為元．19．(1)(2)【詳解】（1）解：，，，在中，，，∴，；（2）解：，，∴．20．(1)證明：如圖②，由題意知，在和中，∵，∴，∴．(2)①證明：如圖③，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．②【詳解】（1）略（2）①略②解：∵，∴，∴當時，，故答案為：．21．(1)；(2)2；(3)．【詳解】（1）解：在等腰直角三角形中，，邊上的高．是等腰直角三角形斜邊上的中線，；（2）解：是等腰直角三角形，，，，，是等腰直角三角形，，

如圖：點M落在邊上時，四邊形是正方形，，，是等腰直角三角形，，由（1）知，，解得：；（3）由（2）知，當時，如圖：為正方形的面積，即；當時，如圖：由題意可知：和均為等腰直角三角形，，；當時，如圖：；．22．(1)拋物線的解析式為(2)(3)(4)存在，滿足條件的點M的坐標為或或【詳解】（1）解：令，則，∴，∵，∴，∴，∵在拋物線上，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵，∴當時，，∵當時，，當時，，∴當時，；（3）解：由（2）知，拋物線的解析式為，∴拋物